CC BY
38
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м VII 197 6
№ 2
УДК 629.735.33.015.4—977
О РАЦИОНАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРАХ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПАНЕЛЕЙ, РАБОТАЮЩИХ В УСЛОВИЯХ НЕСТАЦИОНАРНОГО НАГРЕВА
С. Н. Иванов
Даны постановка и метод решения задачи о выборе рациональных параметров подкрепленных панелей, работающих в условиях интенсивного аэродинамического нагрева. Проведено исследование возможного варианта панели теплозащитного экрана.
Рассматривается задача проектирования панели конструкции (фиг. 1, а) сверхзвукового летательного аппарата. К панели приложены меняющиеся по времени и не зависящие от координат поперечная нагрузка Я0 = Р0(х), заданная на единицу площади, продольная нагрузка N0==N0(x) и изгибающие моменты на концах М0 = = 7И0(':) (в том числе за счет эксцентриситета продольной нагрузки), заданные на единицу ширины. Кроме того, она подвержена нестационарному аэродинамическому нагреву. Длину панели L, материалы, из которых она изготовлена, тип подкрепляющих обшивку элементов и условия опирания на концах будем считать заданными. Предполагается, что панель подкреплена в одном направлении стрингерным набором, закрепление краев такое, что в поперечном направлении в обшивке напряжения малы и ими можно пренебречь. Это дает возможность выделить широкую стойку, представляющую собой участок обшивки с присоединенным к нему стрингером (зашриховано на фиг. 1, а), нагруженную продольной нагрузкой 7V(x) = /Vn(T)d, поперечной Р{~.) = Р0(х) d и моментом М(т) = М0(х) d, где d — шаг стрингерного набора. Предположим также, что температурное поле в стойке не зависит от продольной координаты z. Это позволяет проводить расчет температур и температурных напряжений лишь для одного из поперечных сечений. Сечение стойки представляет собой систему п стержней, соединенных между собой в отдельных точках (фиг. 1, б). Считаем, что неравномерность температур и напряжений по толщине стержней пренебрежимо мала.
Варьируемыми параметрами являются длины /=(/], ...,/„) и
толщины § = (8,, . . . , 8п) стержней. Задача отыскания рациональных параметров панели формулируется следующим образом: построить итерационный процесс, приводящий к сходящейся последовательности решений 1к, 8* таких, что й {1к, 8*) > С(/*+1, 8*+!), где
-> £ Я
в (I, 8)= — ^ 8(. /г — функция веса, — удельный вес материала
г=1
ЦГт)
/ / / /
¡у
Фиг. 1
¿-го стержня, при выполнении ограничений геометрического характера
/<(8|) = -8, + 8;< о, 8;>0, ¿ =
МЛк, »,) = *,-«,/,< О, О<а,< 1, i=l, . . . , п,
. /2и+|(А)=/г-/;<о, , i=\,...,n
ai
и требований сохранения прочности широкой стойки, которые включают условия того, что возникающие в конструкции напряжения
а [7, 8, Г(/, 8, х), Я(т), ./V(x), М(х)] не превышают допустимого (разрушающего) напряжения в каждой точке, имеющей температуру
Т(7, Ь, т),
/з „+1 (7, 8, -С) = а [Г, 8, т (7, 8, х), Р (х), Л (г), Ж (х)] - в, (7) < 0; | (J)
/з«+2(7, 8, х)=-а|7, 8, Т (7, 8, х), Р(т), А/(х), Ж(х)]-а2(Г)<0; |
условия отсутствия местной
/зи+2+; (I, 8, *)=— тта1[1, 8, 7 (1, 8, х), Я(т), /V(г), М(х)] —
— °кр/1^ 7(/, 3, х)]<0, ¿=1, ...,т (2)
и общей потери устойчивости конструкции
fзn+з+m^í, 3, х) =— -^Д- - акр [7, 8, 7(7, з, х)]<0, (3)
где О; — напряжения в г-м элементе стойки, окр;, зкр — критические напряжения местной и общей потери устойчивости, Т7 — площадь сечения; 2 — координата, отсчитываемая по длине стойки.
В случаях, когда возникает прогиб стойки, выполнение неравенств (1) влечет выполнение условия (3), поэтому возможность общей потери устойчивости можно не контролировать.
Расчет температурного поля будем проводить численно. Программа расчета должна удовлетворять двум основным требованиям: 1) время решения должно быть достаточно малым; 2) изменение геометрии конструкции не должно отражаться на шаге счета по времени. Таким требованиям удовлетворяет безусловно устойчивая неявная схема метода балансов. При ее использовании существует возможность вводить большой шаг счета по времени на начальном этапе минимизации, когда не требуется высокой точности, что значительно сокращает общее время решения [1].
Используя гипотезу плоских сечений, получим выражение для напряжений в сечении стойки с координатой г\
а =— Е
где
„ NT + N , . Ф■ V
аТ------^-----+ (У—Уо)~гт
/ч й 22
(4)
= ЛГТ = \aETdF, ¿)т= \Е(у-у0)ЫР;
7? > >
{ уЕ<1Р 'р
У о = —;-------
I еЛР р
а = а. (7), Е—Е(Т) — коэффициент линейного расширения и модуль Юнга материала. '
Функция прогиба V{¿) определяется путем решения обыкновенного дифференциального уравнения (см., например, [2])
Dт^--N-^- — P = 0 (5)
т йг* (1г1
с соответствующими граничными условиями.
Величина 3Кр; = 3кР/(I, 8, Т) определяется приближенно методом поправки [3]. Результаты, полученные этим методом для некоторых случаев воздействия на пластинку неравномерного по ширине температурного поля, хорошо согласуются с решениями, полученными численно в [4]. Коэффициент устойчивости &у для пластинки
шириной Ьшарнирно опертой по боковым сторонам, определяется из соотношения
»J
^(У)_ 1 cos2 ^dy = h.(\-
ю;| J bj 2 I.
где к0у — коэффициент устойчивости при равномерном нагружении. Отсюда
, *0у
К
У bJ.
ГГ,__1<й_|с„, ü.
¿v J L I min ay | J bj
Критическое напряжение определяется по формуле
Е (Г) Ьу
bJ
ky it2 Dj гл , f
Ль, ' j~ bj J ' 0
12 (1 — v2)
dy.
Рассмотрим способ решения сформулированной задачи, использующий аппарат нелинейного программирования, в частности, метод штрафных функций [4]. Согласно этому методу, выберем следующую последовательность функций штрафа:
Ф* (I 8) = о (I 3) + 2 ехР (i *)]. *=1.2,..., (6)
1 = 1
где Лг*>0, lim Л,* = оо, 8, х).
/г-»-со г
Для каждого & вычисляются /*, 8* такие, что Фк(1к, Ьк) —
—*■ —»-
= min®*(/, 8). Поиск этого минимума будем проводить методом
/ 5
сопряженных градиентов [6].
В качестве примера приведем расчет параметров стальной панели теплозащитного экрана, подкрепленной стрингерами стеноч-ного типа. Длина панели ¿=0,5 м, ширина Ь— 1м. Концы панели лишены возможности поворачиваться. Панель нагружена поперечной нагрузкой Р = 2200 даН/м2, не меняющейся во времени. Нагрев осуществляется со стороны внешней поверхности путем конвекции с постоянным коэффициентом теплоотдачи а, = 15 Вт/м2 град и температурой восстановления Те, меняющейся линейно в течение времени нагрева xt = 50 с от значения 288 К.
Рассмотрим два случая: в первом максимальное значение температуры восстановления ТеХ = 3000 К, во втором — 1000 К. С внешней поверхности панели происходит отвод тепла излучением, на внутренней поверхности теплообмен не учитывается. Начальная температура конструкции равна 288 К. За допустимое напряжение принято напряжение предела текучести а02.
При проектировании к конструкции панели предъявляются довольно противоречивые требования. Например, для уменьшения
напряжений, возникающих от внешней нагрузки, следует увеличивать высоту стрингеров, это, в свою очередь, приводит к повышению температурных напряжений. Увеличение толщин и уменьшение расстояний между стрингерами ведет к снижению уровня как тех, так и других напряжений, но увеличивает вес конструкции.
Поставим задачу определения рациональных величин толщины обшивки 80 и стрингера 8С, расстояния между стрингерами /0 и их высоты /с. Вес панели определяется выражением
G =
¿-г
' [(¿0+ °с)80 + 1С °с]-
^0 Н -
Ограничения наложим на величину максимальных по модулю напряжений, возникающих в сечениях
/і У, 8, *)
шах
г, F
а [/, В, Т (/, Ь, т), р]
' °02 (Т)
где о02(Т) — предел текучести материала, и на величину сжимающих напряжений в обшивке
1 со,
М> 8,'*0=-
- ,2 °0 *0
k~<I2 D z, F
min а [/, 8, Т (/, 8, т), р] — 1 -< 0.
(7)
(8)
общ
В данном случае на концах панели возможны продольные перемещения (N=0), но исключены повороты
V | 2=0, L = 0, 4^1
= 0.
(9)
(5)
dz I 2=0, L
Прогиб V(z) определяется с учетом граничных условий (9) из
1/(2):
24 D,
(24 —2Z. 23 + 1222).
Функцию штрафа составим согласно формуле (6). Начальная точка для обоих случаев теплового воздействия выбрана следующим образом. Были заданы несколько значений каждого из параметров согласно таблице:
кг
бес
2,5
2,0
15
/0, мм Oq, ММ /с, мм 5С, мм
12 0,3 3 0,2
15 0,4 5 0,6
18 0,5 7 1,0
21 9
*
Л »Л
Проводились расчеты веса панели и значений функционалов I /ь /г ДЛЯ всех возможных комби-
^ наций I, 8.
Точка, в которой вес был минимальным, а ограничения (7), (8) выполнялись, принималась в качестве начальной. Взяты следую-Фиг. 2 щие начальные значения:
--------Те- 3000 К
--------Те=1000К
те 1, К /0, мм 80> мм /с, мм 5С, мм й, даН А Ґ * 2
3000 ¡5 0,3 7 0,6 2,252 -0,15 — 0,1
¡000 18 о.з 7 0,6 2,074 -0,04 —0,16
На фиг. 2 показано, как сходится процесс поиска в зависимости от ig Л*(Л* = Л* = Л|). Видно, что при достаточно больших значениях Ак процесс сходится к точке, в которой оба ограничения обращаются в равенства.
В результате расчетов получены следующие величины параметров:
Теи К /0, мм о0, мм /с, мм Ос, ММ 0, даН А А
3000 14,78 0,284 7,47 0,463 2,008 —0,024 —0,035
1000 17,48 0,275 7,52. 0,498 1,898 —0,025 —0,018
Распределение напряжений в среднем и корневом сечениях найденной конструкции для первого случая в момент времени т = = 50 с показано на фиг. 3 и 4 соответственно. Пунктиром даны температурные напряжения. Наибольшая температура достигается в обшивке — Ггаах = 707 К. Максимальный перепад температур между обшивкой и стенкой стрингера АТ составляет 99 К. Наибольшие по абсолютной величине напряжения возникают в корневом сечении в стрингере. Они меньше предела текучести (90 даН/мм2; при данной температуре на 2,4%. Максимальные сжимающие напряжения в обшивке действуют в среднем сечении панели и на 3,5% меньше критических.
Вторая траектория соответствует менее интенсивному нагреву (7’тах = 431 К, ДТ = 44 К). Здесь также наибольшие по модулю напряжения возникают в крайних сечениях в стрингере (—98 даН/мм2), они меньше предела текучести на 2,5%. Наибольшие сжимающие
напряжения в обшивке оказались в среднем сечении и равны 18,4 даН/мм2, что на 1,8% меньше критических.
Результаты расчетов показывают, что найденные комбинации параметров панели удовлетворяют требованиям прочности (7), (8)
Фиг. 4
и обеспечивают сравнительно малый вес конструкции. Кроме того, можно сделать вывод, что чем интенсивнее тепловое воздействие, т. е. выше уровень температур, больше перепады по элементам, тем больший вес должна иметь панель.
ЛИТЕРАТУРА
1. Иванов С. Н. Экономичный численный метод расчета температурных полей в тонкостенных цилиндрических конструкциях. ИФЖ, т. XXVIII, № 1, 1975.
2. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений, М., „Мир*, 1964.
3. Ван-дер-Нейт А. Потеря устойчивости, вызванная термическими напряжениями. В сб. .Проблемы высоких температур в авиационных конструкциях*, М., Изд. иностр. лит., 1961.
4. Заму л а Г. Н. Термоустойчивость пластинчатых систем.
.Ученые записки ЦАГИ“, т. V, № 3, 1974.
5. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации, М., .Мир“, 1972.
6. Зангвилл У. И. Нелинейное программирование. Единый подход. М., .Советское радио“, 1973.
Рукопись поступила 27) VI 1974 г.
