Неустановившаяся ползучесть круглых пластин при изгибе Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м XII 19 8 1

№ 2

УДК 539.376.629.7.015.4.023

НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН ПРИ ИЗГИБЕ

С. М. Наумов, И. И. Поспелов

Приводится решение задачи о неустановившейся ползучести шарнирно-опертых и защемленных по контуру круглых пластинок, нагруженных равномерно распределенной поперечной нагрузкой. В отличие от известных работ, в которых рассматривалась эта задача и получено только приближенное решение, приводится точное решение задачи и для неустановившейся ползучести. Используется метод последовательных приближений, являющийся развитием метода „упругих решений" А. А. Ильюшина. Решение для к-й итерации представлено в виде квадратур. Для описания неустановившейся ползучести используется теория течения.

Выполнен расчет напряжений, деформаций и прогибов пластинки.

Рассматривается решение задачи о неустановившейся ползучести шарнирно-опертых и защемленных по контуру пластинок, нагруженных равномерно распределенной поперечной нагрузкой. В отличие от известных работ [1—3], в которых рассматривалась эта задача и получено приближенное решение, причем только при установившейся ползучести, здесь приводится точное решение задачи и для неустановившейся ползучести. Описано перераспределение напряжений в пластинах в процессе ползучести. Используется метод последовательных приближений [4], являющийся развитием метода „упругих решений11 А. А. Ильюшина. Решение для к-й итерации представлено в виде квадратур. Для описания не-

«1р

установившейся ползучести используется теория течения —=

М

= 5{г!)/(а), где Р — деформация ползучести, з — напряжение, t — время. Выполнен числовой расчет напряжений, деформаций и прогибов пластинки. Заметим, что так же, как круглая пластинка, под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки работает ряд элементов конструкций летательных аппаратов (иллюминаторы, днища баков, люки и т. д.).

Рассмотрим круглую пластинку, шарнирно опертую по краям или защемленную, нагруженную осесимметрично поперечной нагрузкой. Составляющую тензора напряжения и деформации вдоль

радиуса обозначим через а, и зь по окружному направлению — а, и е2. Для осесимметричной задачи круглой пластинки, для которой а-«з = а12 = а1з —а2з = 0. ®12 = е1з=е2з=0, уравнения (1.18) [4], которые описывают на отрезке времени [х0х] поведение материала как при мгновенном нелинейном деформировании, так и при неустановившейся ползучести и к которым применим метод последовательных приближений, примут с учетом несжимаемости материала вид

°1 — ^ (28, + 62) + /] + а2 = 2^ (2з2 + ех) + /2 + /г,

где р. —линейный оператор;

(1)

Л — 3[Х, Ое

-3^,0 (т—т0)

| а1

"о)

т0

° (' _То) ^Х7 --------------- О! (О (х)

о, о) (х0) ^ 3] ^ То) г/х';

/2 = За, £>е

-Зц,О(г'-т0)

|«г

13|110(т'-т0)

>(т) +

+ а2 си (х0) £>(х-т0) _|_ 3[л. 1 Бе~1то) j а, г°* С?х';

^0

7\ = [б! (то)----2^ (2е, (х0) + г2 (х0))] е-Зи»А(«о);

?2 = [32 (•'о) — 2(^1 (2е2 (х0) + е4 (х0))] е-З^ДС-гЙ;

(2)

/ (°И>. /__________1 Л -л-1

71= 1 —

7)=1

[для степенного закона ползучести /(о„) — А а"];

3^

<з0 \ до

т—1

(3)

(4)

(5)

(6)

аи = V а1 — б1 а2 + а2-’

Л, я — постоянные, х = х(£) — модифицированное время, являющееся функцией физического времени Ь.

Если ползучесть имеет место при напряжениях, не превышающих предела пропорциональности, то в уравнениях (1) — (3) нужно ПОЛОЖИТЬ {X, = |Л и отбросить члены, содержащие ш.

Используется гипотеза о нормальном элементе и малых деформациях. Деформация элемента, расположенного на расстоянии г от срединной поверхности, описывается уравнением

е1 = — *1 2, е2 = — *2 2, (7)

где хх, у.2 — кривизны срединной поверхности, которые определяются через прогиб пластинки да;

д2 но 1 дт /оч

*1 = — - *2 = — — • (8)

дг*

г дг

Оси Ог и Ода направлены от центра кривизны. Деформации и напряжения при растяжении будем считать положительными. Соотношения между изгибающими моментами Ми М2 и кривизнами *і,

будут

*/2 й/2 _ __ )

Мі= | з,2^2 = \ [2[а(2є1-)-є2)-(-/1 -4-/ї]2^2 =

-Л 2 -А/2

= _^1а(2х1+х2) + Ф1;

Л‘2

-Л/2

а,гсіх = — “Iа (2х2 + у-і) + ф2,

2,и.

(9)

айЗ

где /г — толщина пластинки, й" = {——изгибная жесткость пластинки, и. — модуль сдвига, Ф,, Ф2 — фиктивные изгибающие моменты:

Л/2 _ Л 2 _

Ф1 = і (/і ~г/і)г = 2 ^ (Л +/о 2І2;

-Л 2

Л/2

Ф2 — 2 і (/2 + /2) 2 С?2.

(10)

Уравнения равновесия сил и Моментов, действующих на элемент пластинки при поперечном изгибе, имеют вид

с*Мі

дг

/V,/- —М2 = 0,

где Л^, ЛГ2—-погонные поперечные усилия в окружном и радиальном сечении пластины; д — интенсивность равномерно распределенной поперечной нагрузки.

Из этих уравнений имеем

гд1м1 ш1_ш1

дг2 йг дг 7

или с использованием формул (9)

= —(?+<?),

где

о*

— д2Фі 2 ^Ф_і_______1 дФ2

^ дг2 г дг г дг

(П)

(12)

можно интерпретировать, как фиктивную поперечную нагрузку.

Двойной бператор Лапласа у4® в полярных координатах осесимметричной задачи имеет вид

^ ді ни . 2 д3и)

V да =

1 д2 но

1 дт

дг4

г дг3

г2 дг2

г3

1 5 Г. д Г 1 д I дни у |

г дг 1 дг [ г дг \ дг)_}

Обозначим через и линейный оператор [*да и = цда.

Обратный оператор = определим из решения уравнения

Л. + 3 Ии = да.

Рі

и (і) —и (т0)

и

ИЛИ

Он имеет вид

но (т) = т (т0) 4-

Уравнение (11) примет вид

V4 и = Я* 1 а

гіт.

(13)

1 д ( д

----------г —

г дг у дг

/-У

/• дг \ дг)

= Я*(г, *),

причем а — радиус пластинки,

Г = ^

1 о*

(я + я)-

Интегрируя уравнение (14), получим

_д_

дг

(Л^)='і(тІ,'(г> х)г“г)аг +

(Г’х) = К~И г\(~\яЧг^)гйг\(1г

о1го[о\го У

сх г 1п г + с2 г;

(14)

(15)

(16)

сІгїсіг -

г21п г г2

—) + -у- г2 + С31п г + С4;

да

(г, х) = —г — | Я* {г, т)г(1г\<1г йг + —[г\пгс1г-

О

Г , Со

-+- сг — 4---------------

2 г

(17)

(18)

Так как рассматриваемая пластинка не имеет в центре выреза, то, чтобы устранить бесконечно большой прогиб ни или и и бес-

^ д2 пи д2 и

конечно большую кривизну уу ИЛИ —у в центре пластинки при

г = 0, нужно в полученном решении (17) положить с1 — с3 = 0.

Тогда

и (г< х) = I (— | г { (— { (г-

о(го[о\,о У

с/г \йг + -^-г2 + с4. (19)

Для защемленной пластинки удовлетворяем граничным условиям при г= а

получим

дно А ди п

ни = —• = 0 или и =— = и, дг дг

-т!1гИ(т!!г,,'(г^}агУг

_ а г

с 2_ Г (’ /

Г

а2 3 ^ 1

0 0

о о

“ЯТІ r^тjr,^^r,,)clrjdr

&г\

йг — сіЛсіг.

Для шарнирно опертой пластинки удовлетворим граничным условиям при г —а

п д? т , I дни п

та = 0, -■----------— = О

или

получим с

и = О,

дг^ д2 и

2г дг 1 ди

дг2 2г дг

О,

гДт1 «*''*)* Лг-тЦтКг* Кг;

о . о \ о / . _ О V О /

— |{т! 'ДтК

о I о _ о \ о

г с1г\с1г

(1г\ с1г —

г с1г \с1г

с!г

При решении задачи итерационным методом функция <7*(л т) определяется формулами (15) и (12), выражается через частные производные функций и Ф2, которые в каждой итерации являются известными функциями координат и времени и задаются таблично. Численное дифференцирование функции, заданной таблично, понижает степень точности решения, трудоемко и поэтому нежелательно. Обозначим и упростим, интегрируя по частям, выражение

(20)

\ Я'* г йг = £ +г + Ф; (г) - Ф2 (г)'

причем Ф1(0) = Ф2(0) согласно (9), так как при г = 0, Мх = УИ2,

Q (г, *) =

О*

^+Ф1(г)_Ф1(0)+гм=ад^

4 0 г

о

(21)

Подынтегральная функция Ф* ^ ~ Фз имеет особенность, она не существует при г = 0. Однако Ф^г) — Ф2(г) при г -*■ 0 имеет порядок г2 и Нт—;.(г*~~ф2(г) =о. Поэтому при вычислении интеграла

г-*-0

ф)(г) — Ф2(0

с1г нужно при г = 0 полагать подынтегральное выра-

1

о

жение равным нулю.

Оператор прогиба та будет определяться выражением

и ^г' ^ = 1 !т~1г® (г’^ йг\ ~тг2 + с*’

(22)

с2 = — Г г<2 (г, х) йл — — <3 (а, т);

За2

= —I (у | ^(Г, *)Йг|<*Г-------І-|Г<2(Г, х)^Г + -~- <Э(а, х)

для шарнирно опертой пластинки.

Из уравнений (8), (18) и (20) определим оператор кривизны цх,:

1

№ = — \ г<2 (г, х) ЙГ +-±.

Из уравнения (16) определим оператор кривизны (мц:

д2 и

р.х1 ■

дг2

(25)

(26)

Операторы деформаций по уравнению (7) будут

[іє1 = — ^е2 = — 2(іх2. (27)

На основании формулы для обратного оператора |а-1 (13) прогибы тю и деформации еи е2 будут определяться уравнениями

и (т) — а (х0)

1Л)(х) = ТИ) (х0) +

и

-{-3.0 | и (х') </х';

е4 (х) = ех (х0)

£2 (х) = в2 (Х0)

-,,,м+зр|-і(т,)<гх,

^0

рв (х) - (То) + 3£) Л - 2 (х,} ^

(28)

и

где да(х0, г), е1(х0, г, г), г2(х0, г, г) — значения прогиба и деформаций в момент времени х0, вычисленные на предыдущем отрезке.

При х0=0 ®(х0), е^Хд), в2(х0) определяются из решения упругой или упругопластической задачи.

Начальные условия упругой задачи для круглой защемленной по контуру пластинки имеют вид [6]

Начальные условия для круглой пластинки, шарнирно опертой по контуру, имеют вид

16£>

а1 г2 ■

-----—

.4 1+і 2 1 + V

(30)

— З?- (3 + V) (а*

4 1 ' \

1 + г2

3-|- V

)

и г2 определяются так же, как при защемлении пластинки по контуру.

Процедура решения задачи методом последовательных приближений на каждом шаге по времени [т0т] состоит в следующем: для нахождения первого приближения полагаем о(°> = о^) = 0. По уравнениям (6), (4), (5), (2) находим с{°\ т/°), ш<°>, /(!0), /г0), которые в этом

случае равны нулю. По уравнениям (3) определяем /и /2 через начальные условия г, г), а2(т0) г, г), ^ (т0, г, г), е2(т0, г, г), вы-

численные на предыдущем отрезке по времени, либо по формулам (29) или (30) в начале счета. По формулам (10), (21), (23) или (24), (25), (26) определяем Ф(х0), Фг0), (2(0), с(20), р.у.(10) соответственно.

Затем из уравнений (1) находим напряжения в первом приближении О*1?, а^> и продолжаем этот процесс до получения результатов требуемой точности. После окончания цикла по приближениям определяем и (г, т) согласно (22) и по формулам (28) е1(х, г, г), е2(т, г, г), те/(т:, г) и переходим к вычислению на следующем шаге по времени, на котором начальными условиями будут полученные напряжения, деформации и прогибы в конечной точке предыдущего отрезка времени.

Расчет проводился на ЭВМ БЭСМ-6. Принимались следующие исходные данные. Геометрические размеры пластинки а=100мм, к =5 мм. Величины интенсивности равномерно распределенной поперечной нагрузки д = 0,504 Н/мм2 для защемленной пластинки и <7 = 0,25 Н/мм2 для шарнирно опертой пластинки. Материал пластинки — лист из сплава Д16АТ. Пластинка находится в условиях ползучести при температуре Т = 250°С, и, = 17 830 Н/мм2. Закон ползучести принимается в степенном виде

Сір СІХ

= Аоп, Т = Т (і),

п = 3,66, А = 0,338 х Ю-8 (10 Н/мм2)-« —.

МИН

Модифицированное время т = т(^) определяется таблицей.

і 0 1 2 3 4 5 10 25 50

т 0 8 14 17 19,5 22 30 45 70

Условное постоянное число О определялось как 0 = АпиШах >

где за 0Н

принималось максимальное значение интенсивности

напряжений в пластинке, вычисленное на предыдущем шаге, а при т0 = 0 — значение интенсивности напряжения при г = 0 и г = /г/2.

При вычислении интегралов по толщине и по радиусу пластинки использовались метод Симпсона с переменным шагом и квадратичная интерполяция подынтегральных функций, определенных на множестве узловых точек. При этом толщина пластинки разбивалась на 10 частей, а диаметр — на 20 частей.

Результаты числового расчета свидетельствуют о высокой скорости сходимости последовательности приближений. Разница между величинами напряжений при шаге Дт = 2 мин, при котором наибольшее изменение напряжений Да = 3 Н/мм2, во втором и третьем

Рис. 2

приближении имеет место в четвертом знаке, в третьем и четвертом приближении—в пятом знаке. При расчете количество приближений выбиралось так, чтобы разница в величинах соответствующих напряжений в к.-и и & + 1-м приближении не превышала 0,1 Н/мм2.

На рис. 1 представлен рост прогибов в центре шарнирно опертой и защемленной по контуру пластинки (г = 0) и на расстоянии г =0,5 а от центра пластинки в зависимости от времени Ь. На рис. 2 представлено изменение серединной поверхности круглой пластинки по времени. На рис. 3 представлено перераспределение моментов

7'—„Ученые записки" № 2.

97

Рис. З

r = D

г = 0,5

z

0,8

О Л

ІУ /

/

/ 6j-&2~ &и

&

О 40

г =0,5

О 0,1 0,I 0,3 0,4 0,5 0,6 О! 0.8 09 г

Рис. 5

по радиусу шарнирно опертой пластинки вследствие ползучести. На рис. 4 представлено перераспределение напряжений по толщине пластинки. На рис. 5 представлено изменение напряжений в крайних волокнах пластинки по радиусу. Уменьшение напряжений в центре пластинки имеет место и из-за уменьшения при перераспределении напряжений по толщине пластинки и из-за уменьшения изгибающих моментов при перераспределении по радиусу.

Аналогичный расчет по изложенной методике может быть произведен и для других случаев нагружения пластинки.

Расчет по теории ползучести с использованием закона ползучести йр1<1ч = В вЬя/а0 показал, что расхождение по прогибам не превышает 10%.

ЛИТЕРАТУРА

1. Качанов Л. М. Теория ползучести. М., Физматгиз, 1960.

2. М а л и н и н Н. Н. Исследование установившейся ползучести круглых и кольцевых осесимметрично нагруженных пластин. М., Маш-гиз, 1963.

3. Venkatraman A. Hodge, Creep behaviour of circular plates, Journal of the Mechanics and Physics Solids, vol. 6, N 2, 1958.

4. П о с п e л о в И. И. Метод последовательных приближений в задаче о неустановившейся ползучести и нелинейной упругости. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 1, № 2, 1970.

5. Ильюшин А. А., Поспелов И. И. О методе последовательных приближений в задаче о неустановившейся ползучести. „Инженерный журнал", т. IV, вып. 4, 1964.

6. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, М., Физматгиз,

1963.

Рукопись поступила 9jX 1979 г.