Ползучесть подкрепленных панелей при нестационарном нагреве Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Том VII 1976 № 5

УД К 629.735.33.015.4—977

ПОЛЗУЧЕСТЬ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПАНЕЛЕЙ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ НАГРЕВЕ

Г. Н. Замула, С. Н. Иванов

Рассмотрена задача расчета напряженно-деформированного состояния подкрепленных панелей, подверженных нестационарному неравномерному нагреву и нагружению в условиях неустановившейся ползучести. Предложен численный метод решения, проиллюстрированный примерами.

При полете летательных аппаратов со сверхзвуковыми скоростями значительно повышаются температуры элементов конструкции. При этом появляются большие перепады температур, что приводит к температурным напряжением, и ухудшаются прочностные характеристики материалов. Кроме того, влияние высокой температуры выражается в том, что в наиболее нагретых элементах возникает ползучесть материала, что в сочетании с внешними нагрузками может привести к недопустимым деформациям. В силу неравномерности температурного поля ползучесть в различных точках развивается по-разному. Комплексный учет подобных эффектов при произвольном внешнем воздействии, изменяющемся в течение полета, возможен лишь при использовании численных методов с применением ЭВМ.

Рассмотрим две расчетные схемы определения напряженно-деформированного состояния подкрепленной панели, подверженной нестационарному аэродинамическому нагреву в условиях неустановившейся ползучести. Первая из них соответствует случаю подкрепления обшивки лишь в одном направлении, вторая позволяет учесть напряжения, возникающие в подкрепленной стрингерами обшивке при наличии поперечных упругих ребер.

К панели (фиг. 1) длиной Ь приложены изменяющиеся по времени поперечная нагрузка я (г, -с), продольная — Щ%) и изгибающие моменты Ж(т) на концах 2 = 0, I.

Предполагается; что температурное поле в панели не зависит от координаты г\ в поперечном сечении, представляющем собой систему криволинейных стержней, неравномерность температур Т (х, у, х) и напряжений ?2(х, у, г, т) по толщине стержней пренебрежимо мала.

9— Ученые записки № 5

115

Расчет температур в конструкции будем проводить по неявной схеме метода теплового баланса с использованием программы [1], учитывающей зависимость теплофизических свойств материалов от температуры, внешний и внутренний лучистый теплообмен.

1. Пусть закрепление краев панели таково, что напряжения в обшивке (толщины Н) в направлении х малы и ими можно пренебречь. При этом следует рассматривать широкую стойку с площадью поперечного сечения /% представляющую собой участок обшивки с присоединенным к нему стрингером и работающую в условиях

/

//(Г)

/1-

Фиг. 1

продольно-поперечного изгиба. Уравнение равновесия может быть записано в виде

^ + ЛГ-Т7- + ? = 0’ (1)

дг2 дг2

где М2 — изгибающий момент в сечении г,

М„=±$ояуйР;

1 р

N=+-1*^ (2)

т — прогиб.

Примем, что сечения в результате деформации остаются плоскими:

= £г об —У .-а—... - Рг - ^Т. (3)

В соотношении (3) £'(7’) — модуль Юнга; а (Т) — коэффициент линейного расширения; те;0 — начальное значение прогиба; ег0б —деформация обшивки в направлении г. Скорость деформации ползучести р2 определяется теорией течения с упрочнением;

= Рг- Т\ , (4)

Уравнения (1) — (4) с начальными

. <з(х, у, г, 0)=^о°г(х, у, г);

рг(х, у, 2, 0) = раг(х, у, г); т(г, 0) = т°(г)

и граничными

дни

но = 0;

дг

О или Мг — М

(6)

условиями на концах образуют систему нелинейных интегро-диф-ференциальных уравнений относительно неизвестных а2(х, у, г, т), рг(х, у, г, т), чи [г, т).

После подстановки <зг из (3) в выражение (2) найдем

Мг= + рг + аі)—0 а,0) — рг—<хГ,

дг-

(7)

где

А = С-±$Еу<1Г-, рг=^-\ЕРг

І Р Р Р

~рг = -у І ЕргусіЕ-, 0.1 = -1 | Еа. ДГ <ІЕ\

I С* £ А’

| £ ау ДГ А?/7; О ■

І р

Ав-а

(8)

С учетом (7) уравнение (1) и граничные условия (6) перепишутся в виде

£ д* (т — о^1) д, с?2 (а/ —1 дг4 дг2

=/;

да = 0;

дни

дг

д2(т — да0) «

: 0 или —------------------- — 8,

дг2

(9)

(10)

где

/=?-

С д2 рг д2 рг

А дг2

дг2

+ ЛГ-

В случае £, а, не зависящих от температуры и у, переходя к центральным осям, из условия С = 0 упрощаем систему

дРх

дъ

д2 Мг д^т

дг2

Рг, ТУ,

<7 = 0,

дг2

где

Мг = - В — рг — аі- В = —[ Еуг (ІЕ,

2 дг* Уг ' 1р

которая при этом совпадает с формулами, приведенными для гладкой цилиндрической оболочки в [2] (при ау = 0, V 0, А = ЕН).

Решение задачи будем вести численно, шаговым методом одновременно с расчетом температурного поля, для чего время нагревания панели разделим на равные промежутки Дт. Введем сетку (оДг =1= {г} = (у—1)Дг;у' = 0, 1, . . ., N,-1-2; Д;г = £/Л/1}, соответствующую области расширенной на шаг сетки в обе стороны и сеточную функцию и} — и){г]3 n^^z) — Разобьем сечение стойки на

отдельные элементы длины толщины 8,, температуры Т1 (г=1,

2, . • Лд.

1 Напряжения и деформации ползучести в г-м элементе у'-го сечения обозначим рг1). Величины, относящиеся к моменту времени (л— 1)Дх, обозначим верхним индексом га — 1. Поставим в соответствие уравнению (9) разностное уравнение

И

и] + 2 ~ Аи] + \ + 6“/ ~ 4нУ—1 + uj-2

(Д*)«

ду+1-2цу+ и/+1 (Дгр

(И)

] = 2,...,Ми

а граничным условиям (10) — разностные условия

= Илг.-и = 0;

и2 - 2«1 + и0

где

ы1 — Но — 0 или

Нд/, — = 0 или

(Дг)«

иУУ,+2~~ 2цЛУ. + 1 + ЙЛ?,

=

(Дг)*

с Рг]-\—Ърг)+Рг]+1 Рг!-1 - 2Яг/ + Рг/+1

(Дг)»

(Дг)2

ДО

,о_, _2до+»»+1 .

(Дг)2 ’

8„ =

£>

£>

— Н—-(Л^ + р2 о а^) — рг о — а(

Л

М -1-— № + РгЫх -}■ *0 — РгЫ^ ■— О-Ь

ЛГ,

1 = 1

N..

С=-1ГУЕ1у/о11- О

г= 1

N.

1 — 1 АВ-Съ А

N. .

1 = 1

Рг; = уХ Е‘Р^ Ъ‘ = Т 2 Е{ Р*1) У‘ ^ ^

' ‘ * = 1

Д7\ Мг:

/=1

-р2я'а^Д7^-

-I-

(12)

1=1

Равенства (12) дают возможность исключить из системы уравнений (11) законтурные точки, в результате чего (если известны деформации ползучести рг1}) получается система — 1 линейных алгебраических уравнений относительно прогибов и/.

а] Щ-2 + Ьі Иу_! + с) Ну -I- и1+1 + е} н/+2 j = 2, . . ., Ыи

где, например, в случае шарнирного опирания концов

а; = 0, і = 4, , АГХ; а2

0;

Ь( = -4Р-М(Агу, 1 = 3, . . ., Лх; Ь2 = 0; сг = — 4£) — ЛЛ2(Дг)2, * = 2, . . ЛГ, - 1; с2 = с#1 = 50 + 2ДГ(Дг)2; ^ = .._40-2*УУ(Д2)2, г = 2, . . ., Л^ — 1; ^,-1 = 0; е 1 = О, 1 — 2, . . ., N. — 2; бл/,-1 = е^~ 0;

/, = (Дг)« I = 3, . . ., Л/, - 1; /2 = (Дат)* - Я80 (Д*)*;

^ = (Дг)4 /^л. - £8^ (Д.г)2.

Решение ее может быть получено методом прогонки в виде И; = Н/+2 + Ту. Коэффициенты а;-, (Зу, находятся по сле-

дующим формулам (см. [4]):

а,:

аі + аІ ау—2 Ру-1 + ЬІ Р/-1 .

Су + О,- Яу_2 + а -] Ру_2 + Ь]

ру

Су + Яу Оу_2 а/_1 -)- ау ру-_2 + Ь] а/._1

Л' — аі а/-2 Т/—1 аІ 7/—2 ~ ^ 7У-1

Су + Яу Яу_2 (Ху_х 4- Ду ру—2 + Ь) а]._х

Для уравнения (4) рассмотрим два варианта разностных схем: явную схему

і

гг1)

Дт

гі/

'гі/

(14)

и схему предиктор-корректор [3] РПгЙ1-РгГ/

Дт

ал—1 р-/3л-2 0п-2Тп—2\.

гіі б \ *// > Игіі і >’

—Рги = о"-1 р- (о"-1 рп~1 ТТ1)

2ДХ о ' г</ > "гіі ' ‘ /

г У

гі/

(15)

Расчет с использованием явной схемы ведется следующим образом: по формуле (14) определяются деформации ползучести, подсчитываются температуры в момент пДт, по ним — ^(Г,), а<(7’/) и

по (13) — коэффициенты уравнений (11) и (12). Затем методом прогонки решается система линейных уравнений относительно прогибов Напряжения и деформации s.j подсчитываются по формулам

= Е,

■V-!

- 2ву + и/+1

у1 - Рги-а1АТ!

£г

АВ — С2

; (Дг)3

[(Л/ + А/ + а^) В — (Ж2;- + /?г;- -г «0 С].

(16)

При применении схемы предиктор-корректор (15) деформации ползучести рассчитываются фактически с шагом 2Дт, при этом шаг счета температурных полей равен Дт.

2. Описанные схемы реализованы в виде программ для ЭВМ БЭСМ-6 на языке АЛГОЛ. Для примера рассмотрим решение задачи определения температур, напряжений и деформаций в панели крыла

#оВагО,2> $стр=0,3-> Ь

Фиг. 2

возможного варианта гиперзвукового летательного аппарата, представляющей собой обшивку, подкрепленную гофром.

На фиг. 2 показаны форма поперечного сечения, размеры и указан способ приложения сжимающей нагрузки (с эксцентриси-

тетом), действующей в плоскости панели. Снаружи обшивка греется тепловым потоком, обеспечивающим приведенную программу изменения по времени температуры точки А. Изнутри на панель падает поток излучения от расположенных в крыле нервюр, лонжеронов и противоположной поверхности крыла плотностью <7пад = С0 Гэф (С0 — постоянная Стефана — Больцмана). Кривая изменения Т9ф(т) дана также на фиг. 2.

Выделим из панели периодически повторяющийся элемент в виде стойки длиной /, = 314 мм. Расчет температурных полей проведем с учетом внешнего и внутреннего лучистого теплообмена в двух соседних полостях, образованных гофром, и с учетом зависимости теплофизических свойств материала ЭП-99 от температуры.

Напряжения и деформации подсчитываются по приведенной выше методике с учетом изменения модуля Юнга и коэффициента линейного расширения от температуры. Закон ползучести примем в следующем виде:

где а„ = ЗМО

дрг ді

_6 град-м2 даН

І аг I

ехр

а0 1 яг I

Чо — Т

+ »о Г-Со),

То =1321°; у0 = 0,03

град

; С0 = 52,5.

На фиг. 3 дан график изменения по времени перепада температур между обшивкой и подкрепляющим ее гофром. Перепад нарастает на начальном участке программы нагрева обшивки, достигая максимальной величины при 1 = 300-^-400 с, после чего уменьшается и при дальнейшем охлаждении обшивки меняет знак на

обратный. Там же показаны кривые изменения прогиба. Прогиб, оставшийся вследствие ползучести в точке г = 1/2, равен ®>ост = 2,4 мм. Расчет при М(т) = 0 дает значение ®>ОСТ = 0,25 мм.

На фиг. 4 и 5 приведены напряжения в обшивке оА и стрингере при г = Ц2 в процессе нагрева и нагружения с учетом и без учета ползучести. Там же показано изменение температурных напряжений с течением времени в обшивке. Из приведенных графиков видно, что в начале нагрева прогиб имеет отрицательный знак и определяется в основном температурным перепадом, далее как в результате возрастания приложенной с эксцентриситетом нагрузки, так и в результате изменения знака температурного перепада прогиб становится положительным.

Изменение деформаций ползучести по времени в обшивке при г = Ь/2 и эпюра накопленной в течение полета деформации в этом сечении даны на фиг. 6. Влияние ползучести начинает сказываться примерно с 500 с и накопление деформации ползучести происходит до 900 с, при этом она развивается главным образом в

1000

жггг:

\

\

2000

3000 Г, с

-0,2

Р,°{°

'Л-0

обшивке, вследствие чего происходит перераспределение напряжений в сечении. Результаты расчетов, полученные по явной схеме и схеме предиктор-корректор, при Дт = 3 с практически совпадают.

3. В случае, когда механические характеристики материалов определяются по средней температуре, возможен простой учет напряжений ах в поперечном направлении в обшивке панели, закрепленной при z = 0, L на упругих ребрах. Будем считать, что ребра обеспечивают прямолинейность кромок z = О, L панели. Сечения х = const в результате деформации остаются плоскими. Изменение температуры панели за счет отвода тепла в ребра учитывать не будем. В этом случае результирующие усилия в сечении х обшивки уравновешиваются усилиями в ребрах:

где индекс „р“ означает, что параметр относится к ребру.

Запишем также условие равенства относительных деформаций ребер и обшивки в направлении л:

Добавив к уравнениям (17) — (20) условие равновесия по оси 2

^стР — площадь сечения стрингера; /\,б — площадь обшивки, и выполнив некоторые преобразования, получим систему интегральных уравнений относительно его6 и ехоб:

I

(17)

О

(18)

и выражения для напряжений, действующих в обшивке

°2 об = & (sz об + об —Рг~ vРх — а' АЛ;

(19)

алг Об = Е' (гх об + ve, об - чрг — рх — а' Д Г),

(20)

в которых

Е

а' = а (1 -j- v)-

(21)

^Чстр + ^4>б ~

где

Решение ее дает н

~Х Об -------

а' АТ

К ’ Е Л

д (да — да0)

у С

л/а

д (да — да0)

дг

г=Ь

дг

г-0

йг;

"г об ■

__ 1 Г^-, б2 (да — да0) у2£'ЛС

дг2

л а:/.

д (да -

дг

д (да — да0) дг

г=0

Л/ . —, у Я' Нк . — . —

-----------------V Рг + ^Рх-

г=£

Е’ Л

К

^Р ,

где

и — а. А Г 2£Р^Р п арДГр Е, Н1

Л'-

£' Л

*Ргоб

Е' Н

Рх ,

"Г л

£' Л

/С= 1

2£р/=р

~~ЕГШГ

Е' Л

К,

х.

^ .Рг об ~Ь~ Р* об

НЕ'

~А (Рг + 'Рх)

йг.

Подставив в (1) выражение для момента

м. = с.жМ-в**-'*'

02£

найдем, что уравнение для определения прогибов имеет вид (9), но функция/ в правой части вычисляется по формуле

/=? +

с д2 (рг + чрх) д\рг

сГ- да0

дг3

дг2

г/г2

(23)

а граничные условия при г = 0, /. даются выражениями

д®

дг

О или

ТО = 0;

д2(да — дао)_______ у» Е' НС2

дг2 АйК1

д (до — до°)

дг

2=1

д (до -

дг

1 = *;

Г=0]

/3

А

у£'/г

К

\Е' ЬН К

УЛ — *А—Р

-]■

Компоненты скоростей деформаций ползучести рх и ру определяются теорией течения с упрочнением (см. [5]):

^ ТУ’ в = У°*х+ а1 + ах°г-

При этом вычислительный алгоритм при использовании, например, явной схемы строится следующим образом. Сначала вычисляются величины ргф рХ1], рч\

Ржи = + ёК/1» Р1Г\ ТГГ) (^-^) Ах;

Рхи =Рпх^ + е («Г1* Р"71 ТпГ') (°пхГ/ - Ат;

Ри = Р?Г' + £(°1Г1> Р“Т1' г?-1) =г’ Лт-

причем для элементов стрингера подсчитывается только составляющая ргу, далее определяются коэффициенты а70б, р2 об и при подсчете которых суммирование ведется только по элементам обшивки, и коэффициенты (13) с учетом того, что для элементов обшивки модуль Юнга и коэффициент линейного расширения вводятся согласно (21). Решение уравнений (9) с учетом (23) при заданных рх1} и рг1} дает величины прогибов. При граничных условиях,

соответствующих защемлению на концах, применяется, как и выше, метод прогонки. В случае шарнирного опирания концов, т. е. когда

и2 — 2+ и0 V* Е’ Л С2 |'%1+2 - «ЛГ, “1 - Ы-1 \ _ 8 .

(Дг)2 — /Ш/С/ \ 2Дг 2Дг ) —

и^+2~2и^+1 + им1 ^Е’кС* /«лг1+2 ~иы \ *

(Дг)2 ЛД/С/ I 2Дг 2Дг ) л'"

система алгебраических уравнений относительно прогибов сводится к виду (а3 = 0, вы,-1=0):

. ^2 М2 "Ь ^2 К3 "Ь ^2 "Ь §2 ИЛ/, —/21

ауИ/_2 + &уИ/-1 + +^н/+,+еу и;+2=//, У = з, . . ., Л^ —1;

м2 + ЯллИл/,-2 + + Сл/1К.У1 = /лг1.

Решение ее ведется методом циклической прогонки, для чего, как и выше, подсчитываются коэффициенты а^, р,, а также г;-по формулам

г__л. г а/-2 0-1 + а10-2 + 0-1

С2 ’ ’ С}+aja]_2aj_i + aj$j_iJrЪj^lJ_l,

У = 3, . . ., ЛГ,—1,

далее определяются коэффициенты

Тлг,» — gf^l|(CNt-\- (lNl^*‘Nl-20■Nt—l + ClNl$Nl—2 + ^Л?, <*ЛГ! —1);

<3дг, = ®Л?!—1 <3лг, -г 7л?1-1 + Оу, (^м,; /?ЛГ,-1 = <*N,—1 /?ЛГ, + ^,-1 /?ЛГ,;

<2, = “/ РуЧ-1 + Р^/ + 2+Т; + Г1 О.КЛ /?у= ®/#/+1 + Р;^?/Ч-2 + Г jRNt',

/ = л^,—2, . . .,2

и прогибы

«2 =—Г%~; И/ = £у + ЯуИ2; / = 3, . . ., Л^.

1 — /\2

После определения с помощью формул (22) деформаций гг, ех находятся напряжения в элементах стрингера по (16) и обшивки — согласно (19) —(20).

Таким образом, вычислительный алгоритм для определения напряженно-деформированного состояния подкрепленной панели при опоре ее на поперечные упругие ребра практически сводитси к рассмотренному в разд. 1.

ЛИТЕРАТУРА

1. За мула Г. Н., Иванов С. Н. Экономичный метод расчета нестационарных температурных полей в тонкостенных авиационных конструкциях. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 7, № 3, 1976.

2. 3 а м у л а Г. Н. Численное решение осесимметричных задач ползучести круговых цилиндрических оболочек. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 2, № 3, 1971.

3. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск, ,Наука", 1967.

4. М а р ч у к Г. И. Методы вычислительной математики. Новосибирск, „Наука”, 1973.

5. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М., „Наука", 1968.

Рукопись поступила 3011Х 1975 г.