Выпучивание пластинки при неустановившейся ползучести Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XII 1981 М3

УДК 539.376:629.7.015.4.023

ВЫПУЧИВАНИЕ ПЛАСТИНКИ ПРИ НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ

А. В. Миронова> И. И. Поспелов

Приводится решение задачи о выпучивании шарнирно-опертой пластинки с начальным прогибом, сжатой в одном направлении, или одновременно сжатой в двух направлениях, или сжатой в одном направлении и растянутой в другом, при неустановившейся ползу' чести. Описывается перераспределение напряжений по толщине пластинки в процессе ползучести. Задача решается методом последовательных приближений, являющимся развитием известного метода „упругих решений". Решение для &-й итерации напряжений, прогибов, деформаций представлено в квадратурах. Выполнен пример расчета, получены функции изменения прогибов с течением времени. Пример расчета показывает, что в условиях, очень трудных для реализации итерационных методов, когда прогибы и напряжения интенсивно возрастают, используемый метод последовательных приближений быстро сходится.

Рассматривается поведение шарнирно-опертой пластинки с начальным прогибом, сжатой в одном направлении, или одновременно сжатой в двух направлениях, или сжатой в одном направлении и растянутой в другом направлении, при неустановившейся ползучести. В [1] приводится решение этой задачи при одностороннем сжатии для физически линейного вязкоупругого материала. В [2, 3] решение этой задачи при одностороннем сжатии дано только для установившейся ползучести, причем пластинка, по существу, рассматривается идеализированной, состоящей из двух слоев. Более полный обзор работ по проблеме устойчивости при ползучести сделан в [4].

В отличие от известных работ здесь приводится решение задачи о выпучивании пластинки с начальным прогибом при неустановившейся ползучести, описывается перераспределение напряжений по толщине пластинки в процессе ползучести. Задача решается методом последовательных приближений [5, 6], являющимся развитием известного метода „упругих решений" [7]. Решение для £-й итерации представлено в квадратурах. Пример расчета показывает, что в условиях, очень трудных для реализации итерационных методов, когда деформации и напряжения интенсивно

увеличиваются, используемый метод последовательных приближений быстро сходится.

Исследование накопления деформаций ползучести и прогибов пластинки необходимо для определения несущей способности панелей, находящихся в условиях ползучести, для оценки аэродинамических характеристик несущих поверхностей вследствие образования волнистости и искажения их обводов при ползучести, для рационального проектирования крепления теплоизолирующих элементов к несущим поверхностям гиперзвуковых летательных аппаратов.

Рассмотрим плоскую прямоугольную пластинку, находящуюся в условиях ползучести, шарнирно-опертую по краям и нагруженную сжимающей нагрузкой вдоль длинной стороны, или одновременно сжимающей нагрузкой вдоль короткой и длинной сторон, или сжимающей нагрузкой вдоль длинной стороны и растягивающей вдоль короткой. Края пластинки остаются прямолинейными и свободно сближаются. При решении задачи о деформировании пластинки будем пользоваться постулатами Кирхгофа — Лява, а также предполагать, что материал несжимаем, а деформации пластинки — малые. Деформация элемента, расположенного на расстоянии 2 от серединной поверхности пластинки, описывается уравнениями

сц = 6ц X) Z, £22 = ®22 ' *2 £12“®12 Х12 (1)

где е*р е*2, е*2 — деформации растяжения — сжатия, сдвига серединной поверхности пластинки; *2, х12 — кривизны и кручение серединной поверхности пластинки, которые определяются через прогиб пластинки:

да д~ ш д2 т

— 7Т~ ’ *2 —' л 2 ’ *12— ' ( )

дх2 ду2 дхду

Ось г направлена от центра кривизны.

Уравнения (1.18) [6], которые на отрезке времени [т0, т] описывают поведение материала как при мгновенном нелинейном деформировании, так и при неустановившейся ползучести и к которым применим метод последовательных приближений, примут вид

•ап =2[а (2еи + г22) +/и +/ц, °22 = 2^ (2е22 + ец) +/22 "Г/22) 312 = 2[АЁ12 + /12 + /12,

(3)

где — линейный одератор;

(4>

'О

— Зр-Х ^ а,^ 7]е3ь£,(''_'г°) с/х' — т (х) +

X

/п = [ап ('о) — 2^ (2еи (т0) + е22 (Т0))]

%22 [322 (■'о) — 21»! (2г22 (т0) еп (*„))] е-3^0(-с-^о)1 (6)

7п = [«12 (то) — 2|», £12 (то)]

7)= 1 —

/ы

Оа„ ’

3,4-1 I

аО \ сО

= — а1 °2 + 4 + Зз22.

(7)

(8)

(9)

В числовом расчете принимался степенной закон ползучести

Ж) = А°пи, (Ю)

где А, п — постоянные, т = т(^) — модифицированное время, являющееся функцией физического времени [6].

Деформации и напряжения растяжения будем считать положительными.

Используя формулы (3), получим выражения усилий через деформации сжатия и сдвига серединной поверхности пластинки

й/2

Тг

где

1 <3ц йг — — 2к\і (2єц 4- £22) — Ті — Тг\

-й/2

й/2

Т2=— | °22 йх = — (2е22 + ец)—Т2—Т2\ }

—й/2

й/2

Т\ъ= І 2Л{»Єх2 + Т12+ ^12»

-й/2

й/2 й/2 ^

7і= / /н^> ^і= \fudz,

—й/2 -й/2

й/2 й/2 _

Т2 — ^ f2•>dz, ^2— ^

-й/2 —й/2

й/2 ^ й/2 ____

7^12 = ^2 С/2, 7^22 = _/і2

(11)

(12)

-й/2

-й/2

и выражения моментов через кривизны серединной поверхности пластинки

М

М.

й/2 = 1‘

-й/2

й/2

а22 2С?2: =

Iх (2х2 + хх) 4- М2 +

-й/2

й/2

А«„=- (

°12 2с?2 ------- 2|Д ^Х12 ’ ^12 ^ 12)

—й/2

7—.Ученые записки ЦАГИ“ № 3

(13)

97

hi 2

Л/2

Mi= [ f\\Zdz, M2 — j f2izdz,

—A/2 Л/2 ^

= J /22 zcfz,

Жі

-ft/2 _ Л/2^

= J Tnzdz>

A/2

2 — ^ /l2

zdz,

-ft/2

Л/2

ЛГ,

M

12-

-Л/2

-ft/2

-A/2

&zdz}

/г — толщина пластинки; ц — модуль сдвига; £>* — — изгибная

жесткость пластинки; Т1г Ти Ми могут быть интерпретированы как фиктивные усилия и изгибающие моменты.

Из уравнений равновесия сил и моментов, действующих на элемент серединной поверхности пластинки, изображенный на рис. 1, получим:

д* М2 д2 (да + дао)

д2 Мі _ 2 д2М 12

дх2 дхду ' ду"1 ‘ ‘9 дхду

д2 (ш + ®о) _ j д2 (то + а>0) _ д.

Л

(15)

дх2 ду2

здесь w0 — прогиб до приложения нагрузки, w—дополнительный прогиб.

Подставляя в (15) выражения для моментов, определяемых формулами (13), получим:

D* ”_4 ОТ <?2(0!' + Wo) I -Г ^3(И' + ®’о) ,

----{J-V w — 12 —т-z------- + -* 1--л +

(х длгоу дх2

, j д2 (w + tfp) __ д3 (М-i -)- Mt) 1 2 (^iz ~Ь ^ia) | д2 (М2 + М2) (16)

2 ду2 дх2 дхду ' ду2

Рассмотрим двустороннее сжатие пластинки или одновременное сжатие в одном направлении и растяжение в поперечном направлении и будем пренебрегать перераспределением усилий в серединной плоскости; тогда Тх (t) = const, T2(t) — const, 7'12(^) = 0, и для описания выпучивания пластинки при- неустановившейся ползучести задача сведется к интегрированию уравнения

D* ~_4™ IT d2(w + w 0) , ,г d2(w + w0) _4 /,7Ч

----^ + -----TZ-----1-/2------тт-----т? У> V, (17)

[л. дх3 оу2

Рис. 1

q* (х, у, х) ■■

д2 (AJt + Mt) 0 д2(М12 + М12) , д2(М2 + М2) /ю\

+ —шгу;----------------------------' +-ть2-• (is)

дл:2

Начальный прогиб пластинки произвольной ширины и длины принимаем в той форме, которая соответствует минимальной критической нагрузке при потере устойчивости упругой пластинки, и тем самым сводим задачу к выпучиванию шарнирно-опертой пластинки шириной Ь и длиной а, где а и Ь — длины полуволн в направлении осей Ох и Оу.

W0 (х, у) =/0sin — sin

а о

(19)

Если пластинка не имеет конструктивных искривлений, то за величину амплитуды /0 можно принимать величину допускаемого при изготовлении отклонения от плоскости.

Решение уравнения (17) ищем в виде

,, ' w {х, у, х) = /(х) sin — sin > (20)

a b

где /(х) — функция, подлежащая определению.

Подставляя (20) и (19) в (17) и используя метод Бубнова — Галеркина, получим

!*/W-----£Ц/(-) + /о) =

* I Кр

а b

к2 Т

1 кр

-рг$----------у ( Г д*(х, у, x)sm — sin -^-dxdy, (21)

' -■-?] b J a

где

D*

Ь2

мы

(тГ-

В случае одностороннего сжатия Т'2 = 0, <Р = 0, Тх кр =

- (— 4- —У, и уравнение (21) будет иметь вид

b2 \ а b ]

&(*) -• -^г5- (/(') +/о) = •—г---------f f f* (х> У > sin -^-sin-^-dxdy.

M Kp U2_-- 7\ J J

[ Кр

Обозначим

^1 кр

Со —

Я2 7^

кр

[Ш4 ’

Р (х) = [ <?*(•*, Л т) sin ~ sin -J- dxdy.

0 0

Тогда уравнение (21) примет вид

jT/(x) = Ci /(x)=:Ci/0 + С2/?(х).

(22)

(23)

Это интегральное уравнение сводится к дифференциальному А1------------^Д£1_ /==_£а-------+ _^^_(С)/о + С2р). (24)

дт р. — Сх (X ■— С\ ит. [X —Сх

В качестве начального условия берем известное решение упругой задачи

/(0)— -у--1....у/о- , ' (25)

У 1 кр “ 1 1

Интегрируя уравнение (24) на отрезке времени [т0, т], получим

/(т)=е-М~.) (/(т0)+/0(1 (т)_ ( }] +

(X — С1

3{х2 Dc

j реЧ--'-°) d-A = е-Ч'-J /(т0) + /„(!- еМ—.))+

+ ^тг^“ еХ<"_"о) Р (т) + (р-с*)* j РеН*'~ч) j» • (26)

т0 J

. 3jj.Dci

где Х =----1----.

(X — Cj

Определяемая формулой (22) функция p = p(i) согласно (18) выражается в виде

p(d = p(i) + p(i)-, (27)

' « ~ 1J{%■ +2 ^) *>" -? si" <*>

^>-!!(н§- +2^+#)si"^rsi"<и>

о о

При решении задачи методом последовательных приближений решение для k-й итерации прогиба, определяемое формулой (26), представлено в квадратурах от известных функций.

Стоящие под знаком интеграла функции, которые определяются через решение (k—1)-й итерации, задаются таблично. Поскольку дифференцирование функций, задаваемых таблично, вносит дополнительные погрешности и понижает точность вычислений, целесообразно выражения (28) и (29) упростить, интегрируя по частям. _

Тогда р(т) примет вид

'га b

р (т) = -—J | M1 sin sin -у- dxdy — о о

а Ъ а Ъ

— j* j* sin —- sin -у- dxdy~\—j” j* Ma cos cos -~-dxdy.(2>0)

0 0 0 0

Уравнения (1) — (9), (14), (26), (30) полностью описывают выпучивание пластинки в условиях неустановившейся ползучести и за пределами упругости. Они позволяют определить в любой момент времени значения прогиба в любой точке пластинки, значения напряжений и деформаций. Процедура решения этой задачи методом последовательных приближений, которую мы используем на каждом шаге по времени [х0, т], состоит в следующем.

Для нахождения первого приближения полагаем тг)<°) = а><°) == О-Из_уравнений (5), (14), (30), (26), (4) находим /ff, /$, fn, М?, М0), MS>, У0)(т), /(1>(х), ц/(1)(х).

Из уравнений

— 1C2 . их . яу — JT, ч , — *

!^11 == 2 — Sin----- Sin -f- t«/(-c) + H*n,

a? a b

i«22 = 2 - J- Sin -H. Sin Й/(х) + p£;2, jj,s12 = _ г Ji- cos — cos [a/(x) -f {is*

яо a b

Где

К, = ~ (- 2Tt + T2-27, + Tt-2% +T2),

6 h

K2 = 2T2 -\-Tx — 2T 2 +Т,- 2T2 + T2),

6 h

!A£12 — (-^12 ^12 ^12))

которые вытекают из (2) и (1), получаем цеп, ^£22,

Функции Ju{x,y,z,i), f22(x,y,z,-:), fu(x, у, г,х), которые выражаются через начальные условия aiy-(x,_у, 2, х0), гг/. (х, у, z, х0), вычисленные на предыдущем отрезке времени либо при х0 = 0 из реше-

ния задачи упругости, находим из уравнений (6).

По формулам (3) определяем напряжения а(^(х, у, z,?), °22> (х>У> Z, х), а$(х,у,fz,x). Затем вычисляем по формулам (9), (7), <8), (5) aW, kjO), (od), /|j) и т. д. до получения результатов требуемой точности. Деформации еn(x,y,z, х), е22 {х, у, z, х), £12(л:,_у, г' х) определяем с помощью обратного оператора который имеет

вид

____ ._ X

5 (х) =* jT-Ч = 5 (т0) + --^£(То)- + 3D J (х') <*т',

го

и переходим к вычислениям на следующем шаге по времени.

Для иллюстрации изложенного метода расчета выпучивания пластинки приводятся примеры расчета шарнирно-опертой пластинки, изготовленной из сплава Д16АТ и находящейся в условиях ползучести при температуре Т= 250°С, р. = 0,2117 -105 Н/мм2. Пластичность не учитывалась. Неустановившаяся ползучесть описывалась степенным законом (10). Принимались я = 3,1, А —

= 0,16 • 10—6 (Н/мм2)~и . Модифицированное время опреде-

ляется из табл. 1 и при £>-15 мин формулой х = 0,1£ + 2.

Таблица 1

t, мин 0 1 2 3 4 5 10 При 15

т, мин 0 0,8 1,4 1,7 2,0 2,2 3,0 т=0,1 t-f 2

Геометрические размеры пластинки а = 336 мм, Ь — 336 мм, Н = 8 мм. Амплитуда начального прогиба/0 = 0,005 мм. При вычислениях толщина пластинки разбивалась на пять частей, ширина — на шесть частей, длина — на одиннадцать частей. Рассматриваемый

на каждом шаге по времени отрезок разбивался на три части. Все интегралы от известных функций как по времени, так и по координатам вычислялись методом Симпсона с квадратичной интерполяцией.

На рис. 2 приведены кривые изменения как по модифициро-' ванному, так и физическому времени амплитуды прогибов пластинки при одностороннем сжатии в направлении оси Ох при действии усилий 7'1 = 400 Н/мм; Г, = 500 Н/мм; 7\ = 600 Н/мм; 711 = 700 Н/мм, составляющих 31, 39, 47 и 55% критичес-

кого усилия Т1 кр = 1280 Н/мм. Наблюдается безграничный рост прогибов при приближении к некоторому значению времени,, которое будем называть временем до разрушения и обозначать ^разр- При = 700 Н/мм время до разрушения пластинки tpaз^ = = 9,7 час, при Г, = 600 Н/мм t^la3f)=\9,7 час, при Тг = 500 Н/мм ^разр = 40 час.

Практически это время совпадает со временем, при котором достигается прогиб, равный половине толщины пластинки, равный 4 мм. На рис. 3 представлена типичная картина перераспределения напряжений по толщине пластинки в процессе ползучести, в среднем сечении пластинки при х — а.12, у —Ь/2 при 71 = 50о Н/мм.

На рис. 4 представлены кривые изменения прогибов пластинки с течением времени при двустороннем сжатии 7^ = 500 Н/мм,. 'Г2 = 250 Н/мм и 7! = 500 Н/мм, 72 = 375 Н/мм и сжатии с растяжением 71 = 500 Н/мм, 72 = — 100 Н/мм. Наблюдается неограни-

Рис. 2

Рис. 4

ченный рост прогибов за конечное время. При действии 7\ = = 500 Н/мм и Г2 = 250 Н/мм время до разрушения пластинки составляет 24,2 час. При сравнении с той же пластинкой, подвергнутой одностороннему сжатию Г^бОО Н/мм, критическое усилие Тх Кр уменьшилось на 33%, а время до разрушения пластинки уменьшилось в 1,65 раза. При действии Т1 = 500 Н/мм и Т2 = = 375 Н/мм время до разрушения составляет tp!^зp = 14,8 час. При сравнении с той же пластинкой, подвергнутой одностороннему сжатию 7\ = 500 Н/мм, критическое усилие Т{ кр уменьшается на 47,5%, а время до разрушения — в 2,7 раза. На рис. 5 представлена картина перераспределения напряжений по толщине пластинки с течением времени в процессе ползучести при двустороннем сжатии Г! = 500 Н/мм, Т2 = 250 Н/мм, в среднем сечении при х — а\2, у = Ь/2.

Поскольку прогибы и напряжения растут неограниченно с течением времени, данная задача является одним из самых тяжелых примеров для реализации методов последовательных приближений по условию сходимости последовательности приближений. Для обеспечения сходимости и экономии машинного времени процедура последовательных приближений проводилась на каждом шаге по времени. Постоянное число £> определялось по формуле 7) = ^а"гаах- УсЛОВНОе ПОСТОЯННОе ЧИСЛО Зц шах ПринИ-малось максимальное значение интенсивности напряжений, т. е. значение интенсивности напряжений в центре пластинки на вогнутой стороне, вычисленное на предыдущем шаге по времени, умно-

V \ ! \Т7ш 1*1 / 7 г, мм

20пс'Ъ^ \\

-6 -1 -ч N 0 бгд 0~В/мм

\Ч > «■

72 ш' ~20ча чХ \ II г,мм .

6 'V' 17час к

-1 -в к -4 V -г У/мм:

\ч =-4 —

Рис. 5

\

женное на 1,2. В случае, если в к-м приближении интенсивность напряжений а<*> (х, у, г, х) > аи шах, то величина шага Дт делится пополам. Если а№ (л;, у, г, х)< аи тах, то итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполнено неравенство ! з<*+1> (х,у, г, -с) — а^(х, у, г, х) |< 1СГ2. Неравенство (х, у, г, т)<; -<<зктах обеспечивает выполнение неравенства 0-<7)<Ч и, следовательно, сходимость последовательных приближений.

Таблица 2

Одностороннее сжатие

N 1-10-2 Дт•10 2 k я. N 1-10-2 Ai-10-2 k

1 0,0 2 —0,00327 10 2,125 0,125 6 -2,23077

2 0,25 0,25 2 —0,01304 11 2,25 - 0,125 6 —3,03478

3 0,5 0,25 2 -0,02571 12 2,28125 0,03125 4 —3,49241

4 0,75 0,25 4 -0,05788 13 2,3125 0,03125 4 -3,68941

5 1,00 0,25 4 -0,10615 14 2,34375 0,03125 6 —4,47739

6 1,25 0,25 5 —0,21904 15 2,375 0,03125 6 —4,76793

7 1,5 0,25 5 -0,39139 16 2,39062 0,01562 5 -5,33599

8 1,75 0,25 7 —0,80663 17 2,40625 0,01563 5 -5,41417

9 2,0 0,25 7 -1,44182

Т1 = 500 Н/мм, /0 = 0,005 мм, а — Ь~ 336 мм, h — 8 мм

Результаты расчета, приведенные в табл. 2, свидетельствуют о высокой скорости сходимости последовательности приближений. В этой таблице представлено изменение прогиба с течением времени, дробление первоначально взятого шага А-с = 25 мин по мере возрастания скорости нарастания прогиба и число приближений k, необходимое для того, чтобы расхождение интенсивностей (й +1)-го и k-vo приближения имело место в пятом знаке. Даже для описания такого интенсивного процесса нарастания прогибов и напряжений с такой высокой точностью достаточно всего 4—6 приближений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Lin Т. Н. Creep deflection of viscoelastic plate under uniform edge compression. ,,J. Aeronaut. Sci.“, vol. 23, N 9, 1956.

2. Hoff N. J. Creep buckling of rectanguiar plates under uniaxial compression engineering plasticity, Cambridge, England, 1968.

3. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем. М., Физ-матгиз, 1963.

4. К у р ш и н Л. М. О постановках задачи устойчивости в условиях ползучести (обзор). В сб. „Проблемы теории пластичности и ползучести”. М., „Мир“, 1979.

5. Ильюшин А. А., Поспелов И. И. О методе последовательных приближений в задаче о неустановившейся ползучести. . „Инженерный журнал", т. IV, вып. 4, 1964.

6. Поспелов И. И. Метод последовательных приближений в задаче о неустановившейся ползучести и нелинейной упругости. .Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 2, 1970.

7. Ильюшин А. А. Пластичность. М., Гостехиздат. 1948.

Рукопись поступала 25jXII 1979 г.