CC BY
60
____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 157, кн. 1 Физико-математические науки
2015
УДК 539.3
РАСЧЕТ УСИЛИВАЕМЫХ НАПРЯЖЕННЫХ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ ПРИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЯХ
М.Н. Серазутдинов, М.Н. Убайдуллоев
Аннотация
В статье описан вариационный метод расчета усиливаемых под нагрузкой тонкостенных стержневых систем открытого профиля. Приведены основные соотношения метода. Его основная особенность состоит в том, что он основан на использовании компонент деформаций для прямолинейной полосы, но применим для определения напряженнодеформированного состояния стержней, у которых продольная ось и срединная линия профиля поперечного сечения состоят как из прямолинейных, так и криволинейных участков. Представлены результаты расчетов напряженно-деформированного состояния тонкостенного усиленного стержня при упругих и упругопластических деформациях.
Ключевые слова: тонкостенный стержень, открытый профиль, усиление стержня, напряженно-деформированное состояние.
В настоящей статье изложен метод определения напряженно-деформированного состояния (НДС) тонкостенных усиленных стержней открытого профиля. Ранее аналогичный подход использовался для расчета нетонкостенных стержней [1]. Метод является достаточно универсальным, так как основан на простейших соотношениях теории тонкостенных прямолинейных стержней открытого профиля [2]. Он может использоваться для расчета стержневых систем, элементами которых могут быть прямолинейные и криволинейные стержни с различной, в том числе и криволинейной, формой профиля.
Нами приняты основные допущения теории тонкостенных стержней с учетом сдвигов [2, 3]. В глобальной декартовой системе координат Oxyz (рис. 1) вводятся мера депланации в(х), а также вектора перемещения и углов поворота с компонентами wi(x), Й2(х), йз(х) и ф\(х), ф>2(х), фз(х).
Деформации и напряжения вычисляются в локальной декартовой системе координат Ых^^, начало которой расположено на срединной линии поперечного сечения, ось Myt направлена по касательной к этой линии, а ось Mzt лежит в плоскости поперечного сечения стержня (рис. 1). Используются формулы [2]
йиАх) йф2(х) (х) dfd (х)
£Х = ;------+ z ;--------у——----------—— u(s),
Ixtyt
dx du2^) dx
dx
dx
dx
+ , ^з(хД , ^ф1(х) „ ) ,
ty + j ^ Д + j ^ р(ym, zm) +
dx
dx
+ ф2(х)Ьг - фз(х)Ьу - в(х)р(ут, zm) +
dф-l{x) dx
zt,
Ixtz
0.
(1)
141
142
М.Н. СЕРАЗУТДИНОВ, М.Н. УБАЙДУЛЛОЕВ
Рис. 1
Здесь u\, U2, из, <pi, у>2, Уз - компоненты вектора перемещения и углов поворота в локальной системе координат Mxtytzt; в - мера депланации сечения; p(ym, zm) = ymtz — zmty - длина перпендикуляра, проведенного из начала координат xyz к касательной к срединной линии сечения в точке M; w(y,z) = s) =
S
= / pds - “кто»"“ площадь "1Х>филя; <у •tz - "а"равляющ»е “у“ осей
Myt, Mzt;
y = ym + ytty + zttz, z = zm + yttz — ztty, ty = dy/ds, tz = dz/ds.
Для описания НДС стержневой системы используется теория идеально пластического тела, согласно которой в тех точках сечения, где возникают упругие деформации, зависимость между напряжениями и деформациями описывается законом Гука
ox = Еех, TXtyt = G^xtyt. (2)
В точках же возникновения пластических деформаций, согласно критерию пластичности Губера - Мизеса, oi = \JaX + 3rX2t yt = от, а нормальные и касательные напряжения следует определять по формулам
°Xl = oxJK, тху = Txtyt/K, (3)
где K = oi/oT; ох и TXtyt - напряжения, вычисленные с использованием закона Гука (2).
Из соотношений (1), (2) следует, что касательные напряжения и деформации сдвига можно представить в следующем виде:
Txyt = т + Txyt > Yxyt = Y + Yxyt, (4)
где т - постоянное по толщине стенки среднее касательное напряжение; -напряжение чистого кручения, распределенное по толщине стенки по линейному закону
т = GYi 4yt = GY:_
xyt
Y
dux(x)
dx
— У3(x)
ty +
du3(x)
dx
+ ^x(x)
tz +
d^i(x)
dx
— e(x)
zm) ,
Yxxy
xyt
=G
d<pi(x)
dx
■ zt.
Расчет НДС усиливаемой конструкции состоит из следующих этапов.
1. Определяются ремонтные напряжения op, тРу, Tpz, возникающие в элемен-
тах конструкции от нагрузок, действующих в период ремонта или усиления (ремонтных нагрузок);
РАСЧЕТ УСИЛИВАЕМЫХ НАПРЯЖЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ...
143
2. Проводится расчет НДС конструкции с учетом усиления элементов сооружения, действия эксплуатационных нагрузок и наличия ремонтных напряжений.
Компоненты перемещений элементов стержневой конструкции определяются из вариационного уравнения
SUe + SUp - 6W = 0, (5)
где SUe - вариация потенциальной энергии деформации стержневой системы в зоне упругих деформаций; SUp - вариация потенциальной энергии в зоне пластических деформаций; SW - вариация работы внешних нагрузок.
С учетом напряжений а%, TEtVt, возникающих от воздействия ремонтных нагрузок, выражения для SUe и SUp имеют вид
SUe
{<JxSex + Txtyt S7xt yj dA + // HSex + Tlyt S<tyt) dA
le Ay
Ap
dl+
+
Ip L АУ
(<JxS£x + Tltyt SYZtyt) dA + « tex + rStyt ix*yt) dA
ap
dl, (6)
где le, lp - длины участков стержней, в которых возникают соответственно упругие и упругопластические деформации; Ap, Ay - площади поперечных сечений до и после усиления; Ay, Aypi - площади областей поперечного сечения стержней, в которых возникают упругие и пластические деформации; Ap - площади сечений, в которых возникают упругие деформации и действуют ремонтные напряжения.
Отметим, что в выражениях (6) вместо напряжений и деформаций Txyt, Yxyt, определяемых по формуле (4), используются TZyt = т + k*Tlkyt и YZyt = Y + k*Ykyt, где к* - коэффициент, введение которого связано с особенностями теории чистого кручения стержней открытого профиля. Как известно [3], при чистом кручении узкой полосы касательные напряжения T yt , T Zt вносят одинаковый вклад в величину момента чистого кручения H. Следовательно, напряжения txZt должны вносить в величину потенциальной энергии деформации стержня такой же вклад, как и Txyt. Однако согласно принятой в теории тонкостенных стержней гипотезе безмоментности полагалось TxZt = 0. Для компенсации отсутствия в выражении (6) для потенциальной энергии деформации напряжения TxZt, в формулы Txyt, jxyt введен коэффициент к* [2]. При расчетах следует полагать к* =2.
Вариация работы внешних сил, действующих на стержневую систему после усиления, определяется по формуле
SW = J [qf (x)Sui (x) + qy (x)Su2 (x) + qy (x)Su3(x)] dl + lc
K
+ Y1 [F1k Su1 (xk) + РУк Su2 (xk ) + F3k SU3 (xk )
+
k=1
+ $3 \MySlUi(xi) + MySlU2(xj) + Scq3(xj)
j=i
Здесь lc - длина элементов стержневой системы; qy, qy, qy , Fy, Fy, Fy , My, My, My - нагрузки, действующие на конструкцию после усиления.
144
М.Н. СЕРАЗУТДИНОВ, М.Н. УБАЙДУЛЛОЕВ
Для вычисления интегралов, входящих в вариационное уравнение (5), применяется численное интегрирование с использованием квадратурной формулы Гаусса. Интегрирование проводится по длине стержней и площади их поперечных сечений с учетом зон упругих и пластических деформаций.
При использовании условия (5) стержневая система разбивается на N участков, на каждом из которых компоненты векторов перемещений, углов поворота и мера депланации представляются в виде рядов
м
uk = uk ^ ; Ckmfm (t) , ‘k
m=1
м
‘k =E Dkmfm (t) , f1
m=1
м
f1 = E B1mfm (t) ■
m=1
Здесь к = 1, 2, 3, i = 1, 2, ■ ■ ■, N; Сгкт, Dlkm, B\m - неизвестные постоянные; fm (t) - функции формы; fi (t) = 1 - 3t2 + 2t3 , f2 (t) = 3t2 - 2t3 , f (t) = t (l - t2) l, f4 (t) = (t3 - t2) l, fm (t) = (1 - t)2 t(m-3), 0 < t < 1, to = 5, 6,...,M.
Для определения коэффициентов C1m, Bim, D1m из вариационного уравнения (5) получается система алгебраических уравнений. После решения этой системы уравнений перемещения деформации и напряжения вычисляются по приведенным выше формулам.
Размер области пластических деформаций в стержнях определяется итерационным методом. На первой итерации деформации считаются упругими (Ap = 0), а на последующих итерациях в каждой точке интегрирования проверяется выполнение условия а1 = \JаХ + 3Tptyt < ат. При выполнении этого условия в точке возникают упругие деформации, а если а1 > ат, то данная точка относится к области пластических деформаций, и напряжения следует вычислять по формулам (3). Итерационный процесс определения областей пластических деформаций заканчивается при выполнении условия |(M(n) - M (n+1))/M (n+1)| • 100% < е, где е -заданная малая величина, M(n), M(n + 1) - наибольшие изгибающие моменты в сечениях элементов стержневой системы на двух последующих итерациях.
Отметим, что использование формулы (2) для касательных напряжений позволяет достаточно точно вычислять интегральные характеристики. Однако для определения распределения по сечению стержня постоянных по толщине стенки касательных напряжений т следует применять формулы, которые получаются из уравнений равновесии отсеченной части стержня. В частности, если на боковых поверхностях стержня отсутствуют касательные напряжения, а точка отсчета Oi выбрана внутри сечения, то можно полагать
т
т otc
E
d2ui(х) A + d‘2(x) S
7 2 A0 + 7 2 SOy
dx2 dx2
d2y3(x)
dx2
So
d2 e(x)
dx2
So
Здесь Soy = 11 zdA , Soz = y dA, SoU
w dA; Ao - площадь отсеченной
Ao Ao Ao
части сечения.
Усилия и моменты, возникающие в поперечных сечениях стержня, вычисляются по формулам
N = JJ ах dA + JJ а%1 dA, Qy = JJ Tty dA +JJ Tplt
АУ ау Ae Ap АУ Ap
Qz = JJ Ttz dA + JJ Tpltz dA, My = а xZ dA + JJ а]
АУ AP Ae Ae АУ AP
РАСЧЕТ УСИЛИВАЕМЫХ НАПРЯЖЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ...
145
а)
/ = 4 м
600
Рис. 2. Расчетная схема (а) и поперечное сечение стержня (б)
Табл. 1
Результаты расчетов
Вычисленные параметры ^1, рад в, м 1 B, кН-м2 Ap, м2
При действии ремонтных нагрузок Mp = 40 кНм, Fp = 500 кН
Без учета депланации сечения 0.0478 - - 0
С учетом депланации 0.0128 0.00465 117.0 0
После усиления стержня My = 80 кНм , Fy = 1000 кН
Без учета депланации сечения 0.0491 - - 0
С учетом депланации 0.0177 0.00637 198.0 0.00402
Mz = JJ axy dA + JJ tjX'y, dA,
Ay Ap
Ae Ae
B
ax^dA + / aXlwdA, H = k* Txtytzt dA + k* / rx tzt dA
АУ
AP
АУ
Ay,
pi
(rotc tzy - rotc tyz) dA + / / (rxltzy - rxltyz) dA.
АУ
Ayi
pi
В табл. 1 приведены результаты расчета консольного стержня, нагруженного силой и крутящим моментом (рис. 2, а). При усилении стержня его сечение в виде двутавра увеличивается за счет присоединения к верхней полке двутавра стержня с прямоугольным поперечным сечением (рис. 2, б). Материал основного и усиливающего элементов - сталь № 3 (aT = 240 МПа, E = 2 • 105 МПа) . До усиления на стержень действовали нагрузки M = Mx = 40 кНм и F = Fx = 500 кН, после усиления - M = My = 80 кНм и F = Fy = 1000 кН, эти нагрузки складываются из нагрузок, действующих в период ремонта и прикладываемых к конструкции после выполненного усиления.
В табл. 1 приведены максимальные значения угла закручивания стержня , депланации в, бимомента B, которые получены для стержня до и после усиления, с учетом и без учета депланации сечения.
Как видно из представленных данных, учет депланации сечений стержня оказывает существенное влияние на характеристики НДС усиленного и неусиленного стержней. При расчете без учета депланации сечений стержня возникающие деформации и напряжения являются упругими (Ax = 0). Если расчет выполняется с учетом депланации, то появляются зоны пластических деформаций (Ax = = 0.00402 м2). Таким образом, в случаях, подобных рассмотренному в примере, без учета депланации невозможно даже предсказать возникновение пластических деформаций в усиленном стержне.
146
М.Н. СЕРАЗУТДИНОВ, М.Н. УБАЙДУЛЛОЕВ
Summary
M.N. Serazutdinov, M.N. Ubaydulloyev. Calculation of Open Profile Thin-Walled Rod Systems Strengthened Under Load in Elastic and Plastic Deformations.
This paper presents a variational method for calculation of open profile thin-walled rod systems strengthened under load. The main relations of the method are described. The principal feature of the method is that it is based on the use of deformation components for a straightline strip and also applicable for determining the stress-strain state of rods, the longitudinal axis and median line of cross-sectional profile of which consist of both straight-line and curved sections. Calculation results of the stress-strain state of thin-walled strengthened rod in elastic and elastic-plastic deformations are discussed.
Keywords: thin-walled rod, open profile, strengthening of rod, stress-strain state.
Литература
1. Серазутдинов М.Н., Хайруллин Ф.С. Метод расчета криволинейных стержней // Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1991. - № 5. - С. 104-108.
2. Серазутдинов М.Н. Вариационные соотношения теории тонкостенных стержней открытого профиля // Вестн. Казан. технол. ун-та. - 2013. - Т. 16, № 5. - С. 216-223.
3. Сливкер В.И. Строительная механика. Вариационные основы. - М.: Изд-во Ассоциации строительных вузов, 2005. - 736 с.
Поступила в редакцию 10.11.14
Серазутдинов Мурат Нуриевич - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической механики и сопротивления материалов, Казанский национальный исследовательский технологический университет, г. Казань, Россия.
E-mail: [email protected]
Убайдуллоев Маджид Насриевич - кандидат технических наук, доцент кафедры теоретической механики и сопротивления материалов, Казанский национальный исследовательский технологический университет, г. Казань, Россия.
E-mail: [email protected]
