CC BY
34
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И
Том I
1970
М3
УДК 539.376 : 629.7.015.4.023
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ И НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ КЕССОНА ПРИ СВОБОДНОМ КРУЧЕНИИ
В работе [1] рассмотрена установившаяся ползучесть тонкостенных стержней многосвязного поперечного сечения при свободном кручении.
В данной работе приведено решение задачи о несущей способности и неустановившейся ползучести тонкостенных стержней многосвязного поперечного сечения при свободном кручении методом последовательных приближений [2], [3]. Полная деформация представляется в виде суммы мгновенной деформации, нелинейным образом зависящей от напряжений, и деформации ползучести, нелинейно зависящей от напряжения и времени. Поведение материала при ползучести описывается теорией течения. Решение для к-й итерации напряжений и относительного угла закручивания получено в виде квадратур. Выполнен числовой расчет несущей способности, напряжений и относительного угла закручивания кессона на ЭЦВМ М-20.
Рассмотрим поведение тонкостенного стержня многосвязного поперечного сечения, находящегося в условиях ползучести, под действием переменного во времени крутящего момента, приложенного к торцам. Направим ось Ог по оси стержня, оси Ох и Оу расположим произвольным образом в плоскости поперечного сечения. Предполагая, что поперечное сечение стержня не деформируется в своей плоскости, получим следующие выражения для компонент вектора перемещения:
где б — погонный угол закручивания; х ~ некоторая функция от х, у.
Составим выражение для циркуляции деформации сдвига по некоторому замкнутому контуру Г, лежащему внутри поперечного сечения стержня. Используя (1) и выражение для деформации сдвига ег1 в плоскости, касательной к контуру Г в некоторой точке
И. И. Поспелов, Н. И. Сидорова
и — — бгу, V == вгх, т = 6/ (х, у), а для компонент тензора деформации:
0)
йу йх „
гле ск' —Ш— направляющие косинусы нормали кривои, получим
<£в„Л = е/*,- (2)
Г
где Т7— площадь, ограниченная контуром Г.
Используем обычное предположение о пренебрежении составляющей касательного напряжения вдоль нормали контура и постоянстве по толщине контура составляющей касательного напряжения вдоль касательной к контуру. Тогда напряженное и деформированное состояния тонкостенного стержня будут описываться величинами и ег1. В дальнейшем будем пользоваться обозначениями 0^=5, вг(=~(.
Предполагаем, что полная деформация ? складывается из мгновенной составляющей 7МГ, нелинейно зависящей от напряжения, и деформации ползучести нелинейно зависящей от напряжения и времени:
'Г = ГГ + ТР- (3)
Соотношение между скоростью деформации ползучести , напряжением 5 и временем ? принимается следующим:
,г = Х^/(УЗз). (4)
Здесь дифференцирование производится по модифицированному времени х, являющемуся функцией физического времени Ь.
Уравнение (4) удобно представить, выделяя линейную часть в виде
^=1-05(1-4), (5)
где
«
Для повышения скорости сходимости последовательности приближений следует выбирать
Зшах
Связь мгновенной деформации с напряжением примем в виде + = (7)
_ _1_
где I* — модуль сдвига; т, В,а° = (В) т — постоянные материала. «* 83
Выделяя линейную часть, уравнение представим как Гг = 2^(1+“(/35)]>
где
IV
І Зрі (1/35
>1 =
1
т-1
±,3_(УЗ*тах
(і ^ о«
(9)
(Ю)
что соответствует секущему модулю на диаграмме интенсивностей напряжения и деформации для К3«шах- Условное значение 5гаах может быть выбрано при решении методом по шагам как максимальное значение напряжений, вычисленных на предыдущем шаге.
Из уравнений (3), (5), (8) получим уравнения, описывающие
поведение материала при неустановившейся ползучести и нели-
нейной упругости:
7 = ¿(5)+ ?(*), (11)
где
= + (12)
2[*і
[¿(ж) — линейный оператор];
т<5, = 5?ГЖ(м>-
(13)
Продифференцировав уравнение (2) по т и подставив в него величину скорости деформации сдвига, определяемую (11), получим обобщенную формулу Бредта:
Ь (|) 8ІІ + (£ <р (5) СІІ = б7\
(14)
Рассмотрим стержень, поперечное сечение которого изображено на фиг. 1; 8пп, 1пп, 5Л—1, л, 1п—\,п> ®п—1, п\ 8пп, 1пп, 8ЛП; 5п,л+ь 1п,п+1, 8Л>„+1 — соответственно напряжение, длина и толщина элементов А„Ап_и Ап^.1Вп_1, Вп_хВп, ВпАп п-й ячейки.
Из уравнений равновесия сил в узлах В0, А0, Ви..., Ап-и Вк все напряжения выражаются через вц, 522,..., 8пп следующим образом:
’01 '
“01
511> °11'
с о _ _ГН_ с
*11» *12 — 5 *
12
1Г
И
“12
’22>
'кк
8*, *+1 :
икк
Ьк, к+1
Зкк'
Ч+\, к + \ -§к, к+1
где к = 1, 2,.,. п, причем 8л+1,я+1 = 0, 800; 84
Уравнение равновесия моментов внутренних и внешних' сил будет иметь вид
(16)
П, п*1
В о 5 ц ]3 ] 5 22 1
Фиг. 1
Применив обобщенную формулу Бредта (14) к контуру каждой ячейки и присоединив уравнение (16), получим систему уравнений с п -¡- 1 неизвестными функциями 5П, 522, ..., «яп, 6:
ап^(5и) + а121(5г2) = ё/71-|-/1;
«21^-(5п) + а22^- (*22) + а23^ (5зз) ~ +/г!
а32 Ь (5М) + Дзз /. (Язз) + а84 £ (ви) = +/3;
О-к, к-1 £ ($*-!, й-0 + Якк ^ (&кк) 4" ак, к+1 £ ($А+1, й+0 — + /*!
а«,п-1 £ («п-1,п-1) + о,ппЬ («„„) = б/7п +/„; в11 ^11 Р1 + 522 *22 Р2 + ••• + 5пп ^пп^п = ~2 ■>
где
Я*, й-1 = — &*-1, й_!
= 8а* (I
4-1, к .
ЙА, й + 1 = — 6* + 1, *+1
8*-1, й \ь ^к,к +1 / ’
4. й+1
°к, к +1
(17)
(18)
Л = — ? (5а*) + ? (**—1. *) ^*-1. * ~. ? (5*. *) —? (5*. *+0 4, *+1;
6 — относительный угол закручивания, общий для всех ячеек.
Исключив из уравнений (17) ё и применив обратный к линейному оператору £ оператор ¿_1, имеющий вид .
Система (20) определяет напряженное состояние в стержне в любой момент времени. Начальные условия определяются из решения упруго-пластической задачи. Процедура расчета методом последовательных приближений состоит в следующем. В 1-м приближении полагаем '/¡ = ш = 0, тогда <р = 0 и /* = 0. Система (20) будет линейной. Решив ее, найдем первое приближение для Яп', «и,..., «пл и из любого уравнения системы (17) первое приближение для 6. Затем по формулам (13), (18), (19) определяем ср (я), /*, ¿-1 (/а/7*+1—и для нахождения второго приближения решаем систему линейных уравнений (20) с преобразованными правыми частями и т. д. Этот процесс продолжаем до достижения требуемой точности результатов.
Для кессона, поперечное сечение которого имеет две оси симметрии и состоит из четырех ячеек, из уравнений (20) для &-й итерации получим:
т
1глг=е-Ъ'°'г-4* {¿-1 [г(т0)] + 2ц! / гез^д<*-т0) (19^
получим
(ацр2 аи ^г) ■8и 4" (#12 Рг Рг) §22
= ¿-4/1^—/а ^1);
1 Лзз —
а21 Р3 ®11 + (а22 Рв а32 Р2) $22 Н" (й28 ^8 ^33 Р2) ®33
■ $44 = Ь~1 (/2 ^ /з ^2);
(20)
Ь ------¿>|-----------л*1 р ■ Ь%\ Ь\ --------------- йц /*2 #21 Л? ^2 #12 ^2 (#22 ‘Ь #2з) ^""іі
°22 ' 2
ь,
^22 ^2
Ф =/! — /2 /у, І“1 Ф = Є“3!1' ° <т-т»)
8*
-1” '■-'•Ц'2- -21' 1»
Г^пЫ + ^РГМ(х0)4-
X
+ 2^ | Ф^, О <£-т0)
т0 -і
М = 8 м + 2^77 I5» - »*■ (,»>1 + Т ТГ І 5?1 д +
х '■ X
/V I5"2 - я» М + I- пг1 У *« ^ - 4- ] /'_1 ^ (22)
¿Рі Г1 ^ Г 1 т„ 1 Т„
Уравнения (21)—(22) могут быть использованы для определения несущей способности кессона и при отсутствии ползучести. При этом следует положить /("|/3 5)=0.
Пример числового расчета. Числовой расчет производился для кессона, изготовленного из материала Д16А-Т, поперечное сечение которого имеет две оси симметрии и состоит из четырех ячеек,
по формулам (21) и (22). При этом принималось /п = /п = /22 = = /22 = 300 мм\ 8П = 822 = 8П = 822 =3 мм\ /71 = = 0,45-105 мм2-,
/ф! = 1-^2 /23 150 мм\ 801 — 822 82д — 1,5 мм.
/ ^ ______
Использовался степенной закон ползучести чр = —^-А{\гЗя)"
[здесь А = 0,16-10~6 (дан/мм2)-"\/мин, я = 3,1]; модифицированное время т = т(/) задавалось таблицей.
* 0 1 2 3 4 5 10 25 50
т 0 8 14 17 19,5 22 30 45 70
Для описания мгновенного деформирования материала реальная диаграмма аппроксимировалась зависимостью
2 їх • 2 V °° У
(¡д. = 2133 дан/мм2, а0 = 46 дан!мм2, т — Щ.
Расчет напряженного и деформированного состояния кессона, на-
ходящегося в условиях неустановившейся ползучести, производился как
для постоянного, так и переменного во времени внешнего крутящего
момента. При расчете весь рассматриваемый промежуток времени
разбивался на отрезки, в каждом из которых вычислялись Яц(т), Я22 (т), 0(т) с начальными условиями, вычисленными в предыдущем отрезке, а на первом этапе.начальные условия определялись из решения упруго-пластической задачи. Для улучшения сходимости приближений О и подсчитывалось на каждом отрезке по формулам
/--- 1
О —А ()/ 3 вшах)” {»1 = о / -./—¡Гс \т=1 ’
. ( г 3 Ятах |
[1 а0 \ о0 у
где яШах = 501 — максимальное значение напряжения в кессоне, вычисленное на предыдущем отрезке времени.
Из решения упруго-пластической задачи, которое было получено по уравнениям (21), (22) и представлено на фиг. 2, определена несущая способность кессона УИпред=Ы07 дан-мм. При этом
( я \п—1
полагалось А = 0, т. е. исключалась ползучесть, ?] = 1 —-------) ,
\ 5щах }
а изменение внешнего крутящего момента описывалось уравнением М — М0 + Л^т, где М0 выбиралось таким образом, чтобы вся конструкция деформировалась в упругой области. Поскольку я = я(х) является возрастающей функцией, то за несущую способность кессона условно принималось такое значение внешнего крутящего момента, при котором интенсивность деформации, определяемая
в рассматриваемой задаче как у '\^ > в наиболее напряженном волокне достигает 1%.
На фиг. .3 и 4 приведены картина перераспределения напряжений между отдельными элементами кессона и изменение отно-
сительного угла закручивания с течением времени при постоянном во времени крутящем моменте, составляющем 0,75 М
пред»
моменте, изменяющемся по закону М = М0 + Л/х(гГ), где М0 — = 0,424• 107 дан-мм, М = 0,1-107 дан-мм/мин.
Пунктирные кривые соответствуют расчету, выполненному без учета пластических свойств материала, т. е. В = 0 в формуле (7).
5^(0)
КО
0,8
т 0(0)^.
У X \ ч ^7 г (*) 0(±)
5п(0) 0(0) "
/
Эгг^) У
б гг (О)
/ \ 5п(*) $01 №)
/ ¿0,(0)
10 ± [мин]
Фиг. 3
у*; я в(г> 9(0) ¿и (¿) 5п(ОГ с / \''7/
7 / / / / А / / У* 2 № } / 522(0)
0(0) ^ГГ(И 5вг^)
1 3„(0) 5аг(0)
0,5 Фиг. 4
±[мин] /
Результаты расчета показывают, что при учете пластических свойств материала в конструкции имеет место более интенсивный рост относительного угла закручивания.
На фиг. 5 приведена картина перераспределения напряжений и изменение относительного угла закручивания с течением времени при
циклически изменяющемся внешнем крутящем моменте. При уменьшении внешнего крутящего момента принималась линейная связь между « и у, т. е. в формуле (7) принималось В = 0.
Полученные результаты числового расчета свидетельствуют о высокой скорости сходимости последовательных приближений. Так, расхождение между величинами напряжений, соответствующими второму и третьему приближениям, наблюдаются в третьем знаке.
* *
*
ЛИТЕРАТУРА
1. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М.,
«Наука», 1966. ,
2. Ильюшин А. А., Поспелов И. И. О методе последовательных приближений в задаче о неустановившейся ползучести. Инженерный журнал, т. IV, вып. 4, 1964.
3. Поспелов И. И. Метод последовательных приближений в задаче о неустановившейся ползучести и нелинейной упругости. «Ученые записки ЦАГИ», № 2, 1970.
Рукопись поступила 26/VI 1969 г.
