М. Н. Серазутдинов
ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ЗАКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
Ключевые слова: тонкостенный стержень, напряжения и деформации, принцип Лагранжа, вариационный метод.
В статье представлены элементы теории тонкостенных стержней закрытого профиля, изложен вариационный метод, позволяющий с использованием простейших соотношений для компонент деформаций представить принципа Лагранжа для стержней, поперечное сечение которых составлено из прямолинейных и криволинейных.
Keywords: thin-walled rods, stresses and deformations, Lagrange principle, variational method
The article presents the elements of the theory rods with a thin-walled closed profiles , the method, which allows to present principle Lagrange for rods with cross sections consisting of rectilinear and curvilinear sectors based on the simple relations for components of deformation.
В данной статье приведены основные формулы вариационного метода расчета тонкостенных стержней закрытого профиля, основанного на применении функционала Лагранжа. Используются основные положения метода [1-4], ранее использованного для определения напряженно-
деформированного состояния стержней различной формы. Учитываются сдвиги и депланация, возникающие при деформациях изгиба и кручения. Принимаются основные допущения теории стержней Тимошенко и теории тонкостенных стержней закрытого профиля Уманского [5-7].
Для описания напряженно-
деформированного состояния стержней используются следующие гипотезы:
1. Справедлив закон Гука.
2. При деформировании, продольные волокна стержня не взаимодействуют друг с другом в перпендикулярных к ним направлениях (гипотеза нена-давливания).
3. Поперечные сечения стержня, плоские до деформации, после деформации изгиба и растяжения-сжатия остаются плоскими.
4. Напряжения и деформации, связанные с изгибом в плоскости, проходящей через главную ось поперечного сечения стержня, постоянны по ширине сечения.
5. Составляющие касательных напряжений, перпендикулярные к профилю поперечного сечения (к срединной поверхности) стержня равны нулю (гипотеза безмоментности).
6. Составляющие касательных напряжений, параллельные касательной к профилю поперечного сечения стержня, постоянны по толщине стенки (гипотеза о равномерном распределении касательных напряжений).
7. Профиль стержня в плоскости поперечного сечения при кручении перемещается как абсолютно твердое тело (гипотеза неизменяемости контура).
8. При кручении появляются перемещения в направлении продольной оси стержня, возникает депланация поперечного сечения.
Для описания напряженно-деформированного состояния стержня введем декартовую систему координат Охуг, с осью Ох, перпендикулярной к
плоскости поперечного сечения (рис. 1). Обозначим через /, у, к - орты этой системы координат
На срединной поверхности поперечного сечения стержня, введем локальную декартову систему координат, с осями Мх{, Му1, М і(, направленными по касательной и по нормали к профилю стержня (рис. 1). Обозначим орты этих осей іх , і , П . Полагаем П = і х іх .
В системе координат Оуі,
ї = їу}+їІ к , п = пу] + п1к . (1)
Здесь їу, їІ , Пу, П1 - направляющие косинусы осей Му( , Мі(.
Справедливы равенства: їу = } • ї, їІ = к • ї , пу = } • П, пі = к • П,
пу = іі, Пі = ~ іу,
у _ Ум + Ytty + htz ■ dy dy _ dz
dyt dzt ’
z _ ZM + yttz -ztty > (2)
dz dy dz
tz _
ds dzt
dyt
Для описания перемещений и деформаций используем векторы перемещения и углов поворота поперечного сечения стержня:
u = и1(х)/ + U2 (x) у + и3( x )k;
ф = ф1 (х)/ + Ф2 (х)У + фз (х)к , (3)
где и1(х), и2(х), и3(х) - перемещения в направлении осей Ох, Оу, Ог, ф1(х), ф2(х), ф3(х) - углы поворота поперечных сечений стержня относительно этих осей.
С учетом равенств (3) и принятых гипотез, возникающие при изгибе и растяжении - сжатии перемещения точек в поперечном сечении стержня ии (х, у, г), Vи (х), ми (х) в направлении осей Ох, Оу, Ог, определяются по формулам: и и (х, у, г) = и1( х) + гф2 (х) - уфз (х) ,
Vи (х) = и2 (х); ми (х) = из (х). 4)
При кручении, в плоскости поперечного сечения стержня возникают перемещения V(х, у, г), связанные с поворотом и перемещения ик (х, у, г) в направлении продольной оси Ох, обусловленные с депланацией сечения.
Полагаем
V(х, у, г) = V(х, у, г) I + м(х, у, г) п , (5)
Выполняя операцию векторного умножения, находим
V = [п-е(ім - 1р)] + [+е(ум -ур)] ] . (6)
Приравнивая правые части соотношений (5), (6), получаем
^ (X у м, ім) Ї + п (X у м, ім) П = = [ті-0(Ім - 1р)]] +[ + е[ум -ур)] ] .
Умножая это уравнение скалярно на вектора і и П , определяем перемещения в направлениях осей у{ и і:
^ ^, ум , 1м) = = [п-0 (ім - 1р)]] •] +[+0 [ум - ур)] ] •],
п (х, у м, ім ) = [п-е (ім - ір )] і • П +
+ и + е(ум - ур)] к• п.
С учетом формул (1), (2) находим
^ (Хум, 1м) = П іу + 5 іі +
+ е [м - ур) іі - (ім - 1р ) іу ]
где V(х, у, і), п(х, у, і) - перемещения в направлении осей Му( и Мі{ (рис.1).
В соответствии с гипотезой неизменяемости контура, при кручении тонкостенный стержень в плоскости поперечного сечения поворачивается как абсолютно жесткое тело. Следовательно, для точек М(ум , ім) профиля (на линии пересечения срединной поверхности стержня с поперечным сечением) вектор V = V і + п П может быть представлен в следующем виде [7]:
V = V р + е х К рм.
Здесь Vр =п і + | к - вектор перемещения точки Р(ур, ір) поперечного сечения (рис. 2), которая называется центром кручения; п, I - компоненты вектора в системе координат Оуі; е = е і - вектор углов поворота сечения вокруг оси проходящей через полюс Р (уР, іР) и параллельной оси Ох,
Йрм = (Г - Гр) = (ум - ур) і + (ім - ір) к - вектор, проведенный из полюса р в точку М профиля.
м (х, ум, гм ) = Л (г Ч 1у - (7)
-0 [ (У м - ур ) 1у + (гм - гр ) 1г ]■
В дальнейшем полагаем, что полюс Р(ур, гР) совпадает с началом системы координат Оxyz. Следовательно
0 = ф1(х),
л = и2(х), ^ = из(х) .
С учетом этих равенств формулы (7) принимают следующий вид:
v (х ум, гм ) = и2(х) 1у +
+ из( х) 1г +ф1( х) [ум [г - гм 1у ]
м (X ум , гм ) = и2( х) 1г - (8)
- из( х) (у -ф1( х) [ум (у + гм (г ]■
Так как принята гипотеза о равномерном распределении касательных напряжений по толщине стенки, можно считать, что перемещения
V (х, у, г), м (х, у, г) точек Мп (у, г), лежащих на оси Мг{ (у{ = 0), такие же, как и для точки
б)
М
О1
М( у м, гм) . Следовательно, для точек, координаты которых вычисляются по формулам
у = ум + г1(г, г = гм - г1(у , (9)
полагая в левой части формул (8) ум = у , гм = г ,
получим
V (х, у, г) = и2 (х) (у + из(х) (г +
+ ф1( х) [у м уг - гм (у ]
W (X, y, Z) = U2( X) tz - U3( X) ty --Фі(x) [yM ty + zm tz ]■
(10)
Считаем, что модули упругости и сдвига материала являются переменными величинами, зависящими от длины дуги S линии (рис.2):
E(s) = E0 e\s), G(s) = G0g \s).
В соответствии с теорией тонкостенных стержней Уманского [5-7] депланация сечения при кручении описывается функцией
uK (x, y, z) = -ß(х) а (y, z) = -ß(x) a (s), (11)
где ß(x) - функция меры депланации;
I * s
(y,z) = a (s) = a(s) --X{—
ds
Q o g (s) h(s)
(12)
Здесь ^_Jp ds _|p ds (L - периметр профиля), 0
p_p(s) _ RPM . n _ _ yM ny + zM riz _ yM tz - zM ty -
длина перпендикуляра, проведенного из начала координат Оxyz к касательной к линии OM в точке
* /L ds
M (рис. 2); Ix _Q2 ;-------- - осевой момент
/ 0 g (s) h(s)
инерции поперечного сечения при кручении, h(s) -
M s
толщина стенки; ю (s) _ Jp ds _ Jp ds - сектори-
O,, o
альная характеристика (площадь) профиля.
При растяжении-сжатии, изгибе и кручении тонкостенного закрытого профиля в направлении нормали к поперечному сечению возникают перемещения вызванные растяжением-сжатием, изгибом и депланацией сечения при кручении:
и (x, y, z) _ и и (x, y, z) + и к (x, y, z) .
Подставляя в это равенство выражения (4), (11), находим
и(x,y,z) _ и,(x) + z<f>2(x) - уфэ(x)- P(x)a (s). (13) Деформации и напряжения будем вычислять в системе координат Mytzt. Используем формулы теории упругости:
du du dv
є x _—; У xY _Y xs _ —+— . (14)
x dx xyt dyt dx
Обратим внимание на то, что по формулам (14) вычисляются деформации в фиксированной точке M и в фиксированной локальной системе координат Mytzt. В этом случае, в точке M
д д
ds = dyt (рис. 1, 2), следовательно ------=------. С
dyt ds
учетом этого равенства и выражений (2), (12), (10), (13) получаем du = du1( X) + zdф2( x) ydф3( x) dß( х) dx
dx
- + z-
dx
- y-
dx
dx
a (s).
du dz dv
д =Ф2(x)d Фз(x)dy -
dyt dyt dyt
- ß(X) —= ф2 (x)tz -ф3(x)ty - (15)
ds
-ß( X )
p(s) -
Ix
Q g (s) h(s)
dv
dx
du2(x) t + du3(x) t + dx y dx z
+ dфі« fy y - z t ] dx
Подставляя формулы (15) в (14), находим выражения для компонент деформаций
6 x = —ui(x) + z—S2Íx) - y^^ - —ж a s),
dx
dx
dx
dx
v = du2 (x) . + du3(x) t +
I xv< - - L 7
+
xyt dx y dx
dфі( x)
dx
[ y y yz zm ty ] '
(16)
+ ф2 (x) tz - фз (x) ty -ß(x)
p(s) -
Ix
Q g (s) h(s)
CT x = E є x
Учитывая принятые гипотезы безмоментно-сти и неизменяемости контура, следует полагать
г = Gy = 0, г = Gy = 0. хі, Іхі, ’ у,і, Іу,і,
В соответствии с гипотезой ненадавлива-ния, продольные волокна стержня не взаимодействуют в нормальном по отношению к ним направлениям, следовательно, нормальные напряжения в направлении осей М уі , Міі равны нулю:
сту = ст7 = 0 . уі іі
Таким образом, в поперечном сечении тонкостенного стержня возникают напряжения
(17)
Формулы (16), (17) справедливы для точек поперечного сечения стержня, лежащих на оси М іі , т.к. для них также выполняется равенство д д
ду( де '
Координаты точек, лежащих на оси Мі, (уї = 0) вычисляются по формулам (9). Координаты некоторой фиксированной точки на линии уі = 0 обозначим через (уі, іі), а длину дуги, которая соответствует точке М ( у мі , імі ) - еі . В соответствии с равенствами (9) -
уі = у мі + іі іі, іі = і мі - іі іу. Следовательно, с
учетом соотношений (16), (17) для точек (Yj, Zj ), лежащих на оси Mzt
ст х (х, Yi, zj) = E s x (x, Yi, zj) , тxVt (x,y hz i) = Gyxyt (x,Y ¡,z i); s (x Y z ) dui(x) . z d<P2(x)
s x (x, Yl, z) =^T + z'—x
- ydfeM - ФМ a s),
dx dx
y (xy . z.) _ dLI2(x) t + CU3(x) t +
У xy( (x, y, z ) _ dx ty + dx tz
(18)
^Фі( x ) dx
[ yмі Уz zMi ty ] '
+ Ф2 (x) tz -Фэ(x) ty -P(x)
p(s i) -
Ix
Q g (s.) h(s і )
Для расчета напряженно-деформированного состояния стержневой системы может быть использован вариационный принцип Лагранжа:
Ьи-8W = 0 . (19)
Здесь Ьи - вариация потенциальной энергии деформации системы, 5W - вариация работы внешних сил.
Потенциальная энергия деформации стержня в точках (X У , ^ )
1
ил (х у ¡, г/) = ^[ст х(x, у/, г/) 8 х(x, у^ г)+
+ тху, (х,у/,г/) Уху, (х,у,г/)]-
Вариация потенциальной энергии деформа-
Ьид(х,у,,г/) = [стх(х,у/,г,) 8ех(х,у,,г,) + 1 (20) + т ху,(x, у/, г/ )8Уху( (x, у/, г/ )\-
В точках ( х, у , г ), вариация работы внешних сил, распределенных по длине и по площади поперечных сечений стержня
ции
8 Wa (x, у і , z ,) _ qu (x, y і , z, )5и(x, y ,, z,) + + qQ (x, yh z , )Sv (x, y,, z ,) +
+ qQ (x, y,, z, )8w (x, y,, z,)
(21)
где qA, q^ - проекции внешних сил, действующих в поперечном сечении с площадью A, на оси координат Ох , Myt, Mzt.
Подставляя в (21) выражения для перемещений (10), (13), получим
8 WA (х, уi, z i) = q^ (x, y 1, z i)[Su, (x) + z ^ (x) -
- У/8фз(x) -8P(x)a (s i)] +
+ q^ (x, у,, z i )[8u2 (x) ty + 8U3 (x) tz + + 8Ф1(x)(YMi tz - zMi tY )]+ + q^ (x,уi, zi)[8U2 (x) tz - 8U3 (x) ty --8Ф1(x)(yMi ty + zMi tz )]-Учитывая, что 12 +12 = 1, а величины AAA
qu , qv , qw являются проекциями внешних сил
(22)
q^, q%, qQ на оси координат Ox , Oy , Oz по формулам qQ _ qQ ,
qQ _ qA ty+q% t
у 1 43 ‘г>
ЯД = Яд (г - Яд (у , вариацию работы внешних (22) можно представить в следующем виде:
8 Wд(х,у/, г/) = qд(х,у,,г,) [8^(х) + г,Ьф2 (х) -
- у/8фз(х) - 8р(х) а (в,)] +
+ qд(x,у/,г ,) [8и2(х) -8ф1(х)гм/ ] +
+ qд(х,у„г1 )[(х) + 8ф1(х)ум! ]■
. (23)
Для стержня длинной 1С, с площадью поперечного сечения д ,
ьи = | Ц ьид бД СИ ,
1с Д
5W = | Ц 5WД бД СИ. (24)
1с Д
Интегралы Ц 5иД бД , Ц 5WД бД будем Д Д
вычислять с использованием численного интегрирования. При этом
ЦьиДСД = ]Г ьиД(x,у,, г,)д, ,
Д !=1
Л 8WдdД = ]Г8 Wд(х,у/,г,)д , . (25)
Д /=1
Здесь д - весовые множители, зависящие от используемой для численного интегрирования квадратурной формулы, размеров и формы поперечного сечения.
С учетом равенств (23), (20), (24) (25), получается
ьи = |{е ьид(х у/, г,) д/1 С1 =
_ Ц Z[ctx(x, У п zі) 8єx(x, У n zі) + lc I i=1
+ T xyt (x, У і, z і) 8y y (x, У і, z і)] g, Jc/l; (26)
8W 8 WA(x,y ■„z-,)gi j dl _
JIZ {qA (x, У і, z і )[8и, (x) + z,^2 (x) -
lc 1і = 1
- У/8фз(x) -8P(x) a (s)] +
+ q2 (x, yi, z i) [8U2 (x) - 8Ф1 (x) zmi ] + + qA (x, y 1, z i )[8 U3 (x) + 8Ф1 (x) yMi ]} 9/ } dl. Полагая в последнем выражении F1 (x) = JJqA (x)dA = ]TqA (x,y/,z ,)g, ,
і_і
I
f2 (x) _ JJqQ(x)dA _ ZqQ(x,y ,,z ,)g ,,
А i_1
F3 (x) _ JJqQ(x)dA __ ZqA(x,У ,,z ,)g ,
i=1
+
А
А
ті (х) = Ц (цА (х)у - цА (х)і)бА =
А
І {яз (x, у І, {) у мі - ЦА(х у і, і і) імі} 9/, і=і
I
тг(х) = ЛЯ*(х)іСА = Іц*(х,у і,і і)і і д,
=і
/
т3(х) = ЛцА(х)усА = -ІцА(х,у¡,і і)у і д ,
А
=і
/
тв (х) = ЛqДl (х)а(в) СД = £ qДl (х, у „ г,) а (в,) д , , л ,=1
вариацию работы распределенных по длине стержня внешних сил ^ ,Р2,Рз , моментов т1,т2,тз и
бимомента тв можно представить в следующем виде:
5^ = | [р (х )5и1 (х) + Р2 (х)5и2 (х) + Р3 (х )5и3 (х) -
ІС
+ т1 (х )5ф1 (х) + т2 (х )5ф2 (х) +
+ т.
(х )5фз (х)- т*в (х )5Р( х)] СІ.
Аналогично, для сил сосредоточенных сил ^1к, ^2к, ^ , приложенных в точках продольной оси стержня с координатой хк и моментов, Мц, М2 у, Мз у, Мв У , действующих в точках с координатой ху, вариация работы сосредоточенных
внешних сил К
к=1
+1 [М1 і 5ф1 (ху) + М2 і 5ф2 (ху) -і=1
Мз у 8фз (хУ ) - Мву 8Р( х у)] ■ Следовательно, вариация работы распределенных и сосредоточенных в точках внешних сил
5W = | [р| (х)Ьи1(х) + Р2 (х)Ьи2(х) + Ез (х)Ьиз(х) +
ІС
+ т1 (х )5ф1 (х) + т2 (х )5ф2 (х) +
+ т
,(х )5фз( х)- тв (х )5Р( х)]
СІ
+ (27)
К
+ I [ 5и1(хк ) + Р2к 5и2( хк ) + Р2к 5и2 (хк )] + к=1
Л
+ I [М1 і 5ф1(хі ) + М2 і5ф2 (хі ) + і=1
+ М3і5ф3 (хі ) - Мв і5Р(хі)] .
Для выбранной системы координат Охуі, усилия и моменты в поперечных сечениях стержня вычисляются по формулам:
N = ЦстхбА = Л ЕєСА,
А А
Оу "Я’ т'усА = Я^ т<>сА •
Оі =Дт ііЛА = (( Gy у^А, (28)
А А
Му = ЦстхіСА = ЛЕєхібА ,
А А
Мі =Цст хубА = Л Еє хубА,
А А
Мх = Л -тху;іУі)СА=
А
= ЯG(єхуМ -єху,іуі)СА.
Эти величины являются интегральными характеристиками и вычисляются достаточно точно при использовании соотношений для деформаций в виде (16).
Нормальные напряжения ст х в поперечных сечения стержня можно вычислять на основе закона Гука по формуле:
стх = ЕоЄ (э)
сіи^ х) + ісСф2( х)
-------- + і-------
сх
сх
-уСі^м - сіт а (е)■
сх
сх
Использование же закона Гука (17) для определения касательных напряжений позволяет определять достаточно точно только интегральные характеристики.
Для более точного вычисления значений касательных напряжений тху в точке М поперечного
сечения стержня (рис. 2,3) следует использовать формулу, полученную на основе уравнений равновесия выделенного элемента стержня. В частности, в монографии [7] представлена формула для вычисления тху( в случае, когда оси Оу, Оі являются
главными центральными осями поперечного сечения и полюс Р (рис. 2) совпадает с центром изгиба -центром кручения.
Литература
1. Серазутдинов М.Н. Вариационные соотношения теории тонкостенных стержней открытого профиля.// Вестник Казанского технологического университета. 2013 г. Т. 16, № 5. С. 216 - 223.
2. Серазутдинов М.Н. Расчет усиливаемых нагруженных конструкций вариационным методом /М.Н. Серазутдинов, М.Н. Убайдуллоев, Х.А. Абрагим // Известия вузов. Строительство. 2010. № 7. С. 118 -123.
3. Серазутдинов М. Н., Абрагим Х.А. Несущая способность стержневых элементов конструкций, усиливаемых в напряженном состоянии. / Серазутдинов М.Н.
//Вестник Казанского технологического университета. 2010 г. № 9. С.512 - 518.
4. Серазутдинов М.Н. Метод расчета криволинейных стержней. / М.Н. Серазутдинов, Ф.С. Хайруллин // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1991. № 5. С. 104 - 108.
5. Уманский А. А. Изгиб и кручение тонкостенных авиаконструкций. - М.: Оборониз, 1939. - 112 с.
А
А
А
А
6. Уманский А.А. О нормальных напряжениях при круче- 7. Сливкер В.И. Строительная механика. Вариационные
нии крыла самолета. - Техника воздушного флота, 1940, основы. Учебное пособие. - М.: Издательство Ассоциа-
№ 12 ции строительных вузов, 2005. - 736 с.
С. 48 - 65.
© М. Н. Серазутдинов - д-р физ. мат. наук, проф. зав. каф. теоретической механики и сопротивления материалов КНИТУ, serazmn@mail.ru.