Анализ особенностей в решении задачи гиперзвукового обтекания треугольного крыла малого удлинения Текст научной статьи по специальности «Математика»

_________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XVIII 1987

М 2

УДК 629.782.015.3.025.1

АНАЛИЗ ОСОБЕННОСТЕЙ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ГИПЕРЗВУКОВОГО ОБТЕКАНИЯ ТРЕУГОЛЬНОГО КРЫЛА МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ

А. И. Голубинский\, В. Н. Голубкин

Полученное ранее решение задачи гиперзвукового обтекания плоского треугольного крыла малого удлинения содержит особенности в виде сосредоточенных сил и изломов скачка уплотнения и поверхностей тока на ряде особых линий (сечений). Проведенное в данной статье исследование показало, что в поле непрерывного течения за головным скачком имеются узкие области с повышенным значением давления и градиентов некоторых функций, которые при совершении предельного перехода метода тонкого ударного слоя и превращаются в особые сечения.

Использование аналитического метода тонкого ударного слоя [1] позволило получить решение классической задачи обтекания плоского треугольного крыла гиперзвуковым потоком газа. В задаче о гиперзву-ковом обтекании под углом атаки плоского треугольного крыла малого удлинения характерным является случай, когда угол при вершине имеет порядок угла Маха в сжатом слое [2]. В такой постановке в работе [2] и ряде последующих работ рассматривался режим обтекания с отсоединенным от кромки скачком уплотнения. В монографии [3] для случая обтекания с присоединенным скачком указан принципиальный путь построения решения, содержащего ряд особенностей в виде изломов скачка, однако характер особенностей не исследовался. Попытка построения решения с гладкой формой скачка [4] оказалась неудачной, так как пришлось допустить, что поверхность крыла отличается от плоской. В работе [5] скачок уплотнения получен в виде кусочно-линейной ломаной и содержит излом, противоречащий уравнениям. Непротиворечивое с точки зрения уравнений тонкого ударного слоя решение задачи обтекания плоского треугольного крыла с присоединенным скачком уплотнения, реализовавшее схему [3], получено в работах [6, 7]. Позднее аналогичное решение было получено в работе [8], однако в этой работе при вычислении давления допущена ошибка. Решение [6, 7] характеризуется тем, что вблизи плоскости симметрии к поверхности крыла подходит ряд «струй» завихренного сильно сжатого газа. Отклонение их для обеспечения разворота потока вдоль поверхности крыла возможно только под действием сосредоточенных сил, вызывающих излом поверх-

ностей тока и скачка уплотнения в ряде так называемых особых сечений. Причина возникновения сосредоточенных сил, обычных для течений сильно сжатого газа, здесь отличается от случаев, описанных в [9, 10], где они связаны с падением на поверхность скачков уплотнения. Анализ, проведенный в [11] с помощью уравнений сохранения в интегральной форме, позволил установить, что в окрестности особых сечений давление имеет вид 6-функции.

В данной статье рассматривается остававшийся открытым вопрос о структуре потока в окрестности особого сечения. Сингулярность решения, связанная с наличием сосредоточенных сил и изломов скачка, устраняется путем построения в окрестности особого сечения «внутреннего» решения и его сращивания с «внешним» решением [7].

1. Гиперзвуковое обтекание плоского треугольного крыла малого удлинения рассматривается в предположении, что отношение плотностей на скачке уплотнения мало (метод тонкого ударного слоя [1])

£ — £р(1 +Ш-1), m = -i-(x— l)M^sin2a = 0(1)

и параметр подобия Q, равный отношению полуугла при вершине ср к углу Маха в сжатом слое, ограничен при ср->-0, е->-0

2 = «p/s1/2 tg a = 0(1), где a — угол атаки; х — показатель адиабаты; Мсо — число М набегающего потока. При Q >2 скачок уплотнения присоединен к передним кромкам [2]. В области возмущенного течения между скачком и наветренной поверхностью крыла искомые функции представляются в виде разложений по параметру е

«°/ l^oo = cos a е sin a tg a U (t¡, С) + ...

<u°l l/00 = esinat;(7¡, С) + , w°/V00 = e1/2 sin a да (?], С) + ...

+ VLsln2*n C) + •••];

Poo/P0 = e- e2[1 +p + m(m + I)“1 (2и + ®*)] + ...

n = 1)0 = y° C= C° — г° П.2)

e tg a x° e tg a ’ el/2tga jc°sV2tga’ " '

где u°, v°, w° — составляющие вектора скорости в связанной с крылом декартовой системе координат Ox°y°z°; р° — давление; р° — плотность; V<x , рх, — параметры набегающего потока.

Согласно результатам [6, 7], в плоскости т)£ картина течения при £>0 Имеет СЛедуЮЩИЙ ВИД (рИС. 1). Скачок упЛОТНеНИЯ Т1 = Т]5 (?) состоит из двух плоских участков АВ и CD, наклоны которых соответственно равны

Ъ=-Т, т^Д-Г, T = ±-(Q—/& =4).

Они сопрягаются гладким образом с параболическим скачком ВС, расположенным в диапазоне 1 + Г—Д<£<1 + Т между ними. Величина Д определяется в процессе решения задачи из условия симметрии при £=0, значение = Г соответствует первому особому сечению с изломом поверхностей тока и скачка уплотнения. Далее на интервале расположено бесконечное количество особых сечений с быстро затухающей интенсивностью изломов. Отметим, что особые сечения лежат в конически дозвуковой части течения и отождествлять их со скачками уплотнения нельзя.

о к,

С

Рис. 1

Далее рассмотрим для определенности первое особое сечение (остальные могут быть исследованы аналогично в силу общности их физической природы). В работе [11] показано, что функции и, т из (1.1) непрерывны при переходе через особое сечение. Кроме того, в его окрестности

Р =Р& (ч) 8 (с - С*). + рн Сч) Я(С — С*) + ре; »= Ун (ч)Л(С-С*) + ®е;

д т/д С = пог. = 10н (?}) Я (С — С*) + гтс; ¿^/¿С = ^ = 5яЯ(С-и + 5е,

(1.3)

где 8 — функция Дирака; //—ступенчатая функция Хевисайда. Функции рс, Фе, те, 5>с, непрерывные при £ = £*, наряду с функциями рн, vн, <тн, Эн определяются из внешнего решения [7]. Например,

= А — Т— г{8_,

1—1

5с=^ + (с-ад/у(с-!;#)

1

1

— 2 ^ Формула

т —V (ь + ту — 4 ],

(Чв + «*)2 +

I (Д) = Д-1 — 1 + д.

й 7)

= _(1_7’)[®;(т|, С*) — У2

(1.4)

(1-5)

связывает погонную интенсивность сосредоточенных сил . с перепадом наклона проекций поверхностей тока, постоянным вдоль особого сечения и равным (1—Т) [11].

Сингулярное поведение функций (1.3) указывает на то, что в окрестности особого сечения решение [7] непригодно. Здесь нужно ввести внутренние асимптотические разложения, не совпадающие, вообще говоря, с внешними разложениями (1.1), и построить внутреннее решение, удовлетворяющее условиям сращивания с внешним решением [7].

2. Перейдем к исследованию структуры решения во внутренней области, представляющей собой малую окрестность особого сечения. Введем переменные, сохраняющие в ней порядок единицы, таким образом, что исходные переменные Г)°, £° имеют здесь одинаковый порядок

с - с*

.1/2

(2.1)

Используя оценку давления при повороте на угол 0(е1;2) струи сильно сжатого 1 (р°~е_1роо) газа, движущегося со скоростью ау°~е1/2У00, а также условия сращивания внутренних разложений с внешними (1.1), введем во внутренней области следующие разложения:

м°/ 1/оо = cos а + е sin а tga £/($, tj) -f- ;

v°l Voo == e Sin a V(I, ri) 4- ... ;

®0/1/oo = £i/2sina[^0^ rj) + B43W(i, 4)] + ...;

P0==P<X+ Poo sin*a[l + е№Я(&, ij) + ep(5, 7]) + ...]; p/pO = e-^P(S, 1)) + ... .

(2.2)

Согласно (2.1), (2.2) наклон проекций поверхностей тока равен

di] ______

di

,1/2 .

яг»-С.

т. е. в первом приближении проекции поверхностей тока являются прямыми г] = const. Поэтому основная часть внутренней области, обозначенная цифрами 1, 2 на рис. 2, занята поверхностями тока, приходящими из внешней области, где они пересекают скачок уплотнения. Линия слабого разрыва ti=t]o отделяет область безвихревого течения 1, соответствующую поверхностям тока за вторичным плоским скачком CD (рис. 1), от области вихревого течения 2 с поверхностями тока, прошедшими через искривленный параболический скачок ВС. В окрестности скачка уплотнения располагается область 3 толщиной Аг)~е1/2, образованная поверхностями тока, вошедшими в ударный слой в пределах внутренней области. Исследование этой области необходимо для описания непрерывного изменения наклона скачка, которое во внешней области представляется изломом. Наконец, к поверхности крыла прилегает тонкий вихревой слой 4, который влияет на течение во внешней и внутренней областях лишь в высших приближениях и может быть рассмотрен аналогично [12].

3. Рассмотрим течение в областях 1, 2. Подставляя (2.1), (2.2) в уравнения Эйлера и переходя к пределу е-И), получим

£/5~0; =

-С,) Ц = -РЧ; (1Р0-С,)^+(К-Ч) и7° = -Ре;

К,+ ^ + (1^°-^)А = 0.

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

В отличие от уравнений первого приближения для внешней области [2] система (3.1) — (3.4) содержит производные давления по обеим координатам. Кроме того, уравнение неразрывности (3.4) показывает, что во внутренней области существенна сжимаемость газа. Краевыми условиями для системы (3.1) — (3.4) являются условия сращивания с внешним решением [7] и с решением в области 3 (рассматриваемой ниже в п. 4), а также условие непрерывности давления на линии г) = т1и и условие непротекания на крыле

и* (т]) = и (т), С*); т* (-$ = ни (у], С*); ?]* = ^ (С*); ]) = <ы>1(т\, с*±0); г/±(1г1):=‘»(7|) С* + 0);

1®*=Т — А; = 0; ггГ = —Д8/2; г»+ = г»Г-(1 —ЛД;

—У2г\\ тс2——^ — 71)/2т1;

О) — — % V* (ч) =«Г(^) — (1 — Т)/2у\; %= 1—А + ч,,; % = А2/2;

Из уравнений (3.2) — (3.4) и условий (3.5) функции V, Ш выражаются через давление Р

где Л(г]) — произвольная функция, определяемая из условий сращивания с внешним решением в следующем приближении. Далее заметим, что система (3.2) —(3.4) сводится к одному линейному дифференциальному уравнению второго порядка для функции Р. Удовлетворяя также условиям, следующим из (3.5), (3.6), сформулируем задачу определения функции Р в области 1 (индекс опускаем)

и-*и*(ц); УР-п**;

(•»)); Р-*-0; ?-+ + оо;

Р->0, Л(1, ■»]„) = Я2($, ■>!„);

V = 0, 71 = о,

(3.5)

где [7]

индексами 1, 2 отмечены функции в областях 1, 2. Интегрируя (3.1) с учетом (3.5), получим

£/(*)) = и* (*]), и^(т1) = ю*(ч).

—оо

Рхх + Руу = 0; Р-0, X-*- + оо; Р = 0, У = 0;

(3.8)

х = ць, у= 1-Ч/Ч*; ¿ = %У'1-Д2.

Отметим, что эта задача инвариантна относительно группового преобразования координат Х^>-сХ, У->-сУ. Интегральное условие (3.8) соответствует формуле (1.5) во внешней области.

Аналогично в области 2 получим задачу

Функция Р соответствует коэффициенту р0 при 6-функции в выражении для давления во внешней области (1.3), а сращивание со вторым членом этой формулы, содержащим Я-функцию, осуществляется в следующем приближении с помощью функции р из формулы (2.2) для давления во внутренней области. Поэтому будем искать давление Р в классе четных по | функций и воспользуемся для решения линейных задач (3.8), (3.9) конус-преобразованием Фурье

и удовлетворяя интегральному условию (3.8), получим уравнение для функции В

Решение этого уравнения, как можно убедиться проверкой, имеет вид

(1 — 2 ті) Р£5 + Рпп — РпЫ = 0; Р-+ 0, £->±оо; Рп — 0, т] = 0;

(3.9)

СО

— оо

На границе областей 1 я 2 имеем согласно (3.5)

Р\&ІЬ, У„)=*РАЪ г1у)> Yv=zl — rlvlr¡*

(ЗЛО)

оо

Р(У) = $Р(Х, У)со8<оХс(Х.

о

Тогда (3.8) преобразуется к виду

р'_а)5Р=0, Р(0) =-0,

откуда следует

Р = В(аз)вЬ(о У,

где В — произвольная функция.

Применяя обратное преобразование Фурье

о

СО

оо

0

0

который учитывает отмеченное выше свойство групповой инвариантности. Тогда окончательно для функции Р1 получаем

р /х У)— д 1псЬ (гссЛр + вМяс У)

1 ’ я сЪ(лс X) — віп (я с У)

(3.11)

Поскольку [13] допустимые значения масштабного множителя с заключены в пределах 0<с<т]*/2(1—А), функция монотонно возрастает по У. В первом приближении величина постоянной с не влияет на течение во внешней области и может быть найдена при рассмотрении последующих приближений во внешнем решении. Функция Р1(Х, У) из (3.11) экспоненциально убывает при X-*- ± оо. Тем самым выполняется условие ее абсолютной интегрируемости, необходимое для применения преобразования Фурье. График функции Р-о = Р^(Х, У„) для значения с = 0,3 дан на рис. 3. Параметры внешнего течения вычислены при значении

X Рис. 3

параметра подобия £2 = 3. Приведем необходимое в дальнейшем выражение вертикальной составляющей скорости V, следующее из (3 6), (3.11)

V (X, V) = vV

а У1

і[і + !_агсв.>и.с*>

сое (л с У)

(3.12)

Обратимся к задаче для Р в области 2. Применение косинус-преобразования Фурье к задаче (3.9), (3.10) с учетом (3.11) дает

г\Р" — Р' — и2 т) (1 — 2т)) Р = 0 ;

Р'(0) = 0; (3.13)

?(,,,) = -£-ей (&У„ «в) зесь .

Представляя функцию Я(^) в виде

Р(7))=Г)/(7]) ,

из (3.13) получим уравнение

H*f" + nf — [\—w*n9{\ -2ч)]/-0. (3.14)

Разность корней определяющего уравнения

v(v — 1) + ^ — 1=0

является целым числом vi—V2=2. Поэтому [14] уравнение (3.14) имеет два линейно независимых решения в виде сходящихся рядов

/i /2 = /i(^)ln 4 + — (3.15)

о 11 о

Коэффициенты этих рядов определяются с помощью рекуррентных соотношений

а0> ^2 — произвольны, а, = Ьх — 0, b0 = — , а2 = t

со2 8

aÄ = T^T)(flÄ-2“2aft-3)>

= Т7Г~« I“2 (^*-2 — 2^ft-s) — 2 (ft— l)fl*_s], Ä>3-k (k — 2)

Для функции P2 (ifl) будем иметь

?2W = [CW/1W + ßW/2h)]i, (3.16)

где C,D — произвольные функции.

Первое условие (3.13) удовлетворяется решением (3.16) автоматически и не накладывает связи на функции С, D. Из второго условия (3.13) выразим функцию С(и) через £>(ю). И, наконец, совершив обратное преобразование Фурье, из интегрального условия (3.9) получим уравнение для D(to)

оо 00

f Г \ г./ / ч ЛИЛЫ] , а sh [ 6<0(1 — |

I d 15 \ {D М [Л W----TTfö—J + .^/,ы.ы>.м) Ч ««■**> =

п 2 Г п* 1 (-1 ! 1)2

~т(1+7

Решая это уравнение, с помощью (3.16) получим окончательный вид функции Р в области 2.

4. Рассмотрим теперь область 3, примыкающую к скачку уплотнения. Здесь независимыми переменными порядка единицы будут

2 = 1, ^ = (4.1)

Разложения (2.2) сохраняют свой вид, а форма скачка уплотнения описывается уравнением

*¡5 = 'Ч* + ®1/2 У5 (I) • (4.2)

Подставляя (2.2), (4.1), (4.2) в уравнения Эйлера и граничные условия на скачке, получим

Р, = 0;

+ У^-Рг Г43)

(V—ч*) №» + (№>

Уу+\Р° = 0;

П=-У^. ^=-1-^2 + Чв-С.^;

(4.4)

Р$ = 0 , = 1^5 -(- Т}% С* Уз

Согласно (4.3), (4.4) Р = Р(|)= 0, что было использовано ранее в п. 3. Другая важная задача при рассмотрении области 3 состоит в определении формы скачка уплотнения. Для этого введем функцию ф(|, у), постоянную вдоль конических проекций поверхностей тока

^ = (4.5)

¿5 №°— С*

и равную значению координаты | точки входа проекции в ударный слой

4* [6. У*(«)| = 5.

Перейдем, как и в [2, 7], к новым независимым переменным ф. Третье и четвертое уравнения (4.3) и условия (4.4) дают

= V? (ф) = -у'5 (ф) , (ф) = 0 . (4.6)

Дифференцируя (4.5) по 1|з, получим с учетом (4.6)

= 0 , у (5, <]>) = Г, (6) + Р2 (<{*) , (4.7)

где /ч, — произвольные функции.

Далее из (4.4), (4.5), (4.7) находим

И5. Ф) = Ч, + [»Г(Ф)-С,] (у5 +

У 5 + С*

Согласно условию сращивания с решением в области 1 эта функция при г|з-»-оо должна совпадать с пределом функции (3.12) при У->0. Отсюда для наклона скачка получается выражение

У; (г) = Т [О (г) - Г - К (О + ТУ - 4] ; г = ^сЩ-,

О (г) = І (Д) + [і + А а^ (зЬ г)] .

Найденная функция у’3 (г) (рис. 4) описывает непрерывный переход наклона скачка от его предельного значения справа от особого сечения до предельного значения слева (1.4).

Таким образом, проведенное методом сращиваемых асимптотических разложений исследование показало, что в исходной области течения с размерами

т]° = О (е tg а), С0 — О (є'/2 а)

ікции и форма скг ию с размахом кр]

7)°, д;° О (є ^ а)

все газодинамические функции и форма скачка непрерывны, однако имеются узкие по сравнению с размахом крыла области с размерами

характеризующиеся повышенными значениями давления и градиентов функций. При переходе к переменным т), £, сопровождающемся неравномерной деформацией исходной области, они превращаются в особые сечения с сосредоточенными силами и изломами скачка и поверхностей тока.

ЛИТЕРАТУРА

1. Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью.—М.: Физматгиз, 1959.

2. Месситер А. Подъемная сила тонких треугольных крыльев по ньютоновской теории. — РТК, 1963, № 4.

3. Н а у е s W. D., Р г о b s t е i n R. F. Hypersonic flow theory. 2-ed, vol. 1 — Inviscid flows. New York — London, Acad. Press, 1966.

4. Squire L. C. Calculated pressure distribution and shock shapes

on conical wings with attached shock waves. — Aeronaut. Quart., 1968,

vol. 19, N 1.

5. W о о d s B. A. Hypersonic flow with attached shock waves over delta wing. — Aeronaut. Quart., 1970, vol. 21, (N 4.

6. Голубинский А. И., Голубкин В. Н. О треугольном крыле в гиперзвуковом потоке газа. — ДАН СССР, 1976, т. 226, № 4.

7. Голубкин В. Н. Обтекание плоского треугольного крыла ги-перзвуковым потоком газа. — Ученые записки ЦАГИ, т. 7, № 6, 1976.

8. W о о d s В. A., McIntosh С. В. <3. Hypersonic flow with attached shock waves over plane delta wings. — J. Fluid Mech., 1977,

vol. 79, N 2.

9. Ладыженский М. Д. Пространственные гиперзвуковые течения газа. — М.: Машиностроение, 1968.

10. Г о л у б и н с к и й А. И., Иванов А. Н. Некоторые точные решения задачи обтекания скользящего крыла с перегородкой сверхзвуковым и гиперзвуковым потоком газа. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1966, №1.

11. Голубкин В. Н. Поле течения вблизи наветренной поверхности треугольного крыла, установленного в гиперзвуковом потоке. — Труды ЦАГИ, 1978, вып. 1917.

12. М е л н и к Р., Ш е и н г Р. Структура сжатого слоя и энтропийные слои в гиперзвуковых конических течениях. — В кн.: Исследование гиперзвуковых течений.—М.: 1964.

13. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований, т. 1. — М.: Наука, 1969.

14. Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики, вып. 3.—М.: Мир, 1970.

Рукопись поступила 4/X1I 1985 г_