CC BY
40
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И
Том XIV 1 983 №5
УДК 533.6.011.5
ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА О ПРОСТРАНСТВЕННОМ СВЕРХЗВУКОВОМ И ГИПЕРЗВУКОВОМ ОБТЕКАНИИ КРЫЛА ПОД УГЛАМИ АТАКИ И СКОЛЬЖЕНИЯ
А. И. Щедрин
В постановке, аналогичной [1 — 3], рассмотрено пространственное сверхзвуковое и гиперзвуковое обтекание под углами атаки и скольжения наветренной поверхности крыла, по форме мало отличающегося от плоского прямого крыла бесконечного размаха. На основе сформулированной общей трехмерной линейной граничной задачи для функции возмущения давления исследованы характеристики и особенности течения в предельном случае гиперзвукового обтекания, когда значения показателя адиабаты х близки к единице. Получены асимптотические формулы, устанавливающие в явном виде влияние геометрических параметров крыла и начальных параметров потока на картину распределения давления.
1. Пусть крыло, близкое по форме к базовому прямому плоскому крылу бесконечного размаха, помещено под конечными углами атаки а и скольжения |3 в сверхзвуковой поток идеального совершенного газа. Число М потока равно Моэ, исследование обтекания проводится в декартовой правой системе координат Охуг, в которой ось Ох направлена вниз по потоку от вершины крыла, а координата 2 — вдоль кромки базового крыла. Плоскость г = 0 является плоскостью симметрии рассматриваемого крыла (рис. 1). Полагается, что головной скачок уплотнения, возникающий на наветренной стороне крыла, присоединен к передней кромке на всем ее протяжении. Далее рассматривается поле течения на стороне сжатия, где за головным скачком уплотнения сверхзвуковое завихренное течение слабо отличается от однородного потока за плоским скачком уплотнения.
Пусть порядок возмущений, возникающих за счет слабого искривления поверхности крыла и его передней кромки, характеризуется малым параметром 8. Решение точных уравнений газовой динамики ищем в виде разложения по степеням 8 и рассматриваем члены 0(8).
Введем безразмерные пространственные координаты и газодинамические параметры по формулам
x — bx, y = btgay, z = b tg y.z,
и = V’oo cos a cos $и, v — Vex sin a cos $v,
w = V<x> sin a COS p = Px via Sin3 a COS2 $p,
p 1—' poo p?
здесь и, ад— компоненты вектора скорости по осям х, у, z соответственно; р — давление, р —плотность, V», Роо — скорость и плотность набегающего потока, b — хорда базового крыла.
Уравнения для поверхности крыла и его передней кромки в плане имеют вид соответственно
y = 8yw(*. 2); х = 8/(z), у = 0.
Представим уравнение поверхности головного скачка уплотнения в форме
у = hx + (х, z) + О (82).
Параметр h, характеризующий наклон плоского скачка уплотнения при обтекании базового крыла, определяется зависимостью
h — h (а, у., К), К = Moo sin2 о. cos2pj —параметр подобия.
Уравнение для нахождения h имеет вид
(1 + tg*«A»)[(x + 1)(1 + /г) + (*-1)К]-2(1+/г)2 = 0.
Представим газодинамические параметры в виде следующих разложений:
и = к<°> [1+0 tg2 аи<*) (х, У, 2)] + О (о2); г» = 5гг(°) ^<1> (jc, у, г)-(-О (о2);
w= и(0) [v + ВгеИ1) (х, у, г)] 4- О (S2); }. (1)
р = рЩ\ +^Цх, у, z)\ + О (о2); p = p(0)[i+3p(»U, у, 2)] + 0(52),
м(0) — 1 — tg2 з./г, v = — 1g (3 (и(0) sin a)-1,
/?<°> = 1 + А + (X- 1) /< (2х) 1, р(0) = (1 + h){huW)-\
2. Подставив разложения (1) в уравнения газовой динамики, в граничные условия на крыле, на скачке уплотнения и исключив из полученных линеаризованных уравнений ы(1>, w(l\ р(1), j^1', получим граничную задачу для функции возмущения давления
где
Мо
dD
tg2 « -*_______________*____________*-
дх2 ду2 дг2
/?(’) = 0, (0<_у<Ах); (2)
dp
(і)
ду
— Ml
dD
yw(x, z) при у = 0;
<? _ _d_ j>_
dD дх дг
(3)
X1
б | д . д
~------Ь 72 —--------Ь VX3 ~Т~
дх ду дг
а1агР{1)
I tg2 ah dg
dz
,<0)
г(2)=У«(0, z) — А/(2) при JC == О, ^ = 0; 7.1 -г—- + Ахз — + 7.4 -T-г- + (Хб + v 7-б) —
дх2 ду2 <7Л:<7)> 02:2
I ^ / д , д
+ v^r(X717+X8^/j
pW=z 0 при y = hx.
Здесь коэффициенты a„ а2, г = 0; 1; . .
только от а, /С, определяются по формулам
(4)
(5)
зависящие
а, =
п(°)
1 + h I х + 1 h (р(0) _ j)2
- 1
а, =
(1 + h) (x+l)(pW-l): 4р(0> Mg
Мо = (и<п> р<°)) (х/?(0)) 1, Хо = 1 + ^ а1г2,
Хг — а-! аг + Л(1 — tg2aM(Г2), Х2 = /га1 а2 + М^2,
7.з = 7.1 + «Л (2а2 + /3), Х4 = ЛХ1 + Х21 7б = -Ла2,
7.6 = 7о (Хз + *ё2 а7б), 7л = 7о 7.1+ 7з. 7.8 = Хо 7.2 + ^Хз-
На скачке уплотнения, где параметры газа непосредственно за ним обозначим индексом 5, имеем соотношения, которые потребуются в дальнейшем
Конус Маха, исходящий из вершины крыла, описывается уравнением
^МоХ — ?ч2)2 — — />1_у2) — 0; )\ = Мо—а; \\ = Л; + V2аМо •
Заметим, что отыскание решения граничной задачи (2) — (5) при (3=^=0 оказывается в значительной степени затруднительным из-за наличия дополнительных членов, устанавливающих через параметр V явную зависимость характеристик обтекания от угла скольжения. Неявная зависимость от |3, входящая в задачу через параметр подобия К, не приводит к принципиальным трудностям. Непосредственной проверкой можно убедиться, что в новых переменных
х = х, у = г = Х^1 (/-12 — чМо х) (8)
основное дифференциальное уравнение(2) принимает канонический вид
д2 д2 д2
дх2 ду2 дг2
?о) = 0
и не содержит в явном виде параметр v. Однако преобразование (8) не исключает параметр v из граничных условий. Таким образом, исходная задача полностью не сводится к виду, соответствующему р = 0 и рассмотренному ранее в [4]. Тем не менее для крыльев определенной формы довольно просто удается получить аналитическое решение задачи при р ф 0.
zi
Пример. Рассмотрим параболическое крыло: yw —
Z2
f—Ck~Y, Cw, Ck — заданные постоянные. Решение представим суммой двух функций
у, Z) + П(12 (х, у, z),
где ПІ1) зададим в виде линейной функции координат:
Пі1’ = хрі + УРо + zps, (9)
Р\, Рї> Рз — произвольные постоянные.
Видно, что решение (9) удовлетворяет уравнению (2) и граничному условию (5). Коэффициенты рх, р2, р3 найдем из условия, что функция (х, у, z) должна удовлетворять неоднородным граничным условиям (3), (4). Тогда окончательно имеем
l + v2tg2a Хо +
У.з а\ а2І.
hC , , а\ в2 Мо — Хз
Xl“(0) а\ а2 ІІ
v2M 1с„, Р, = —
аг а2 \ и'-'1' ]
C = Cw-hCk.
(10)
Далее рассмотрим задачу для функции (х, у, г), которая должна удовлетворять уравнению (2) и граничным условиям на
скачке уплотнения (5), на поверхности крыла и на кромке. Последние два условия согласно (10) будут однородными
лп(1)
—= 0 (у — 0), П2 = 0 (х = 0, у = 0),
ду
(ъ + V.3 -Н = 0 (х = 0, у = 0).
\ дх дг J
Детальный анализ показывает, что П^еееО и искомое решение задачи имеет вид (9), (10). Случай (3 = 0, при котором = 0,
рассмотрен ранее в [5]. При Р-^0 картина распределения давления несимметрична относительно плоскости симметрии крыла z — 0.
В случае гиперзвукового обтекания, когда рассмотрение проводится в рамках гиперзвуковой теории малых возмущений при Моо -*■ ос, а0, р -» 0, Мооа = О (1), p/a = v0 = O(l), линеаризация соотношений осуществляется в предположении, что параметры 5, а стремятся к нулю независимо друг от друга [1, 6]. При этом параметры основного течения около базового крыла, определяемые' с точностью до членов О (а2), зависят от двух параметров у.,
К0 = ^ ~ 1 ML a2 j , кроме составляющей скорости w, которая
линейно зависит и от параметра скольжения v0. В такой постановке гиперзвуковой аналог преобразования (8) позволяет полностью свести граничную задачу обтекания крыла со скольжением к виду, соответствующему (3 — 0.
3. Исследуем линейную граничную задачу (2) — (5) в предельном случае
Моо--*-00, х->-1, К = 0(1). (11)
При предположении (11), лежащем в основе теории тонкого ударного слоя [7], отношение плотности газа в набегающем потоке и за головным скачком уплотнения стремится к нулю и является
х _ \
величиной порядка е = (1 4~ К). Однако осуществление в ли-
% 1
неаризованных уравнениях (2)—(5) повторного предельного перехода при s —> 0 является рациональным при условии, что малые параметры 8 и е, вообще говоря, связаны между собой определенным образом. При необходимости эта связь устанавливается в процессе асимптотического анализа задачи. Существенно то, что двойной предельный переход S->0, s —0 позволяет определить те порядки величин начальных параметров потока и формы крыла, при которых уравнения газовой динамики в приближении теории тонкого ударного слоя становятся линейными.
Итак, решение исходной линейной задачи будем искать в виде асимптотического разложения по параметру г -*■ 0. Полагаем, что yw — 0(e), /==0(1) при е -* 0. Возмущенная область течения между поверхностью крыла и скачком уплотнения имеет следующие характерные размеры:
* = 0(1), у = 0(e), z = 0(l).
Введем переменные порядка единицы в тонком ударном слое:
х = X, y = e.Y, z — Z,
Vw = eYw(X, Z), f=F(Z).
Решение граничной задачи (2) — (5) ищем в виде
рт = (X, У, Z) + О (в2),
где функция Рь имеющая порядок единицы, должна удовлетво-д‘2 р
рять уравнению = О, 0<К<А и граничным условиям
дУ2
ШХ при г=0>
Р{ — 0 при У = Х,
где
дйх ) дУд01 дУ2
—+3—'ІР.-О, А = 2-^2- при А = 0,7 = 0,
сЮ1 дУ ) 1 ’ 1 . ^ р
й „ д .. . *8?
М
Й©! дХ 1 ’ 1 БІП а
Можно убедиться, ЧТО функция Рі(Х, У, Z) имеет вид
У„(Х, г) (12)
р 1=
(А" — К)(—-—)2 + 2—— ^ 71 дИ1 ) дО,
и не зависит от формы кромки. Зависимость решения от функции Р (2) проявляется в следующем члене О (є2). Из условий на скачке уплотнения (6) с учетом (12) получаем выражение для формы скачка уплотнения
УП> = £ [Уп (X, г)-Р(г + V, х)] + о и. (13)
В случае плоского крыла, когда Ут — 0, Я1==0, реиіение для р{1) ищем в виде
р(') = е*Р2(Х, У, г) + 0(е*).
Граничная задача для Р2 отличается от задачи для Р, только условиями на поверхности крыла и на кромке. Эти условия принимают вид
оР— = 0 при У — 0, Р2 = — 2уі tg2 а ■ при X = 0, 7 = 0,
дУ Г <іг
6 ' 3-гНР2 = -2(1+^а)-^£^- при * = 0, У = 0.
дйг ' дУ } . 1
Решение для Р2 запишем в форме Р2 = - 2 (1 + V? а) ХР" (г + V, А") - 2-', 1ё- о.Р' (г + V, X). (14)
Штрих обозначает дифференцирование по Z + v1X. Форма скачка уплотнения дается в виде (13) при Уи1 = 0.
Интересен случай, когда угол скольжения р по порядку величины равен углу Маха за плоским скачком уплотнения. В этом
случае в = —— - (1 + Кх), Кх = (——- М^ бш2 оА \ у1 = е~1'2ч1 =соп$1, х-(- 1 \ I ]
а решение представляется разложением по степеням е, кратным 1/2:
р
(1)
(X Y)
дз дХ*
дХ
yw+ О И,
W
(1) = !
, 3/2 v
+ £ VjA
fi(2f
yU)=s
dZ dZ Гда(А, Z)-F(Z)-e^hX
dZ2 '
dF(Z)
dZ
О И,
+ О (в2).
(15)
(16)
Главные члены в (15), (16) не зависят от Р и соответствуют симметричному относительно плоскости 2 = 0 обтеканию.
В заключение этого раздела отметим,что для крыла с гладкой формой поверхности и передней кромки приведенные асимптотические решения не содержат особенностей и в принципе могут быть получены путем формального разложения решения общей линейной задачи (см. разд. 2) в асимптотический степенной ряд по параметру в. В этом можно убедиться на примере обтекания параболического крыла
Y = С
1 W Ъ
Z 2
F = Ck — * ,2
где Cwt Ck — заданные постоянные.
Из общих асимптотических формул (12) ■—(14) получаем
Cw = s-i Сет ф0, Я, = Cw v, [v, (X - Y) - 2Z],
Cw = 0, Рх = 0, Р2 = — 2Ck [(1 + 2v?tg2a).Y + v1tg2aZ].
Это асимптотическое решение совпадает с главным членом разложения по е решения, полученного в п. 2 [см. формулы (9), (10)].
В работе [8] в рамках нелинейной теории тонкого сжатого слоя (е -»0) получено решение задачи о гиперзвуковом обтекании под углом атаки крыла гладкой формы и умеренного относительного удлинения. Если в этом решении осуществить дополнительный предельный переход при удлинении Л~8~1 оо и тем самым линеаризовать задачу, то результаты [8] совпадут с результатами настоящего исследования. Это свидетельствует о рациональности асимптотической теории двойного предельного перехода по параметрам 8-J-0, s -> 0, один независимо от другого, применительно к расчету обтекания крыла гладкой формы.
4. Полученные в п. 3 асимптотические формулы непригодны для расчета крыльев, имеющих неаналитическую форму поверхности и кромки. В этом случае необходимо проводить дополнительный анализ. Исследуем один характерный случай. Рассмотрим крыло произвольной симметричной формы в плане, поверхность которого имеет V-образную форму: Yw — kx\Z|, — const. Перед-
няя кромка имеет излом в вершине крыла, следовательно, при малых Z
F(Z) = k2 [ Z| -j- о (Z), k2 = const.
Пусть угол скольжения j3 есть величина порядка угла Маха. Согласно формулам (15), (16) имеем
даО) -- - е
Я
р(') = — 53/2 2у; зі§п Z + О (г2), у(і) = £^1|2[-Р(г)-єі/ь1 -Ц
сіF(Z) , . 7 , \п~ \г <&Р[2)
■— «! Э^П £ т £ /2 V) X
аг
йг*
0(8*),
+ 0(£2).
ар
Поскольку производная разрывна в точке Z = 0, то решение (17) непригодно в окрестности плоскости Z = 0. Следовательно, необходимо дополнительно рассмотреть центральную область течения (обозначим ее через О0), лежащую внутри конуса влияния вершины крыла. При этом формулы (17) остаются справедливыми в областях течения вне конуса Маха.
Введем переменные порядка единицы в области течения С0:
* = у = *У0, г~гЧЦг0-\Х0),
Р^ = г0(г)Р0(Х0, У0, г0) + о [г0(£)], (18)
Г0(£)-^0 при £->0.
Из уравнений (2), (3), (4) в переменных (18) получаем систему
= 0 при
д¥20
дР0
д¥0
= 0 при 70 = 0,
<32
дХІ
+ 4
І з — -
дХодУо ду1
дз
дгі
Я0 = О при Уй = Хй.
Ее общее решение имеет вид
Я0 = А0 (Х0 — Z0) + В0 (Х0 4- Z0),
(19)
где А0, В0—произвольные, дважды непрерывно дифференцируемые функции.
Видно, что на конусе Маха | Z01 = Х0 + О (в) решение (19) не удовлетворяет условию непрерывного перехода в решении (17). Это обстоятельство указывает на необходимость рассмотрения дополнительных областей й+ и примыкающих со стороны
области О0 соответственно к левой Z0 = X!) и правой_ Z0 =— Х0 границам конуса Маха (рис. 2). В симметричном случае ^ = 0 достаточно рассмотреть одну область.
Анализ показывает, что эти области имеют следующие характерные размеры: А0=О(1), У0 = О(1), I 1 — А'о = О (е). Введем переменные, имеющие порядок единицы в этих областях
Верхний знак перед V] в формулах (20) и далее соответствует области нижний—области 0~. Уравнение конуса Маха в новых переменных примет вид Z)=0.
Из уравнений (2), (3), (5) в переменных (20) при е -* 0 получаем, что в каждой из областей <3+ и (3~ функция (Аь У,, Z1) должна удовлетворять уравнению
Условие непрерывности решения на конусе Маха ^ = 0) дает .г0(в) = £3/2. Кроме (22), имеем также условие асимптотического сращивания решений в областях й+ и с решением в области в0:
\г0\-+х0 г^со
С использованием метода разделения переменных общее решение задачи (21) можно представить в виде
я-А,, у = еХ1Уи г = ±е'*Х
= Щ(х„ Уи г1) + о[г0(Е)],
т0 = tg2 а [3 + 47, + ^(1 + К*0 соз2 7.)] -г 3 (1 - К*0),
К ~ к, о+ *,)-*.
(20)
и граничным условиям
(22)
Нт Р0 = Нт П].
(23)
00
П* =2у1 А?Нп{^пХ 5пт— 1) - в области С+,
п=0
ОС
(24)
Пл = — 2ч\ ^ Х\ Яп (1п 1 5„т — 1) — в области С~,
где Я,г — Произвольные ПОСТОЯННЬЮ,
тпт'= (^)«+1/2[0(^, Г1)Л,+1/2 + 2(я + 1)^Х-1/Г^]со8ХК„
Л^пт = (^) п+3/2 2У, Х-1 /С„+з/2 81пХГ1,
0 = 1+ К?, X = (2/тг — 1) ;
/Сп+1/2 (^) — модифицированная функция Ганкеля ]9],
Из условия сращивания (23) получаем равенства
СО
А0 (0) + В0 (2А'1)=»2у1 к, - V ХЧ ■ Я+,
00
(25)
А0(2Х,) + Д0(0) = - 2у, *!- 2 х"■ Я».
Угол наклона скачка уплотнения внутри конуса Маха, а также на его границе должен быть непрерывным. В этой связи запишем выражение (7) в переменных (18), а затем проинтегрируем полученное равенство в пределах от Z1 = 0 до Z1 = оо. В итоге получаем условие, позволяющее определить Р0, согласно которому Р0 = 2(к2 — /г1). Тогда из (25) следует, что
Следуя обычному правилу построения композитного разложения, окончательно представим решение в виде '
Здесь 50т = 50т -1-> — , е, /СП с помощью формул (18), (20)
представляется в виде зависимости от двух автомодельных конических переменных у/х, г/х, малого параметра е и параметра подобия /С,.
Таким образом, в рассматриваемом течении распределение давления совпадает с распределением давления на У-образном коническом крыле. Это объясняется тем, что влияние кривизны передней кромки крыла на распределение давления в периферийной области течения (вне конуса Маха) проявляется только в следующих членах разложения по г. Члены ряда 50,„ являются экспоненциально убывающими при е -> 0. Следовательно, при значениях х, близких к единице, он сходится довольно быстро. При 1,2 практически достаточно использовать не более пяти членов ряда. Формула (26) дает удовлетворительный результат, пригодный для оценок распределения давления и при х=1,4. В этом случае практическая сходимость решения обеспечивается при 10-<от<.20. На рис. 3 и 4 проведено сравнение результатов расчета по распределению давления ср на поверхности плоских (рис. 3) и У-образных треугольных крыльев (рис. 4) по формуле (26) с результатами
$о =2[к2 — (1 — V!)], /?,! =0 при «> 1,
/?о~ = 2 [^2 — &)(1 +^!)], /йГ = 0 при /г>1.
-ц = т0— (е 1 х 1у)2.
2 — «Ученые записки ЦАГИ» № 5
17
о 3 ^ 0 С о
/ |0
2 О , n
! \ 1 . I
rjj ----------------------------і------------------------1-------------------------1-----------------------
О 0,5 Z jj, max
1-Mco=13,6, <x=19.3°, s—0,216, 5A2=1,1, 5sfe,=0,258; 2-М ^ =11, a —14,3°, є=0,317, 8*,=0,81, Seft,=0,258 ; ОЧ15!
Рис. 4
численных [11 — 14] и экспериментальных [15] исследований. Из
(26) следует, что при в —> 0 возмущение давления в основной части области течения внутри конуса Маха постоянно и не зависит от угла скольжения
/7(1) = 2е3/2 — ко).
Согласно формуле (17) оно принимает другое постоянное значение и в периферийных областях течения вне конуса Маха. В. этих областях возмущение давления рт линейно зависит от угла скольжения, но не зависит от формы кромки. Существенное изменение давления происходит в областях в+ и 0~.
При (3 = 0 ^5 = 0) в периферийных областях течения р^ — О. В зависимости от знака разности кг— к2 в центральной области течения й0 давление р может быть больше, чем на периферии (кг > к2) или меньше (/гх < &.). При кх — к2, когда форма поверхности У-образного крыла и угол при вершине крыла связаны определенным образом, получаем асимптотику точного конического решения [10].
Если [3^0, то картина распределения давления зависит от двух параметров к = I — кг к21 и &» = к^. При к<^0 и | & | > | £.. | дав-
ление р на крыле внутри конуса Маха больше, чем на периферии. Если & > 0, то давление р на периферии больше, чем
в центральной области течения. На рис. 5 представлено распредели)
ление функции возмущения давления —щ------- на У-образном
I X -4- V X I
крыле внутри конуса Маха —1<С<1, С = —— ---------1—■—, полу-
н г е1/2х(1 + 0,5еи0)
ченное по асимптотической формуле (26) при_е = 0,1, Кх= 1, т== 10 для различных значений параметра к0 = — Щкч.
В заключение отметим, что постановка задачи обтекания в области влияния точки излома передней кромки крыла зависит, вообще говоря, от того, в какой последовательности делаются разложения по о и в. В линеаризованной задаче, где первоначально полагается 8-^0, в = 0(1), имеет место следующая предельная картина течения. Центральная область течения, границы которой определяются с точностью до О(о), имеет вдоль направлений у и 2: характерные размеры 0(1). Эта область отделяется от потока газа на периферии конусом Маха базового течения 0+Аг+, 0~ /V-(см. рис. 2). Вдоль поверхности тока 0+ 0О, 0~ С}0, играющей в линеаризованном течении роль поверхности контактного разрыва, происходит соединение слабозавихренных потоков после конуса Маха и потока, образующегося за слабоискривленной ударной волной В точке О0 имеется „особенность Ферри“.
При дополнительном предельном переходе по параметру в-*0 происходит трансформация областей линеаризованного течения с выделением основных особенностей гиперзвукового обтекания. Центральная область принимает характерные размеры О (в) и О ($1/2) вдоль направлений у и г соответственно. В основной части скачок уплотнения Г+ является плоским. Плавное искривление скачка уплотнения и изменение давления происходят в областях течения расширения 0+, в~, имеющих характерные размеры О (в) вдоль направлений у и 2. Постоянное решение для основного течения около базового крыла разлагается в ряд по целым степе-
ням г, а решение для возмущения давления порядка 8 имеет разложение по степеням е, кратным 1/2. При этом погрешность в определении границ центральной области течения составляет величину О (8е), т. е. в 8' раз меньшую, чем характерные размеры областей G+ и G~. Следовательно, в рамках рассмотренного первого приближения по 3 параметры 8 и $ стремятся к нулю независимо друг от друга. При рассмотрении высших приближений но 8, где необходимо учитывать особенности решения для возмущений компонентов вектора скорости, а также другие особенности более высокого порядка, осуществление повторного предельного перехода при г 0 требует определенной связи между параметрами 8 и £.
ЛИТЕРАТУРА
1. Фоллэ М. И. Линейная задача для треугольных и V-образных крыльев.—Изв. АН СССР, МЖГ, 1973, № 2.
2. Голубинский А. И., Щедрин А. И. Об обтекании треугольного крыла гиперзвуковым потоком газа. В сб.: „Аэромеханика".—М.: „Наука”, 1976.
3. Щедрин А. И. Об обтекании плоского треугольного крыла со скольжением под углом атаки гиперзвуковым потоком газа.—Труды ЦАГИ, 1978, вып. 1971.
4. Фоллэ М. И. Произвольное тело, близкое к клину в сверхзвуковом потоке.—Изв. АН СССР, МЖГ, 1974, № 4.
5. Фоллэ М. И. Параболическое крыло, близкое к клину, в сверхзвуковом потоке. Научные труды №32. — Ин-т механики МГУ, 1974.
6. Malmuth N. D. Hypersonic flow over a delta wing of moderate aspect ratio.—AIAA J., 1966, vol. 4 (3).
7. Черный Г. Г. Течение газа с большой сверхзвуковой скоростью.—М.: Физматгиз, 1959.
8. Богатко В. И., Гриб А. А., Колтон Г. А. Обтекание тонкого крыла переменной формы гиперзвуковым потоком газа.-Изв. АН СССР, МЖГ, 1979, № 4.
9. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции,—
М.: „Наука", 1971.
10. Майкапар Г. И. О построении сверхзвукового течения обтекания твердых тел при помощи плоских скачков уплотнения.-Изв. АН СССР, Мех. и машиностроение, 1964, № 5.
11. Веегаап Е. R., Rowers S. A. A method for determining the complete flowfield around conical coings at supersonic and hypersonic speeds.—AIAA Paper 69—646, 1969, lune.
12. В о с к р е с е н с к и й Г. П. Численное решение задачи обтекания произвольной поверхности треугольного крыла в области сжатия сверхзвуковым потоком газа. —Изв. АН СССР,
МЖГ, 1968, № 4.
13. S о u t h J. С., К 1 u п k е г Е. В- Method for calculating non linear conical flows.—NASA SP-28, 1969.
14. Бабаев Д. А. Численное решение задачи обтекания нижней поверхности треугольного крыла сверхзвуковым потоком газа.—Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1962, № 2.
15. Kipke К. Experimental investigations of waveriders in the Mach number range from 8 to 15, —Paper 13 in AGARD Conference Proceedings 30, 1968.
Рукопись поступила 17jlll 1982 г.
