Теория тонкостенных стержней металлоконструкций кранов в упругопластической стадии Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.4(076.5)

Н. Н. Панасенко

ТЕОРИЯ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ МЕТАЛЛОКОНСТРУКЦИЙ КРАНОВ В УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ СТАДИИ

Методика расчета сложных пространственных металлоконструкций кранов из тонкостенных стержней с учетом развития пластических деформаций и определения их несущей способности опирается на классические положения теории тонкостенных стержней [1] и включает в себя: а) учет упругопластических свойств материалов при эксплуатационном нагружении; б) составление и решение статических уравнений равновесия по деформированному состоянию [2]. Деформационные уравнения равновесия тонкостенных стержней, работающих за пределом упругости, позволяют исследовать напряженно-деформированное состояние (НДС) упругопластических стержней на всех этапах нагружения, вплоть до исчерпания их несущей способности, причем на форму поперечного сечения стержней, а также на число и расположение пластических областей никаких ограничений не накладывается. Уравнения равновесия стержней при упругопластических деформациях получены на основе следующих предпосылок [3]:

1. Не учитывается влияние как касательных напряжений и сдвигов, так и нормальных напряжений с„, с, (в силу их малости) в выражениях для интенсивности деформаций и интенсивности напряжений, где с„, с, -напряжения, действующие соответственно вдоль нормали и касательной к средней линии профиля тонкостенного стержня (рис. 1).

Рис. 1. Тонкостенный стержень открытого профиля

2. Материал в пластической стадии принимается несжимаемым (цП = 0,5), причем с, = с/; е =

3. Нагружение стержня считаем простым, а деформации активными.

4. Зависимость между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций имеет вид [4]:

с, = Е (1 -у(е, ))£,., (1)

где о, - интенсивность напряжений; е - интенсивность деформаций; у(ег) - функция пластичности, определяемая по опытным данным; Е - модуль упругости 1-го рода. Для материала, обладающего идеальной упругопластической диаграммой деформирования (рис. 2), функция пластичности может быть записана в виде

у(е) = 1 - е / е, (2)

где е - относительная деформация, соответствующая пределу текучести материала (см. рис. 2). Работа напряжений, совершаемая при переходе единичного объема стержня металлоконструкции крана из недеформиро-ванного состояния в деформированное, равна:

Ж = | о,ёе, + К (А2/2), (3)

0

где К - модуль объемной деформации; А - объемная деформация; остальные обозначения - см. формулу (1). Согласно предположению о несжимаемости материала, второе слагаемое в формуле (3) следует положить равным нулю. Тогда полная энергия деформации тонкостенного стержня будет:

V = Ш| )оА< V . (4)

М К 0 )

В формуле (4) dV = dA ■ dZ - элемент объема стержня; dA = 5- dS -

элемент его площади А; dZ, 5, dS - линейные размеры элемента.

(7

н Э Є

0 Вт Щ . 8

О V

Рис. 2. Идеальная упругопластическая диаграмма деформирования тонкостенного стержня

На основании соотношения (1) полная энергия деформации (4) будет:

V = (E ||} г)М ■ dZ -1 Е \]м ■ dzY\ ¥(є,. )є,^є,. І, (5)

V2 )о о \ оо До )

где функция пластичности у(е) определяется согласно (2).

Пусть на стержень металлоконструкции крана длиной I действует внешняя распределенная нагрузка qx, ду и qz, не изменяющая своего направления в процессе его деформирования под действием внешних нагрузок. Тогда работа внешних сил будет:

и = I ^Лс + qyhc + qг Сс У2 , (6)

о

где Ър, ПС, СС - перемещение точки С (вх ву, юС) вдоль осей X, У, X местной системні координат стержня, где через вх, ву, и юС обозначены координаты линии, вдоль которой приложена распределенная нагрузка qх, qу и qz (рис. 3).

Рис. 3. Нагружение тонкостенного стержня

Работа касательных напряжений свободного кручения стержня определяется по выражению

Ук = |^|с2еж|^ , (7)

где с2 = СЗ у - приведенная жесткость свободного кручения; 0 - угол закручивания; 3^ - момент инерции свободного кручения.

N п 3]

3 = V/3Е353 -V/3££у(ег)Я3, (8)

1 1 Я,

причем в формуле (8) Яь Я] - криволинейные координаты начала и конца пластической зоны по контуру поперечного сечения стержня; п - число пластических зон; V - опытный коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения: для двутавра V = 1,2, для тавра - 1,15, швеллера - 1,12, уголка - 1,о; N - число разбиений. Осевое относительное удлинение г2 является функцией производных от обобщенных перемещений £, Ъ, П, 0, поэтому функционал полной энергии при «естественных» граничных условиях с учетом (5), (6) и (7) примет вид

1

п = V - и + V, = I Ф(5, Ф', ц, ц', ц", X, X', X", 0,9', 0')dz . (9)

Вариационный вывод деформационных интегродифференциальных уравнений равновесия тонкостенных стержней открытого и закрытого (замкнутого) профиля, работающих за пределом упругости, осуществляется из условия экстремума функционала полной энергии (9). Принятые предпосылки (см. пп. 1-4) позволили получить сравнительно простую математическую модель (ММ) упругопластического тонкостенного стержня металлоконструкции крана. Уравнения его изгиба в 2-х плоскостях и кручения имеют вид [5]:

(Еіу X")" + [(1 - Зу/Зх К0Ґ - & (Х'+«у 0)1 -

-((к/у/оЛ)Рхмо0') -к(ех-еу0)]-qx = qx

(ЕЗхЦ")" +[(1 -/х/у К0Ґ - &(ц'-«х0')]' -\"

(а)

(б)

-((к/х/о^ )р уМо0')" - [qг (ву - вх0)1 - qy = qyy; (1о)

(кш0")" - (о/0')'+(Мх - д2«у )Х"+(Му + д2«х )ц"-

- [ш2 - 2рхМу + 2руМх + 2ри£и)0' ] - (qгЮс) + (в)

+ [(А (вх - «х ) + qy (ву - «у )]0- т = ту ,

В формулах (Ю) ах, ау - координаты центра изгиба тонкостенного стержня:

х швх / х; (11)

«у = Яй',ву1/у ,

где Яю х и Яюу - секторально-линейные статические моменты сечения

относительно осей х и у, определяемые при расположении полюса в произвольной точке В:

Яш*(у) = I щу(х)йА , (12)

о

а ю - секторальная площадь; /х, Зу, Зю - его главные осевые и секториаль-ный моменты инерции поперечного сечения; /к - момент инерции чистого кручения; рх, Ру, рю, к2 - геометрические характеристики, определяемые по формулам:

Р х =(1/2 3у )|х( х 2+у2)йА - «х;

А

р у =(1/2 Зх )| у( х 2+у2)йА - «у;

ри=(1/2 3 и)| ю (х2 + у 2)йИ;

А

к2 = (зх + 3у/А)+ а1 + аУ .

В уравнениях (10) qхsv, дуц, ту - интенсивности дополнительных распределенных нагрузок по длине участков стержня, претерпевающих пластические деформации. При линеаризации отдельных слагаемых системы (10) использованы дифференциальные зависимости, применяемые при расчете тонкостенных стержней по недеформированному состоянию (см. рис. 1, 2):

ЕА^ = а;

Е3хг\" = -Мх;

Е3у Х" = Му; (14)

Е3 ю9" = -Вю;

03, 0' = М о.

Начальные несовершенства и остаточные напряжения в (14) учитываются при численном интегрировании системы (10), а интенсивности дополнительных нагрузок вычисляются по формулам:

дху = (Муу)'+(0Мху)' - [(0' а у +х')бг¥1;

дуу = -(Мху)' + (0Муу)' - [(л' - 0'ах )бг¥ I;

т¥=-(В¥)' -|фг/А -агТс К -

- 2(Му/3у )/у¥р х¥ + 2(МХ/3Х )3хур

+ 2(Бю/3ю)3юу + 2(Б/3ю)3юурюу ] } -

- [(Х'ау - Л'ах 1 - Л'Муу - Х Мху ,

где 0гу, Мхц1, Муц, Бц - дополнительные внутренние усилия, определяемые от разности напряжений: упругих о2 = Ег2, и действительных ог-, определяемых из принятой диаграммы деформирования ог- - ег- (см. рис. 2): Ку,

°Г)Ау (15)

-'уу +

Рху, Руу, Рту, /у, «/у, /шу - общепринятые геометрические характеристики, вычисленные для пластических областей относительно главных центральных осей всего поперечного сечения тонкостенного стержня (см. рис. 1).

Внутренние усилия в поперечных сечениях тонкостенного стержня при упругопластических деформациях, связанные с напряжениями о2, имеют вид:

Му= -1о2хМ = -1(1 -у(ег))е2ЕхМ = му -Муу;

А Л

Мх= I о^Л = | (1 -у(е г ))е ЕудЛ = му - Мху;

Л

А (16)

В = I о2ЮйЛ = I (1 -у(е2 ))е2ЕаМ = Вуп - Ву;

2

Л

й = I о2^4 = I (1 - у(е2 ))е2ем = - й,

г

А

где МУуп , муп , Вуп , йУ - соответствующие внутренние усилия, вычисленные по деформированной схеме как для упругих стержней:

Му = Е/,X - (./у /Л ]Мх9 - (ЕЗу/ОЗ,) рхМ09';

МУ = -Е/ХЧ/х//, )Му0 + (Е/х/О/,) р уМо9';

(17)

Вуп = - Е/ Ше" + (Е/ и/О/,) РИМ о9';

й"1 = ЕЛ [<;' + (0)2 (к72)].

В выражениях (16) М^у, Мху, Ву и й2у - дополнительные внутренние усилия, появляющиеся за счет развития пластических деформаций. При линеаризации нелинейных слагаемых в (17) использованы дифференциальные зависимости (14). Рассмотрим случай, когда материал тонкостенного стержня металлоконструкции крана обладает идеальной упругопластической диаграммой деформирования (о - £г) Прандтля (см. рис. 2). Функция интенсивности деформаций (функция пластичности) из (1) примет вид

¥(г2) = 1 -£т/£2 , (18)

где еТ - относительная деформация, соответствующая пределу текучести материала стержня. Нормальные напряжения в поперечном сечении тонкостенного стержня представим в виде

О2 = оуп-02¥, (19)

где оуп - нормальное напряжение при относительном удлинении е2 в случае идеального упругого процесса. Дополнительное напряжение, возникающее за счет развития пластических деформаций с учетом (18) (равное

нулю в упругой области), будет:

02« = Е^(е2) е2.

Полный вектор дополнительных внутренних усилий в тонкостенном стержне, учитывающий появление пластических деформаций, представим матричной формулой:

{ву}= {вувувуМ^МуМуВу}Т, (20)

в которой отдельные компоненты вычисляются по формулам (Т - индекс транспонирования):

вху = (бХ7 /у ) /уу - ЙУ”//* ) /у у -

- ((ву//,)/уу + (вГ//у )/уу )е + (м 2” - о/ ,е'/а)5туу;

вуу = (вГ/у ) /уу-в?//х ) /у --((ву/ /х) /хуу+(вг/ /у Ку)е+(М2” - О/ е' / и) Я^у;

в2у=(0Г -(вГ/Л)) \-(МУ//у ) Яуу +

+ (мг//х) 5ху+(Ву7/„) 5Щу;

Мху=-(о7-(ву/ л)) Яу+Му! /) /ху-Мг/ /у) /хуу+

+(вув/ /и) яхщ + ((му1/у) /у+(мг// )/хуу)е;

Муу = (о -(в2в/л)) Яу+Му/у) /уу-МУ/х) /хуу-

- Ву7/) Яу^у - М/) /уу + (му/у) /уу) е;

М2у=(ву//у - ву/х) - (ву// - (вг//у) е) яИуу+

+ (му - О/,е'/и) /Иу;

Ву = -О - (вУ"1 л))?т¥ + (мг/х )ЯхШу - (му/у ЯуШу + (в^/// + (21)

+((мг// )яуШу+(м;7/у )0-

Представление нормальных напряжений в виде (19) позволяет достаточно просто получить формулы для дополнительных внутренних усилий (21) и дополнительных нагрузок дху, дуу и ту из (15). Определение дополнительных внутренних усилий (21) в случае, если тонкостенный стержень выполнен из материала с упрочнением по произвольному закону, например, при линейном упрочнении в пластической области, осуществляется с учетом выбора соответствующего вида функции пластичности (18).

Рассмотрим граничные условия в задаче расчета несущей способности тонкостенных стержней металлоконструкций кранов [5]. Закрепление отдельных стержней должно обеспечивать геометрическую неизменяемость их пространственных металлоконструкций. Кинематические граничные условия для перемещений ^, X, Л и углов закручивания е тонкостенных стержней и их первых производных сохраняются такими же, как

и при расчете по недеформированной схеме и зависят от способа прикрепления стержня к опорам либо другим тонкостенным стержням. Однако статические граничные условия претерпевают изменения, связанные с переходом к расчету стержня по деформированной схеме [6] и развитием пластических деформаций. Статические граничные условия вытекают из формул (16) после подстановки в них координаты 2Г граничных сечений:

± МхГ = му - Муу;

± Мхг = Му - Мху; (22)

± Вг = Вуп - Ву;

± в2Г = вУП - в2¥ .

Знак плюс в (22) принимаем для конца стержня, а знак минус - для начала. Мхг, ..., вгг - внешние силовые факторы, зависящие от способа передачи внешних нагрузок в граничных сечениях стержня. Упрощенный

вариант граничных условий получится, если Муп,..., в у” из (17) будут

определены по формулам (14) (см. рис. 1, 2).

Далее рассмотрим деформационный расчет тонкостенных стержней при упругопластических деформациях методом последовательных приближений. Изучение НДС тонкостенных стержней металлоконструкций кранов с учетом физической нелинейности материала осуществляется по деформированному состоянию с использованием нелинейных интегро-дифференциальных уравнений (10) и граничных условий (22). Для решения задачи наиболее приемлемым по точности результатов и затратам машинного времени ЭВМ оказывается итерационный процесс, основанный на линеаризации нелинейной краевой задачи (10) и (22) в комбинации с методом «упругих» решений А. А. Ильюшина [4], согласно которому в нулевом приближении все дополнительные нагрузки (15) полагаются равными нулю и проводится расчет упругого тонкостенного стержня по деформированной схеме. По найденным внутренним усилиям (17) определяются границы между упругими и пластическими областями поперечных сечений, вычисляются дополнительные внутренние усилия (21) первого приближения и уточняются граничные условия (22) и т. д. Процесс последовательных приближений заканчивается, как только разница между значениями интенсивности дополнительных нагрузок (21), полученных в двух соседних приближениях, достигает требуемой точности (± 3 %). По существу, метод последовательных приближений позволяет систему нелинейных интегродифференциальных уравнений (10) заменить набором линейных дифференциальных уравнений с постоянными в каждом ^-приближении правыми частями д^, д у^, т^) (15). Полученная система

уравнений решается методом коллокаций [3], сводящим систему линеаризованных дифференциальных уравнений (10) к системе алгебраических

уравнений, решение которых осуществляется в виде линейной комбинации базисных функций

Х = /0 (2)+ ±а/ (2 )

1=1

п = Ф0 (2)+¿ь,ф,(4 (23)

1=1

0 = у0 (2)+Ес,у,-(2),

1=1

автоматически удовлетворяющих граничным условиям. Потребовав, чтобы базисные функции (23) удовлетворяли системе (10) в ряде точек поперечного сечения 2/ (/ = 1, 2, ., п), получают систему алгебраических уравнений относительно неизвестных а, Ь, с, решая которую находят перемещения X, Л, 0 и соответствующие внутренние усилия.

В заключение укажем, что задача об определении несущей способности тонкостенного стержня решается шаговым методом, при этом за несущую способность принимается такая нагрузка, при которой метод последовательных приближений начинает расходиться, что соответствует появлению неустойчивого решения системы линеаризованных уравнений (10), связанного с явлением физической неустойчивости положения равновесия.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Власов В. З. Тонкостенные упругие стержни. - М.: Физматгиз, 1959. - 566 с.

2. Панасенко Н. Н., Левин А. И., Юзиков В. П. Статический деформационный расчет пространственных тонкостенных стержневых систем произвольного вида // Изв. Сев.-Кавказ. науч. центра высш. шк. Техн. науки. - 1988. - № 4. -С. 134-138.

3. Юзиков В. П. Вариационный вывод деформационных уравнений равновесия тонкостенных стержней открытого профиля при внецентренном сжатии за пределом упругости / Новочеркасск. политехн. ин-т. - Новочеркасск, 1977. -Деп. в ЦИНИС 17.08.1977, № 725. - 17 с.

4. Илюшин А. А. Пластичность. - М.; Л.: Гостехиздат, 1948. - 376 с.

5. Панасенко Н. Н., Юзиков В. П. Тонкостенные стержни металлических конструкций грузоподъемных кранов. - Астрахань: Изд-во АГТУ, 2000. - 100 с.

6. РД 24.090.83-87. Нормы расчета пространственных металлоконструкций грузоподъемных кранов атомных станций на эксплуатационные и сейсмические воздействия / Н. Н. Панасенко, В. П. Юзиков и др. - М.: Минтяжмаш, 1987. - 264 с.