CC BY
30
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И
Том XIX 1988
№ 5
УДК 629.735.33.015.3.025.47
МЕТОД РАСЧЕТА ПОЛОЖЕНИЯ И ИНТЕНСИВНОСТИ КОНИЧЕСКОГО ГОЛОВНОГО СКАЧКА УПЛОТНЕНИЯ ’ НА НИЖНЕЙ ПОВЕРХНОСТИ КРЫЛА ТРЕУГОЛЬНОЙ ФОРМЫ В ПЛАНЕ СО СВЕРХЗВУКОВЫМИ кромками
Т. М. Притуло
В настоящей работе развитый в [1] метод применяется для определения положения и интенсивности конического головного скачка уплотнения на нижней поверхности треугольного крыла. Задача решается в изоэнтропической постановке. Интенсивность скачка по порядку величины сравнима с углом атаки а. Сопоставление с численными расчетами показало хорошее совпадение результатов.
Точное определение положения головного скачка уплотнения является одной из важнейших задач аэродинамики треугольного крыла. В данной работе рассматривается головной конический скачок уплотнения, возникающий вблизи плоскости симметрии на нижней поверхности треугольного крыла. Задача решается в изоэнтропической постановке, что позволяет ввести в рассмотрение добавочный потенциал ф, описывающий возмущенное крылом течение. При этом на скачке уплотнения должно удовлетворяться условие ф = 0. Более точное по сравнению с линейной теорией определение положения скачка весьма желательно, так как небольшая ошибка в первом шаге при задании поверхности, на которой бы выполнялось условие ф = 0, может привести к существенной неточности при последующих итерациях.
В работе [1] был предложен новый аналитический метод расчета обтекания крыльев с прямолинейными сверхзвуковыми передними и сверхзвуковыми задними кромками. Метод является универсальным и описывает течение как на нижней, так и на верхней поверхностях тонкого стреловидного крыла. В настоящей работе разработанный метод применяется для определения положения и интенсивности конического головного скачка уплотнения.
Рассмотрим одну консоль, например левую, треугольного крыла, изображенного на рис. 1 ,а. Как видно, поток за передней кромкой проходит через косой скачок уплотнения, за которым он разворачивается на угол 0 относительно оси симметрии крыла. Задача, таким образом,
3 — «Ученые записки» № 5
33
У
„ Фпктибнве” крыло
X
а)
Конический скачок уплотнения
Рис. 1
сводится к расчету параметров потока в двух областях. Область /— это область плоскопараллельного течения, скорость потока и число М1 в этой области рассчитываются по точным формулам для косого скачка уплотнения. При этом с учетом стреловидности крыла за угол наклона «фиктивного» клина принимается угол атаки крыла по нормали к передней кромке ап = агс{§.^1а/со5х), где а — угол атаки крыла в плоскости симметрии, х — угол его стреловидности. Скорость по нормали к передней кромке сразу за скачком уплотнения ип 1 находится по формуле
где К — отношение скорости потока к критической скорости звука а* Здесь и далее индексом 1 внизу будут отмечаться параметры в области / плоскопараллельного течения.
Тангенциальная составляющая скорости U, не меняется при переходе через скачок уплотнения, т. е. £/TOo-=f/ti = U«> cos a sin х- С учетом этого факта можно определить полную скорость Ui за скачком уплотнения
Значение а* не меняется при переходе через скачок уплотнения, поэтому из соотношения и1/иоо = Кі/Као можно найти число ^ плоскопараллельного течения. Затем уже по формуле, связывающей числа М и X,
где х = Ср/сс, х — отношение удельных теплоемкостей, можно найти полное число Дії в области /.
Рассмотрим теперь область II на треугольном крыле. Эта область заштрихована на рис. 1,а и представляет область конического течения, где сказывается взаимное влияние консолей. Будем рассматривать достаточно малые углы атаки, при этом с точностью до а2 включительно течение за скачком уплотнения можно считать изоэнтропическим [2]. Тогда для получения решения в области II можно ввести в рассмотре-
Uп ! = U00V cos2 a cos2 х + sin2 а ,
£/, = + tP, cos2 <х sin2 х.
ние добавочный потенциал ф и воспользоваться в дальнейшем хорошо развитым математическим аппаратом линейной теории крыла.
Будем решать задачу в системе координат х, у z, (рис. 1 , а), связанной с крылом. Запишем полный потенциал течения Ф в виде
Ф = Ux х cos 6 + 2 sin 0 + <р,
где 0 — угол отклонения плоскопараллельного потока за передней кромкой от оси симметрии крыла, вычисляемый по формуле
0 = 90° — 1 — arctg Гт——п—— .
Л to cos a sin у
Для добавочного потенциала ф справедливо уравнение
(М2— 1)^3-_ *1=0 (1)
^ > дх* ду> дг ' U'
отличающееся от обычного волнового уравнения линейной теории крыла наличием множителя в скобках, содержащего число Маха Мь а не Мое.
Из условия непротекания следует, что при у = 0
ду/ду = 0, (2)
а из условия симметрии при г—0
ду/дг + U{ 6 =• 0. (3)
Можно заметить, что решение задачи (1) — (3) сводится к решению
линейной задачи об обтекании эквивалентного треугольного крыла, рас-
положенного в плоскости симметрии исходного. При этом условие (2) становится условием симметрии для этого «фиктивного» вертикального крыла, а условие (3)—условием непротекания. На рис. 1,6 представлена консоль получаемого в вертикальной плоскости крыла, при этом угол его стреловидности (90° —6) определяется по углу наклона косого скачка 6п в плоскости, перпендикулярной передней кромке крыла в области /
tg8
я cos*
Это «фиктивное» треугольное крыло расположено под углом атаки 0 в сверхзвуковом потоке воздуха С ЧИСЛОМ Ml. Очевидно, что эффективность данного метода определяется соотношением между углами 0 и а. Угол 0, как правило, много меньше а и равен в первом приближении
Ь — m, где п— ■—=== — *4^—приведенная стреловидность ис-у M?-l
следуемого крыла, /"М2 — 1.
Особенности конического течения вблизи плоскости симметрии на нижней поверхности треугольного крыла. Обратимся теперь непосредственно к изучению конических течений вблизи плоскости симметрии крыла. Будем рассматривать лишь те случаи обтекания, когда «фиктивное» вертикальное треугольное крыло имеет сверхзвуковые кромки. При этом угол полураствора характеристического конуса возмущенного . J
течения агсзШдо- меньше угла наклона скачка в плоскости симметрии б. Тогда воспользуемся известной формулой линейной теории крыла для расчета коэффициента давления в вертикальной плоскости симметрии исходного крыла
где гав = — приведенная стреловидность вертикального крыла,
о —параметр, задающий координату расчетной точки по размаху вертикального крыла а— —пв$ь а отношение скоростных напоров Рі^і
2— вычисляется по формулам для косого скачка уплотнения.
Р°° иоо
Для получения значения рв/Рсо нужно провести несложный пересчет коэффициента ср из формулы (4)
^%3°. (5)
Роо Рв 2 К '
Расчет перепада давления по размаху вертикального крыла — , таким
Роо
образом, может быть проведен с достаточной степенью точности с помощью методов одной лишь линейной теории. Но на самом деле перепад давления в вертикальной плоскости симметрии не описывается плавной кривой в соответствии с формулами (4) или (5). Между характеристиками невозмущенного и возмущенного течений в этой области должен появиться конический слабый скачок уплотнения, отделяющий невозмущенное течение от возмущенного. Тогда давление (или перепад давления Дрек) за скачком уплотнения будет зависеть от его положения. Исследуемый здесь конический головной скачок уплотнения возникает в результате взаимодействия двух плоских скачков уплотнения, исходящих от разных консолей крыла. Вопросы положения и интенсивности таких вторичных скачков исследовались автором ранее в наиболее общей постановке, где рассматривались случаи обтекания как нижней, так и верхней поверхностей крыльев, имеющих либо сверхзвуковые, либо дозвуковые кромки [3]. При этом в работе [3] был применен метод деформированных координат, разработанный Лайтхиллом [4] для слабых конических скачков уплотнения.
Как показано в работе [1], течение в области взаимодействия консолей является маловозмущенным не относительно скорости набегающего потока, а относительно течения за передней кромкой крыла. Появляется дополнительный малый параметр В = па, и линеаризация течения производится по этому параметру. Принципиально, по сравнению с работой [4], меняется и порядок величины интенсивности конического головного скачка уплотнения, который хоть и является ослабленным, все же имеет интенсивность по порядку величины сравнимую с а, а не с а2, как в случае образования висячих скачков на верхней поверхности. Это связано с разворотом оси характеристического конуса за передней кромкой на нижней поверхности на угол а (рис. 1,6). К тому же сам полуугол раствора характеристического конуса возмущенного течения
^arcsin^ больше полуугла раствора характеристического конуса
в невозмущенном потоке ^arcsin -щ—j за счет уменьшения числа М за
скачком уплотнения. Поэтому метод работы [3] не дает удовлетворительных результатов в случае обтекания нижней поверхности треуголь
ного крыла со сверхзвуковыми кромками и малой приведенной стреловидностью п.
Расчет положения и интенсивности ослабленного головного скачка уплотнения. Давление в скачке уплотнения и его положение определяются в данной работе простым графическим методом. При этом давление за скачком уплотнения рассчитывается по соотношению
Рек __ Pi __ Рв
Роо Роо Роо ' ’
где pi — давление в области / плоскопараллельного течения, а рв/Роо — распределение давления по размаху вертикального крыла, вычисленное по формуле (5). Отношение Pi/Poo в свою очередь вычисляется по формуле для косого скачка уплотнения
*М2м+1, (7)
Р\ ___ Sin а„ Sin б„
~ COS (8„ - ап)
где ап и бп — соответственно угол атаки крыла и угол наклона плоского скачка уплотнения в области I, измеренные в плоскости, нормальной к передней кромке исходного крыла.
С другой стороны давление в коническом головном скачке может быть рассчитано по формуле, аналогичной формуле (7) для скользящего крыла, где за угол наклона фиктивного клина принимается угол атаки крыла а. Итак, для конического головного скачка имеем
рск sin asm 7
«М^+1, (8)
р^ COS (ТС — а) оо
где у — угол наклона скачка, соответствующий углу наклона клина а и числу Маха в набегающем потоке М».
Таким образом, получаем две параметрические зависимости Реп /Р оо (а). Формула (8) представляет собой параметрическую зависимость перепада давления за косым скачком уплотнения на клине. Эта формула приведена здесь потому, что в любом трехмерном течении изменение скорости при переходе через скачок соответствует закону клина [2]. В дальнейшем искомый угол наклона скачка уист будет определен путем нахождения точки пересечения двух кривых (6) и (8). При этом угол полученного эффективного клина, соответствующий углу наклона скачка уИст, конечно, не будет равен углу атаки исходного крыла.
Затем на график наносятся две кривые, характеризующие давление за скачком уплотнения, полученное соответственно по формулам (6) (сплошная линия) и (8) (штриховая линия). По оси абсцисс откладывается величина у/х, по оси ординат — отношение давлений рск/р<х>-Точка пересечения кривых и характеризует положение искомого скачка уплотнения. На рис. 2 показан ряд расчетных точек, полученных таким графическим методом для различных углов атаки а в случае обтекания треугольного крыла с углом стреловидности х = 60° при числе М набегающего потока Мао = 5. Ордината точки пересечения кривых определяет давление за скачком уплотнения, а координата по оси абсцисс — тангенс угла наклона искомого головного скачка уплотнения уист- Аналогичные расчеты были проведены для треугольного крыла с тем же углом стреловидности %=60°, но при большем числе Маха набегающего потока Моо = 8. Полученные углы наклона скачка сравниваются с результатами численного расчета [5]. На рис. 3, 4 представлены графики, демонстрирующие изменение угла наклона скачка уИст в зависимости от
m
/
/
/
1V
ОС — 2°
0.1
tgYuCT0'2
Ч/Х
Рис. 2
угла атаки крыла а. Сплошной кривой на этих рисунках представлены данные, полученные развитым в данной работе графоаналитическим методом, а штриховой — результаты, полученные методом сквозного счета [5]. Как видно, совпадение результатов хорошее. Для сравнения на графике представлены также характеристики невозмущенного (штрихпунктирная линия) и возмущенного (линия с двойным пунктиром) течений. Скачок располагается примерно посередине между этими двумя коническими поверхностми.
Ниже приведены две таблицы, характеризующие соотношение между углом наклона искомого конического скачка уист и углом б определяющим стреловидность «фиктивных» вертикальных крыльев.
Таблица 1
м00 = 5; х = 60°
а1 град 2 4 6 8 10 12
Тист> град 10,70 10,037 9.48 9,146 8,81 8,14
5, град 14,03185 15,96354 18,12943 20,56533 23,32983 20,52771
= 8; г = 60» Таблица 2
о, град 2 4 6 8 10 12
7ист> град 6,2207 5,50 4.98 4,44 4,004 3,548
®>град 8,81255 10,49604 12,40146 14,5222 16,8577 19,42
Из таблиц видно, что угол уист всегда несколько меньше угла б, что и оправдывает использование формулы (4) для крыла со сверхзвуковыми передними кромками при расчете коэффициента давления на вертикальном «фиктивном» крыле.
На рис. 5 представлены зависимости давления за коническим скачком уплотнения рск/роо от а для крыльев с указанными выше параметрами. Штриховая линия соответствует результатам численного расчета [5], а значения, полученные разработанным в статье методом, представлены сплошной кривой. Совпадение результатов хорошее, особенно при (а = 0—7°).
Проведенное в работе исследование показало, что в случае обтекания нижней поверхности интенсивность конического головного скачка уплотнения не является слишком слабой и по порядку величины сравнима с углом атаки а. Поэтому в данном случае применение аппарата линейной теории крыла дало весьма достоверный результат.
Применение методики Лайтхилла к решению поставленной задачи не дало бы столь хорошего совпадения результатов с численным расчетом, поскольку метод Лайтхилла, хоть и оперирует с величинами порядка а2, но не учитывает разворот оси характеристического конуса на угол а за скачком уплотнения.
Разработанный метод является достаточно простым, что позволяет быстро и точно оценить положение и интенсивность конического головного скачка уплотнения. Точное выделение скачка уплотнения во многих практически важных случаях весьма желательно. В рамках обычной линейной теории условие <р = 0 обычно задается на характеристике невозмущенного потока. Но как видно из приведенных результатов, поверхность скачка уплотнения и характеристическая поверхность довольно сильно отстоят друг от друга и с ростом угла атаки это различие увеличивается. Неточное определение начальной линии отсчета может привести к серьезной ошибке при дальнейших итерациях. Поэтому и целесообразно использовать простой аналитический метод для достаточно точного определения поверхности, на которой задается граничное условие ф = 0.
ЛИТЕРАТУРА
1. Притуло Т. М. Метод возмущений в нелинейной задаче обтекания треугольных кыльев сверхзвуковым потоком. — Ученые записки ЦАГИ, 1983, т. 14, № 6.
2. Ко чин И. Е., К и бель И, А., Розе И: В. Теоретическая гидромеханика.— М.: Гостехиздат, 1948.
3. Притуло Т. М. Расчет положения и интенсивности головных скачков уплотнения на треугольных крыльях методом деформированных координат. — Ученые записки ЦАГИ, т. 18, 1987, № 5.
4. Lighthill М. G. The shock strength in supersonic „Conical Tields". — A journal of theoretical Experimental and Applied physics.
Vol. 40, seventh serie's, N 311, december, 1949.
5. К о с ы х А. П. Некоторые результаты численного исследования сверхзвуковых течений около треугольных в плане крыльев с конечной толщиной. — Труды ЦАГИ, 1978, вып. 1971.
Рукопись поступила 9/IV 1987 г.
