Выпучивание подкрепленной панели при комбинированном нагружении в условиях неустановившейся ползучести Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIX 1988

№ 4

УДК 629.7.015.4.023.2

ВЫПУЧИВАНИЕ ПОДКРЕПЛЕННОЙ ПАНЕЛИ ПРИ КОМБИНИРОВАННОМ НАГРУЖЕНИИ В УСЛОВИЯХ НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ

С. П. Барба, И. И. Поспелов

Приводится решение задачи о выпучивании подкрепленной панели, имеющей начальное искривление при комбинированном нагружении с учетом пластичности и неустановившейся ползучести. Для расчета используется схема конструктивной ортотропии [1]. Неустановившаяся ползучесть описывается теорией течения [2], пластичность — теорией малых упруго-пластических деформаций [3]. С помощью метода последовательных приближений [4] выведена система разрешающих уравнений относительно прогиба и функции Эри. Получено приближенное решение и проведен расчет. Описано перераспределение напряжений в сечении панели в процессе ползучести. Решение аналогичной задачи о выпучивании гладкой пластинки приведено в [5].

Рассмотрим панель, изображенную на рис. 1. Она состоит из плоской пластинки, усиленной в одном направлении прямоугольными ребрами жесткости. Систему координат выбираем так, чтобы оси Ох и Оу лежали в срединной плоскости обшивки, а Ог — нормально к ней. Панель имеет начальное искривление и нагружена комбинацией сжимающих (растягивающих) усилий в направлении Ох и Оу я касательных усилий.

Воспользуемся постулатами Кирхгофа—Лява. Согласно первому постулату деформация элемента, расположенного на расстоянии 2 от серединной поверхности обшивки описывается уравнениями:

е11 £11 2* ^22 ®22 *2 ^\2 “ е12 *12 0)

Полагая материал несжимаемым, для деформаций в стрингере имеем:

* 1 $и = £ц — г , ег2= - — еп , е12 = 0 . (Г)

Для малых деформаций:

* ди * ду * \ ! ди , ди\

£п==^’ 22 = ^’ е12 = ти + 7,)’

где и, V—перемещения точек серединной поверхности обшивки вдоль осей Ох, Оу соответственно.

5,

5е

Рис. 1

Кривизны Хь Х2 и кручение серединной поверхности обшивки %12 выражаются через прогиб до:

д2 ш дат д3т /Г1Ч

х. =----- , ж, =----- , х]2 = —— . Ц)

дх2 “ ду2 дх ду

Полагаем, что девиатор полной деформации вц складывается из

девиатора мгновенной деформации ец и деформации ползучести рц:

еи = е'ч+Рч> Л У “-1,2,3.

Связь мгновенной деформации с напряжениями согласно теории малых упруго-пластических деформаций принимаем в виде [1]:

3 ¥ Ы с еЧ ~~ 2 о„ 'V >

где Бц — девиатор напряжений, аи — интенсивность напряжений.

Для описания процесса ползучести используется теория течения [2]:

3 /(,„)

• Рч = ~Т -

Здесь дифференцирование производится по модифицированному времени т, являющемуся функцией физического времени.

Согласно второму постулату Кирхгофа — Лява пренебрегаем компонентами напряжений, на площадке с нормалью к серединной поверхности обшивки: 01з = 02з = сгзз = О. Используем метод вязко-упругих приближений [4, 6]. Тогда с учетом несжимаемости материала уравнения, описывающие на отрезке времени [то, т] поведение материала обшивки* как при мгновенном нелинейном деформировании, так и при неустано-вившейся ползучести можно представить в виде:

о,1 = 2|х (2еп -(- г22) +/п + /и ! о22 = 2р (2е22 + еи) + /22 + /г2; 0,2 = 2[А е,2 + /,2 + /12 ,

(3>

эа

где [л? — линейный оператор вида

(Г? = $ — Зц? Ое~3^ Г& е^ Л',

/,у = 3|1, Ое-3^°(х-^ |ву (ш + 1|) Л'-

Ч

— <зг/ (х) О) (х) + с ч (х0) О) (х0) е-3^ ° (т-т») ;

/п ~ [ °и ('о) — 2щ (2еи (х0) е22 (х0))/ е 111 ( о);

/22= [°22 (''о) — 2^! (2г22 (х0) + гп (х0))] е ^ ( о);

/]2= [<*12-(хв) — 2Р-1 «1* ('о)] .

. f Ю

т1 =1 —-— ;

°и

, Зц] / аи \"1—

+

3(^1 /=а У"-1 ®° \"®о"/

°и — °11 ---°11 °22 “Ь а22 + Зо?2.

Для стрингера

°п = 3(*еи + /„ +/ц ;

/И = 3Л ви (ш + 71) (т'-^ й?х' -

то

— 0и (х) со (х) + ои (х0) (О (х0) е-Зц..О(т-т0) •

/и = («и Ы - 3^ «„ ('о)) ;

аи = |он1 •

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(И)

(12)

Напряжения при растяжении полагаем положительными. Как и в теории упругих конструктивно-ортотропных пластин, стрингеры «размазываем» в плоскости обшивки. Тогда погонные усилия и моменты выражаются через деформации и кривизны серединной поверхности обшивки следующим образом:

Й/2+Й.

-й/2

Г,= | °и к{г) ^2 = 4Лпр [лей + 2Арей — За, цх, -|- 7^ + Т, ; й/2 -Л/2

«/•* _

Тг— J з2а йг = 2 Л (а (2е22 + 5ц) + Т2 + Т2;

й/2

|” °12 ^ — 2Л [X 512 + Т12 + Т\% .

—к/2

А/2+Л„

М1= Г ап к (г) гйг — — 4г р (2х1 -}- х2) + За^ец 4- Ж, 4- Ж,;

-Л/2 г

й/2

I

—й/2

£>* 2(х

й/2

О*

Л/12— Г а12 — —— (а *12 ■ Ж12 Ж12 ,

Л 2(х

-й/2 г

где А (г) — коэффициент заполнения. В рассматриваемом случае

в обшивке 1г{г)—\, в стрингере £(г)= —, £)*= ^- — жесткость

8В 3

обшивки при изгибе £>! = + 3(1. а2 — изгибная жесткость упругой

панели относительно оси, лежащей в срединной плоскости обшивки

А/2+ Пс

Апр = Л + -|-“0. а0= | к{г)(1г, а, = | к(г) гйг ,

Л/2 А/2+А.

й/2+й,,

I

А/2

,= | к (г)

г1 йг.

А/2

А/2 Ьй„

Л/2

Л/2

Л-* ]* /пк{г)йг, Тг= | /22 , 7^ = | /,, <*г ,

-Л/2 —Л/2 , —Л/2

__ Л/2+йс ^ ___ Л/2_ __ Л/2_

лг,== | /ик(г)гйг, М2 = | /22 тИ12= | Ъггйг,

-Л/2

Й/2+А.

-Л/2

А/2

*12— 3 У 12 '

—А/2

А/2

^1= | Уик(г)йг, Т2 - | 722 ^, 7’13= | /12^г,

—Л/2 -Л/2 -Л/2

А/2+.Лс ^ ^ й/2 ^ Н!2 ~

М1== | /пк(г)гйг, М2= | /22^2, ^2= | /12гйг.

—Л/2

-й/2

-Л/2

(15)

Уравнения равновесия усилий и моментов, действующих на элемент поверхности приведения:

д7\ . д Гц __ д д7~12 | дГ2________0

дх ду ' дх ду '

д2 ______2 д3Л*1а . д3 М2 ^ (Я (а> + эд0) ^ ^ д2 (и; + а>0) ,

йл:2 длгду <Э_у2 1 дх2 12 дх ду

+ т ^+3> = О,

2 ^у2

(16)

(17)

где йу0 — начальный прогиб.

Уравнения совместности деформаций серединной поверхности обшивки:

д2еи , ^2е12_____________0 д2 е12

ду2 "Т" дл:2 дх ду

На основании (16) введем функцию Эри

7,-^5 , Г2 = — , 7,2=-— . (19)

ду3 дхa дхду

Из уравнений (14), (13), (17—19) получим систему разрешающих уравнений относительно прогиба w и функции Эри.

I uw -4-1 Ф___• d2 + ^о) _ 2 ^2ф . д2 (w + _u

11 2 <3у2 дх3 дх ду дх ду

+ ^®.±fc±5!i+ ( ,. (20)

дх2 ду2

£3Ф — L2~}xw=p (х, у, х), (21)

где Z.,, I2, Z,3 — линейные операторы:

, „ / Dj За? \ дЧ D* й4с D* d*S

М=------------L---------h 2 — -----------------1--;

\ |X h + a0) dx* fi дх2ду3 ц ду*

4 2 дх* дх3ду3)

Лпр дП ( 1 1 \ *6 1 <94

3 ЗА (Л + а0) дх4 V ^ 3 (Л + а0)/ д*2ду2 ' 3 (Л + а0) dyi >

где ге=——-------координата центра тяжести сечения панели пло-

h + а о

скостью х = const.

Функции р(х, у, х), q (х, у, х) содержат в себе физическую нелинейность и определяются через ftj и /г/.

д(х,у,*)=£[ге(-Щ^-т1-Т1)+м1 + м1\ +

+ 2 5 ■+ Щ ; (22)

Р (X, у, х) = £^ 3h(h + a0) ^2 Тъ) — 6 (Л + Во) + ^] +

+ £ [щЬз ('7l + ^ - 4- ^ + у,))] - (Н5-2) • <23>

Уравнения (20), (21) вместе с соответствующими граничными условиями определяют деформирование конструктивно-ортотропной пластины с начальным прогибом Wo при неустановившейся ползучести и нелинейной упругости под действием комбинации сжимающих, растягивающих и касательных усилий, действующих в центрах тяжести соответствующих торцев.

Для упругой панели уравнение (20) принимает вид

£>ц.т ^420* дх4-

дх2

д4 да = ^ —I

дх2ду2 с дх21

+ т, с>2 (да + да0) ду2 + 27’,2

Т’зН-

дл: ду

здесь £)ц. т — жесткость панели относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения.

В случае отсутствия начального прогиба и нагружения панели равномерно распределенной нагрузкой Ті±=—Ри Тг=—Р%, Ті2 =—Лг получим известное приближенное уравнение устойчивости конструктивно ортотропной пластинки:

д, 1^ + 20*-^+Я*^ + Р1^+Я2^+Л1 —= 0.

дх4 дх2ду2 дуі дх2 ду2 дх ду

Из (1)—(3), (13) напряжения в обшивке: «1= к -г, - 7\ + * (Г2-Г2- Т2)

1 За! — д3 т

+ А "Г— Iі ЛТГ —

Л + а0 Л + а0 “ д.*2 _ / д2 да д2 да\ — ~

1 , — ~ \ — / д2 да д2 да\ —

°22=~^{Т2 — Т2— Т2) — 2гр\2 -^2 +-^) +/гг +/22

■’18*

<?у2

1 , — ~ ч _ д2 да — ~

■д- (^12 Тп Т12) — 2г [і. цхду +/12+/12

(24)

В стрингере:

°11= Л + ао(^1 ~ — Т’г — ^2) ) + 3[А (2С 2)^Г +

+ /11 +/и •

Деформации:

®п= Iа (т’і — Тх Тг 2~ (^2 ^2

(25)

■Г*)

1

3 (А а0)

+

+ (2С~ 2)

с22

= !А 1 (

(Гі_т\-7\

д2 да дх2

(т2

П)-

6 (А + я0)

є12 — Н'-1 (^12 —: 7)2 7\г) ------

здесь [а-1 — оператор обратный к |х:

гс д2 да <?г да

Т¥_г^'

д2 да

Л* *

(26)

4=4 +3£>

М-1 V

7— «Ученые записки» № 4

97

Процедура решения этой задачи методом последовательных приближений заключается в следующем. Для нахождения первого приближения полагаем ^0> = с»<0> = 0. Из уравнений (4) — 0, из (6) нахо-

дим Д, через начальные условия а1} (т0), гг;. (х0). На первом шаге по времени начальные условия определяются из решения соответствующей^ упруго-пластической задачи. По формулам (15) находим Ти Т2, Т12, Ми М2, УИ12, Тъ Тг, Г12, Ми М2, М12, которые могут быть интерпретированы как фиктивные усилия и моменты. Из (22), (23) находим р, <7 и решаем систему линейных уравнений (20), (21). Получаем = Ф = Ф(1>, которые принимаем за первое приближение. Из (24), (25) определяем я-ф из (7), (8) — т^1», ш'1) и продолжаем итерационный процесс до получения результатов требуемой точности. Затем, по формулам (26) вычисляем е(;. и переходим к расчетам на следующем шаге по времени.

Рассмотрим шарнирно-опертую панель, одновременно нагруженную сжимающими усилиями Р1 и Р2 в направлениях Ох и Оу, либо сжимающими усилиями в направлении Ох и растягивающими усилиями в направлении Оу. Будем считать сжимащие усилия Р1 и Р2 положительными. Исключая из уравнений (20) и (21) функцию Эри, удерживая при этом главные члены в ее разложении, получим

где /(т)—амплитуда дополнительного прогиба, подлежащая определению.

Подставляя (28), (29) в уравнение (27) и применяя метод Бубнова— Галеркина, получим интегральное уравнение

[a {LbLx — L2L2) w + Р, ш La {w + w0) + P2-SjiL3(w + w0) =

= L3q — L2p .

Начальный прогиб панели принимаем в следующей форме

тгХ тс у Щ (х, У) =/о sin — sin -g- .

(27)

(28)

Решение уравнения (27) приближенно ищем в виде

(29)

Iі/— kj=kj0 + k2c (х) ,

(30)

где

&1 =-------------------------------------

d1 d3 + d\

— 1

*пр

ЗЛ (/г + а0) а4 а Ь

(■Г

к4

: +

714

3 (Л + а0)/ а2 Ь2 ! 3(Л + а0) ’

с (х) = ]* | [Ьъд — 12р] вт — эШ йх<1у .

о о

Если в момент нагружения не возникают пластические деформации, то начальное условие имеет вид

/(0) =/о ——■ •

[А — *1

Решение уравнения (30) на отрезке [т0, т] получено в квадратурах:

I _ е—X (х—т„) | ' ' * '■> I

с +

-I--------I сех ~^Ых' ^

где

3(^4 Р ^1 (д — к1

0 О

^2 • / / — — ч 4тс2 I „

+ Iало + ^) Ы(4Й + 3«»> П - 27-,) + ж (г, -^ 7-,

X

71* И у я2 Г _

Хзш— вт-у + -^\й3Мп +

(1$ — "1 ил гсу

71 laJ сое — соэ — I ах йу .

Для иллюстрации был проведен числовой расчет для панели с геометрическими размерами: а=400 мм, & = 940 мм, 6ь = 96,6 мм, бс = = 3,6 мм, /1 = 4,2 мм, /гс = 25,8 мм.

Панель предполагается изготовленной из сплава Д16АТ и находится в условиях неустановившейся ползучести при температуре 250°С. Неустановившаяся ползучесть описывается степенным законом

/(««) = Л°2.

где./г = 3,1, Л= 1,27-10 (Н/мм2)-" • мин-1. Модифицированное время определяется из таблицы.

Для описания мгновенной деформации полагалось:

, ч °в . (°и\т

з? + иг) ’

= 21 170 Н/мм2, о0 = 460 Н/мм2, т = 9,9.

t, мин 0 1 2 3 4 5 10 15

Т, мин 0 0,8 1,4 1.7 2,0 2,2 3,0 т = 0,Н + 2

Длина, ширина и высота панели разбивались на девять частей. Рас-сматриваёмый на каждом шаге отрезок времени — на две части. Все интегралы от известных функций вычислялись методом Симпсона. Постоянные числа Д щ согласно [4, 6] определялись по формулам:

Н-1 =

3 /а \ т—11—1

+ й Н? ] -

°а \ ао I

где Ощах — максимальное значение интенсивности напряжений, вычисленное на предыдущем шаге по времени, умноженное на коэффициент а=1,2. Если при &-м приближении оказывалось, что о(и6)>отах, то величина шага Ат делилась пополам. Итерационный процесс подолжал-

ся до тех пор, пока не выполнялось неравенство |оц*+1) — бвй)| < Ю-2.

На рис. 2 представлены типичные результаты расчета изменения амплитуды дополнительного прогиба панели в процессе ползучести при одностороннем сжатии нагрузкой = 516 Н/мм. Панель имела начальный прогиб, направленный в сторону стрингеров с амплитудой /ъ= = 0,1 мм. На рис. 3 приведена картина перераспределения напряжений он по высоте среднего сечения панели.

Результаты расчета свидетельствуют о достаточной скорости сходимости последовательности приближений. Так, для расчета напряжений с точностью до четвертого знака требуется 5—6 приближений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Биргер И. А. Круглые пластинки и оболочки вращения. — М.: Оборонгиз, 1961.

2. Раб от но в Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций.— М.: Наука, 1966.

3. Ильюшин А. А. Пластичность. — М.: Гостехиздат, 1948.

4. Поспелов И. И. Метод последовательных приближений в за-

даче о неустановившейся ползучести и нелинейной упругости. — Ученые записки ЦАГИ, 1970, т. 1, № 2.

5. Миронова А. В., Поспелов И. И. Выпучивание пластинки при неустановившейся ползучести. — Ученые записки ЦАГИ, 1981, т. 12, № 3.

6. Ильюшин А. А., Поспелов И. И. О методе последовательных приближений в задаче о неустановившейся ползучести. — Инженерный журнал, 1964, т. 4, вып. 4.

Рукопись поступила 23/1 1987 г.