Расчет геометрически и физически нелинейно деформируемых тонкостенных стержней на прочность, устойчивость и колебания Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 624.04

РАСЧЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ И ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНО ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ НА ПРОЧНОСТЬ, УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ

© 2007 г. Г.В. Воронцов

«Геометрическая» нелинейность задач об определении напряженно-деформированного состояния (НДС) стержней может быть обусловлена как существенными несовершенствами (начальная погибь и т.п.), так и развитием при нагружении значительных напряжений, не позволяющих производить расчеты НДС стержней по так называемому недеформированному состоянию.

«Физическая» нелинейность задачи обусловлена нелинейной упругостью, развитием пластических деформаций и деформаций ползучести материала, которые, естественно накладываются на «геометрическую» нелинейность. При этом в процессе нагружения стержней изменяются модули псевдоупругости и другие характеристики материала, превращающиеся в функции возрастающих интенсивностей напряжений, например при простом нагружении.

В настоящей работе рассматриваются различные типы нагружения стержней без начальных геометрических несовершенств, но с возможными остаточными технологическими напряжениями (или напряжениями, вызванными предварительными загружения-ми).

1. Статическое нагружение силами заданной величины (задачи об определении НДС, проверки устойчивости, оценки деформаций ползучести за определенное время).

2. Простое (статическое) нагружение упругопла-стических стержней силами, возрастающими пропорционально одному коэффициенту (задача определения несущей способности).

3. Циклическое низкочастотное нагружение стержней, несущих в качестве основной нагрузки постоянные силы.

4. Нагружение упруговязкопластических стержней постоянными силами в течение длительного нагружения - вследствие деформаций ползучести изменяется НДС.

5. Колебания стержней из упругих и упругопла-стических стержней при действии произвольной динамической нагрузки.

В настоящей работе предложены:

- нелинейные дифференциальные уравнения совместных деформаций косого изгиба, кручения и растяжения-сжатия стержней, а также соответствующие краевые условия при произвольных нагружениях и законах деформирования;

- метод линеаризации, основанный на введении в дифференциальные уравнения и краевые условия последовательно уточняемых внутренних сил в поперечных сечениях стержней;

- метод линеаризации, предусматривающий перенос в «правые» части дифференциальных уравнений нелинейных слагаемых, трактуемых как последовательно уточняемые интенсивности фиктивных нагрузок;

- метод составления матриц жесткости тонкостенных стержней, моделируемых элементами с 14 степенями свободы.

Рассмотрены методы расчета стержней, выполненных из упругих, упругопластических и вязкоупру-гих материалов.

Для линейно деформируемых материалов с постоянными и равными (при растяжении и сжатии) модулями упругости принимаем (рис. 1,а)

E

o=Eе, E=const; G=—---=const, u:=0.

2(1+ц)

Для нелинейно деформируемых упругих материалов (рис. 1,6) вводим зависимости

°:=Ecr (еиН А°:=Etn (еи )Ае- (1)

Здесь Ecr (е и ), Etn (е и ) - непрерывно дифференцируемые функции переменной интенсивности деформации е и, определяющие «секущий» (cr) и

«тангенциальный» (tn) модули упругости.

Для упругопластических материалов с непрерывно возрастающим сопротивлением деформациям (при простом нагружении) сохраняем формулы (1).

Закон деформации упругопластических материалов с остаточными напряжениями О оСТ (рис. 1,е) при простом нагружении описываем формулами

О:=Оост + Ecr (еиН Ао:=Etn (еи)Де

е n =е zy¡ 1 = 0,75 (y Ц е 2), (2)

причем в подкоренном выражении формулы (2) принимаем

е;=°осг+е.

E

Напряжения в материалах, закон деформирования которых соответствует диаграммам рис. 1, г и д, определяем по формулам:

[ Eе...е<е т, f E1е...е<е т, [ат ...е>ет, [^е т+E2 (е-е т), е>ет.

Iе

tga^^) tge^^e)

G

ап

G

G

AG(t) = Ем(Г)Ае(Г) Ем(Г):= tga(t)

G

сти.

t+At

Ag()= | П(t-c)A£(c)dc, Пм(t):=

Применяя теорему о среднем, полагаем

Г1 ^

Ао(г)= Пм 2Аг ЕЪ (£иМг):=Ем (и)Ае(г)•

V2 у

Здесь П м (г) есть переходная матрица уравнения

(3); Ем (е и ) - своеобразный модуль упругости Максвелла.

Для модели Фойгта по аналогии принимаем

Ае( )= Е-1 (е и )Ао(г).

1. Нелинейные дифференциальные уравнения изгиба и кручения тонкостенных стержней

Дифференциальное уравнение относительно прогибов ) стержня в направлениях осей X1А центров изгиба «сопровождающих» плоскостей поперечных сечений принимаем в виде (рис. 2, 3)

// г t

(() - qx+(myA+emxA) - (xv>Xe)

-(Eixne)-[EF Z((+«у e')" -[ Eiye'(e'e x+0]"=0.

(4)

д е

Рис. 1. Диаграммы растяжения различных материалов при одноосном напряженном состоянии

Для упруговязких материалов, отвечающих модели Фойгта (последовательное соединение «элементов» упругости и ньютоновской вязкости), полагаем

Ао()=Е1§ (еи )Ае()+ЕвАе(г).

Для модели Максвелла (параллельное соединение «элементов»)

Ао(г)+Е^ (еи)ЕВ:Ао() = Е^ (еи)Ае(г). (3)

Здесь Ев - коэффициент ньютоновской вязко-

В качестве примера приведем решение уравнения

:exp{EtgEJ-1t}-

Соответствующие краевые условия записываем в форме

(г)'-ег+(+тА )-

-((ухЛ'е)'-ЕГхп'е'-ЕЕ £'((+ау&)--[ыу е'(е'(3 х+л')]'} = 0; (5)

{Е/у уА +еМхА)-Е^ухП"е-

- Е1 у е'(е'в х+л')'} = 0.

г г

Аналогичные уравнения прогибов в направлениях

осей 11а составляем перестановкой индексов х, у и

изменением некоторых знаков, подробнее см. в работах [1, 2].

" I \

(Е1хЦ) -Чу-(а-етуА) +

+((уУх^е)''-(('е')'-[ ЕЕ ахе)--_Е1х#(( у -?)) = 0;

£

б

а

0

в

г

{(£IX)'+ Q У-(( +QmyA )-

-(v^'e)'-ElyÇ'Q'- EFZXn- axQ')-"EIye'(e'ßy+?)"

= 0;

(6)

{eix^+(mXa-eM TyA )-EIxVyx^e-- EIxe'(ß y -Ç')} = 0.

Z г

(7)

ЛА.

Рис. 2. Главные оси изгиба и кручения деформированного элемента тонкостенного стержня

Хс

A Za

-— -_^

г v1

zsi7w

*Z,

ldz1 LM^jt

'Yai

Рис. 3. Стационарные и сопровождающие оси линии центров изгиба тонкостенного стержня

Дифференциальные уравнения относительно углов закручивания 9(г) имеют вид

(EIœe0 -((крe') -(mzA +nmyA +^'mxA -(EIy W-EIx nT)-((Fr 2Z'e')'-

-( ei roßro(e')2 )' =o. (8)

Краевые условия

I {El ¿ту - GI Кр e'+(MlA + n'M Ул+%мтхл )+ +ью-(ЕуГл'-EIxn't)-EFr 2Z'e'-

2

0;

-(EI roßm(e')' œe'+Bm- EI roßro(e')2} = 0.

(9)

Наконец, уравнение и граничные условия относительно деформаций растяжения - сжатия записываем в форме

(ЕЕС0' + Чг -[ее[?(('+^9)+л/(л/-я*9>

+9'( г 2 + £'^-П а* ) )}=0; [ЕЕ С-& + ЕЕ Г^((+^ 9)+л/(л- ах9')

+e'(e' r 2 + Ç'ay-n' ax )]

+

■ o. (10)

A1

Выражения (4)-(10) составляют совместную систему нелинейных дифференциальных уравнений и краевых условий, физические параметры которых, т.е. модули псевдоупругости, в общем случае зависят от

интенсивностей £ и (x ) деформаций, причем

£и (x)=:£и [оz1 (x),Тzs1 (Х)], x=[х ! y ! z j ю]*.

Индекс * здесь и в дальнейшем означает операцию транспонирования матриц. В задачах, связанных с учетом ползучести материалов, все функции n, e, Z, кроме того, зависят от времени.

Уравнения (4)-(10) составлены на основе принципа минимума суммы потенциальной энергии и потенциала внешних сил, причем для определения относительных линейных деформаций принято выражение

£ zi = [х-n'y-е'ю]+ 1

^)2+(n')2+(e')2 р2 ]+

e(('y-n'x)+e n (x - ax )-£'(y - ay )

(11)

см. работы [1-5]. В уравнения (4)-(11) введены следующие обозначения геометрических характеристик поперечного сечения:

г

г

Ix = Jу2dF, Iy = J x2dF,

F F

Iro = }ra2dF, IKp = 3<J>8(T)ds;

F

x = x + nsina, у = у - ncosa, ю=ю-nhi; h (s ) = (x - ax) sina(s )-(y - а у )cosa (S),

hi (S) = (x - ax )cosa (S) -(( - а у )sina (s),

Ю'

(s )=$h (s v)x=1-I-jL, v=1-I~r;

у

JxdF = 0, JydF = 0, JradF = 0;

F

F

F

J xydF = 0, J xradF =J yaidF = 0.

F 1

F

F

2вх = у-1 хР, Р2 = (х-ах) +(у-ау) •

'у Е

Черточками отмечены координаты точек срединной линии поперечного сечения.

2. Дифференциальные уравнения колебаний нелинейно деформируемых тонкостенных стержней

За основу принимаем дифференциальные уравнения (4)-(10), внося в них следующие изменения и дополнения [4]:

|:=|(гД П:=П(г,г), е:=е(г,г), С:=С(г,г);

туА: = туА (г,г) тхА: = тхА (г,г), тгА: = тгА (г,г);

ех :=ех (г), е^ :=еу (г);

МТуА = Ка(г), МхА:=^А(г),

м1а:=м!а (г); йт:=Ьт(2,г), ВГт:= В^(г).

В правые части уравнений включаем дополнительные инерционные усилия:

Ад™ (г,г ):= т1 (г,г)-^ (г ) (г,г )-

туА(г,г )5уА(г)+

+П'(г,гУухА (гК(г,г>уА (г)+е'(г,г>тхА (г)]

+

Aq ™ (г ,t ):=-m(z )fi (z,t)-SyA (z )e (z ,t)+ [Z' (z,t )SxA (z)-n' (z,t >'xA (z)-(z,t )yxA (z )

-e' (z,t )za>yA (z)

AGx (z r ,t ):={-M Г % (z,t)-SyA (z )ö (z,t )-

"[Z (z,t )SyA (z)-n '(z,t )уА (z)+(z,t )yA (z)+ +e'(z,t)'mxA(z)}7=7 ,

AG у (z г ,t ):={-M г ü (z ,t)-SyA (z )ö (z,t)+

+[Z (z,t )SxA (z )+П' (z,t )ixA (z )-(z,t)iyxA(z)-e'(z,tKyA(z)}z=zг ;

AMyA (t):=-[Z(z.t)SyA (z)+П'(z,t)IyxA (z)-(z.t)IyA(z)-e'(z,t)ImxA(z)]z=zг ,

Ma (t ):= - [Z (z, t )SxA (z )-H' (z,t )IxA (z )--%' (z,t )IyA (z )-e' (z,t )I ЮуА (z )"

z=z г

АтгА (г ):= [^ (г ,г >уА (г)- ^^ (г ,г )хА (г )+ +е (г,г )[г'хА (г)+V (г х;!' (г,г >туА (г)+(г,г >тхА (г

ам1а (г г ,г ):={[^1 (г,г )^уА (г )+(г,г (г )-

-ее' (1хА (г )+1уА (г ^^ '(г,г )1 туА (г )+(г ,г )7 юхА (г )_

АВю (г г,г ):= (г,г туА +1 (г,г )1тхА - Е1т(г)ее' (г,г )2

Здесь введены следующие обозначения: |и - интенсивность масс, распределенных по срединной поверхности; т,5ха,$Ау,гуА,'",гутА - погонная масса ее и статические моменты и моменты инерции

т = яха = ф|(у - а у ),

•V = <Мх - ах);

1Ау = - ах )2^,

*ухА = <Нх - ах )(у-ау )) 1утА = $1т(х - ах );

Мг,^А,/ТуА,^А,1 тхА- суммарная масса,

статический момент и моменты инерции масс, приложенных по торцам

Мг = фтг, БТа = $тг(х-ах)сВ,...,

1 т хА=$т г (х - ах ^.

3. Матрицы жесткости и инерционности тонкостенных стержней

Условие мгновенного условия равновесия стержня, загруженного постоянными q ст (г, ) и переменными с}д (г,,г) силами, массами т(г,5т ) и

моментами инерции ц (г, 5т ) составляем по принципу возможных перемещений, полагая

№ = -}ёг } 8е(й (г,г))Ее(и (г,г))Е-Ь Е(г)

Ь

*

D =

d

! ! !d2! !

d

1

—I__I__I----1—J—

d

d

--(__!__!----1----и —

0|0 j0j 0 | 0 | 0

и матрица-строка

П1 =[%'-e'(y-ay ) n'+e'(x-ax) %y-n'x |

!(e')2 p 2-%'(y - ay )+n'(x - ax )

Полагая в уравнении (13)

и (хх,г )=¥ (XX )ии (г), 8и (х)=¥(х)8й,

где ^ (х) - матрица некоторых аппроксимирующих

функций; и (г) - вектор обобщенных перемещений, в конечном счете получаем

н=|{[П 0+п^и )о] у}*х П 0 + 2П1 И) у |

При составлении инерционной массы вводим вектор V (х,г) перемещений отдельных точек стержня и

удельные массы т (х).

+

К* ,t ):=

+ J8Ü * (z,Sq ) q ст (z,Sq ) + q д (z,Sq ,t)

dz-

ux1(x,t) uy1(x ,t)

uz1(x ,t)

0

-J8ti' (7 sm )* m (7 sm ) (z, sm ,t )dz-

0

L

-J8u ( sm )V ( sm )«( sm )dz = 0 (12) 0

0

I r\ I

1

-(у - ay)

x - a.

0

xd | -yd | -rad 11

"%(*,t ) n(*,t)

e(*,t) Z(x,t)

(14)

В условии (12) введены выражения:

i*,t )=

П 0 + 2 П1 ((xt ))D

u (x, t);

V (Х,г ) = П 2 (X, ё )и (г,г ):= П 2 (X, ё )у (г )и (г);

ё=:ё / ёг. (15)

Возможную работу сил инерции определяем выражением

§^ин = Jsv * (X ,г )т (X )(Х ,г )ё¥,

V

Здесь матричные дифференциальные операторы где в общем случае под V понимаем как объем

стержня, так и масс, прикрепленных к нему. С учетом ё = ё / ёг' выражений (14), (15) получаем следующую формулу для вычисления инерционной матрицы:

8£(* )=[П 0 + П1 (ii (z, s ) )D]8u (* ).

(13)

п 0 =

2 1 2 1 2 1

xd \ yd j rad j -d

M = J[n 2 (x, d (z )] * m(x )>

V

<[П 2 (x, d (z )]dV.

Матрицу К и диссипативности стержня часто определяют выражением [3]

К и = С1И и+с2М и, где С1,С 2 - постоянные коэффициенты.

4. Методы линеаризации дифференциальных уравнений

4.1. Метод линеаризации, основанный на введении в дифференциальные уравнения последовательно уточняемых внутренних сил

Введем условные внутренние усилия в поперечных сечениях стержня:

Мх = | а 21 уй¥, Му = -} а лхй¥,

Е Е

5ю = }а, N = |аг^Е.

Е Е

M My

EIX EIy

EI ю

(18)

(16)

Mx = EIx

My = EIy

n-eir+er-(e')2 ß x

^+e^-e'n'-(e')2 ß

B = -EI

N = EF

Здесь обозначено:

[e'-(e')2 ß0

Z1 +e'((ay-n' ax)

(17)

Г 2 = -1 Jp 2dF,

2 2

+2 Е (9')2 (р 2 - г 2).

Выделим из соотношений (17) производные

N М кр

=Л.+8^'; 9'=——+89', ЕЕ 01 кр

где 8П, , 89", 8С есть малые второго порядка.

Подставим выражения (18) в уравнение (4), пренебрегая малыми высших порядков,

(EIy£") -qx + ( + e^xA ) +(yxMxe)

-(Mxe')-[ n ((+ay e'))-

EIy

+

+(

—^m кр (e'ß x+n')

GI кр

=0.

Подставляя выражение (11) в формулы (16) и выполняя интегрирование по площади поперечного сечения, получаем:

Аналогично получаем линеаризованное уравнение изгиба в плоскости УХ :

(Е1 хпТ - Чу - (ХА + 9туА) -

-(ухМу9) + ((Му9') (п'-^9'))' -

EIx

GI

'-Mкр (e'ßy -г)

кр

0.

Уравнение кручения записываем в виде

(Е1Ш9Т - (01 кр9') - (т2А +птуА + %тхА )--Ьт-(Му п'+МхГ)-((Т 29') +

+

EI

ю

GI

߻e'

кр

= 0.

Zi = Z'+2 [(?)2+(n')2+(eOzP

С учетом зависимостей (16) и (17) выражение для нормальных напряжений принимает вид

N Мх Му

а _1 =—+—- у--— х+

21 Е I I

х 2у

В 1

Здесь Ью (2) есть интенсивность распределенной

бимоментной нагрузки. Аналогично выводим уравнения граничных условий.

Естественно, все приведенные выражения составляют совместную систему нелинейных дифференциальных уравнений, в которые введены общепринятые обозначения для геометрических характеристик поперечных сечений стержня.

4.2. Метод введения в линеаризуемые уравнения фиктивных распределенных нагрузок

Метод, основанный на переносе в правые части нелинейных членов дифференциальных уравнений и

краевых условий был предложен автором еще в «докомпьютерные» годы и применен в [1-5].

Согласно рассматриваемому методу квазилинейное уравнение изгиба стержня в плоскости XX представляем в виде

" ' / V

(Ыу%') -Чх + (туА + етхА ) = Чф + [тфА ) ,

где фиктивные распределенные силы и моменты определяем выражениями

дф :=((хЛ'е)'+[ Е1 у е'(е'р х+0]";

m

ф

yA

:=(EIx Ve') + [EF Z'((+ay e'))',

где

аф :=(EIxVyxn e)+[ ei у e'(e'ß x+n))',

M yA=EIxtfe'+EF Z'(C-ay e);

ф

EI у %-(( yA +eMxA )=M ф

v^ya • ™r±xa) ya'

муа = eixvyx n'e+ei у e'(e'ß x +П).

Линеаризованное уравнение кручения представляем в виде

(Е1 те") + (кре') - ((А +птуА +1' тхА )-

-ьт = т фА + ((ф ))

т фА := (С/у ГП- Е/хП^'У - ( Ч'^)';

'ю •

EI raßra(e')2

(EIrae")]-GIкpe'+[MzA +nMyA +%MxA ) =

=м7А+(!

мфА:=EI у EIx^%-EFr 2Z'e';

zA y

£ф: "ю-

EI raßra(e')2

сравним с уравнениями (4), (5).

Для соответствующих краевых условий при

г = г г (гг: = 0, Ь ) принимаем

(Е/у %') - ех + (туА + етхА )=еф + (м )',

Граничные условия при г = гг —> (0, Ь )

Е/ те'+Рт-Е/ т(е')2 = 0.

Линеаризованные уравнения растяжения-сжатия стержня имеют вид

(Е^')' + Чг = дф;

дф^ЕЕ [$'('+ау е') +

-Ч /

+ л'(тГ-ахе')+е'(е'г 2 + %ау-лОх)

ЕЕС-ег ={ЕЕ [?('+ау е')+Л'(л- ах е')+ +е'( г 2+1'ау-п' ах)

Литература

1. Воронцов Г.В., Ольхов В.И. О дифференциальных уравнениях изгиба и кручения тонкостенных стержней открытого профиля // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1975. № 4. С. 7-12.

2. Воронцов Г.В., Ольхов В.И. Основные уравнения расчета тонкостенных стержней открытого профиля по деформированному состоянию, устойчивость и колебания / Новочерк. политехи. ин-т. 1977. С. 2-64. Деп. в ЦИНИС, 1978. № 890.

3. Воронцов Г.В., Ляшенко Е.А., Кузина О.А. Дифференциальные уравнения изгиба и кручения нелинейных тонкостенных стержней // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 1996. № 3. С. 127-142.

4. Воронцов Г.В., Кабельков А.Н., Кузина О.А. Дифференциальные уравнения задач об изгибно-крутильных колебаниях нелинейных тонкостенных стержней // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 1996. № 4. С. 67-73.

5. Воронцов Г.В., Кузина О.А. Тангенциальные матрицы жесткости нелинейно деформируемых тонкостенных стержней // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 1996. № 2. С. 115-130.

Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)

5 июня 2007 г