CC BY
55
______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И
Т о м II 197 1
№ 6
УДК 629.735.33.015.4-977
РАСЧЕТ УСТОЙЧИВОСТИ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК В УСЛОВИЯХ ПОЛЗУЧЕСТИ
Г. Н Замула
Дано численное решение задачи устойчивости изотропной цилиндрической оболочки при осесимметричной ползучести. Результаты расчетов приведены для случая длинной, сжатой вдоль образующей, шарнирно опертой идеальной и неидеальной оболочки.
В теории устойчивости упругих оболочек вращения в последнее время достигнуты значительные успехи благодаря разработке численных методов решения задач устойчивости с учетом реального характера нагружения и закрепления торцов оболочки, начальных неправильностей, моментности и нелинейности исходного состояния. Уравнения нейтрального равновесия осесимметричных исходных состояний решаются при этом практически точно методом конечных разностей и влияние указанных выше факторов в большинстве случаев оказывается существенным. Необходимость соответствующего подхода в задачах устойчивости оболочек вращения при ползучести тем более очевидна, что именно развитие во времени прогибов и усилий, вызванных начальными неправильностями и моментностью исходного состояния, приводит оболочку к потере устойчивости в условиях ползучести, а допустимость приближенных подходов часто сомнительна и вследствие нелинейности задачи трудно поддается проверке. Работы в этом направлении практически отсутствуют, несмотря на важность проблемы. Решение задачи в условиях ползучести можно разделить на две части: расчет исходного осесимметричного напряженно-деформированного состояния оболочки вращения при неустановившейся ползучести и определение критического времени т* потери устойчивости оболочки по неосесимметричной форме путем решения уравнений нейтрального равновесия, идентичных соответствующим уравнениям для упругих оболочек. Ниже дано общее решение задачи для случая изотропной круговой цилиндрической оболочки при использовании для расчета исходного состояния численного метода, предложенного автором в статье [1], а для решения уравнений устойчивости —
метода, приведенного в статье [2]. На примере сжатой вдоль образующей шарнирно опертой оболочки показано, что прогибы и усилия краевого эффекта вследствие ползучести интенсивно нарастают во времени, что приводит даже идеальную оболочку к потере устойчивости по неосесимметричной форме. Для случая неидеальной оболочки, имеющей начальную осесимметричную неправильность формы, получены результаты, близкие к приведенным в статье [3].
1. Расчет моментного напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки во времени в условиях неустановившейся ползучести проводим при осесимметричном нагружении, нагреве, закреплении торцов и начальном прогибе оболочки методом и по программе, описанным в работе [1]. Это состояние предполагаем устойчивым при т = 0 и далее до некоторого критического момента времени т*, при котором возможно появление смежных, отличных от исходной, форм равновесия оболочки, переход в которые происходит практически мгновенно и без дополнительных внешних воздействий. Уравнения нейтрального равновесия оболочки при этом получаются полностью идентичными соответствующим уравнениям для упругих оболочек. Для пологих оболочек или оболочек, делящихся при потере устойчивости на пологие части, они представляются в виде системы однородных дифференциальных уравнений в частных производных:
иу v * R дх2 x дх2 У душ дх2 д<? ’
_!_Г72Г72ф _1_ _L ..д2 ш.
Eh V V <Р*Ї- R дх2 І- дх2
df
• о
(1)
to
с переменными коэффициентами Ny(x, т), х, т), являющимися
наряду с Nx{i) характеристиками исходного состояния. Здесь (»* — искомые функция дополнительных неосесимметричных усилий и прогиб потери устойчивости, V2 V2 — бигармонический дифференциальный оператор, остальные обозначения соответствуют принятым в статье [1]. Критическое время т* потери устойчивости оболочки определяется как наименьшее входящее параметрически в уравнения (1) время, по истечении которого появляется ненулевое решение (1) с соответствующими однородными граничными условиями, идентичными условиям для упругих оболочек. При представлении решения в виде
<oN. — —р=—1г - W {х) cos п , срз — —— £/L=r-== FJx) cos п -Q- (2)
* 1/12(1-V2) " R у 12(1—V2) " R
уравнения (1) при каждом п приводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющих следующий безразмерный вид:
W2 \2 _ И2 р — d?W — — д2 <в
-^-kA Wn~^- -2Nx-^J^-+2Nyk2Wn +^=r dx2 dx* x dx2 y dx2
\dx2 I dx2 dx2
где
•г=!/12(1-у!,7Ж- «.-/зо-^>4
щ-уЧцТЗ*)*
«=1^120^)4- , Л*. Л’А
/? /12(1 -V2)
Однородные граничные условия, соответствующие различным условиям нагружения и закрепления торцов оболочки, для уравнений устойчивости (3)^ по четыре на каждом из торцов х=-0, х = /. оболочки, здесь не выписываем. Они получаются путем преобразования к безразмерному виду условий для упругих оболочек, приведенных в статье [2]. Критическое время т* потери устойчивости оболочки определяется теперь как наименьшее при различном числе волн п по окружности оболочки время, по истечении которого появляется ненулевое решение уравнений (3) с указанными граничными условиями. Для отыскания т* воспользуемся разработанным в статье [2] конечноразностным алгоритмом. Система уравнений (3) с граничными условиями общего вида аппроксимируется
на сетке х; = г„— (г = —1, 0, 1, . . ., 2п0, 2я0+1) системой разно-
2 П0
стных однородных линейных алгебраических уравнений, обращение в нуль определителя которой служит критерием потери устойчивости оболочки.
В процессе расчета ползучести оболочки получаемые характеристики исходного состояния (т), Мух(х), (х, х) подставляются
на каждом шаге расчета во времени в указанную систему алгебраических уравнений, при различных значениях п подсчитываются ее определители и критическое время находится как наименьшее время, по истечении которого один из определителей меняет знак. Расчет устойчивости, таким образом, становится составной частью общего расчета напряженно-деформированного состояния оболочки в условиях ползучести. При отсутствии ползучести этим же способом отыскивается критическая нагрузка упругой оболочки с использованием в качестве параметра т или некоторого произвольного параметра, в зависимости от которого изменяется нагрузка.
2. Рассмотрим ползучесть и устойчивость идеальной цилиндрической оболочки, „мгновенно" сжатой осевой силой N и равномерно нагретой до температуры Ь. Оболочка шарнирно оперта по торцам на нагретые до той же температуры жесткие диафрагмы. В силу симметрии задачи рассматривается половина оболочки.
Граничные условия при х — 0, имеют вид:
для задачи ползучести оболочки
.. . _ дМх дш
= 0, (5)
£
для задачи устойчивости
~ * = Nх ^ ^|^=0 == 0,
— и — N \х- 1 = О дх дх * ху *!•*- 2~ и-
Здесь и, V — осевое и окружное смещение срединной поверхности оболочки.
Закон одномерной ползучести материала оболочки принимаем в виде
р = АУ)<?, Е(°,р, . (7)
Модуль упругости и коэффициент Пуассона в рассматриваемой задаче также могут быть функциями температуры £(0> 7(^)- Пример изменения усилия А^у (л:, х) и кривизны (х, х) оболочки
вдоль продольной координаты х и во времени т, носящего характер краевого эффекта [Л^(х) = —■ /V], приведен на фиг. 2 и 3 статьи [1]. При величине Лх* = 8,02-10-8 оболочка теряет устойчивость по неосесимметричной форме. Это происходит задолго до обращения осесимметричного прогиба в бесконечность, что являлось критерием выпучивания оболочки при рассмотрении соответствующей задачи в работе [4]. Можно показать, что требуемые для решения задачи устойчивости характеристики исходного состояния в безразмерном виде (3), (4) определяются в рассматриваемом случае параметрами
^=/3(1-V») V, /.=/12(1
А Ек ’ '«““"г ’УМ’ 3(1— V2)/?2
(ниже везде р. — 3). Наряду с получаемым из соотношений (4) пара-
4 _________ Г~Ц
метром Л=у 12(1 —V2) 1/ они составляют полную систему
определяющих безразмерных параметров задачи. Результаты расчетов устойчивости, полученные описанным выше методом, удобно представить в виде зависимости параметра критической деформации N , . № е*~ЕН+ /г3
А -птх* оболочки
г* = V 3 (1 - V2) = N(1 + № х*)
от параметров М, V, I, Л. _
На фиг. 1 показана зависимость е* от параметра сжимающей нагрузки N при 0,3, Ь=38, Л=36,3. Точка пересечения кривой с диагональю дает известную верхнюю критическую нагрузку идеальной упругой оболочки с учетом граничных условий, моментности и нелинейности исходного состояния, вся кривая представляет результат обобщения этого понятия на случай ползучести*. Для доста-
* Критическое число волн п по окружности оболочки близко к значению, полученному для упругой оболочки, и уменьшается с уменьшением N.
точно длинных оболочек (Z.>32) расчеты, как и в упругом случае, показывают слабую зависимость результатов от параметров L и Л. Вследствие этого при граничных условиях (5), (6) и законе ползучести (7) полученная кривая зависит только от коэффициента Пуассона. Она может быть использована для приближенного расчета потери устойчивости вблизи опоры любой достаточно длинной оболочки вращения в условиях ползучести при использовании в качестве величин N, t и R сжимающего усилия, температуры и радиуса кривизны срединной поверхности оболочки у опоры.
3. Рассмотренная задача была решена и для случая неидеальной оболочки, имеющей начальный прогиб вида
__ _ __ ^
w0 (•*) = <»0 sin (2 т— 1) л -j-,
где й0 = У 12(1— v2)^ — безразмерный параметр амплитуды начального прогиба, форма которого выбиралась в соответствии с классической осесимметричной формой потери устойчивости иде-
альной упругой оболочки. (В качестве 2 т—1 выбиралось ближайшее к ^ нечетное целое число^ ■ Найденное предварительно решение задачи упругой устойчивости оболочки представлено при v = 0,3, 1 = 38, Л = 36,3 на фиг. 2 в виде зависимости критического сжимающего усилия ЛГ* от о>0. При значительных начальных прогибах критическая сжимающая нагрузка неидеальной длинной оболочки практически не зависит от параметров V, Ь, А. Она соответствует критической сжимающей нагрузке для бесконечно длинной оболочки без учета краевого эффекта у опор. На фиг. 1 приведены результаты расчета при и>0 = 0,5 критической деформации неидеальной длинной оболочки как функции сжимающей нагрузки N. Эта кривая также не зависит от параметров Л и незначительно отличается от результатов приближенного решения подобной задачи, приведенных в статье [3]. Полученная кривая может служить для предсказания критической деформации и критического времени потери устойчивости оболочки в условиях ползучести при известной величине амплитуды начального прогиба
|о>0|. Причем при слабой зависимости от температуры коэффициента Пуассона и вида закона ползучести (7) она практически не зависит от температуры. Величина |а>0| может быть определена из данных фиг. 2 по известным, полученным экспериментально значениям критической нагрузки упругой оболочки при комнатной температуре. Отметим, что приведенные на фиг. 1 кривые ограничены снизу значениями сжимающих нагрузок Л/, при которых начинается „лавинообразное" нарастание осесимметричного прогиба и напряжений в оболочке и напряжения даже в достаточно тонкой оболочке превышают предел текучести материала.
ЛИТЕРАТУРА
1. За му л а Г. Н. Численное решение осесимметричных задач
ползучести круговых цилиндрических оболочек. «Ученые записки ЦАГИ“, т. II, № 3, 1971. .
2. Мяченков В. И. Устойчивость ортотропных оболочек вращения, находящихся под действием осесимметричных нагрузок. .Инженерный журнал”, МТТ, 1968, № 1.
3. Григолюк Э. И., Липовцев Ю. В. О критериях выпучивания оболочек в условиях ползучести. „Инженерный журнал*, МТТ,
1966, № 3.
4. Волчков Ю. М. Осесимметричные задачи ползучести круговых цилиндрических оболочек. Изв. АН СССР—.Механика',
1965, № 5.
Рукопись поступила 10/VI 1971 г.
