Научная статья на тему 'Вариационный метод расчета тонкостенных стержней закрытого профиля'

Вариационный метод расчета тонкостенных стержней закрытого профиля Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

CC BY
315
91
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ТОНКОСТЕННЫЙ СТЕРЖЕНЬ / НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ / ПРИНЦИП ЛАГРАНЖА / ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД / THIN-WALLED RODS / STRESSES AND DEFORMATIONS / LAGRANGE PRINCIPLE / VARIATIONAL METHOD

Аннотация научной статьи по строительству и архитектуре, автор научной работы — Серазутдинов М. Н.

В статье представлены элементы теории тонкостенных стержней закрытого профиля, изложен вариационный метод, позволяющий с использованием простейших соотношений для компонент деформаций представить принципа Лагранжа для стержней, поперечное сечение которых составлено из прямолинейных и криволинейных.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по строительству и архитектуре , автор научной работы — Серазутдинов М. Н.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The article presents the elements of the theory rods with a thin-walled closed profiles, the method, which allows to present principle Lagrange for rods with cross sections consisting of rectilinear and curvilinear sectors based on the simple relations for components of deformation.

Текст научной работы на тему «Вариационный метод расчета тонкостенных стержней закрытого профиля»

М. Н. Серазутдинов

ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ЗАКРЫТОГО ПРОФИЛЯ

Ключевые слова: тонкостенный стержень, напряжения и деформации, принцип Лагранжа, вариационный метод.

В статье представлены элементы теории тонкостенных стержней закрытого профиля, изложен вариационный метод, позволяющий с использованием простейших соотношений для компонент деформаций представить принципа Лагранжа для стержней, поперечное сечение которых составлено из прямолинейных и криволинейных.

Keywords: thin-walled rods, stresses and deformations, Lagrange principle, variational method

The article presents the elements of the theory rods with a thin-walled closed profiles , the method, which allows to present principle Lagrange for rods with cross sections consisting of rectilinear and curvilinear sectors based on the simple relations for components of deformation.

В данной статье приведены основные формулы вариационного метода расчета тонкостенных стержней закрытого профиля, основанного на применении функционала Лагранжа. Используются основные положения метода [1-4], ранее использованного для определения напряженно-

деформированного состояния стержней различной формы. Учитываются сдвиги и депланация, возникающие при деформациях изгиба и кручения. Принимаются основные допущения теории стержней Тимошенко и теории тонкостенных стержней закрытого профиля Уманского [5-7].

Для описания напряженно-

деформированного состояния стержней используются следующие гипотезы:

1. Справедлив закон Гука.

2. При деформировании, продольные волокна стержня не взаимодействуют друг с другом в перпендикулярных к ним направлениях (гипотеза нена-давливания).

3. Поперечные сечения стержня, плоские до деформации, после деформации изгиба и растяжения-сжатия остаются плоскими.

4. Напряжения и деформации, связанные с изгибом в плоскости, проходящей через главную ось поперечного сечения стержня, постоянны по ширине сечения.

5. Составляющие касательных напряжений, перпендикулярные к профилю поперечного сечения (к срединной поверхности) стержня равны нулю (гипотеза безмоментности).

6. Составляющие касательных напряжений, параллельные касательной к профилю поперечного сечения стержня, постоянны по толщине стенки (гипотеза о равномерном распределении касательных напряжений).

7. Профиль стержня в плоскости поперечного сечения при кручении перемещается как абсолютно твердое тело (гипотеза неизменяемости контура).

8. При кручении появляются перемещения в направлении продольной оси стержня, возникает депланация поперечного сечения.

Для описания напряженно-деформированного состояния стержня введем декартовую систему координат Охуг, с осью Ох, перпендикулярной к

плоскости поперечного сечения (рис. 1). Обозначим через /, у, к - орты этой системы координат

На срединной поверхности поперечного сечения стержня, введем локальную декартову систему координат, с осями Мх{, Му1, М і(, направленными по касательной и по нормали к профилю стержня (рис. 1). Обозначим орты этих осей іх , і , П . Полагаем П = і х іх .

В системе координат Оуі,

ї = їу}+їІ к , п = пу] + п1к . (1)

Здесь їу, їІ , Пу, П1 - направляющие косинусы осей Му( , Мі(.

Справедливы равенства: їу = } • ї, їІ = к • ї , пу = } • П, пі = к • П,

пу = іі, Пі = ~ іу,

у _ Ум + Ytty + htz ■ dy dy _ dz

dyt dzt ’

z _ ZM + yttz -ztty > (2)

dz dy dz

tz _

ds dzt

dyt

Для описания перемещений и деформаций используем векторы перемещения и углов поворота поперечного сечения стержня:

u = и1(х)/ + U2 (x) у + и3( x )k;

ф = ф1 (х)/ + Ф2 (х)У + фз (х)к , (3)

где и1(х), и2(х), и3(х) - перемещения в направлении осей Ох, Оу, Ог, ф1(х), ф2(х), ф3(х) - углы поворота поперечных сечений стержня относительно этих осей.

С учетом равенств (3) и принятых гипотез, возникающие при изгибе и растяжении - сжатии перемещения точек в поперечном сечении стержня ии (х, у, г), Vи (х), ми (х) в направлении осей Ох, Оу, Ог, определяются по формулам: и и (х, у, г) = и1( х) + гф2 (х) - уфз (х) ,

Vи (х) = и2 (х); ми (х) = из (х). 4)

При кручении, в плоскости поперечного сечения стержня возникают перемещения V(х, у, г), связанные с поворотом и перемещения ик (х, у, г) в направлении продольной оси Ох, обусловленные с депланацией сечения.

Полагаем

V(х, у, г) = V(х, у, г) I + м(х, у, г) п , (5)

Выполняя операцию векторного умножения, находим

V = [п-е(ім - 1р)] + [+е(ум -ур)] ] . (6)

Приравнивая правые части соотношений (5), (6), получаем

^ (X у м, ім) Ї + п (X у м, ім) П = = [ті-0(Ім - 1р)]] +[ + е[ум -ур)] ] .

Умножая это уравнение скалярно на вектора і и П , определяем перемещения в направлениях осей у{ и і:

^ ^, ум , 1м) = = [п-0 (ім - 1р)]] •] +[+0 [ум - ур)] ] •],

п (х, у м, ім ) = [п-е (ім - ір )] і • П +

+ и + е(ум - ур)] к• п.

С учетом формул (1), (2) находим

^ (Хум, 1м) = П іу + 5 іі +

+ е [м - ур) іі - (ім - 1р ) іу ]

где V(х, у, і), п(х, у, і) - перемещения в направлении осей Му( и Мі{ (рис.1).

В соответствии с гипотезой неизменяемости контура, при кручении тонкостенный стержень в плоскости поперечного сечения поворачивается как абсолютно жесткое тело. Следовательно, для точек М(ум , ім) профиля (на линии пересечения срединной поверхности стержня с поперечным сечением) вектор V = V і + п П может быть представлен в следующем виде [7]:

V = V р + е х К рм.

Здесь Vр =п і + | к - вектор перемещения точки Р(ур, ір) поперечного сечения (рис. 2), которая называется центром кручения; п, I - компоненты вектора в системе координат Оуі; е = е і - вектор углов поворота сечения вокруг оси проходящей через полюс Р (уР, іР) и параллельной оси Ох,

Йрм = (Г - Гр) = (ум - ур) і + (ім - ір) к - вектор, проведенный из полюса р в точку М профиля.

м (х, ум, гм ) = Л (г Ч 1у - (7)

-0 [ (У м - ур ) 1у + (гм - гр ) 1г ]■

В дальнейшем полагаем, что полюс Р(ур, гР) совпадает с началом системы координат Оxyz. Следовательно

0 = ф1(х),

л = и2(х), ^ = из(х) .

С учетом этих равенств формулы (7) принимают следующий вид:

v (х ум, гм ) = и2(х) 1у +

+ из( х) 1г +ф1( х) [ум [г - гм 1у ]

м (X ум , гм ) = и2( х) 1г - (8)

- из( х) (у -ф1( х) [ум (у + гм (г ]■

Так как принята гипотеза о равномерном распределении касательных напряжений по толщине стенки, можно считать, что перемещения

V (х, у, г), м (х, у, г) точек Мп (у, г), лежащих на оси Мг{ (у{ = 0), такие же, как и для точки

б)

М

О1

М( у м, гм) . Следовательно, для точек, координаты которых вычисляются по формулам

у = ум + г1(г, г = гм - г1(у , (9)

полагая в левой части формул (8) ум = у , гм = г ,

получим

V (х, у, г) = и2 (х) (у + из(х) (г +

+ ф1( х) [у м уг - гм (у ]

W (X, y, Z) = U2( X) tz - U3( X) ty --Фі(x) [yM ty + zm tz ]■

(10)

Считаем, что модули упругости и сдвига материала являются переменными величинами, зависящими от длины дуги S линии (рис.2):

E(s) = E0 e\s), G(s) = G0g \s).

В соответствии с теорией тонкостенных стержней Уманского [5-7] депланация сечения при кручении описывается функцией

uK (x, y, z) = -ß(х) а (y, z) = -ß(x) a (s), (11)

где ß(x) - функция меры депланации;

I * s

(y,z) = a (s) = a(s) --X{—

ds

Q o g (s) h(s)

(12)

Здесь ^_Jp ds _|p ds (L - периметр профиля), 0

p_p(s) _ RPM . n _ _ yM ny + zM riz _ yM tz - zM ty -

длина перпендикуляра, проведенного из начала координат Оxyz к касательной к линии OM в точке

* /L ds

M (рис. 2); Ix _Q2 ;-------- - осевой момент

/ 0 g (s) h(s)

инерции поперечного сечения при кручении, h(s) -

M s

толщина стенки; ю (s) _ Jp ds _ Jp ds - сектори-

O,, o

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

альная характеристика (площадь) профиля.

При растяжении-сжатии, изгибе и кручении тонкостенного закрытого профиля в направлении нормали к поперечному сечению возникают перемещения вызванные растяжением-сжатием, изгибом и депланацией сечения при кручении:

и (x, y, z) _ и и (x, y, z) + и к (x, y, z) .

Подставляя в это равенство выражения (4), (11), находим

и(x,y,z) _ и,(x) + z<f>2(x) - уфэ(x)- P(x)a (s). (13) Деформации и напряжения будем вычислять в системе координат Mytzt. Используем формулы теории упругости:

du du dv

є x _—; У xY _Y xs _ —+— . (14)

x dx xyt dyt dx

Обратим внимание на то, что по формулам (14) вычисляются деформации в фиксированной точке M и в фиксированной локальной системе координат Mytzt. В этом случае, в точке M

д д

ds = dyt (рис. 1, 2), следовательно ------=------. С

dyt ds

учетом этого равенства и выражений (2), (12), (10), (13) получаем du = du1( X) + zdф2( x) ydф3( x) dß( х) dx

dx

- + z-

dx

- y-

dx

dx

a (s).

du dz dv

д =Ф2(x)d Фз(x)dy -

dyt dyt dyt

- ß(X) —= ф2 (x)tz -ф3(x)ty - (15)

ds

-ß( X )

p(s) -

Ix

Q g (s) h(s)

dv

dx

du2(x) t + du3(x) t + dx y dx z

+ dфі« fy y - z t ] dx

Подставляя формулы (15) в (14), находим выражения для компонент деформаций

6 x = —ui(x) + z—S2Íx) - y^^ - —ж a s),

dx

dx

dx

dx

v = du2 (x) . + du3(x) t +

I xv< - - L 7

+

xyt dx y dx

dфі( x)

dx

[ y y yz zm ty ] '

(16)

+ ф2 (x) tz - фз (x) ty -ß(x)

p(s) -

Ix

Q g (s) h(s)

CT x = E є x

Учитывая принятые гипотезы безмоментно-сти и неизменяемости контура, следует полагать

г = Gy = 0, г = Gy = 0. хі, Іхі, ’ у,і, Іу,і,

В соответствии с гипотезой ненадавлива-ния, продольные волокна стержня не взаимодействуют в нормальном по отношению к ним направлениям, следовательно, нормальные напряжения в направлении осей М уі , Міі равны нулю:

сту = ст7 = 0 . уі іі

Таким образом, в поперечном сечении тонкостенного стержня возникают напряжения

(17)

Формулы (16), (17) справедливы для точек поперечного сечения стержня, лежащих на оси М іі , т.к. для них также выполняется равенство д д

ду( де '

Координаты точек, лежащих на оси Мі, (уї = 0) вычисляются по формулам (9). Координаты некоторой фиксированной точки на линии уі = 0 обозначим через (уі, іі), а длину дуги, которая соответствует точке М ( у мі , імі ) - еі . В соответствии с равенствами (9) -

уі = у мі + іі іі, іі = і мі - іі іу. Следовательно, с

учетом соотношений (16), (17) для точек (Yj, Zj ), лежащих на оси Mzt

ст х (х, Yi, zj) = E s x (x, Yi, zj) , тxVt (x,y hz i) = Gyxyt (x,Y ¡,z i); s (x Y z ) dui(x) . z d<P2(x)

s x (x, Yl, z) =^T + z'—x

- ydfeM - ФМ a s),

dx dx

y (xy . z.) _ dLI2(x) t + CU3(x) t +

У xy( (x, y, z ) _ dx ty + dx tz

(18)

^Фі( x ) dx

[ yмі Уz zMi ty ] '

+ Ф2 (x) tz -Фэ(x) ty -P(x)

p(s i) -

Ix

Q g (s.) h(s і )

Для расчета напряженно-деформированного состояния стержневой системы может быть использован вариационный принцип Лагранжа:

Ьи-8W = 0 . (19)

Здесь Ьи - вариация потенциальной энергии деформации системы, 5W - вариация работы внешних сил.

Потенциальная энергия деформации стержня в точках (X У , ^ )

1

ил (х у ¡, г/) = ^[ст х(x, у/, г/) 8 х(x, у^ г)+

+ тху, (х,у/,г/) Уху, (х,у,г/)]-

Вариация потенциальной энергии деформа-

Ьид(х,у,,г/) = [стх(х,у/,г,) 8ех(х,у,,г,) + 1 (20) + т ху,(x, у/, г/ )8Уху( (x, у/, г/ )\-

В точках ( х, у , г ), вариация работы внешних сил, распределенных по длине и по площади поперечных сечений стержня

ции

8 Wa (x, у і , z ,) _ qu (x, y і , z, )5и(x, y ,, z,) + + qQ (x, yh z , )Sv (x, y,, z ,) +

+ qQ (x, y,, z, )8w (x, y,, z,)

(21)

где qA, q^ - проекции внешних сил, действующих в поперечном сечении с площадью A, на оси координат Ох , Myt, Mzt.

Подставляя в (21) выражения для перемещений (10), (13), получим

8 WA (х, уi, z i) = q^ (x, y 1, z i)[Su, (x) + z ^ (x) -

- У/8фз(x) -8P(x)a (s i)] +

+ q^ (x, у,, z i )[8u2 (x) ty + 8U3 (x) tz + + 8Ф1(x)(YMi tz - zMi tY )]+ + q^ (x,уi, zi)[8U2 (x) tz - 8U3 (x) ty --8Ф1(x)(yMi ty + zMi tz )]-Учитывая, что 12 +12 = 1, а величины AAA

qu , qv , qw являются проекциями внешних сил

(22)

q^, q%, qQ на оси координат Ox , Oy , Oz по формулам qQ _ qQ ,

qQ _ qA ty+q% t

у 1 43 ‘г>

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ЯД = Яд (г - Яд (у , вариацию работы внешних (22) можно представить в следующем виде:

8 Wд(х,у/, г/) = qд(х,у,,г,) [8^(х) + г,Ьф2 (х) -

- у/8фз(х) - 8р(х) а (в,)] +

+ qд(x,у/,г ,) [8и2(х) -8ф1(х)гм/ ] +

+ qд(х,у„г1 )[(х) + 8ф1(х)ум! ]■

. (23)

Для стержня длинной 1С, с площадью поперечного сечения д ,

ьи = | Ц ьид бД СИ ,

1с Д

5W = | Ц 5WД бД СИ. (24)

1с Д

Интегралы Ц 5иД бД , Ц 5WД бД будем Д Д

вычислять с использованием численного интегрирования. При этом

ЦьиДСД = ]Г ьиД(x,у,, г,)д, ,

Д !=1

Л 8WдdД = ]Г8 Wд(х,у/,г,)д , . (25)

Д /=1

Здесь д - весовые множители, зависящие от используемой для численного интегрирования квадратурной формулы, размеров и формы поперечного сечения.

С учетом равенств (23), (20), (24) (25), получается

ьи = |{е ьид(х у/, г,) д/1 С1 =

_ Ц Z[ctx(x, У п zі) 8єx(x, У n zі) + lc I i=1

+ T xyt (x, У і, z і) 8y y (x, У і, z і)] g, Jc/l; (26)

8W 8 WA(x,y ■„z-,)gi j dl _

JIZ {qA (x, У і, z і )[8и, (x) + z,^2 (x) -

lc 1і = 1

- У/8фз(x) -8P(x) a (s)] +

+ q2 (x, yi, z i) [8U2 (x) - 8Ф1 (x) zmi ] + + qA (x, y 1, z i )[8 U3 (x) + 8Ф1 (x) yMi ]} 9/ } dl. Полагая в последнем выражении F1 (x) = JJqA (x)dA = ]TqA (x,y/,z ,)g, ,

і_і

I

f2 (x) _ JJqQ(x)dA _ ZqQ(x,y ,,z ,)g ,,

А i_1

F3 (x) _ JJqQ(x)dA __ ZqA(x,У ,,z ,)g ,

i=1

+

А

А

ті (х) = Ц (цА (х)у - цА (х)і)бА =

А

І {яз (x, у І, {) у мі - ЦА(х у і, і і) імі} 9/, і=і

I

тг(х) = ЛЯ*(х)іСА = Іц*(х,у і,і і)і і д,

/

т3(х) = ЛцА(х)усА = -ІцА(х,у¡,і і)у і д ,

А

/

тв (х) = ЛqДl (х)а(в) СД = £ qДl (х, у „ г,) а (в,) д , , л ,=1

вариацию работы распределенных по длине стержня внешних сил ^ ,Р2,Рз , моментов т1,т2,тз и

бимомента тв можно представить в следующем виде:

5^ = | [р (х )5и1 (х) + Р2 (х)5и2 (х) + Р3 (х )5и3 (х) -

ІС

+ т1 (х )5ф1 (х) + т2 (х )5ф2 (х) +

+ т.

(х )5фз (х)- т*в (х )5Р( х)] СІ.

Аналогично, для сил сосредоточенных сил ^1к, ^2к, ^ , приложенных в точках продольной оси стержня с координатой хк и моментов, Мц, М2 у, Мз у, Мв У , действующих в точках с координатой ху, вариация работы сосредоточенных

внешних сил К

к=1

+1 [М1 і 5ф1 (ху) + М2 і 5ф2 (ху) -і=1

Мз у 8фз (хУ ) - Мву 8Р( х у)] ■ Следовательно, вариация работы распределенных и сосредоточенных в точках внешних сил

5W = | [р| (х)Ьи1(х) + Р2 (х)Ьи2(х) + Ез (х)Ьиз(х) +

ІС

+ т1 (х )5ф1 (х) + т2 (х )5ф2 (х) +

+ т

,(х )5фз( х)- тв (х )5Р( х)]

СІ

+ (27)

К

+ I [ 5и1(хк ) + Р2к 5и2( хк ) + Р2к 5и2 (хк )] + к=1

Л

+ I [М1 і 5ф1(хі ) + М2 і5ф2 (хі ) + і=1

+ М3і5ф3 (хі ) - Мв і5Р(хі)] .

Для выбранной системы координат Охуі, усилия и моменты в поперечных сечениях стержня вычисляются по формулам:

N = ЦстхбА = Л ЕєСА,

А А

Оу "Я’ т'усА = Я^ т<>сА •

Оі =Дт ііЛА = (( Gy у^А, (28)

А А

Му = ЦстхіСА = ЛЕєхібА ,

А А

Мі =Цст хубА = Л Еє хубА,

А А

Мх = Л -тху;іУі)СА=

А

= ЯG(єхуМ -єху,іуі)СА.

Эти величины являются интегральными характеристиками и вычисляются достаточно точно при использовании соотношений для деформаций в виде (16).

Нормальные напряжения ст х в поперечных сечения стержня можно вычислять на основе закона Гука по формуле:

стх = ЕоЄ (э)

сіи^ х) + ісСф2( х)

-------- + і-------

сх

сх

-уСі^м - сіт а (е)■

сх

сх

Использование же закона Гука (17) для определения касательных напряжений позволяет определять достаточно точно только интегральные характеристики.

Для более точного вычисления значений касательных напряжений тху в точке М поперечного

сечения стержня (рис. 2,3) следует использовать формулу, полученную на основе уравнений равновесия выделенного элемента стержня. В частности, в монографии [7] представлена формула для вычисления тху( в случае, когда оси Оу, Оі являются

главными центральными осями поперечного сечения и полюс Р (рис. 2) совпадает с центром изгиба -центром кручения.

Литература

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1. Серазутдинов М.Н. Вариационные соотношения теории тонкостенных стержней открытого профиля.// Вестник Казанского технологического университета. 2013 г. Т. 16, № 5. С. 216 - 223.

2. Серазутдинов М.Н. Расчет усиливаемых нагруженных конструкций вариационным методом /М.Н. Серазутдинов, М.Н. Убайдуллоев, Х.А. Абрагим // Известия вузов. Строительство. 2010. № 7. С. 118 -123.

3. Серазутдинов М. Н., Абрагим Х.А. Несущая способность стержневых элементов конструкций, усиливаемых в напряженном состоянии. / Серазутдинов М.Н.

//Вестник Казанского технологического университета. 2010 г. № 9. С.512 - 518.

4. Серазутдинов М.Н. Метод расчета криволинейных стержней. / М.Н. Серазутдинов, Ф.С. Хайруллин // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1991. № 5. С. 104 - 108.

5. Уманский А. А. Изгиб и кручение тонкостенных авиаконструкций. - М.: Оборониз, 1939. - 112 с.

А

А

А

А

6. Уманский А.А. О нормальных напряжениях при круче- 7. Сливкер В.И. Строительная механика. Вариационные

нии крыла самолета. - Техника воздушного флота, 1940, основы. Учебное пособие. - М.: Издательство Ассоциа-

№ 12 ции строительных вузов, 2005. - 736 с.

С. 48 - 65.

© М. Н. Серазутдинов - д-р физ. мат. наук, проф. зав. каф. теоретической механики и сопротивления материалов КНИТУ, [email protected].

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.