Метод последовательных приближений в задаче о неустановившейся ползучести и нелинейной упругости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том /

1970

№ 2

УДК 539.376:629.7.015.4.023

МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ЗАДАЧЕ О НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ И НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ

В работе приводится метод решения задач теории ползучести, являющийся развитием метода упругих решений [1]. Метод позволяет физически нелинейную задачу теории ползучести свести к последовательности линейных задач и описать перераспределение напряжений в конструкции в процессе ползучести. В отличие от работы [2] полная деформация представляется в виде суммы мгновенной деформации, нелинейным образом зависящей от напряжения, и деформации ползучести, нелинейно зависящей от напряжений и времени.

Поведение материала при ползучести описывается теорией течения. Приводится пример числового расчета.

1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ

Предполагается, что компоненты девиатора полной деформации вц складываются из компонентов девиатора мгновенной деформации е'ц, зависящей только от напряжений, и деформации ползучести рц, зависящей от напряжений и времени:

где ег/ = гг/ — е8г/.; здесь г;/- — тензор деформации; 8^ = 1 при / = у и 8,7 = 0 при I фу.

Для описания процесса ползучести используются уравнения типа

где — девиатор напряжений; — производная девиатора деформации ползучести по модифицированному времени %((), являюще-

И. И. Поспелов

еі] — є'іі Рі] (і. /=1,2,3)

(1.1)

(1.2)

муся функцией физического времени t■, аИ) ри — интенсивности напряжений и скоростей деформации ползучести, причем

2 3

81}~си-Ли (1.3)

(здесь агу- — тензор напряжения; а — среднее напряжение).

Соотношение между интенсивностями напряжений и скоростей

деформации ползучести и временем принимается в следующем

виде:

Л =/(»..)■ (1.4)

При числовых расчетах используется /(аи) = Ло«. Функция/(ои) и модифицированное время т = т(/) определяются из сетки кривых ползучести, полученных экспериментально при растяжении в условиях постоянной температуры [2].

Компоненты девиатора мгновенной деформации определяются уравнениями

3 е'

“*1г (1.5)

е

и

Связь между интенсивностями мгновенной деформации и напряжений

<, = ?(°и) (1.6)

примем в виде х

, о.?»

где ^ — модуль сдвига; т, а° — постоянные материала, которые могут быть определены из диаграммы о~з.

Связь между средним напряжением о = <зи и средней дефор. 1

мациеи е = — 8/г выражается уравнением

. о = КЬ, (1.8)

£

где К = -д ^2 , 9 = 3 е (здесь Е — модуль Юнга, V — коэффи-

циент Пуассона).

Из уравнений (1.1), (1.2), (1.4) —(1.6) получим

йеи з а

?(°») ,

~1ГГ Ч

+ Т^5‘7- С1-9)

Уравнения (1.9) описывают поведение материала как при мгновенном нелинейном деформировании, так и неустановившейся ползучести. Они не линейны и их использование при решении задач связано с значительными математическими трудностями.

Уравнение (1.4) удобно, выделяя линейную часть, представить в виде

ра = £>зи (1 - п), (1.10)

где

О»)

МОЖНО ПОДЧИНИТЬ условию 0<7|<1 выбором постоянной

д>/(0 при ^->0;

Ои шах

здесь сишах —некоторое условное ЧИСЛО.

В расчетах О вычислялось по формуле

(1.12)

°ишах

Аналогично уравнение (1.6) Представляем в виде

Р-1

где

а,

. + 0-14)

3 [Л!

МОЖНО ПОДЧИНИТЬ условию—1 <О)<;0 выбором

/ 1

ц + а®

Для (А! можно принимать

1 з /а \т—1 > (1.15)

1 , ^ / °и шах

у ^

что соответствует секущему модулю на диаграммвг Для

°и шах5 ИЛИ

1*.= 1-------тЛ-------------==1. . 0-16)

£и ~ 5И ДЛЯ

что соответствует касательному модулю на диаграмме

°и шах- 11-ь

В области, где связь между напряжением и деформацией носит линейный характер,

“V /а \т —1

<-> ! °и тах \ ^ г» „

а° ( а® ) кпг.'зьаъ

" ' ■ \ . / мши. эн ,

Учитывая (1.10) и (1.13) уравнение (1.9) представив1$Рв$дё

+3{»|Р«0 = 2»‘1е|/ -2[»,?|у.\;./,)мнунйС.’: О*17) или в интегральной форме

5г/ = 2(хе<;- -\-fij + //;, , (1.18)

где 0.2 — линейный оператор,

(1.20)

(1.21)

/і, = [«/;• (то) — 2(*1 еч (т0)] в-3ц,«т-*) _

(1.22)

Уравнения (1.18) описывают поведение материала как при мгновенном нелинейном деформировании, так и при ползучести. Для упругой среды, для которой [*1 == [а, 0 = 0, со = 0,_ я*,- (т0) = 2 (х0)

из уравнений (1.19) — (1.21) имеем Д/— Д,= 0, р = ц. Для линейной среды, описываемой моделью Максвелла, = (*, г\ = 0, со = О и из уравнений (1.18) получим

Из сравнения (1.18) и (1.23) видно, что функции к) и ш при = характеризуют отклонение свойств тела от свойств модели Максвелла с модифицированным временем т = т(£).

Если положить £ = 0, то уравнения (1.18) будут описывать пластическое деформирование материала при активном процессе нагружения или нелинейно упругое поведение материала. В этом случае т может служить параметром нагружения конструкции.

2. УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ

Из уравнений статического равновесия, выраженных в напряжениях,

(здесь иг — вектор перемещения), и из уравнений (1.18) получим уравнения равновесия, выраженные в перемещениях, в форме Ляме:

5гу — 2 \ьЄі].

(1.23)

(2.1)

(где /7/ — вектор массовых сил), из формул Коши —

(2.2)

(2.3)

(2.4)

Граничные условия, выраженные в напряжениях

(2.5)

7—Ученые записки № 2

97

(где — направляющие косинусы нормали к поверхности; /^ — силы, заданные на граничной поверхности) с использованием соотношений (1.18) и (2.2) преобразуются к виду

(2.6)

где

(2.7)

Для упругой среды, ДЛЯ которой (г, = (X, 5гу (г0) = 2 (х0), D = О,

а следовательно, Фь = Ф/ = 0, (д. = р, ^ = система уравнений (2.3) и (2.6) сводится к известным уравнениям Ляме и граничным условиям. Уравнения (2.3) и (2.6) формально совпадают с уравнениями теории малых упруго-пластических деформаций, к которым применим метод упругих решений.

Процедура расчета напряженного и деформированного состояния тела, находящегося в условиях неустановившейся ползучести, методом последовательных приближений, состоит в следующем.

Для определения первого приближения полагаем т)<°> = о><°> = 0.

Тогда =/$ = 0, ]ч, ф{0)==-~^- , ф[-°] =/гу будут известными

функциями, определяемыми начальными условиями и являющимися решением либо упругой, либо нелинейно упругой задачи. Уравнения (2.3) и (2.6) становятся уравнениями линейной теории вязкоупругости. Решение этих уравнений с определенными начальными условиями «<’> принимаем за первое приближение. Из уравнений

(2.2) найдем $>, е§\ из уравнений (1.18) — $ = 2^] + ///, из уравнений (1.3), (1.11), (1.14), (1.21), (1.20), (2.4), (2.7) — соответственно Ч1*, ^(1), ш(1), 'р})>, //]', Ф/4, Ф/1» и для нахождения второго приближения опять используем систему линейных уравнений (2.3) и (2.6) с преобразованными правыми частями, которые могут быть интерпретированы как фиктивные нестационарные внешние силы. Продолжая этот процесс решения последовательности задач линейной теории вязкоупругости с введением фиктивных внешних сил, получим требуемую точность результатов. Скорость сходимости последовательности приближений будет уменьшаться с течением времени, поэтому в целях экономии машинного времени при расчете напряженного и деформированного состояний следует использовать шаговый метод, т. е. на каждом шаге по времени решать систему уравнений (2.3) и (2.6) с начальными условиями и постоянными О и [Лц вычисленными на предыдущем шаге. Причем за условное значение оишах принимается максимальное значение интенсивности напряжения в теле, вычисленное в предыдущем шаге: аишах(•*!т0), умноженное на а, где а>1. По заданному а в процессе счета, удовлетворяя неравенству о<ик)(л;,л:2л:3т)<;оишахполучим величину шага Дт, для которого —1<а)<0, 0-<т|<1.

В общем виде вопрос о сходимости приближений, полученных излагаемым методом, требует дополнительных исследований. Рассмотренный ниже пример числового расчета свидетельствует о достаточно высокой скорости последовательности приближений.

3. РАСТЯЖЕНИЕ СТЕРЖНЯ С ЗАДАННОЙСКОРОСТЬЮ ДЕФОРМИРОВАНИЯ

Рассмотрим стержень, деформирующийся со скоростью ~ = с

.„о „ ....____ Х'

Тогда с учетом несжимаемости материала зи = а, в| = в1 гдеХ а, и

п 1,7а?И?.ениЙ?Глная деФ°РмаЧия стержня, из уравнений (1.10) (1.11), (1.1о) и (1.14) получим

+ 3 (*! Ро1 = 3 сх + 3 [*1 — ~ (а! (О).

в видеШеНИв УраВнения (ЗЛ> для *‘й итерации можно представить

(3.1)

о<*> (х) = е-з^(х-хо) |31 (,о) + _ !) +

X

+ 3 Р! О (о^)*-! е3^° — (а^)*-' е3^° <т~ т«> 4-

^0

X

~Ь [°1<в (то)]* 1 4- 3 [1чО J е3^° (т—то) (^ю)*-1 ^т|, (3 2)

*0

где

. ^1 — I1 , 3 [д.] / а, \®-1

—~ + Ьг'

У

/Ы

Оо1 ’

турах™ ЗЭДаЧа АопуСкает точное Решение, выраженное в квадра-

х = т0 + | ф(0,)*„ (3.3)

®1 <то)

где

М°1):

3 (х а0 ^ а° у

~'7Ы

/(о1) = Ло«.

(3.4)

Результаты расчета изменения напряжения по времени, полученные по формулам (3.2) и (3.3) при А = 0,16- 10-«(-™£-.\~а _1_

т __ О о опт , „ ' \ ММ* ) ММН ’

От —У,У, р. = 2117 кгс мм2, а0 = 46 кгс/мм2 и я _ ч ка „ и представлены ня Лиг 1 п к*чмм и я = 3,66, совпадают

отре^^^ш^гом0^3—

делялось по формуле (3.2)’ с на^ьным У^лови^^^пос^ннЕ И [Л1} определяемыми Уравнениями (1 12) и П ипи Л » численными „а предыдущем отрезке. У с л овное постоянное число определялось по формуле При,™™

8 Ученые записки № 2

В процессе счета, удовлетворяя неравенству.«<*?(*) опреде-

ляем величину шага Дт путем его дробления таким образом, чтобы соблюдались условия —1 0 <;?)<; 1. Результаты расчета сви-

детельствуют о достаточно высокой скорости сходимости последовательности приближений. Для расчета напряжений с точностью до пятой значащей цифры не требуется больше восьми приближений.

■6 *

* ■

ЛИТЕРАТУРА

1. Ильюшин А. А. Пластичность. Гостехиздат, 1948.

2. Ильюшин А. А., Поспелов И. И. О методе последовательных приближений в задаче о неустановившейся ползучести. .Инженерный журнал*, т. IV, вып. 4, 1964.

Рукопись поступила 23/V 1969 г.