Влияние формы передней кромки в плане на гиперзвуковое обтекание крыла малого удлинения Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м IX 19 7 8

№ 6

УДК 533.6.011.55

ВЛИЯНИЕ ФОРМЫ ПЕРЕДНЕЙ КРОМКИ В ПЛАНЕ НА ГИПЕРЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ КРЫЛА МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ

В. Н. Голубкин.

В рамках теории ударного слоя рассмотрено обтекание нижней поверхности крыла малого удлинения гиперзвуковым потоком газа под углом атаки. Получены выражения для газодинамических функций и уравнение для формы скачка уплотнения в случае слабовозмущенного пространственного течения около тонкого крыла, близкого по форме к треугольному крылу. Исследованы форма скачка уплотнения и распределение давления по поверхности крыла в окрестности плавного сопряжения двух прямолинейных участков передней кромки разной стреловидности. Приведен пример, иллюстрирующий применение полученных формул.

Использование крыльев с наплывом или с изменяемой в полете геометрией имеет ряд практических преимуществ, чем обусловлено широкое применение их в современной авиационной технике. Как правило, такие крылья имеют сложную форму в плане, и обтекание их является существенно трехмерным. Это создает большие трудности при теоретическом анализе течения. В общем случае трехмерного обтекания с конечными возмущениями точных аналитических методов решения нет. Численный расчет с достаточной степенью точности требует больших затрат машинного времени и памяти.

Рассмотрим гиперзвуковое обтекание нижней поверхности крыла малого удлинения под конечным углом атаки а с помощью метода тонкого ударного слоя [1], в котором малый параметр е характеризует отношение плотностей в набегающем потоке и в сжатом слое. Будем считать [2, 3], что в пределе при е -+ 0 полуразмах крыла я и корневая хорда с таковы, что

2 = ®/се1/2 tg а = О (1)

и относительная толщина у®

у™1се1ёа = 0(1).

В случае пространственного течения поправки следующего порядка [2, 3] к значениям газодинамических величин, даваемых предельной теорией ньютоновского обтекания, находятся из общего решения задачи, полученного в работе [4].

В данной работе с использованием результатов [4] исследуются возмущения, вносимые малым изменением формы передней кромки в плане и распределенной по произвольному закону малой относительной толщиной в картину обтекания консоли плоского треугольного крыла с присоединенным скачком уплотнения (параметр подобия Й>2).

1. Введем связанную с крылом прямоугольную систему координат. Пусть [4} х, у, г — независимые переменные, имеющие порядок единицы в сжатом слое; ф, 6 = г — ф* — функции тока; у = ут (х, г) — уравнение поверхности крыла. Следующие после ньютоновских члены асимптотических разложений по параметру е боковой и вертикальной составляющих скорости и давления в соответствии с [4] даются выражениями Ф

»=ф, */ = 1 (ф - ф') (ф'« г-ух)с1у -+- У® + фу* — (ф* + +ФГ) Г®,

ф'ОУ

т

Р = — 1 — У*г + 2 Ух ~ | &х + У~йг) Г (Ф’. г - Vх) а¥-

(1.1>

(1.2)

Поверхность скачка уплотнения описывается уравнением

*

-У г

у* = ут(х,г)+ J Г(ф', 2-— ф'д)йф'.

ф К'

Функция Г, равная в данном приближении обратной величине вихря и постоянная вдоль линий тока, на скачке уплотнения

Г (-у*, г + у*гх) = {у*у*гг — у*, Г1. (1.3>

Функция тока на поверхности крыла фш (х, г) имеет прямые линии уровня

Ф* + +“4® = ° (1.4>

и определяется значением скорости т на передней кромке.

2. В принятом приближении задача об обтекании плоского треугольного крыла с присоединенным скачком уплотнения решена в работах [5, 6] и позднее в работе [7].

Рассмотрим трехмерное обтекание консоли крыла, близкого к плоскому треугольному, для которого толщина

У* = хУ(х, г)+ 0(т2) (2.1)

и уравнение передней кромки

ге = Ох + ьг (.х) + О (62), (2.2>

где параметры т, 8 -> 0. Пусть У[х, ге(х)]=0. Случай 8=0 (т), 2—1=0 (т) исследован

в работе [8]. Будем считать т = 8, 2=0(1). Представим функции у*, ф, 0 в виде

следующих асимптотических разложений:

у* = Т (Ох — 2) + 8у! + ^3_У2 "Ь О <83); (2,3)

ф = Г + 8ф, + 8* ф2 + О (83); (2.4)

0 = 0О + 8лгф, + О (В*), (2.5)

где Т = (2 — уйТ1Г4)12, в0 = г — Тх.

Используя функциональное представление Г в виде

Г (ф, 0) = |#<о 0^+82 в) . (2.6)

и учитывая (2.4), (2.5), находим разложение

Г (ф 6) = 8-! 1 _ *2 (Ф). Во) -Х^ 0>„ (ф,, 0О) + ОЬ, Од)

^ ' ®(Ф., Оо) -2(Фь во) ' ( '

Поскольку функция ф® (аг, г) имеет разложение, аналогичное (2.4), из уравнения (1.4) следует

Ф* =/ (0о)> (2.8)

Лгф?=-//'. (2.9)

где введено обозначение для дифференциального оператора

д . „ д

Теперь легко найти асимптотические представления составляющих вектора- скорости

® = 7 + 8^ + О (82),

V = 6 [ V, (<Ь, 90) + Бт У (х, г)] 4- О (52),

где

Ф1

^ (4*1 —+1) “в м; _/' (4'1— /)

Давление на скачке уплотнения

.. в0)-|

/>*=72 + 2 80^1 + 0(52), а на поверхности крыла ввиду того, что

Оу' Ух — О,

имеем

= га + 5 [2ВтУ1 + П2* — г)/)| Г] + О (*>), (2.10)

9 02 аз аз

где оператор £>г=ЖГ + 27'-етг + 7’2^.

Полагая 7 = 0, получим отсюда формулу для давления из работы [8]. Равенство (2.10) показывает, что и в случае £2 = 0(1) возмущение давления складывается из „волновой* части, связанной с изменением формы скачка уплотнения, и части, обусловленной действием центробежных сил в ударном слое, величина которых пропорциональна произведению отсчитываемой от скачка толщины слоя и кривизне поверхности крыла вдоль линий тока. При обтекании плоского крыла возмущение давления определяется только формой передней кромки.

3. Одним из основных этапов решения задачи является определение функции у1 (х, г), описывающей возмущенную поверхность скачка уплотнения. Из формулы (1.3) с помощью (2.3) находим, что на скачке

“*(— У\г, в0) = - Пту1г\ (3.1)

и* + хух г»ц — у2 г = — &тУъг^ У\гУ\гг- (3.2)

Интегральное уравнение (1.2) для ординаты у* после подстановки в него (2.1) и (2.6) приобретает вид

У* — 1 «* г-У*) ) +••■] V +»Г-

(3.3)

Применим оператор йт к обеим частям этого уравнения и, используя (2.3)—(2.8), осуществим разложение по параметру 8. Тогда в первом приближении получится

®тУ\ г________J

Сравнение с (3.1) показывает, что в первом приближении из уравнений (1.2) и (1.3) получается одно и то же соотношение, связывающее величины ш* и уг. Функция у! остается неопределенной. Рассмотрим уравнения второго приближения. Наряду с (3.2) из (3.3) имеем уравнение, которое с учетом (3.1) (3.2), (2.8), (2.9) приводится к виду, содержащему лишь функции первого приближения

-У л

ВТУ\— 60) (Щ1— ^ + Н2 (в0) + йт У,

где обозначено

НМ,И Ф1“а м/яч_ /(Оо)/'№>)

щ (?1 в0) ч= —у—д—-, щ ( 0О) = —------------—

°> (+1. в0) а>® (/, 0О)

Чтобы избавиться от интеграла, подействуем оператором Ит на обе части этого соотношения. Тогда получим

Dr- Уі г Уі гг

+ D* Y.

Из условия на скачке (3.1) находим производную

• “>* Уі гг — °>*г У і гх

так что в итоге имеем следующее линейное уравнение для определения у}:

У1 хх + 2 Tyi zx — О — Т3) У1 гг — D\ Y. (3.4)

Это уравнение относится к гиперболическому типу и имеет два семейства прямолинейных характеристик

г + k-L х = const; г — k2 х — const,

где 2 ^ 1 “Ь Т.

Общее решение записывается в виде

У1 (дг, г) = /ч (г + k,x) + Fa (г - к*) + 4* JJ D\ Y (6, С) d\ dt, (3.5)

“ д

где Д — треугольник, образованный выходящими из данной точки вверх по потоку характеристиками и высекаемой ими частью передней кромки. В случае присоединенного скачка уплотнения произвольные функции Fj, Fa определяются из условий на передней кромке

yi = TZ (х)\

у,, = [QDj- Y-2 T»Z' (*)]} (36>

, = [ tz' (x) - dt yyVar-i.

Решение для плоского крыла имеет вид

(3.7)

4. Применим полученные результаты для решения практически важной задачи о влиянии изгиба передней кромки в плане на обтекание консоли треугольного крыла. Пусть передняя кромка состоит из двух прямолинейных участков разной стреловидности плавно переходящих друг в друга на

участке 0102 (фиг. 1), крыло плоское (У = 0), и начало системы координат совпадает с точкой 0\, Функция г(х) имеет следующий вид:

О при дг-^О, ■)

г(х)= 2ь(х) при 0<лг<&, I (4Л)

1Ь (Ь) + г'ь (Ь) (х — Ь) при *>6. ]

Естественным малым параметром задачи является разность параметров подобия прямолинейных участков кромки. Поэтому положим 2Ь(Ь) = \, вследствие чего 5 = I а2 - 2! I. На фиг. 1 из точек и 02 пунктиром проведены'характеристики

первого и второго семейств, которые ограничивают области распространения возмущений при вариациях формы передней кромки в плане в соответствии с (4.1). Функция yi(*, г) в областях I—VI будет выражаться различными формулами. Функция тока будет переменной внутри полосы, ограниченной линиями

тока Lx и Z-2-

В области I скачок не возмущен:

У\ — О- (4.2)

В области II, согласно (3.7),

*--f [*.($£)+*(т^)]. <«>

В пределах области III к прямолинейной кромке присоединен плоский скачок уплотнения, форма которого заранее известна:

Г г — 2 Тх1

У'-т[Ы*)-ь-уйТт\- (4'4)

То же самое значение можно получить из (3.7) с учетом (4.1). При прохождении

газа через плоский скачок вихрей в нем не образуется, так что о> = 0, Г = оо. С другой стороны в однородном потоке и = const, что приводит к появлению в уравнении (1.2) неопределенности вида оо-0. Но, как отмечено выше, полученное уравнение (3.7) правильно описывает плоский возмущенный скачок, который, следовательно, представляет собой предельное решение (3.7) при о> 0, ^-«-const. Помимо области II, искривление кромки влияет на область IV, где

Л v I z + kIх \

У1— 2 z* Q + к! )’

и на область V, в которой

*-тН-К£-)+*<*>-‘+-тп£-]-

В пределах области VI скачок будет плоским, поскольку сюда приходят возмущения от прямолинейной кромки

Т Г г + Jfeijc 1

У1=-т[?ьУ)-Ь + -щ^ J- (4.7)

Непосредственной проверкой легко показать, что определенная по формулам (4.2) — (4.7) функция ух(х, г) всюду непрерывна и непрерывно дифференцируема, т. е. поверхность скачка уплотнения является гладкой. Возмущение давления на поверхности крыла находится с помощью (4.2) — (4.7) по формуле

p? = 2DTyt.

5. Приведем результаты вычислений для случая b = 1 и искривления кромки по параболитическому закону

(*) = ~Y xi-

Зададим 2=3, тогда Т = 0,382.

На фиг. 2—4 показаны графики функций yx(z), pf (г) в трех контрольных сечениях: xjb = 0,5, 1,21, 3,62, которые пересекают различные сочетания областей. На графиках давления цифры вдоль оси О, г обозначают аппликаты точек пересечения контрольных плоскостей с границами соответствующих областей.

Приведенные зависимости показывают, что при некотором удалении вниз по потоку от изгиба кромки наибольшие градиенты давления наблюдаются в областях IV и V, в пределах которых распространяется влияние искривленного участка кромки. В случае Xa^Xi прохождение потока через эти области сопровождается его поджатием, что означает возможность образования в реальном течении внутренних скачков уплотнения. В случае обтекания крыла с изломом передней кромки (что соответствует пределу Ь -*■ 0 при сохранении перепада К.2—Xi) на характеристиках, выходящих из точки излома и представляющих собой предельные образы областей IV и V, возмущенное давление меняется ступенчато, а скачок уплотнения имеет излом, ,

Далее, изменение давления по размаху носит немонотонный характер.

(4.5)

(4.6)

Искривление (или излом) кромки, при котором Хз^Х:» приводит к возрастанию давления в центре по сравнению с его периферийными значениями в областях / и III и к некоторому увеличению подъемной силы. Таким образом, в этом Случае имеет место полезная интерференция двух частей крыла разной стреловидности при их сопряжении. В работе [9] аналогичный результат получен при численном расчете обтекания конфигурации с изломом передней кромки при переходе от наплыва к основной части крыла. Обнаруженное повышение давле-

ния приводит к увеличению плотности, что в реальном течении приведет к увеличению местных тепловых потоков. Наоборот, при Хз>Х1 можно показать, что плавный изгиб (или излом) кромки приводит к понижению давления в центральной части поля течения. В случае излома кромки этот результат непосредственно следует из решения задачи об обтекайии треугольного крыла со скольжением [10] при й со.

ЛИТЕРАТУРА

1. Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М., Физматгиз, 1959.

2. Месситер А. Подъемная сила тонких треугольных крыльев по ньютоновской теории. РТК, 1963, № 4.

3. ГолубинскийА. И. Обтекание гиперзвуковым потоком треугольных крыльев определенного класса, установленных под углом атаки, с присоединенным скачком уплотнения. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1968, № 5.

4. Голубинский А. И., Голубкин В. Н. О пространственном обтекании тонкого крыла гиперзвуковым потоком газа. ДАН СССР, т. 234, № 5> 1977.

5. Голубинский А. И., Голубкин В. Н. О треугольном крыле в гиперзвуковом потоке газа. ДАН СССР, т. 226, № 4, 1976.

6. Голубкин В. Н. Обтекание плоского треугольного крыла гиперзвуковым потоком газа. „Ученые записки ЦАГИ*, т. 7, № 6, 1976.

7. Woods В. A., McIntosh С. В. G. Hypersonic flow with attached shock waves over plane delta wings. ,J. Fluid Mech.“, vol. 79, p. 2, 1977.

8. Голубкин В. H. О центробежных силах на тонком крыле в гиперзвуковом полете при больших углах атаки. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 9, № 4, 1978.

9. Косых А. П„ Минайлос А. Н. Расчет сверхзвукового течения у несущих тел и крыльев методом сквозного счета. Труды ЦАГИ, вып. 1809, 1977.

10. Голубкин В. Н. О влиянии скольжения на аэродинамические характеристики крыла при гиперзвуковых скоростях. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1978, № 2.

Рукопись поступила 16jXII 1977