К теории гиперзвукового обтекания трехмерных крыльев Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ И А Г И

Т о м X

197 9

№ 4

УДК 533.6.011.5

К ТЕОРИИ ГИПЕРЗВУКОВОГО ОБТЕКАНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ КРЫЛЬЕВ

В. И. Голубкин

Теория тонкого ударного слоя применена для анализа течения вблизи наветренной поверхности крыла, обтекаемого гиперзвуковым потоком идеального газа. Методом малых возмущений исследовано пространственное обтекание плоского крыла с криволинейной кромкой. Получены аналитические выражения для газодинамических функций и формы скачка уплотнения. В качестве примера рассмотрена задача о влиянии скругления передней кромки треугольного крыла и осуществлено сравнение с характеристиками обтекания треугольного крыла.

При гиперзвуковом обтекании крыла под конечным углом атаки а картина течения близка к „ньютоновской": на верхней поверхности давление почти равно нулю, а к нижней поверхности прилегает тонкая область течения сильно сжатого газа. Для исследования обтекания нижней поверхности можно применить теорию тонкого ударного слоя [1, 2], т. е. использовать разложение по малому параметру г, равному отношению значений плоскости на сильном скачке уплотнения. Рассмотрим течение около крыла малого удлинения, характерного для полета с большей скоростью. Предположим, что отношение Ь полуразмаха крыла к его корневой хорде (для треугольного крыла — полуугол при вершине) является величиной того же порядка малости, что и угол Маха в сжатом слое. Тогда при осуществлении предельного перехода е -+■ 0 параметр Я — b¡el'2^ga остается величиной порядка единицы. В такой постановке обтекание треугольных крыльев на различных режимах исследовалось в целом ряде работ (см. библиографию в работе [3]). В работе [4] рассмотрено обтекание трехмерных крыльев некоторых специальных форм. Общее решение задачи о пространственном течении около крыла произвольной конфигурации в аналитическом виде получено в работе [5]. Это решение применимо в том случае,, когда скачок уплотнения присоединен к вершине крыла. При этом скачок может быть как присоединенным, так и отошедшим от передней кромки крыла.

В данной работе с помощью найденного в [5] решения изучаются малые возмущения, связанные с трехмерностью обтекания

плоского крыла, обусловленной изменением формы передней кромки. Получено уравнение, описывающее форму присоединенного скачка уплотнения, и найдено его решение. Выписана формула для распределения давления по поверхности крыла. Исследовано обтекание треугольного крыла со скруглением передней кромки в районе вершины. Проведено сравнение с характеристиками обтекания треугольного крыла [6, 7].

1. Формулы, полученные в работе [5] для боковой и вертикальной составляющих скорости и давления в следующем приближении к их значениям по теории Ньютона в применении к плоскому крылу имеют вид

Ф*

т = ф, V = / (ф - <!>') Г> (<!/, 2 - ф'х) Фу - + П7) Гш; р = - 1 - V? + 2у\ - / к + V •о.) г (V, 2 - Ух) Фу,

(1.1)

где х, у, г — координаты в связанной системе, отнесенные соответственно к с, с&, се1/2 (с — линейный размер, совпадающий по порядку величины с корневой хордой крыла); Ф, 6 — г — Ьх — функции тока; индексы „*" и т относятся соответственно к величинам на скачке уплотнения и на поверхности крыла. Функция тока <|» удовлетворяет условия"м

Р = (1.2)

^ + (1.3)

Функция Г(ф, 0) представляет собой обратную величину поточной составляющей вектора завихренности, которая в данной теории по порядку величины превосходит остальные компоненты и постоянна вдоль линий тока. На скачке уплотнения она определяется формулой, полученной в работе [8]. В данном случае

Г*(- У*г, *+Л**) = (У>« -У«ТХ- О-4)

Форма скачка уплотнения находится из уравнения

#

уг

У*- = I г (<[■', 2 — Ух) фу (1.5)

с учетом (1.4).

2. Решение системы уравнений (1.4), (1.5) в общем случае сопряжено с серьезными математическими трудностями. Поэтому будем искать приближенное решение задачи обтекания крыла с достаточно большим (но не стремящимся к бесконечности) значением параметра 2 в виде степенных рядов по малому параметру £—О-1. Пусть уравнение передней кромки плоского крыла

хе — + О (82). (2.1)

Тогда искомые функции представимы следующими степенными рядами по параметру:

у*=х + 8у1-И'У2 + 0(8»); (2.2)

Ф = Зф, + Й2 ф, + о (§3); (2.3)

8 = г + охф! + О (82). (2.4)

Функцию вихря представим в следующей форме: Г-1 (ф, 6) = 8ш(ф/8, 6) + 821й(ф/8, 0) + О (83) или, учитывая (2.3), (2.4),

Г'1 ('К в) = 8»(ф1,г) + 8«[ф2в.,!|(ф1, 2)-хф1<п,(ф1,г) + (о(ф1,2)] + ... (2-5) Вследствие (2.3) и уравнения (1.3) функция тока ф на поверхности крыла дается выражением

'Г (X, г) = 8фГ (2) + 82 [хфГ фГ + ф2 (2)] + О (83). (2.6)

В случае присоединенного к передней кромке скачка уплотнения из условия сохранения касательной к скачку составляющей скорости найдем

■ь7(г) = Х'(г). (2.7)

Привлекая соотношения (2.3) —(2.5), из системы (1.1) найдем первые члены асимптотических разложений для скоростей

т = 8 + О (82); v = Wl('h г) + 0(82),

где

= ^(Ф,г) = Г «-¡р? <♦-»'> . (2.8)

Ф®(г)

Здесь и ниже индекс 1 у первого члена разложения функции ф опущен. Поскольку в первом приближении V не зависит от х, приходим к важному выводу о том, что изменение давления поперек слоя является величиной порядка О (82). Физический смысл этого состоит в том, что в силу сохранения величин ти1 вдоль линий тока наибольшая кривизна последних, а вместе с ней и центробежные силы имеют также порядок малости О (82). Поэтому для давления на поверхности крыла получаем

Р° = Ро + ЬР? + 0 (82). где в соответствии с (2.2)

р« = 1, р® = 2ух х. (2.9)

3. Получим теперь уравнение для описывающее форму скачка уплотнения в первом приближении. Подставляя разложения <2.2), (2.5) в (1.4), приходим к равенствам

ш*(-уг, г)=— (3.1)

ш* + ХУх г*г-у 2 г <4 = у, 2 у, гг — у2 гх. (3.2)

Будем считать, что ш ф 0. Тогда из (2.5) найдем следующее представление для функции Г:

Г = 8-1--— • + 0 й) (3.3)

(О 0)2 ' \ / \

Теперь продифференцируем обе части уравнения (1.5) по л, используем (2.6), (3.3) и в результате будем иметь

У\гх

»*(~Уг. 2)

<"* + У2 г ~ ХУ\ г мг У-> гх , Г" У °>г

1; (3.4)

_ф(г)==Лх1 (з.5)

"(г)

причем Ф (г) = ф® (г) Ф0"' (2)/ша' г).

Сопоставляя равенства (3.1) и (3.4), видим, что уравнения (1.4) и (1.5) в главном порядке идентичны, и для двух неизвестных функций ух и (в* получается одно уравнение. При этом оказывается, что из условия существования ряда (2.2) для функции у, можно найти вид функции ух. Действительно, записывая в следующем приближении равенства (3.2), (3.5), исключая из них у2, « и дифференцируя результат по х, получаем недостающее уравнение

у1хх*\*лУ1£-] + Аш (3.6)

■У1хх дх [ уХгх ] ' у,гх 1 '

Для его упрощения выразим производную со* из условия на скачке уплотнения (3.1). Путем дифференцирования (3,1) по л: и по 2 легко найти, что

..»_ У\ гхх У1 22

Тогда (3.6) приводится к однородному волновому уравнению

У\ хх — У\ гг = (3.7)

Это уравнение описывает скачок уплотнения над крылом, если функция тока ф® на его поверхности переменна, и течение является завихренным поперек всего ударного слоя. Замечания о его применимости в случае, когда функция тока на части крыла постоянна и, значит, имеются области безвихревого течения, уместно сделать в дальнейшем при рассмотрении конкретной задачи, что будет более наглядно, но не снизит общности выводов.

Решение уравнения (3.7) зависит от двух произвольных функций У1=*Р(Х + Х) + 0(Х — Х), которые при наличии присоединенного скачка определяются из условий для у, щ, ио1 на передней кромке:

Уе = 0» 1>1е = (У1х)е = в, Щ е = — (>', г)е = X' (г). Решив получившуюся систему для формы скачка уплотнения в первом приближении, запишем

У1= — -т[Х(г + х)] + Х(г — х)\. (3.8)

4. Применим полученные результаты к анализу обтекания треугольного крыла со скругленной передней кромкой в случае, когда параметр 2.—й-1-^;!. Возмущение прямой передней кромки при этом следующее (рис. 1)

— 2 — а при 2< —а; (4.1)

Х(г)= Ха (2) при |2|<а; (4.2)

2 — а при 2 ^ а. (4.3)

В качестве малого параметра 8 естественно выбрать наклон прямолинейных участков кромки, т. е. считать, что (+а) = + 1 •

Области, в пределах которых скачок уплотнения испытывает влияние различных участков передней кромки разграничены соответствующими характеристиками первого семейства 1,2 и второго семейства 3, 4 (пунктирная линия на рис. 1). Функция тока переменна на части крыла, ограниченной линиями тока 5, 6. В области / решение имеет вид

У1=.-*[Ха{г + х) + Ха{г-х)\. (4.4)

Рис. 1

В пределах области II за скачком уплотнения к поверхности крыла примыкает однородный поток, как и при обтекании прямого скользящего крыла. Форма скачка уплотнения здесь известна:

у = х — S(z — а).

Интересно отметить, что такое же значение ух\

у, = - z + ci (4.5)

получается при подстановке (4.1) в (3.8). Для течения за плоским скачком Г = оо, ф = const. Поэтому в правой части уравнения (1.5) появляется неопределенность типа 0-ос. Однако отмеченное выше совпадение полученной и заранее известной форм скачка свидетельствует о существовании предельного решения в случае ш ->■ О, которое описывается и формулой (3.8) и, очевидно, отброшенным в п. 3 уравнением

Точно так же в области III

0.

у4 — z 4- а.

(4.6)

(4.7)

Рассмотрим часть области IV, ограниченную вертикальными плоскостями, проходящими через линию тока 5 и характеристику 1. В пределах нее поверхность слабого разрыва АВ, уравнение которой

y=*z — a,

(4.8)

разделяет район вихревого течения, прилегающего к скачку, и район безвихревого течения, примыкающий к поверхности крыла. Функция тока на поверхности крыла постоянна. Весь анализ, проведенный в п. 3, можно вследствие (4.8) обобщить и на этот случай с той лишь разницей, что вместо функции тока и вихря на поверхности крыла нужно брать эти величины на поверхности АВ с учетом разрывного поведения вихря и производной функции тока на

3— «Ученые записки» № 4

33

ней. Учитывая распространение возмущений вдоль характеристик, из (3.8) для области IV получаем

у1=±-[-Ха(г-х)-г-х + а\ (4.9)

и аналогично для области V

y1 = -s-[—Xa(z + x) + z — x + a\.

(4.10)

В области VI, как показывает формула (3.8), к скачку уплотнения прилегает участок безвихревого течения CDC', в то время как остальная часть занята вихревым течением, и функция тока на поверхности крыла переменна. В формировании скачка уплотнения участвуют возмущения, обусловленные обеими прямолинейными кромками, вследствие чего

У1 = — х + а. (4.11)

На этом решении уравнения (3.7) и (4.6) эквивалентны.

Легко убедиться, что формулы (4.4). (4.5), (4.7), (4.9) —(4.11) описывают скачок непрерывной и гладкой формы. В соответствии с (2.8) по этим формулам с помощью дифференцирования можно найти распределение давления по поверхности крыла.

5. Для проведения конкретных расчетов примем а= 1 и возьмем крыло, имеющее на отрезке lz|-< 1 параболическую переднюю кромку

Xl{z) = -^{z*-l). (5.1)

За характерный размер вдоль размаха принимается половина длины искривленного участка кромки.

Давление в случае (5.1) будет кусочно-линейной функцией. На рис. 2 и 3 представлены вычисленные по найденным ¿ормулам функции yx(z) и p^(z) в двух характерных плоскостях Xi = 0,5 и jc2 = 1,5. Здесь же для сравнения штриховыми линиями показаны соответствующие функции для треугольного крыла с вершиной в точке (см. рис. 1), рассчитанные по формулам работы [7]. Видно, что скругление передней кромки крыла устраняет излом скачка

уплотнения и делает распределение давления по крылу более плавным. Наряду с этим оказывается, что изменение коэффициентов нормальной силы и продольного момента крыла является величиной порядка 0(82).

В первом приближении по о скругление вершины обусловливает лишь перераспределение несущих свойств по размаху. Это иллюстрируется на рис. 4, где график функции N(z), определяющей коэффициент нормальной силы продольных сечений крыла 2 = = const

1

Ь

о

-1

о

-1 Pi -2

I

0, 5 5" 2

0,5

0,5 1,5 Z

I I i --

Рис. 2

^У сеч ~~ 2 sin2 а — 2/хМ £ sin2 а

= 2-87V(0),

сравнивается с соответствующей зависимостью для треугольного крыла при л-=1,5. При х^>а отличие от треугольного крыла сосредоточено на отрезке длиной 2 а (см. рис. 3), относительный размер которого при л:-»оо стремится к нулю. Поэтому на больших расстояниях от вершины влияние скругления несущественно.

В 0,5_1^5_2,5 г

-1

41

-2 О

■1

VI -2

ч

= 1.5 ■—^

0,5 1,5 2, с г

I I .

I -

<7

/

Рис. 3

N

1. \

/ \

/ \

2

\\

V

1 \

0 1

Рис. 4

6. Совершая в полученном решении предельный переход а-^0, придем к картине обтекания треугольного крыла при 2^>1.Вэтом случае характеристики 1 и 2, 3 и 4 попарно сливаются и образуют две линии с началом в вершине крыла, вдоль которых происходит излом скачка уплотнения. Таким образом, над консолями крыла скачок имеет наклон + 8, а над центральной частью при | г/х | < 1 он параллелен поверхности крыла. Это находится в соответствии с изученной в [6, 7[ каотиной обтекания треугольного крыла. В данной работе та же самая картина конического течения с изломом скачка уплотнения в сечениях \г/х\ = \ получена путем предельного перехода в гладком решении для пространственного обтекания.

Отметим, что в случае обтекания плоского крыла некоторые формулы пп. 2, 3 содержат неопределенности, так как вихрь обращается в нуль на поверхности крыла. Дополнительный анализ показывает, что раскрытие этих неопределенностей приводит к конечным соотношениям, поскольку сингулярные при «о^-^О члены взаимно уничтожаются.

В заключение подчеркнем, что в данной работе скругление кромки относится к форме крыла в плане, тогда как в работе [9] этот же термин означает скругление носков профилей крыла.

ЛИТЕРАТУРА

1. Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью, М., Физматгиз, 1959.

2. Гонор А. Л. Обтекание конических тел при движении газа с большой сверхзвуковой скоростью. Изв. АН СССР, Мех. и маши-ностр., № 1, 1959.

3. Голубкин В. Н. Поле течения вблизи наветренной поверхности треугольного крыла, установленного в гиперзвуковом потоке. В сб.. Исследование пространственных и нестационарных течений газа". Труды ЦАГИ, вып. 1917, 1978.

4. Н 11 1 i е г R. Three-dimensional wings in hypersonic flow. „J. Fluid Mech.", vol. 54, N 2, 1972.

5. Голубинский А. И., Голубкин В. H. О пространственном обтекании тонкого крыла гиперзвуковым потоком газа. ДАН СССР, т. 234, № 5, 1977.

6. Голубинский А. И., Голубкин В. Н. О треугольном крыле в гиперзвуковом потоке газа. ДАН СССР, т. 226, № 4, 1976.

7. Голубкин В. Н. Обтекание плоского треугольного крыла гиперзвуковым потоком газа. .Ученые записки ЦАГИ', т. 7. № 6, 1976.

8. М а й к а п а р Г. И. Вихри за головной ударной волной. ,Изв. АН СССР, МЖГ", 1968, № 4.

9. К е л д ы ш В. В., Ш т е й н б е р г Р. И. Влияние скругления передней кромки треугольного крыла на его аэродинамические характеристики при сверхзвуковых скоростях полета. .Ученые записки ЦАГИ", т. 7, № 4, 1976.

Рукопись поступила 2011V 1978 г.