УДК 539.3
М. Н. Серазутдинов, М. Н. Убайдуллоев
СООТНОШЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО МЕТОДА РАСЧЕТА ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
КОМБИНИРОВАННОГО ПРОФИЛЯ
Ключевые слова: тонкостенный стержень, напряжения и деформации, принцип Лагранжа, вариационный метод.
В статье представлены элементы теории тонкостенных стержней закрытого профиля, изложен вариационный метод, позволяющий с использованием простейших соотношений для компонент деформаций представить принципа Лагранжа для стержней, поперечное сечение которых составлено из прямолинейных и криволинейных.
Keywords: thin-walled rods, сombinetprofil, stresses and deformations, Lagrange principle, variational method
The article presents the elements of the theory rods with a thin-walled closed profiles , the method, which allows to present principle Lagrange for rods with cross sections consisting of rectilinear and curvilinear sectors based on the simple relations for components of deformation.
Как известно, к тонкостенным стержням комбинированного профиля относятся стержни, поперечное сечение которых состоит из открытых и закрытых профилей. Для расчета стержней открытого и закрытого профилей используются теории, одни и те же гипотезы [1-3], за исключением того, что в теории стержней закрытого профиля принимается дополнительная гипотеза о равномерном распределении касательных напряжений по толщине стенки.
Вариационные соотношения, формулы для вычисления перемещений, деформаций, напряжений и внутренних усилий для тонкостенных стержней открытого и закрытого профиля приведены в [2-3].
В этих работах компоненты напряженно-деформированного состояния вычислялись с использованием декартовой системы координат Oxyz, с ортами i, j, k и с осью Ox , перпендикулярной к плоскости поперечного сечения (Рис. 1). На срединной поверхности профиля в точках M( yм, zM) вводилась локальная декартова система координат, c осями М yt , М zt, направленными по касательной и по нормали к срединной поверхности (Рис. 1). Орты этих осей - ix , t , n . Полагается что n = t х ix . Направляющие косинусы осей М yt , М zt обозначены как ty ,tz , Oy,nz .
Используются векторы перемещения и углов поворота поперечного сечения стержня:
U = u1 (x )i + u2 (x) j + u3 (x )k;
Ф = Ф1 (x)i + Ф2 (x)j + Ф3 (x)k , где u1(x), u2(x), u3(x) - перемещения точки О в направлении осей Ox, Oy, Oz , Ф1(x), Ф2 (x), фз(x) - углы поворота поперечных сечений стержня относительно этих осей.
Для описания перемещений в системе координат M ytzt вводится, двумерный вектор
V (x, y, z) = v(x, y, z) t + w(x, y, z) n . Здесь v(x, y, z), w(x, y, z) - перемещения точек профиля в направлении осей M yt и Mzt , соответственно.
Рис. 1
Обозначим величины V (х, у, г), w (х, у, г) и перемещения и (х) в направлении оси Ох , для стержня открытого профиля как
V0 (х, у, г), wo (х, у, г), и0 (х), а закрытого -
V3 (х, у, г), w3 (х, у, г), и3 (х).
Считаем, что модули упругости и сдвига материала являются переменными величинами, зависящими от длины дуги S срединной линии профиля Е(в) = Е0в'(в), в(в) = в0д'(в).
В соответствии с принятыми гипотезами получаются следующие результаты.
Для точек Мп (у, г), лежащих на оси Мг1,
начало которой расположено точке М(ум, гм) (Рис. 1), координаты у, г вычисляются по формулам у = ум + г^г, г = гм - г^у. Перемещения
открытого профиля определяются с использованием соотношений:
Vо (х,у,г) = и2(х) + иэ(х) (г +
+ Ф1(х) [у (г - г (у ],
(х, у, 2) = и2(х) ^ - из(х) /у --Ф1(Х) [у + 2гг ]
и0(X, у, 2) = X) + 2ф2 (X) -
- УФз(X) -р(X) ю (в) Перемещения для участков закрытого профиля находятся по формулам:
V3 (X, у, 2) = и2(X) (у + из(Х) +
+ Ф1(^ [м (2 - 2м (у ]
(2)
П3 (X, у, 2) = и2(X) ^ - из(X) (у -
-Ф1(x) [м (у + 2м (2 ] и 3(X, у, 2) = и1(X) + 2ф2 (X) -- уфз(X)-Р(X) [ю (5)-О* (в)],
где Р(х) - функция меры депланации; в
ю (в) = | р(в) Св - секториальная площадь профиля;
Iк в
о:I (в) = О Ь
о 4 я (в) ОД О = ! р(5) * = <р<5) *
(: - периметр закрытого профиля),
р = р(в) = RpM п = ум (2 - 2М гу - проекция радиуса вектора точки М на нормаль п к линии ОМ в этой
А3 ^
точке (Рис. 2); ¡к = О2 / -; Л(в) - толщи-
0 д (в) Л(в)
на стенки.
Я
РМ
О1
О1
Рис. 2
В поперечном сечении тонкостенных стержней возникают нормальные ст x и касательные
т напряжения
^ = Е 8 X
т = Су xyt ' xyt
(3)
Деформации вычисляются в локальной системе координат Му( 2( с использованием формул теории упругости:
= ди = = ди дч 8 ="дX; ^^ =Уxs = зУ+"дх • Для отрытого профиля продольные дефор-
мации
X) С(ф2< X) Сфз( X) Ср< X)
dx
- + 2
dx
- у-
dx
dx
ю (в).
Возникающие в открытом профиле касательные напряжения представляются в виде суммы [2]
к
т = т = т + т „„ Чу, ^^Xyt ^ ''Ф, '
где т - постоянное по толщине стенки среднее как
сательное напряжение, тXy( - напряжение чистого
кручения, распределенное по толщине стенки по линейному закону. Показано, что
= Су т = С (У + к У \у,) =
= т + т
к;
у du2 <x) , + С(из(x) , + СЫx) р(у _ ) + У XУ =-3- (у +-3- (2 + —1-р(у м , 2м ) +
' ^ dх
dх
dх
+ ф2<X) -фз(X) гу -Р(X)р(ум , 2м ) +
+к * díф1<x> 2, •
Сх ' к * = 2 .
(4)
Для стержней закрытого профиля справедливы соотношения (2), а деформации вычисляются по формулам [3]:
8 = X) + 2Сф2< X)
dx
- + 2-
dx
-у^-^ [ю (в)-О:(в)],
dx dx 1 *
у = Си2 <x) Сиз<x) . +
У ^ = Сх (у + Сх , Сф1< X)
Сх
[ум (2 - 2м (у ]Ф2(X) -
(5)
-Фз< X) гу -р< х)
р(в) -
¡X
О д (в) Л(в)
Для описания напряженно-
деформированного состояния стержня с комбинированным профилем используем основные результаты, полученные для открытых и закрытых профилей. Полагаем, что на участках открытых профилей справедливы соотношения вида (1, 3, 4), а для закрытого - (2, 3, 5). Однако, чтобы использовать указанные соотношения для определения напряженно-деформированного состояния стержня с комбинированным профилем, следует внести некоторые дополнения. Необходимо, чтобы перемещения точек стержня были неразрывными при переходе от участков открытых профилей к закрытому. Для удовлетворения этого требования используем условие равенства перемещений в точках пересечения срединных линий открытых и закрытого профилей.
На рис. 3 показан участок открытого профиля АВ сопряженный с закрытым профилем СД. Полагаем, что условие равенства перемещений должно выполняться в точке пересечения срединных линий профилей Мк (ук, 2к). Для поперечных перемещений стержня должны выполняться условия
ч 0 <х ук, 2к) = ч 3 у к, 2к),
(X, ук, 2к) = п3 (X, ук, 2к), а для продольных перемещений -
з
8 X =
u о (х, yk, zk) = u3 (х, yk, zk ) .
(7)
C
Рис. 3
При использовании соотношений (1), (2) условия (6) выполняются. В этом легко убедится, учитывая, что ук = ум, гк = гм и записывая выражения V о (х, ук, гк), V3 (х, ук, гк),
wо (х, ук, гк) , w3 (х, ук, гк) в единой локальной системе координат. При этом можно использовать локальную систему координат Мку( г( , для срединной линии закрытого, либо для срединной линии открытого профиля.
Подставляя в равенство (7) выражения для
и" , u
(1), (2), получаем
- ß(х) cc (sk) = - ß(х) [с (sk) - n3L (sM)]
(8)
где вк - координата длины дуги в в точке Мк (ук, гк) закрытого профиля (предполагается, что
начальная точка отсчета длины дуги находится на закрытом профиле).
Чтобы удовлетворить условию непрерывности перемещений (7), в выражение для и 0(х, у,г)
следует добавить слагаемое с0(х), которое будет различным на каждом из участков открытого профиля.
С учетом (8), получается
с0 (х) =Р(х) (вМ) . Следовательно, для отрытых участков профиля нужно полагать
и 0(X, y, z) = U1 (x) + Z(¡>2 (x) - УФэ (x) --ß( х) [cd (s)- n3L (sM )].
(9)
Здесь в^1 - длина дуги закрытого профиля в точке пересечения срединных линий закрытого и открытого профиля. Например, для поперечного сечения стержня, показанного на рис. 4 имеется четыре участка открытого профиля (к = 1,2,3,4). В точке М 2 (к = 2 ), длина дуги в% = О1М1 + М1М2 , а в точке М3 (к = 3 ), = О1М1 + М1М2 + М2М3 .
Составляющие поперечных перемещений вычисляются по формулам
V (х,у,г) = и2(х) (у + иэ(х) (г +
+ Ф1(Х) [ Ум tz - ZM ty + (1 - К30) zt ]
w (х,У,Z) = и2(X) tz -иэ(X) ty -
-Ф1(Х) [Ум ty + zM tz ]■
(11)
М1
О1 М4
М2
Мз
Рис. 4
Для определения компонент деформаций, с учетом (10), (11), (5), (4), можно использовать следующие выражения:
о = х) + гс1ф2( х) ускфз( х)
dx
■ + z-
dx
.-y.
dx
dß( х) dx
[ c (s) - к30qL (s) - (1 - к30) qL (sM)]; (12)
Y xyt =У +У xyt
где
Y= ^ ty+lUdixl tz + dM p(s)+
d^ y dх dх
+Ф2 (x) tz -Фэ(x) ty -
-ß( х)
p(s) - К3
Г
1 V
Q g (s) h(s)
+ (1 - к 30 ) k * ^Ф^И dх
С учетом (3), (12), нормальные напряжения вычисляются по формуле
x = E0e (s) dß( х)
du1( x) + zd(p2(x) Усф>э( x)
+ z-;--У ~
dx
dx dx dx
(cd (s)-K30QL(s)-(1 -к30) QL(sM))
. (13)
Выражение для касательных напряжений имеют следующий вид:
(14)
Т xyf = GYxyf = G(Y +Ykxyt ) =T +Tk
xyt
где
X = E0g (s)
du2( x) du3(x) + ly lz
Сх
Сх
+ ÍÍ^M p(s) + Ф2 (x) tz -Фз(x) ty-
Сх
(
-ß( х)
p(s)- к3
Г
I V
Л
Q g (s) h(s)
(15)
= Eo g (s)
(1 -к30) k
* Сф1( x) Сх
Представим основные вариационные соотношения в случае, когда модули упругости и сдвига материала стержня являются переменными величинами, зависящими от длины дуги s срединной линии профиля:
E(s) = E0e* (s), G(s) = G0g (s).
+
z:
t
z
X
Используем принцип Лагранжа:
SU -SW = 0 . (16)
Здесь SU = J Ц SUA dA dl - вариация потенци-lc A
альной энергии деформации стержня, UA - удельная потенциальная энергия, S W - вариация работы внешних сил, C, A - длинна и площадь поперечного сечения стержня.
Для вычисления интегралов, содержащихся в условии (16), применим численное интегрирование.
Обозначим координаты точек срединной поверхности на линии yt = 0 через (y,, z,), длину дуги, которая соответствует точке M - Sj, координаты точки M - через (yм,, zMi), а соответствующую zt координату - zti.
С учетом (12 - 15), для точек (y,, zj), лежащих на оси Mzt
ст х (y,, zj) = Eoe *(s,) e x (y,, zj) ,
x (y, ,z i) = G(s ,) у xyt (y , ,z/) =
= go9 * (s) [y (yм, zm )+уXyt z)];
'dui(x) + z dy2(x)
s x (y, z,) = E0 e (s,)
dx
- + z ,
dx
- y i
d9a(x) dß( x)
dx
dx
(со (s,) - к30QL (s,) -
Y (yMi , ZM/' )
- (1- к30) QL
du2(x) . + dua(x) t + dq>i(x)
dx
dx
tz +
dx
-p(s,) +
+Ф2 (x) tz -Фэ(x) ty -
-ß( x)
p(s,) - к3
r
I V
Q g (s,) h(s,)
YxK, (zö) = (1 - к30) k
dф1( x)
zt.
, , dX
Удельная потенциальная энергия деформации стержня в точке (y,, z ) 1
UA (У I,z i) = 2 [CT x (y I , zZ) s x (У I.zi) +
+ Vf (y i, zi) Yxyf (y/' z )]-Вариация удельной потенциальной энергии деформации
8Ua (y i, z ,) = [ сx(y,, zi) 5sx(y „ z ,) +
y z .1 (17)
"xy^J xyt ' y z'11
При использовании численного интегриро-
+ тxy. (УР z i )5Yxyt (уh z i)]-
вания
SU = JJ SUa dA = £SUa(y,,z,)g, , (18)
A ,=1
Здесь I - число точек интегрирования, g , -весовые множители, зависящие от квадратурной формулы, применяемой для численного интегриро-
вания, а также от размеров и формы поперечного сечения стержня.
С учетом равенств (17), (18), получаем
SU = SUa (Y„ z,)g , j dl =
JI Z [стx (y /, z ,) Se x (У/■, z ,) +
lc I 1=1
>h z i)] g i jd;
т xy( <у ¡, 21) §у ¡у, <у ь2 1) я 1 \С1
Используя выражения для компонент внешних сил [2,3] и для перемещений (10, 11), вариацию работы распределенных и сосредоточенных в точках внешних сил, моментов и бимоментов можно представить в следующем виде:
5W = J [f (x)5u1(x) + F2 (x)5u2(x) + F3(x)5u3(x)-
+ F3 (x )5u3 (x) + m10 (x )5ф1 (x) + m2 (x )5ф2 (x) + + m3 (x )5ф3 (x)- m3B0 (x)5ß( x)] dl + (19)
к
+ Z [F1k5u1 (xk ) + F2k5u2 (xk ) + F2k5u2 (xk )] +
k=1
+ Z Mj 5ф1( xj) + M2 j 5ф2( xj )-j=1
+ M3j5ф3(xj) - MB"5ß(xj)].
Здесь m.
10 (X) = Ц [ 9зЛ <X, у, 2) (ум + (1 - К30 ) 2, ,2 ) -
Л
- цА (X) (2м - (1 - К30 ) 2(,у )]СА,
< (X) = Л цА (X, у, 2)[ ю (5) - К30О: в) -Л
- (1 - К30) о: (вм )]сА ,
Ц1А (X, у, 2), ЦА (X, у, 2) - проекции действующих в поперечном сечении внешних сил, на оси Ox и О2, соответственно, М^0, - аналогичные т™,
, сосредоточенные момент и бимомент, действующие в точках с координатой Xj. Обозначение
других величин, входящих в (19), представлено в статьях [2,3].
Отметим, что при вычислении внутренних сил и напряжений следует использовать численное интегрирование. В каждой точке интегрирования компоненты напряжений и деформаций определять в локальной декартовой системе координат Му,2, .
Нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня, можно определять с использованием Гука:
~ Си1< X ) Сф2< X ) Сфз( X )
сx = E0e (s)
dx
+z
dx
- y-
dx
. (22)
- "ddxг) (ю <в) - к30о: <в) - <1 - к30) О: <зм ))
На основе закона Гука (14) для касательных напряжений, вариационным методом с достаточной точ-
ностью определяются интегральные характеристики напряженного состояния - внутренние силы и моменты. Чтобы описать распределение касательных
напряжений тху (в) = т(в) + ткХу1 (в) в поперечном
сечении стержня, необходимо использовать более точную формулу для т(5), которую можно получить из уравнений равновесия отсеченного элемента стержня.
Литература
1. Сливкер В.И. Строительная механика. Вариационные основы. Учебное пособие. - М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 2005. - 736 с.
2. Серазутдинов М.Н. Вариационные соотношения теории тонкостенных стержней открытого профиля.// Вестник Казанского технологического университета. 2013 г. Т. 16, № 5. С. 216 - 223.
3. Серазутдинов М.Н. Вариационный метод расчета тонкостенных стержней закрытого профиля.// Вестник Казанского технологического университета. 2013 г. Т. 16, № 20. С. 249 - 255.
© М. Н. Серазутдинов - д-р физ.-мат. наук, проф. зав. каф. теоретической механики и сопротивления материалов, КНИТУ, serazmn@mail.ru; М. Н. Убайдуллоев - канд. техн. наук, доцент каф. теоретической механики и сопротивления материалов, КНИТУ, madgidpwn@rambler.ru.
© M. N. Serazutdinov - doctor of physics-mathematical science, professor, KNRTU, serazmn@mail.ru; M. N. Ubaidulloyev - candidate of technical sciences, KNRTU, madgidpwn@rambler.ru.