О влиянии ползучести на несущую способность конструктивно-ортотропной пластины Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXI 1990 № 4

УДК 629.7.015.4.023.2

о влиянии ПОЛЗУЧЕСТИ НА НЕСУЩУЮ СПОСОБНОСТЬ КОНСТРУКТИВНО-ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ

С. П. Барба, И. И. Поспелов

Методом последовательных приближений [1,2] решена задача о выпучивании подкрепленной панели с начальным прогибом как при мгновенном нагружении с учетом пластичности, так и при неустановившейся ползучести. Панель нагружена одновременно сжимающими усилиями в направлении ребер жесткости, сжимающими или растягивающими условиями в поперечном направлении и касательными усилиями. В отличие от [3] панель рассматривается как конструктивно-ортотропная пластина. Исследуется влияние ползучести на несущую способность панели.

Одним из нежелательных явлений, к которому приводит ползучесть, является снижение несущей способности элементов конструкций и отдельных агрегатов, подверженных ползучести. Особенное влияние ползучести на несущую способность может иметь место в элементах конструкций, теряющих устойчивость. В этом случае малые начальные искривления и эксцентриситет в приложении нагрузки к стойке, пластинке, оболочке вследствие ползучести увеличиваются, что в свою очередь приводит к снижению критических напряжений. Во время эксплуатации тяжелого сверхзвукового самолета на верхнюю панель крыла действует сжимающая эксплуатационная нагрузка, которая при крейсерском режиме соответствует перегрузке пэ = 1, и при которой в течение эксплуатации самолета, развивается ползучесть. Снижение несущей способности панели вследствие ползучести необходимо учитывать, поскольку допускается кратковременная перегрузка, которая может превышать нагрузку на крейсерском режиме в 2,5 раза. Панель крыла может быть подвергнута перегрузке как в первом, так и в последнем полете. Поэтому необходимо решать две задачи: о выпучивании панели в условиях ползучести и о несущей способности панели при последующем кратковременном нагружении с учетом пластических деформаций. Аналогичная задача для стержня идеализированного двутаврового сечения решена в [3].

Рассмотрим шарнирно опертую панель, изображенную на рис. 1, представляющую собой пластину, усиленную в одном направлении прямоугольными ребрами жесткости. Систему координат выбираем так, чтобы оси Ох и Оу лежали в срединной плоскости обшивки, а Ог — нормально к ней. Панель имеет начальное искривление ы) — ш)0(х, у) и нагружена одновременно сжимающим усилием в направлении Ох сжимающим или растягивающим усилием в направлении Оу и касательными усилиями. Предполагаем, что в обшивке реализуется сложное напряженное состояние, в стрингере — одноосное.

Воспользуемся постулатами Кирхгофа — Лява. Деформация элемента, расположенного на расстоянии г от серединной поверхности обшивки описываются уравнениями

Ец = 6* — К\2, 822 = Ё22 — Иг2, 6|2 = 6*2 — >612^:. (1)

Полагая материал несжимаемым, для деформаций в стрингере имеем е11 = еп Х1 2 > е22 == 2~ е'1 ’ е12 = О-

Для малых деформаций

„* _ ди * _ ди * _ ( ди_ , _£и_\

6|1 ~17’ &22~ ду ’ &'2~ 2 \ ду ^ дх) ’

где и, V — перемещения точек срединной поверхности обшивки вдоль осей Ох, Оу соответственно.

Кривизны хь хг и кручение срединной поверхности обшивки Х12 выражаются через прогиб ш

дгш д2т „ _ д2т (<)\

Х| ~ дх* ’ щ ~ ду2 ’ 12 дхду • (

В дальнейшем материал пластинки будем считать несжимаемым. Как указывается в работе [4], степень точности такого упрощающего предположения заранее является довольно определенной, поскольку хотя бы из теории упругих оболочек известно, как влияет коэффициент Пуассона на дефор^ мации и напряжения.

Полагаем, что полная деформация ец складывается из мгновенной деформации е'ц и деформации ползучести рц

вц = вц "I- р^1, I, I= 1, 2, 3.

Связь мгновенной деформации с напряжениями согласно теории малых упругопластических деформаций принимаем в виде [4]:

< _ з фК) Ч 2 д„

где 5(/—девиатор напряжений, аи — интенсивность напряжений.

Для описания процесса ползучести воспользуемся теорией течения [5]

Ра =

2 о., ч

Точкой вверху обозначено дифференцирование по модифицированному времени т, являющемуся функцией физического времени.

Согласно второму постулату Кирхгофа — Лява полагаем 013 = 023 = = <тзз = 0. Используем метод вязко-упругих приближений [2]. Тогда, с учетом несжимаемости материала, уравнения, описывающие на отрезке времени [то, т] поведение материала обшивки, как при мгновенном нелинейном деформировании, так и при неустановившейся ползучести можно представить в виде

Оц = 2(1 (2єц Є22) + /п + /и

022 = 2ц(2е22 + 8и) +^22 + І22 »

Оі2 = 2|ЇЄ12 + /12 + /|2

где — линейный оператор вида

2П«-3,1|0(Т-ТО)ГТ £лЗЦ|(т'~тоиг'

Чх',

(3)

-Зц,О(т-т0)

О,, (ш + Г)) е

Зи,О(т'-т0)

йт' —

т0

— оц (т) (О(т) + о,, (т„) со (т0)е“ЗЦ|0(т~т°),

I = [°11Ы — 2М-1 (2е,,(т0) + е22(т0))] е~3*'0{т~то)

/22= [о22Ы — 2ц, (2е22(т0) + е,,(т0))]

Лз = [ ^^(хо) — 2ц, е,2(т0)] (т-т°)

со = 3ц1ф(ои)/оа—1,

= л/ст?, — о,,о22 + о^ + Зо?2.

ц,, Д — константы, вычисляемые на каадом шаге по времени [1, 2]. Для стрингера

Оц = Зцеп + /ц+Гп>

/„ = Зц1Яе“3ц'0(т-т°)$ оп(со + т))/Ц|0(т'“т°^т'-

т0

— <*.■;(*) “ (т) + о,, (т„) (о (т0)

(4)

(5)

(6) (7)

(8)

(9)

/п= (оцЫ —Зц,еп(т0))е' °и= кп|-

-3(1! Д(т—т0)

(10)

В случае мгновенного нагружения на отрезке изменения параметра нагружения [Х0, Л,] в уравнениях (3) для обшивки следует положить ц= ц,, и

Ь; = ач (К)ш (*■<>) — ач (Я.) ю(^),

1п = <*и (А,0)—+

^22 = о22 (А,0) 2(1, (2е22(^о) + 6ц (Л,0))

/!2= 012(^0) “Н2|Х1 е)2(А,с)

В уравнении (8) для стрингера р. = р, и

!и = а{ (Х0)(о(Х0) — ап{к)<а(к),

1и = аи(^о) З^бц^о).

(И)

(12)

(13)

(14)

Как и в теории упругих конструктивно-ортотропных пластин стрингера «раз-мазываем> в плоскости обшивки. Тогда погонные усилия и моменты выражаются через деформации и кривизны срединной поверхности обшивки следующим образом:

А/2-Не

Т, = \ аик{г)йг = 4Лпрце^ + 2/гце2*2 — Зс^рх^ Т1 + Т1\

-Л/2

Л/2

Т2 = ^ ,а22(1г = 2к^(2е^ + г^) + Т2 + Т2;

-А/2

Л/2

Г12= 5 о,2^г = 2Арей + Г,2+Г,2;

(15)

Л/ 2+Ас

м

„

опк{г)гс1г= —-^р(2х, +х2) + За,ре?; + Л11--|-Л11;

-А/2

Л/2

м2= ^ а22гйг = — -|^р(2х2 + х,) + М2 + Л12;

—А/2

(16)

А/2

м

д* -

-А/2

где к(г)—коэффициент заполнения. В рассматриваемом случае в обшивке Л (г) = 1, в стрингере /г(г) = ф-, £>* = ---жесткость обшивки при из-

Щ и

гибе; й\ = й* + Зцаа — изгибная жесткость упругой панели относительно оси, лежащей в срединной плоскости обшивки

Л„р = Л + «0= ^ к{г)йг, а, = ^ /г{г)гйг, оц*= ^ Л(г)**4*

А/2 А/2 Л/»

А/2+Лс А/2 Л/8

Т1— ( (ик(г)ёг, 72 = ^ /22^2’ Т\2~ 5

-А/2 -А/2 —п/2 •

л/а

~Л/2 /2

7\ = ^ ^\\к{х)йх, Т2= ( f22^2» Т'и3"' (

—А/2 -А/2 -Л/2

Л/2+Ас Л/2

м,= ( }пк{г)гйг, М2= ( /22^^ Л112

-Л/2

А/2+Лс

-А/2

Л/2

-А/2 А/2+Ас

-Л/2

Л/2

/Й,= ( ]ик{г)гйг, М2= ( ^2г^г','/й(|*« I! ^,а

-Л/2 —Л/2 -Л/8

«*г.

(17)

Уравнения равновесия и моментов, действующих Н8 ЭЛвМвНТ ИОВерХНОСТИ приведения

, дТ^_ 0 дТ

дх ду

6Т}

дх ' ду

(18)

д2М, „ д2М12 , д2М2 , ,, «•(•+*,)

-ГТ- ~ 2 + “ГГ- + Г, —3-**.+.,

дх1 дхду ду2

, от д2(а; + ш0) **(» + «,) п

+ 2Г'° ы, ' + Г,—

Уравнения совместности деформации сереДИННОЙ поверхности обШИВКИ

<?2е* , д\*г п

На основании (18) введем функцию Эри

7\ = 4£. - Г

4*Ф

ду

дхг

12

*Ф.

дхШ'

(20)

<21)

Из уравнений (15), (16), (18) — (21) получим систему разрешающих уравнений относительно прогиба ы> и функции Эри Ф

, - , , ^ д2Ф ^(® + »в) й д*Ф -*'(» + »#) ,

+ цф = — . —^—* - 2 хзг • —а;:зг-~ +

дГ

дхду Яхду

^ ™ , *>±»о) , а{х у х)

+ 1Т д? *• х)'

£.3Ф — £4|ш«*р(*, у, т), где 1*и — линейные операторы:

(22)

Lt=z ( 1 д'1 П \

2ё CV 2 дх4 dx2dy>) ’

L1 h»v П , / 1________________1 \ d% . 1 П

36 ЗЦЛ + о,,) ' 5jc4 \ * 3(A + o„)) dx2dy2 “Г З (Л + a,,) ' Зі/4 ’

®i

где zc = A_|_— координата центра тяжести сечения панели плоскостью х = const.

Функции р(х, у, т), q(x, у, т) описывают физическую нелинейность и определяются через fjj И Jij

"{х- >■ т> - 7?[ ■ (•^ -Т'- Т') + *'■+"'] +

+ 2 eSsr(Л*12 + Л,а) + W ^ <24>

+ £[n*k) • (f'+f' - І (f>+f'))] - iSr(^) •

(25)

Уравнения (22), (23) вместе с соответствующими граничными условиями определяют деформирование конструктивно-ортотропной пластинки с начальным прогибом шо при неустановившейся ползучести и нелинейной упругости под действием сжимающих, растягивающих и касательных усилий, приложенных в центрах тяжести соответствующих торцев.

При мгновенном нагружении в этих уравнениях нужно положить ц=ці и соответственно использовать /іу и определяемые уравнениями (И) — (14).

Из (1) — (3), (15) напряжения в обшивке

«и = [Л-Г,-Г1+£(г,-Г,-}у]^ +

За, - -/ 32до\ .г , г

+ 1+^^-2^(2^ + 17-) + ^п+/п; (26)

°2І — (Т2—Т2—ї2) — 2Z(1^2 + І22 + І22>

°22 (J12 ^12 Тіг) 2гЦ дхду f12 І Г12»

в стрингере

°" = тгЬ;(т'-Т'-Т'-т(Тг-г,-т,)) +

+ *(»ї*—)£ + Л.+/„. ОТ

Деформации е

“і 32ш 32ш

д2ш

Здесь ц ' — оператор обратный к ц,

т

Ї '| = -^- + 3й[ их'.

М1! J

т0

При мгновенном нагружении |ї-1 = — . Процедура решения задачи мето-

дом последовательных приближений заключается в следующем. Для нахождения первого приближения полагаем т)(0) = со(0) = 0. Из уравнений (4) = О,

из (5) находим через начальные условия о,/(то), е^то). На первом шаге по времени начальные условия определяются из решения_ соответствующей упруго-пластической задачи. По формулам (17) находим 7\, Гг, Г12, М\, Мг, М\2, Т\, Т2,Т 12, МьМг.М.г, которые могут быть интерпретированы как фиктивные усилия и моменты. Из (24), (25) находим Р, <7 и решаем систему линейных уравнений (22), (23). Получаем до = до(|), Ф = Ф(1), которые принимаем за первое приближение. Из (26), (27) определяем <т-;-, из (6), (7) — т)(|), ю(|) и продолжаем итерационный процесс до получения результатов требуемой точности. Затем, по формулам (28) вычисляем е«; и переходим к расчетам на следующем шаге по времени.

Рассмотрим шарнирно-опертую панель, одновременно нагруженную сжимающими усилиями Р\ и Рг в направлениях Ох и Оу, либо сжимающими усилиями в направлении Ох и растягивающими усилиями в направлении Оу. Будем считать сжимающие усилия Р\ и Р2 положительными. Исключая из уравнений (22) и (23) функцию Эри, удерживая при этом главные члены в ее разложении, получим

где }(х) — амплитуда дополнительного прогиба, подлежащая определению.

Подставляя (30), (31) в уравнение (29) и применяя метод Бубнова — Галеркина, получим интегральное уравнение

ц (І3І, — 12Ц) до + Р, £3 (до + до0) + Р2 /,3 (ш + до0) =

= — Ь2р.

При этом Г, = — Р,, Т2= — Р2.

Начальный прогиб панели принимаем в следующей форме

(29)

®>о (*> У) = Л, віп 22-.

(30)

Решение уравнения (31) приближенно ищем в виде

ДО (х, у, т) = Дт) вігі вігі -^-,

(31)

(і/ — к\І = Аг і^о + Агс(т),

(32)

где

( 1 ^ 2 «,2 ) 3 Г л|| -.-1

\4,+1 ' ■ *,= [^(^,-4)] ,

, _(°\ _ 3а1 \ "1 I о _£!_ Л4 , _0^_ _

1 \Ц Ь + Оо) а* Ц а2Ь2 Ц Ь4

И — а' ( ”4 — 2

°2 2(/Ц-аДа4 а2*2,)’

. ^пр я4 . / 1 1 \ л4 . 1 Я4

3 ~ ЗЦЛ + а,,) а4 Л 3 (Л + а,,) у а262 З^ + а^,) * Ь4 ’

а Ь

с (т) = С ^ [ /-3«7 — £2Р] з1п -^- вт -у- йда/у. (33)

о о

Если в момент нагружения не возникают пластические деформации, то начальное условие имеет вид

/ (0) = f0 ■

|1 — й.

Решение уравнения (32) на отрезке [т0, т] получено в квадратурах f (т) = e-^-Zo){f(x0) + /„( 1 -е"^) + -А- с +

+ J^*i_C-e»(x'-x0)rfT,| f (34)

(ц,-*,) TJo J

где

О 311,0*,

р =

ц —Л, ’

а Ь

(т)-И{[( d3^('AHR(T7'2-7’>)+A1') + irM2) +

+ 1Щлта (5 ((4А + 3“о) ^ - 2f ■) + 4 ^ ( f ■ - i f 2) )] X

х sin -Э~- sin -ЭК. + -2L [2d3M 12 + A r,2J cos -2- cos -^-} dxdy.

Решение (34) описывает кривую нарастания прогибов панели во времени вследствие ползучести.

При исследовании мгновенного нагружения панели с учетом пластических деформаций предполагаем, что нагрузка возрастает пропорционально

Р, = Р(Я.). Р2 = вРЩ, (35)

где 0 = const — коэффициент пропорциональности.

Из (32) при |1 = Ц1 получим уравнение, связывающее амплитуду дополнительного прогиба /(Я) с величиной действующей нагрузки на интервале изменения параметра нагружения [Хо, А,]

^ам-/(^))-^м(/м+/о)+*,(м(/(^о)+/о)=

= к2(с(к) — с(Х0)), (36)

где

Л1(Я,) = Р(А,)Л?1 Л? =

4+»4

а1_____а_

^|^3 + ^2

■ ^3;

с (Я,) определяется уравнением (33), причем входящие в него величины /<7 — уравнениями (11) — (14).

Зависимость прогиба от величины действующей нагрузки Р не является однозначной. Поэтому будем решать обратную задачу: по заданной амплитуде дополнительного прогиба будем определять величину нагрузки, вызывающей данный прогиб. Согласно (36)

п,„ ц,(/(Х)-/(Хо)) + Р(Яо)*:(/(д+/о)-*2(СМ-с(д)

Р {к) - ЩнШ) • (37)

Процедура решения этой задачи методом последовательных приближений состоит в следующем. Полагаем /(А,) = ДЯо) + где Л/ величина шага. Решение задачи при к = ко считаем известным, поэтому по формулам (12), (14) можем определить В частности при А,о = 0, Р = 0 и ]ц = 0. Для нахождения первого приближения полагаем ю(0) = 0. Тогда' согласно (11_), И3) _///"' = 0. Из уравнений_ (16}, (17), £24), (25), (33) определяем Т\,

Т2, Тп, Ми м2, М\2, т 1, Т2, Т12, М\, М2, м 12, Я, р, с. По формулам

(37), (35), (26), (27), (7) находим Р\, Р2, а„, <о и продолжаем итерационный процесс до получения результатов требуемой точности. Затем вычисляем

е,; (28) и переходим к вычислениям для следующего значения амплитуды

дополнительного прогиба.

Предположим, что панель в течение времени тр выпучивается в усло-иях ползучести под действием постоянной нагрузки, отвечающей значению араметра нагружения Хр. По описанной выше методике определяем прогиб, напряжения и деформации в момент времени т = тр и, взяв их за начальное условие, соответствующее ко = кр решаем задачу о мгновенном выпучивании.

Для иллюстрации был проведен числовой расчет для панели, изображенной на рис. 1 с геометрическими размерами а = 400 мм, 6 = 940 мм, б(, = 96,6 мм, 6С = 3,6 мм, /г = 4,2 мм, Лс = 25,8 мм. Панель изготовлена из сплава Д16АТ и находится в условиях неустановившейся ползучести при температуре 250°С. Неустановившаяся ползучесть описывается степенным законом ((ои) = Ао".

-6

3,1, А = 0,16- 10“ь (10 МПа)

Модифицированное время определяется из таблицы.

/, мин 0 1 2 3 4 5 10 /;;;» 15

т, мин 0 0,8 1,4 17 2,0 2,2 3,0 т 0,1 *+2

Для описания мгновенной деформации полагаем ц = 21 170 МПа, ст0= 460 МПа, пг = 9,9.

Р,' кг/мм 75 Г s~~

SO

2S

Рис. 2

О -1 -2

Рис. 3

Р,, кг/ММ

Рис. 4

Рис. 5

где сттах — максимальное значение интенсивности напряжений, вычисленное на предыдущем шаге по времени, умноженное на коэффициент а>1. Если в к-м приближении ст^ > атах, то величина шага по времени Ат делилась пополам. Итерационный процесс продолжаем до выполнения неравенства

|а(*+1)_ст(*)1<10-2.

На рис. 2 представлены типичные результаты расчета изменения амплитуды дополнительного прогиба панели в процессе ползучести при одностороннем сжатии (0 = 0) постоянной нагрузкой Р = 516 Н/мм. Панель имела начальный прогиб, направленный в сторону обшивки с амплитудой /о = = — 0,1 мм.

Результаты решения задачи о кратковременном нагружении панели с начальным прогибом /о =—0,1 мм после предварительного выпучивания в условиях ползучести в течение Т Р = 0, Т Р = 3,5 МИН ИТ р = 5,6 мин под действием постоянной нагрузки Р = 516 Н/мм (0 = 0) представлены на рис. 3 — 5 соответственно. Как видно, с увеличением времени Тр, в течение которого панель выпучивалась в условиях ползучести, несущая способность панели снижается.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ильюшин А. А., Поспелов И. И. О методе последовательных приближений в задаче о неустановившейся ползучести. — Инж. журнал, АН СССР, 1964, т. IV.

2. Поспелов И. И. Метод последовательных приближений в задаче о неустановившейся ползучести и нелинейной упругости. — Ученые записки ЦАГИ, 1970, т. 1, № 2.

3. Поспелов И. И. Влияние ползучести на несущую способность сжатых панелей. — Ученые записки ЦАГИ, 1988, т. 19, № 2.

4. И л ь ю ш и н А. А. Пластичность. — М.— Л.: Гостехиздат, 1948.

5. Р а б о т н о в Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. — М.: Наука,

1966.

Рукопись поступила 7/VI 1989 г.