CC BY
25
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XVIII 1987
№ &
УДК 629.735.33.015.3.025.47
РАСЧЕТ ПОЛОЖЕНИЯ И ИНТЕНСИВНОСТИ ГОЛОВНЫХ СКАЧКОВ УПЛОТНЕНИЯ НА ТРЕУГОЛЬНЫХ КРЫЛЬЯХ МЕТОДОМ ДЕФОРМИРОВАННЫХ КООРДИНАТ
Т. М. Притуло
Рассматривается обтекание треугольных крыльев сверхзвуковым потоком воздуха. С помощью деформированных координат [1] рассчитывается положение и интенсивность слабых головных скачков уплотнения, разделяющих невозмущенную и возмущенную области течения. Интенсивность таких скачков порядка квадрата угла атаки крыла а2. Решение находится с помощью метода добавочного потенциала. Рассчитано третье приближение, характеризующее отход скачка уплотнения от характеристики невозмущенного течения. Разработанный аналитический метод является достаточно общим, позволяет рассчитывать крылья как со сверхзвуковыми, так и с дозвуковыми кромками.
Постановка задачи. Рассмотрим треугольное крыло, изображенное на рис. 1. Будем исследовать слабые головные скачки уплотнения, разделяющие невозмущенную и возмущенную области течения. Эти скачки изображены на рисунке пунктирной линией. Интенсивность таких скачков порядка квадрата угла атаки крыла а2, поэтому с точностью до а5
Рис. і
2 «Ученые записки» № 5
17
включительно течение можно считать изоэнтропическим и ввести в рассмотрение добавочный потенциал ср, создаваемый крылом в потоке. Полный потенциал течения имеет вид Ф = £/ооЛ:+ф, где U,*, — скорость набегающего потока. Крыло будем рассматривать в связанной с потоком системе координат х, у, z (рис. 1). Рассмотрим конические течения и лерейдем к коническим переменным г, 9 по формулам
V M-lo- 1 Vy2 + 22 ß VV+¿2
r=--------------------=------------- ;
X X ’
ö = arctg ^ ,
где Moo — число M в набегающем потоке, а добавочный потенциал <р также выразим через конический потенциал /: <р = Ф — Uxx = xfUco. Потенциал f в свою очередь представим в виде ряда по малому параметру а:
(1)
п= 1
где индекс внизу означает порядок величины, т. е. fn~ап.
Подставляя ряд (1) в уравнение неразрывности, записанное через полный потенциал, получим систему уравнений, определяющую последовательно fi, /2, /3 по граничным условиям задачи:
24 02/" , 1 dfn , 1 д^п .. , . /оч
^ Г ) дг2 г дг г* дв2 —У" ’ fn~^ • ( )
Рассмотрим теперь более подробно физическую картину течения.
i
Коническая поверхность с полууглом раствора arc sin —это характеристическая поверхность невозмущенного потока. Система уравнений (2) в любом приближении в качестве характеристических поверхностей дает поверхности, соответствующие невозмущенному течению. Но это неверно описывает реальную физическую картину течения, где малые возмущения распространяются по конической поверхности с большим
углом наклона-—arcsin-^—. Эта коническая поверхность является
характеристикой возмущенного течения. Между этими двумя характеристиками располагается скачок уплотнения.
Схема течения представлена на рис. 1,6, где характеристические поверхности изображены сплошными линиями, а располагающийся между ними скачок — штриховой. Именно скачок уплотнения отделяет невозмущенный поток от возмущенного. Поэтому целесообразно точно определить его положение, чтобы именно на скачке, как в реальном течении, а не на характеристике, как в линейной теории, задавать условие равенства нулю добавочного потенциала.
При решении уравнений на части головной характеристической поверхности, принадлежащей поверхности кругового конуса с вершиной в точке пересечения передних кромок и углом между образующей ее и 1
осью равном arcsin в первом приближении добавочные скорости
равны нулю. Решая неоднородное уравнение для /2 вблизи r= 1, найдем,
что lim/гг =-----------А2 (0) , где А (6) — lim- _____- . Возникает про-
r-*i 2 [i2 г-+1 у 1 — г
тиворечие: с одной стороны, г= 1—характеристика невозмущенного потока, с другой — на этой характеристике не равны нулю добавочные скорости.
Для устранения этого противоречия введем преобразование координат
г = + гх (6) + г2 (9) + г (0)-{- ... , (3)
где Ги г2, и т. д. — величины порядка а, а2, и т. д. соответственно.
В новых координатах
/ = 2 ^(£-6) (4)
П— 1
(при этом fiфFi так как эти слагаемые зависят от разных переменных) .
Тогда для Тп имеем
д2Гп 1 д /=„ 1 д2 /%,
+ + (5)
где (¿п — функция, зависящая от 1, 2, 3,..., (п—1)-го приближений
для /ч и их производных. Пусть теперь в новых переменных головная
характеристическая поверхность /?=1 соответствует характеристической поверхности возмущенного течения, т. е. добавочная скорость на этой характеристике во втором приближении
/2 Г = ^^Л2(0), (6)
а при вычислении производных потенциала в высших приближениях преобразование координат (3) по-прежнему определяется так, чтобы характеристическая поверхность системы уравнений (5) ^=1 соответствовала уточненной характеристической поверхности (переходила бы в нее в физических переменных г, 0).
Пусть в физических координатах г(0) = 1+Дгх есть уравнение головной характеристической поверхности. Поскольку при г= 1 значение потенциала /ч = 0 и его производных /ю =0, ^г = 0, то Агх — величина второго порядка и в разложении (3) г1(0)=О. В итоге, вычисляя последовательно ¡2 г, /"з г, и т. д. можно определить искомое преобразование координат как
М0) + М0) + --- = Лгх .
Из формулы (6) следует, что ¡2 г — величина определенно положительная, поэтому и Дгх есть величина положительная, т. е. деформация координат всегда приводит к расширению области существования возмущенного решения. При этом в области между ^?=1 и г= 1 решение определено дважды: с одной стороны эта область принадлежит невозмущенному течению вплоть до характеристики невозмущенного течения г= 1, с другой стороны — это область возмущенного течения, ограниченная характеристикой возмущенного течения /?=1. Сращивание двух течений осуществляется с помощью уравнения для скачка уплотнения, который и располагается в области между Я = 1 и г= 1.
После выполнения этой операции оказывается, что величина г2(0) та же, что и определенная из условия равномерной точности третьего приближения [1], т. е. правая часть уравнения для равна нулю при # = 1 и, следовательно, ^з/?| /?=х=0. Таким образом, вся процедура вы-
числения т3 сводится к более точному по сравнению с работой [1] вычислению скачка скорости во втором приближении /гн при Это
уточнение и позволяет получить более высокое, чем в работе [1], приближение к точному решению, определяющее положение и интенсивность скачка уплотнения.
Вычисление положения и интенсивности слабых головных скачков уплотнения во втором и третьем приближении. В деформированных конических переменных уравнение характеристической поверхности записывается в виде
$=х —
'/>4-22
+■ О (в) + О (0)
= 0.
(7>
Запишем уравнение характеристики как поверхности, по которой распространяются бесконечно малые возмущения с местной скоростью звука а:
Ф^. сое (пх) + Фу соз (пу) + Фг сое (пг) = а ,
(8)
где п—внешняя нормаль к поверхности, задаваемой уравнением (7).
Запишем выражения для направляющих косинусов вектора внешней нормали с точностью до а3 включительно
1
соэ (пх)х =
м„
1 + (Г 2 + Гз)х 1
м;
СОБ (Яу)х
У О + Ох + Ох) — г (г2х + г3х)
VУ* + 4-Ох + Ох)2 М0
1 -
(Ох 4- г Зх)
соэ (т)х = — р-
« О + Ох + Ох) + У (Г2 + Гз)х
V У2 + г® (1 + г2х + гзху Мс
1
Ох)
(9)
и соответственно производные полного потенциала Ф по направлениям осей координат х, у, г:
Ф.
£/<» (1 — г/г) ;
Фу = ^ооР (/г в!п 0 +/в
сое
Фг = ^ооР(/ГС05б-/в-^
(10)
Подставляя выражения (9) и (10) в уравнение (8) с учетом интеграла Бернулли, получим выражение для Агх:
«4
Д(г2+г3)х
м.
м„
]
‘/г-
Видно, что смещение положения характеристической поверхности пропорционально производной потенциала. Как известно, в первом приближении ¡1г = 0. Поэтому в первом приближении деформация координат не изменяет положения характеристической поверхности. Будем рассматривать второе и третье приближения. Запишем радиус харак-
теристики как гх=1 + г2х+Ох- В соответствии с работой [1] значение производной конического потенциала во втором приближении вычисляется по формуле (6), поэтому Агх будет соответственно иметь вид
к =
х+1
2
Л2 (6).
I рз
Изменение скорости при переходе через скачок уплотнения представим в виде
д v„ = -
f. H- 1
где Vn — компонента скорости потока, нормальная к поверхности скачка; Vn и а измеряются непосредственно перед скачком уплотнения. Тогда запишем нормальную компоненту скорости сразу за скачком уплотнения Vп как сумму Vn и AVn
^i=V, + i.K„ = cos («*)+
1 + + Гз) W
*rioo.
С другой стороны можно выразить компоненту скорости Vn за скачком уплотнения через добавочный потенциал течения
= + . (12)
Приравнивая соотношения (11) и (12), находим связь между производной потенциала /г и величинами (г2+г3), характеризующими удаление скачка уплотнения от конуса Маха невозмущенного течения
4р*(га + га);
(*+1)М£, ' (13^
Теперь в области между i?=l и r= 1 нужно найти поверхность, на которой решение для добавочного потенциала /, полученное методом деформированных координат, удовлетворяло бы формуле (13). Это и будет поверхность скачка уплотнения, рассчитанная с точностью до а3.
Решение в первом приближении в деформированных координатах Ft я легко находится заменой г на R
FlR = A(Q)VT=R + 0[(l-Rfi> а] .
Для второго приближения имеем, в свою очередь, частное решение неоднородного уравнения, удовлетворяющее нулевым граничным условиям на поверхности крыла
^ *часТ„ = Л2 (0)— — + 0 [ О — X) Л2] *
части 2 р.
Вид этого частного решения следует, в свою очередь из анализа фор* мулы
__Г Г Г _________х — s_______
^2частн дх J J J ^2 ЭГСИ $ (у — и])2 + (г — £)3 ^ >
т
где (¿2 — правая часть уравнения для <р2, а интегрирование производится по объему т, ограниченному головным конусом Маха, конусом влияния с вершиной в точке х, у, г и частью плоскости крыла у = 0.
Решение однородного уравнения для потенциала во втором приближении находится, как и в первом, по формуле для потенциала сверхзвуковых источников, если заданы условия непротекания на крыле
однор
? * Л
ду
- б)3 - Р» у» —¡>*(*-£)а
где 2 — часть плоскости у = 0, вырезаемая передним фронтом возмущений и обратным конусом влияния с вершиной в точке (х, у, г). Поэтому, как и в первом приближении вид решения для /^гн при )?~1 определяется формулой
■ Я)® а].
Функции А (0) и В (0) могут быть вычислены, если известны скосы потоков в первом и во втором приближениях. При этом величина А (0) порядка а, представим эту функцию как А (0) = Л (0)-а. Функция В (0) имеет порядок а2, а корень У\—Р( порядка а. Тогда
% + 1 м*
можно записать, что Р2ц = А2(Ь)-------- •------1-6(0) а3, где 6(0) — ве-
2 р2
личина порядка 1. Как уже отмечалось выше, правая часть уравнения для третьего приближения принимает нулевое значение на круге радиуса /?=1, поэтому вид решения для Р3ц такой же как у однородного уравнения Ргя С (0) V1 — Величина С (0) порядка а3, поэтому Рзк порядка а4, и для определения положения скачка уплотнения в третьем приближении не нужно знать решение для Рзц. Тогда суммируя Рщ и Рщ и подставляя значение И = г—Д гх, и принимая во внимание, что на скачке уплотнения г=1+г2 + г3, получим выражение для производной потенциала /г
/,= А (0) ‘/Л гх - г2 - г3 + А2 (0)
*+1 к
2 Р*
+ а3 Ь (0) .
(14)
Теперь приравняем правые части формул (13) и (14). Собирая члены с одинаковыми степенями « и приравнивая их нулю, получаем следующие значения для г2 и г3:
(х + 1) м2
2р2
Г» =
Ь (в)
Далее предложим простой способ определения коэффициентов Л(0) и 5(0) в зависимости от заданных граничных условий — скоса на
крыле
<^Р1
ду
д<ря и з-
у = о ду
у=о
Для этого воспользуемся тем обстоятель-
ством, что рассматриваются малые отклонения от головного конуса Маха, т. е. г—1 (см. рис. 1, б). Пусть р = Куг+2 *, а^Ср.
Введем новую переменную хі по формуле х = точка с ко-
ординатами х, у, г находится вблизи конуса Маха г = 1. Потенциал источников в первом приближении
— ¿Е (К
?і = -— ГГ , (15)
* J J /(*—$)*—Р3у3—рз(г —С)2
который при малом хі может быть записан (р>£, С)
ду
<Рі------------ 1 1 -
-тЯ
а л
Vxi-i + % cos0K2pP
у
rAe6 = arctg—. Следовательно, при хх — £ + рс cos 8 = const значение потенциала в плоскости крыла не меняется. Вводя вместо % координату £ — PC cos 0 = Si, можно все источники снести на ось ; (С = 0) при i1 = const. Тогда вместо (15) можно записать
е. = *-Рр Фа (El)
Tl=-— f -7==i_sf f ^d(\d^, (16)
» J . J dy J 11
о Ф,(6.)
где г1 = <]>1 (£]), z2 — Ф2 (^i) — уравнения передних кромок крыла. При каждом фиксированном 0 способ снесения источников на ось \ (интегрирование по £ при постоянном ^) свой. При заданном 0 потенциал q>i определяется как потенциал источников, расположенных на оси
Непосредственно дифференцировать интеграл (16) для получения функции А (0) нельзя, так как он имеет особенность при верхнем пределе. Сначала проинтегрируем (16) по частям, при этом обозначим
фа
Ч?«
Фі
Получим
?1=лг 1 ‘
«Рі
=-----------Г q' arch dtt ,
* J Рр
х ~ £
так как q = 0 при = 0, а при = х — Рр значение arch_____________________f = 0.
Рр
ду
Конические потоки обладают той особенностью, что здесь постоянно вдоль лучей с вершиной в точке пересечения передних кромок крыла, поэтому q' — постоянная величина, a q — линейно зависящая от £1 величина, равная нулю при |i = 0
?1
Ухх-^ V2рр
и при р"^>Хх
где Хг = Х — Рр.
~ ч' 2 У~Х\
Тогда ?! дг= — -3------.
тс 1^2Рр
Из условия подобия (см. рис. 1,6) получаем
Ух — ?? _ [\ - Г _ 1/т—:
VРр УРр V г
у"
Поскольку г~1, то у=± малая величина. Следовательно,
Фа (Е) <К (£)
и аналогично
в«®)“1?!
Фа
д?з
ду
¿С.
(17)
(18)
Условие непротекания в первом приближении сносится на плоскость у = 0 й записывается в виде
<Э<Р1
ду
где /(х, г) — уравнение поверхности крыла. Во втором приближении при у — 0 имеем
<?<Р! д/ 1 д<р2 , ^2?1
ду2
дх дх ду
у=о
,, ч , V С*. *)
/(*, 2)+эг • —“О--
йг
(19)
(20)
Формулы (19) и (20) позволяют определить значение производных
— и — . Затем, с учетом выражений (17) и (18), можно записать в ду ду
итоге конечные результаты для г2 и г3:
Ф>
Го =■
Г?5д],[£
. ъ Я и-ду \ |.
20»
(21)
V 2,/т— Гз==Тк *
Фа
^ Г Й
т) д
дъ
ду
¿С
(* + 1)Мр
2рз
(22)
Формулы (21) и (22) определяют положение слабого скачка уплотнения с точностью до а3, а затем уже по формуле (13) можно легко рассчитать интенсивность такого скачка.
Результаты расчетов. Формулы (21) и (22) записаны в самом общем виде, они годятся как для сверхзвуковых, так и для дозвуковых пе-
редних кромок крыла. Здесь наибольшую трудность при расчете представляет необходимость определения производных — через производ-
ду
ные потенциала в первом приближении. Для нижней поверхности плоского треугольного крыла значение — было вычислено с помощью ана-
д2 дУ
литических формул для — , —— [2]. Для других форм с помощью
дх ду2
волнового уравнения целесообразно заменить = 1) ———
ду2 дх2
д2 у, д2а>, дг<р1
— ^1, и при этом рассчитывать производные ■— и в плоскости
крыла.
В первую очередь были проведены расчеты для крыльев, имеющих сверхзвуковые и звуковые кромки. В этом случае несложно провести вычисление интегралов (17) и (18), поскольку верхняя поверхность не влияет на нижнюю.
В итоге получаем выражение для функций А и В:
А
2 V2
в=
г- tgx
2 V2 а2 / 1 ------------\
' 1--------------У 1 — п2
рз J
X
гдега = -р- —приведенная стреловидность треугольного крыла и
соответственно положение скачка уплотнения во втором и третьем приближении находится по формулам
3 (х + 1)2М*
г2 = — °° «2; (23)
2
_1_ (х+ 1)2М^ /_м!о-2
3 тс2 р3 х \ м
1 IX -t- i )*№' / 1V1' —Z r- \
“ kf—Г- / I <24>
Тогда угол наклона скачка е относительно скорости набегающего потока вычисляется по формуле
s = arctg 1 + Гъ-------а . (25)
Формула (23) дает всегда положительное значение для г2. Знак величины г3, как показывает формула (24), зависит от соотношения между числом Мао и приведенной стреловидностью п. На рис. 2—4 представлены результаты расчетов величины е по углу атаки а для различных значений углов стреловидности % и различных чисел Моо. При Моо = 2; %=60°, когда передние кромки крыла в частном случае становятся звуковыми, получается наилучшее совпадение с численным расчетом [3], что и следует непосредственно из анализа формул (22) — (23). Результаты численного счета представлены на графиках пунктирной линией. Ряд для г2 и тз по а расходится тем скорее, чем больше отличие кромок крыла от звуковых, особенно при больших значениях числа Моо, поскольку в формулах (23) — (24) член М^ находится в числителе. Это демонстрирует расчет при Моо = 5. Ухудшение сходимости рядов с
ростом числа М«, — естественный результат в теории малых возмущений. Для улучшения результатов при больших числах М» вновь, как и в работе [4], следует использовать ¡линеаризацию относительно течения за передней сверхзвуковой кройкой крыла, когда уточнению решения помогает дополнительное ограничение п~а3/2. Но тем не менее следует отметить, что и в данной постановке при режиме крейсерского полета (|а~5°—7°) совпадение результатов с численными расчетами хорошее.
__________1__________I_________I__________I i
0 5° 10° oc
Рис. 5
На рис. 5 представлены результаты расчета интенсивности скачка уплотнения, которая характеризуется перепадом давления в скачке PIP оо* Перепад давления связан следующим соотношением со скачком скорости [/г]:
— = [/,] xMl + 1 , (26)
Роо
где скачок скорости вычисляется, в свою очередь, по формуле (13). Результаты, полученные по формуле (26), сравниваются с численными расчетами [3], изображенными на графиках пунктирной линией. Графики демонстрируют хорошее согласование результатов, особенно на режиме небольших углов атаки.
Разработанный в данной статье метод дает простые формулы для оценки положения и интенсивности слабых головных скачков уплотнения с точностью до а3.
ЛИТЕРАТУРА
1. Lighthill М. J. The shock strength in supersonic ’’Conical Fields.“ — A Journal of Theoretical Experimental and Applied Physics, Vol. 40, Seventh Series, N 311, 1949.
2. Булыгина E. В. Решение второго приближения для плоского треугольного крыла в сверхзвуковом потоке газа, вып. 4,—М.: Машиностроение, 1978.
3. К о с ы х А. П. Некоторые результаты численного исследования сверхзвуковых течений около треугольных в плане крыльев с конечной толщиной. — Труды ЦАГИ, 1978, вып. 1971.
4. П р и т у л о Т. М. Метод возмущений в нелинейной задаче обтекания треугольных крыльев сверхзвуковым потоком.—Ученые записки ЦАГИ,
1983, т. 14, № 6.
Рукопись поступила 1/VII 1986 г.
