Обтекание плоского треугольного крыла гиперзвуковым потоком газа Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м VII 19 7 6

М 6

УДК 533.6.011.5:532.582.3

ОБТЕКАНИЕ ПЛОСКОГО ТРЕУГОЛЬНОГО КРЫЛА ГИПЕРЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ГАЗА

В. Н. Голубкин,

Рассмотрено обтекание плоского треугольного крыла гиперзву-ковым потоком газа под конечным углом атаки с присоединенным скачком уплотнения. Дано решение задачи в следующем приближении к известному „ньютоновскому“ обтеканию. Приведены асимптотические формулы и результаты расчетов. Проведено сравнение с численными расчетами других авторов.

Рассмотрим обтекание нижней поверхности плоского треугольного крыла малого удлинения, установленного под конечным углом атаки а, гиперзвуковым потоком идеального газа. В качестве малого параметра £ выберем отношение плотностей на скачке уплотнения. Примем, что полуугол раствора крыла ? по порядку величины совпадает с углом Маха в сжатом слое (е^да), тогда параметр подобия [1, 2] О = <р/е1/:^а будет порядка единицы. Скачок уплотнения может быть отошедшим или присоединенным к передней кромке крыла в зависимости от величины й. Первый случай изучен в работах [2] и [3]. Рассмотрим крыло с присоединенным скачком.

Метод решения обратной задачи с заданной формой скачка уплотнения развит в работе [4]. Решение прямой задачи, по-видимому, не является аналитическим; его нужно составлять из отдельных частей, исследуя при этом возможность их непрерывной и гладкой стыковки. Попытка построения такого решения для плоского треугольного крыла с использованием идей монографии [5] предпринята в работе [6]. Скачок уплотнения здесь представляет собой ломаную линию. Первый, самый интенсивный излом присоединенного к передней кромке плоского скачка уплотнения происходит без соответствующего излома поверхностей тока, что противоречит приведенному ниже уравнению (1.4). Существование такого излома поверхностей тока невозможно, так как кривизна конических проекций поверхностей тока над консольной частью крыла определяется заданием формы крыла (в данном случае плоского), а значит, невозможен и излом скачка. Поэтому решение, полученное в [6], вызывает сомнения.

Предлагаемый здесь метод (см. также 111]) основан, как и в работе [4], на допущении, что некоторая часть крыла в районе плоскости симметрии является особой конической поверхностью тока [7], вдоль которой функция тока переменна. Это позволяет построить скачок уплотнения, который, как и в [5], непрерывно переходит из прямолинейного в искривленный; при этом используются два решения уравнения, описывающего форму скачка.

1. Рассмотрим симметричное обтекание плоского треугольного

Фиг. 1

крыла малого удлинения с присоединенным скачком уплотнения. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине крыла (фиг. 1). Крыло лежит в плоскости у = 0. Вектор скорости набегающего гиперзвукового потока с числом Ма, составляет угол атаки а = 0(1) с этой плоскостью. Газ будем считать идеальным и совершенным. Введение малого параметра

___г — 1___________2_______

*+I ' (х+ l)M^sin*a

(х— отношение теплоемкостей) связано с предельным переходом (теория ударного слоя)

М?о sin2 а со, х —> 1, (1.1)

Предположим, как это сделано в работах [2] и [4], что при г -+ 0

(х — 1) М^о sin3 а — const = О (1), —— = 2 = const.

£1/2tga

Воспользуемся результатами работы [4], в которой на основе гиперзвукового закона плоских сечений для тонких тел при больших углах атаки [8] в совокупности с предельным переходом (1.1) получены уравнения и граничные условия для поправок следующего порядка к исходным ньютоновским значениям газодинамических функций в поперечной плоскости х = 1, в которой введены деформированные конические переменные:

___ С—________£___

1 xetga ’ хеl/2lga ■

В силу симметрии обтекания ограничимся рассмотрением правой половины крыла (CJ>0) и, следуя работе [4], предположим, что

при 0<С<С* функция тока на поверхности крыла переменна и форма скачка уплотнения здесь находится из системы уравнений

'Os

1

(%

^ Ik (С)] = с,

(1-2)

(1.3)

где — функция тока на поверхности крыла, а в интервале поверхность крыла совпадает с некоторой поверхностью гока. Форма проекций поверхностей тока 7)ДС) связана с формой скачка уплотнения уравнением

■fit = t]s

1 —

1

(1.4)

Распределение давления но поверхности крыла дается выражением

Pw (Q = P.S (У + ГЧ

h, (Cl) + qa h’s (W + с.]2

di,

(1.5)

Начнем построение решения от передней кромки крыла. В интервале поверхность крыла совпадает с некоторой

поверхностью тока, поэтому скачок уплотнения описывается уравнением

1

<Ъ + О2 J

= 0.

Очевидно, что это уравнение имеет два решения

= const;

7]s= 1 — С.

(1.6)

(1.7)

При условии Й>2 кромки крыла являются сверхзвуковыми и присоединенный скачок уплотнения будет в некотором диапазоне плоским, причем наклон его % — — Т, где 7'=-^2—1/22—4|.

Плоский скачок уплотнения соответствует решению (1.6). Однако на всем протяжении от передней кромки до плоскости симметрии скачок плоским быть не может, так как в этом случае не выполнялось бы условие симметрии \ (0) = 0. Воспользуемся решением (1.7), которое дает скачок уплотнения, плавно стыкующийся с плоским в сечении С0 = 1 + Т. Оказывается, что в этом сечении поперечная скорость потока (С — ни) равна скорости звука.

Таким образом, в области I (С* <С < 2, С0 < ф < 2) (см. фиг. 2)

T(Q

г) v /п _ Щ II ___________________il

Чу ‘it Ы ~ (ф — T)(Q — T) ’

(1.8)

При С = £0 произведем стыковку решений (1.8) и (1.7) с обеспечением непрерывности наклона поверхности скачка уплотнения. Пусть решение (1.7) соответствует отрезку С1<С<С0, где скачок уплотнения будет иметь параболическую форму. Значение координаты С1 конца параболической зоны заранее неизвестно. Его нужно подобрать так, чтобы в конечном счете удовлетворить условию симметрии скачка уплотнения. Обозначим длину этой зоны через

Д = Со — С). Тогда форма параболического скачка уплотнения, непрерывно и гладко переходящего в плоский скачок при С = С0, определяется выражением

\(9 == - + с --4-(Я + 1) + Т(Я - 1).

В области II (С*<С<С„, Ф<С0) проекции поверхностей

тока прямолинейны, так же как и в области I:

Ъ (С) = (2 — ’{») С 4- 4“(Л + Ф2+ 1> —(Т’+'Ю- (1-9)

(1.10)

Параболический скачок уплотнения при С = должен перейти непрерывно и гладко во вторичный плоский скачок, расположенный в интервале С*<С<С,.

В области III (С*<С<С,, Св<’Ь<С1) имеем:

г)с + -£_4 + т-(2-4);

,,(0 = (д - Т + С + тч- ■£ + д Сг+ 1) + .

Проекции поверхностей тока снова являются прямыми. Слева от сечения С = С* функция тока на поверхности крыла становится переменной.

Рассмотрим интервал значений С, в котором оканчиваются проекции поверхностей тока, пересекающие параболическую часть

скачка. Для функции ^(С)=1— С обратной, удовлетворяющей

уравнению (1.3), является функция

ЫС) = С+1, (1-11)

определенная в интервале С2<С<С*, где С* = Т, С2 — Т — А.

В области IV (С2<С<С*, С:<Ф<СП) проекции поверхностей тока имеют вид парабол

1 <М2)

Можно показать, что плоскость крыла является огибающей поверхностей тока. В самом деле, наклон данной проекции поверхности тока n't — (С + 1) — '} на поверхности крыла ^ — Ф® (О в силу (1.11) обращается в нуль. Искривленность скачка уплотнения на параболическом участке приводит к тому, что на некоторой части поверхности крыла функция тока становится переменной, т. е. образуется особая поверхность тока [7]. Далее, вдоль характеристик С = const влияние этой кривизны распространяется на области IV и V (С2<С<С*, С2<’^<С*). Поэтому скачок уплотнения над областью V будет также искривлен. Проекции поверхностей тока в этой области имеют вид парабол, собирающихся в i04Ky С = С2 на поверхности крыла

^(С_г + Д) —1 —r-i—Л. (1.13)

,<с)=<с- т i-1)

Вычисляя распределение давления по крылу по формуле (1.5), получим вследствие прямолинейности проекций поверхностей тока в областях I—III

ПРИ С*<с<2,

или

| 7’2 при

лЛС)= 2(С- 1)+ Г(9-2) при С1<С<С0, (1.14)

[ 7’2 — 2Д при С*<С<С,.

Еще не зная формы скачка уплотнения при С2<С-<С*, можно вычислить вклад, вносимый в давление рт искривлением поверхностей тока на этом участке:

Pw(y = Ps(Q + {t-T+Ay

’-¿-(С— 7’— Д)2- С -f 1 + Г- Д

(1.15)

Если считать, что давление на подветренной поверхности крыла равно нулю, то согласно [2] закон подобия для коэффициента нормальной силы запишется в виде

С*1 — 2 sin2 а — (2/т. М2)

-------ж-........ ■

О

где функция F (2) = jpu, (С) rfC может быть приближенно вычис-

о

лена по формулам (1.14) и (1.15).

2. Как видно из п. 1, проекции поверхностей тока в области I прямолинейны и собираются в точку С* на крыле, причем наклон предельной левой проекции равен 1 — Т. В то же время предельная правая проекция в области II, имеющая тот же наклон, переходит в область IV, касаясь поверхности крыла. Таким образом, данная проекция в пределе терпит излом при переходе из области II в область IV. Вычисляя предельные значения наклонов проекций поверхностей тока слева и справа от сечения С* с помощью формул (1.9) и (1.12), (1.10) и (1.13), можно убедиться, что и все остальные проекции поверхностей тока претерпевают такой же излом. Это естественное следствие постоянства кривизны проекций поверхностей тока в вертикальном направлении. Излом поверхностей тока сопровождается изломом скачка уплотнения.

Из условия параллельности в области V предельных проекций поверхностей тока, начинающихся с обеих сторон от излома, имеем уравнение для определения наклона скачка слева от излома

т,;+-Д-=/.(А),

Ъ+ т

из которого получаем

^(с.-о) = 4-

Здесь ¿(Д) = -^- + Д — 1.

В сечении С = С* действуют вертикально направленные сосредоточенные силы, которые и вызывают излом поверхностей тока в ударном слое, где плотность газа очень велика. Распределение давления вблизи С —С* имеет, следовательно, вид 5-функции. Поэтому в окрестности сечения £ = С* нарушается предположение, сделанное в [4] при выводе уравнения сохранения импульса в проекции на ось С, о том, что /?с = 0(1). Построив в этой окрестности асимптотическое решение, для которого существен член р:, и применив метод асимптотического сращивания [9], по-видимому, можно получить равномерно пригоднее решение для всей области, включая окрестность излома.

3. Рассмотрим предельный случай 2-+оо. Возникающие здесь упрощения связаны с разложением функций по малому параметру

3 = —>• 0. Не переписывая для данного асимптотического случая

формулы, полученные в п. 1, исследуем те упрощения, которые обусловливаются малостью наклона скачка уплотнения. Легко видеть, что Г(8) ~ 8-1 О (о3).

Анализ показывает, что в рассматриваемом предельном случае первые члены асимптотических разложений Т(8) и Д(8) совпадают и обеспечивают наклон вторичного плоского скачка

= Д — Г = о (8) = о (Т). (3.1)

Предположим, что Д(о) представляется разложением

Д(8)~8 + 0(82). (3.2)

Ограничимся одним отрезком интегрирования, на котором

Ф.(0 = С + 1.

Будем считать, что последующими отрезками интегрирования можно пренебречь, и положим, что первый отрезок кончается при С = 0. Из оценки (3.1), а также из условия симметрии v¡?(0)=0 следует, что на всем отрезке

% = о (С). (3.3)

Тогда находим асимптотическое решение уравнения (1.2) в виде

\ =-----j- -f- const + о (С3). (3.4)

Если выбрать const == О (82), то решение (3.4) удовлетворяет оценке (3.3), и с точностью до 83 получаем т^(С) = 0.

Таким образом, на параболическом участке происходит (с принятой точностью) уменьшение наклона скачка уплотнения до нуля.

L — Т—У(1 + 'Гу — 4

(2.1)

С помощью (3.2) можно получить первые члены разложений всех интересующих нас функций. При 2->-оо

ре~ /=-(0)~2(1-^)'; (3.5)

Д— 15-, (3.6)

где S—отход скачка уплотнения, р0 — давление в центре крыла.

Величина излома скачка уплотнения в данном приближении является внепорядковой [порядок ее малости 0(§2)].

Будем считать, что оценка (3.3) справедлива не только на первом, но и на всех остальных отрезках интегрирования. Для каждого последующего отрезка функция тока на поверхности крыла (С) определяется обращением функции — r¡'s(í.) на предыдущем отрезке. Используя это обстоятельство и оценку (3.3), найдем на каждом отрезке асимптотическое решение уравнения (1.2). Если принимать во внимание только главные члены разложений и не учитывать изломы скачка, то методом математической индукции легко показать, что для границ я-го отрезка интегрирования и наклона скачка уплотнения в пределах его можно записать при п> 2:

в2л+1 . 2/1-1

________:________ < г(я) <________—__________• П 7)

(2/i-f 1) [(‘2п— 1)! !)р * (2я—1) [(2п—3)1!]* ’ { >

4

-1 2n+! ¡í2n+3

____ Г2И-1__________"_____

2я-з 4 (2п + 3) [(2л+1)!!]2 ’

J <") — _ [(2я 3)!!]" 1 „и-1_____________g2«+3________ (Q q1)

2/1—3 ГОл-і-МПОпЛ- ПІІ12 >

(2и+1)(2л — І)2"-1

при этом

1

(2п—1) [(2л—3)!!J2

§2п-1

Последовательности длин отрезков интегрирования и наклонов скачка уплотнения являются сходящимися к нулю, что доказывает асимптотическую сходимость данного метода для скачка гладкой формы.

Из (3.7) и (3.8) следует, что вблизи правого конца каждого отрезка интегрирования скачок уплотнения искривлен [главный член наклона дается первым слагаемым (3.8)], а вблизи левого — наклон скачка постоянен и определяется вторым слагаемым, т. е. скачок является плоским. Поскольку завихренность генерируется только искривленным скачком уплотнения, течение в средней части крыла будет состоять из ряда чередующихся областей вихревого и безвихревого потока.

4. При произвольных значениях й форма скачка уплотнения при может быть найдена только численным интегриро-

ванием системы уравнений (1.2) и (1.3). На отрезке С2 <С < С* правая часть уравнения (1.2) вследствие равенства (1.11) обращается в единицу, а начальные данные доставляются выражениями (1.10) и (2.1). Осуществив численное решение, можно путем обращения

найденной функции — % (С) получить фто(С) на некотором новом отрезке и опять проинтегрировать (1.2) с новыми начальными условиями и т. д. В принципе, в начале каждого отрезка интегрирования нужно вводить разрыв наклона скачка, связаннный с появлением сосредоточенных сил, так же, как в сечении С*. Однако из-за быстрого убывания наклона скачка эти силы, поворачивающие гораздо менее мощные струйки тока, будут пре-

6

&,5

\

X \\ т

0 2 5 а

а)

Фиг. 3

небрежимо малы по сравнению с силой в сечении С*. Численное решение задачи выполнялось методом пристрелки величины Д, критерием определения которой было соблюдение условия симметрии при С = 0 с заданной степенью точности.

В результате проведенных расчетов установлено, что с удовлетворительной точностью можно ограничиться двумя-тремя отрезками интегрирования. На фиг. 2 изображены картина поля течения при 2 = 3 и соответствующее распределение давления по размаху крыла. На фиг. 3 показаны зависимости наклона Т косого скачка, длины Д параболической зоны, отхода скачка уплотнения 5, излома скачка уплотнения Ь, функции Р и давления рс в центре крыла от 2. Проведенное на фиг. 3, а и 3, б сравнение показывает, что при больших значениях 2 (например, 2 ^5) данные численного расчета удовлетворительно согласуются с результатами асимптотического решения по формулам (3.5) и (3.6), а функция Р практически во всем диапазоне 2 > 2 описывается асимптотической формулой.

5. Сопоставление полученных результатов с данными прямых численных расчетов для *=1,4 [10] свидетельствует о том, что качественно форма скачка уплотнения определена верно. На фиг. 4 форма скачка уплотнения, соответствующая [10], изображена пунктиром. Несмотря на некоторое отличие от полученного здесь вида скачка (штрихпунктир), объяснимое относительно большим значением £ = 0,25, он явно обнаруживает наличие и зоны быстрого

убывания наклона достаточно далеко от плоскости симметрии, и вторичного почти плоского участка. Соответствие нагляднее иллюстрируется, если совместить скачки в зоне их постоянных наклонов (сплошная линия).

Полученное решение характеризуется наличием сосредоточенных сил и вызываемых ими изломов поверхностей тока и скачка уплотнения. Эта черта, по-видимому, является общей для полей течения около любых конических тел, рассчитываемых данным методом. Действительно, при задании поверхности крыла сразу определяется кривизна всех поверхностей тока вплоть до сечения С = £*. При непрерывном гладком переходе через него поверхности тока не могут в общем случае подойти к поверхности крыла по касательной. Это связано с наличием прямолинейных проекций поверхностей тока области I, подходящих к крылу под конечными углами. Примеры крыльев, полученные в работе [4] как решение обратной задачи со скачком уплотнения гладкой формы, в этом смысле являются исключениями.

6. Разработанный метод решения задачи обтекания треугольного крыла в следующем приближении к ньютоновской модели сжатого слоя применим к случаю скачка уплотнения, присоединенного к передней кромки. Скачок уплотнения имеет вид кусочногладкой кривой с отдельными точками излома. В отличие от принятой схемы в работе [6], в которой скачок представляется ломаной линией с произвольными разрывами газодинамических величин вдоль характеристик вырожденной системы, в построенной здесь схеме присоединенная к передней кромке прямолинейная часть скачка плавно переходит во внутреннюю прямолинейную (или слабо искривленную около плоскости симметрии) часть скачка уплотнения. Таким образом удается избежать первого, самого интенсивного излома скачка в схеме [6], ничем не оправданного в этой работе.

с

Фиг. 4

Сравнение с имеющимися численными расчетами обтекания треугольного крыла показывает, что метод достоверен и применим даже при значениях х, заметно отличающихся от единицы.

Для случая крыла с глубоко сверхзвуковыми кромками (2>1) даны простые асимптотические выражения газодинамических величин. Результаты расчета по ним удовлетворительно сходятся с результатами численных расчетов (с ошибкой 5 —10% при 2=5-ь10).

В заключение следует отметить, что непрерывный переход от прямолинейной части скачка к искривленной осуществляется при отсутствии внутренних скачков уплотнения в районе критического сечения С0, что предполагается в данной работе. В противном случае предельный вид решения может быть иным.

Автор приносит искреннюю благодарность А. И. Голубинскому за внимание к работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Messiter A. F. A similarity low for the normal force on

a delta wing at hypersonic speeds. J. Aero/Space Sei., vol. 26, 1959.

2. Месситер А, Подъемная сила тонких треугольных крыльев по ньютоновской теории. ..Ракетная техника и космонавтика“, 1963, № 4.

3. Хайда К. Влияние толщины крыла на силу, действующую на тонкие треугольные крылья в гиперзвуковом потоке. „Ракетная техника и космонавтика“, 1965, № 3.

4. Голубинский А. И. Обтекание гиперзвуковым потоком

треугольных крыльев определенного класса, установленных под углом атаки, с присоединенным скачком уплотнения. „Изв. АН СССР.

МЖГ“, 1968, № 5. ’

5. Hayes W. D., Pro bst ein R. F. Hypersonic flow theory.

Vol. 1, Inviscid flows. N. Y. — London, Acad Press, 1966.

6. Woods B. A. Hypersonic flow with attached shock waves over

delta wing. Aeronaut. Quart., vol. 21, N 4, 1970.

7. Голубинский А. И. Особые поверхности тока в конических течениях газа. ПММ, т. 34, № 6, 1970.

8. Сычев В. В. О гиперзвуковом обтекании тонких тел при больших углах атаки. Докл. АН СССР, т. 131, № 4, I960.

9. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М., „Мир“, 1967.

10. Воскресенский Г. П., Ильина А. С., Т а т а р е н-ч п к В. С. Сверхзвуковое обтекание крыльев с присоединенной ударной волной. Труды ЦАГИ, вып. 1590, 1974.

11. Голубинский А. И., Голубкин В. Н. О треугольном крыле в гиперзвуковом потоке газа. Доклады АН СССР, т. 226, № 4, 1976.

Рукопись поступила 124 1976 г.