Пластические деформации подкрепленных панелей при нестационарном нагреве Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Я А Г И Том X 197 9

№ 2

УДК 629.735.33,015.4-977

ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПАНЕЛЕЙ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ НАГРЕВЕ

С. И. Иванов

Рассмотрена задача расчета напряженно-деформированного состояния нестационарно нагреваемых подкрепленных панелей в условиях продольно-поперечного изгиба. Приведен алгоритм решения с использованием шагового метода, построенного на основе расчета температурных полей по неявной схеме теплового баланса и одновременного расчета напряжений и деформаций по теории неизотермического пластического течения. Эффективность алгоритма проиллюстрирована на примере решения конкретной задачи.

Нагревание элементов конструкции летательных аппаратов при полете со сверхзвуковыми скоростями приводит к ухудшению прочностных характеристик материалов и появлению вследствие перепадов температур температурных напряжений. Эти эффекты как сами по себе, так и при воздействии внешних нагрузок могут вызвать значительные необратимые деформации конструкции. Исследование ползучести нестационарно нагреваемых подкрепленных панелей проводилось авторами статен [1, 2]. Для анализа пластических деформаций используем расчетную модель, аналогичную применявшимся в этих работах.

Панель подкреплена в продольном направлении стрингерами (рис. 1). Нагружение происходит меняющимися по времени х(0<х<х,) поперечной нагрузкой </(г, х), продольной нагрузкой /V (х), изгибающими моментами на концах М (х). Панель подвержена нестационарному тепловому воздействию, в результате в ней возникает неравномерное температурное поле. Предполагается, что поле температур не зависит от координаты х, поперечное сечение представляет собой систему стержней, по толщине которых не учитывается неравномерность температур Т (х, у, х) и напряжений а (х, у, г, х). Считаем, что края панели г = 0,1 закреплены так, что напряжения в обшивке в направлении х малы и ими можно пренебречь. При этих предположениях следует рассматривать широкую стойку с площадью поперечного сечения /7, представ-

ляющую собой участок обшивки шириной I с присоединенным к ней стрингером. Строить расчетную схему будем предполагая, что для продольных волокон существуют те же соотношения между напряжениями и деформациями, что и в случае растяжения и сжатия [3], материал для растяжения и сжатия имеет одну и ту же диаграмму напряжений и деформаций, поперечные сечения стойки в процессе деформирования остаются плоскими

д- (да — да0) ,, ч

2 = еоб — .У---(1)

где г — деформация в точке сечения с координатой г\ £об —деформация обшивки в этом сечении; ты (г, т) — значение прогиба;

= да (г, 0).

При расчетах программа нагружения и нагрева конструкции разбивается на ряд малых этапов с продолжительностью Дх, которые рассчитываются последовательно. На /г-м этапе при заданном тепловом воздействии определяются температуры по неявной схеме метода теплового баланса [4] с учетом зависимости теплофизических свойств материалов от температуры, внешнего и внутреннего лучистого теплообмена. Напряжения а (х, у, г, яДх) и прогиб да (г, иДх) должны быть таковы, чтобы при найденном температурном поле и заданных условиях удовлетворялось уравнение равновесия

+ 0 (2)

с соответствующими граничными условиями на концах г = 0, 1\

да — 0, )

Связь между приращениями напряжений и деформаций согласно теории течения принимаем в виде |5[

йг. — + ой Т, (5)

где

с = 4г + 4- |о|-Га(з, Т),

Е 1 3

Л [а (Т — Г0)] 1 ІЕ

' £2* ат

СІТ

з + /=> (з, 7") -3- з,

а (7") — коэффициент линейного расширения, Е (Т) — модуль упругости материала.

Для точек, в которых выполняются условия активного нагружения

дяг(гР, Т)

\о\ = =Л-*Р,Т), ^ І а | >-:Іі--- СІТ, (6)

функции Га(а,Т) и Ет(о, Г) определяются по следующим формулам:

, ЛЧ», Т)

- т

(3, 7")

где г/7 — пластическая деформация, ог = зг(£р, Г) — поверхность неизотермического пластического деформирования, (г£, Г) — касательный модуль. В случае невыполнения одного из условий (6) считается (з, 7’) = 0, /7т(з,7’) = 0, что соответствует разгрузке или чисто упругому деформированию. Для того чтобы перейти к расчету конечных этапов нагружения, дифференциальное соотношение теории течения (5) заменим конечно-разностным

а" - еп-1 = с [а“ - о»-1] + 9 [Тп - Г"-1].

Об определении коэффициентов с и с? будет сказано ниже. С учетом (1) напряжение а" на я-м шаге можно представить выражением

4[-

(7)

где /7 — — Сол-1 £я_1—'•? (Тп~х — Т°) (для простоты записи индекса будем опускать). После подстановки (7) в (4) и далее выражения для момента М2 в уравнение равновесия (2) последнее может быть приведено в виду

д- п /_ч & (у - ю0) _ & (а) - а>0) _ .

где

Я(*) =

_(£)

(г)

аг2 '' дг-

А (г) В (г)-в» (г)

(8)

Л (г) ’

/ (г) = <7 + ~ (41^- (/V + /> (2) + ? (г)] - (г) - £ (г) + Д%0} ,

С

? (г)

(9)

Введем сетку шй = {= (у — 1) Аг, / = 0,1, . . . , Лг14-2, Az--=L|Nt} вдоль оси г в области расширенной по сравнению с длиной стойки на шаг в обе стороны и сеточную функцию и,- (г;-, пАг) = = (г;, «Дх) — (2;). Разобьем сечение стойки на отдельные эле-

менты длины толщины о,, (г == 1, 2, . . . , Л;5). Расчет температурного поля ведется с использованием этого же разбиения. Напряжения и деформации в 1-м элементе }-го сечения обозначим з;і, Поставим в соответствие уравнению (8) разностное уравнение

а граничным условиям (3) — разностные расчетные условия

В формулах (10), (11) использованы обозначения разностных производных, принятые в [6],

Коэффициенты, соответствующие выражениям (9), получаем заменой интегралов конечными суммами по элементам сечений.

Равенства (11) дают возможность исключить из системы (10) законтурные точки, в результате чего [при известных величи-

„ йаТI с йЕь I дзт \ 1 «г 1 и

нах Е1у —, Ek.fi, -ду , (~дТ] .\ получается система 1 линейных алгебраических уравнений относительно прогибов и]

а) 11/-2 + Ь] Иу—1 + с] «/+1 + е} ч1+2=/у, у = 2,...,

с пятидиагональной матрицей. Эта система решается методом факторизации [7].

Поверхность неизотермического деформирования ог(&р, Т) вводится следующим образом. Задаются значения е^к(/1 — 0, 1, . . ., М), Тп (т — 0, 1, . . . , Nт) и соответствующие каждой паре (еоТт) величины аТ.кт- При некотором фиксированном значении Т кривая деформирования зг, к (=^ к, Т) строится с помощью линейной интерполяции но температуре при всех значениях к. Для подсчета зт(вр, Т) при значении в? ф гР'к (6 = 0, . . . , М) также удобна линейная интерполяция (полигональная аппроксимация [8]).

Систему выписанных выше уравнений следует дополнить начальными условиями

Решение проводится методом переменных параметров упругости [9], для чего в пределах п-го этапа вначале подсчитываются температуры Тзатем для каждого элемента проверяется первое

(Ю)

= Илг,+1 = 0,

«0,-0 или и-г1 = о,,

л',+1 = 0 или и-г — 8дг1+і.

(И)

8й=!^[_и* + ^(-ЛГ +А+ ?*)-?*-?*], к = 0, Л/,-И, / = Я + Ргг > ^ = р, + 7Ь) - р, - ?,• 4- ЛЦ.

а2 — Ь2 — а3 — £л?,-і = сім, — ел1, = 0

(12)

из условий текучести (6) по температуре Т1, известным значениям зуГ1 и накопленной пластической деформации "_1 конца предыдущего (я—1)-го шага. В элементах, для которых удовлетворяется условие

\°/Г1\>от{$я-1,Тд, (13)

предполагается пластическое течение, в остальных — упругая деформация. Для каждого элемента по заданной поверхности неизотермического пластического деформирования подсчитываются величины Е1

,1а (Т1 - ТО) ,, I даТ \

йт ' *•п' (1т ’ V лг )н'

Далее определяются величины

~жг + х 13"'1 Г°(о"> Т‘)’

(ЦаТ'—ГО) 1 </£,- , г- , т , 2

“ (1Т р2 АТ 3>' ^ 3 вЛ»

с-1

Р.]1~ £об У Л’г 1 ^"?)>

где в случае активного нагружения /%, и /•> находятся по формулам

^ г<> = (^7 - -1?) ■ ^ Г‘>=- Л <’«• г‘> Ш,

при чисто упругом деформировании или разгрузке Г,=/гг=0. Затем проводится решение уравнении (12) и по найденным прогибам и деформациям обшивки

г°6у = ДГ + Р} + ?/ + иь) определяются напряжения в элементах

3// [г°б]! Рц 7?)Ь

После нахождения значения А |зу-(. | = | ап | -— | о"г’| проверяется выполнение второго условия текучести

Л <м> Если для части точек, из тех, в которых выполняется условие (13), нарушается неравенство (14), для них принимается = — Рт = 0 и проводится пересчет этапа, после чего будут определены значения напряжений и накопленных пластических деформаций в элементах

4=<’- +1(^7 - тг)[Ы ~ I »?ГЧ-(£)„ (Г, - гг1)]•

Далее расчет повторяется для (п + 1)-го этапа и т. д.

Описанная схема расчета реализована в виде программы для ЭВМ БЭСМ-6 на языке АЛГОЛ. В качестве примера рассмотрена задача нахождения температур, температурных напряжений и деформаций в подкрепленной панели, сечение которой показано

на рис. 1. Панель расположена на трех поперечных опорах и при расчете одного из пролетов длиной Ь могут быть приняты условия на краях 2 = 0, Ь, показанные там же. Нагревание происходит тепловым потоком со стороны обшивки таким образом, что температура точки А, расположенной между стрингерами, меняется по программе, приведенной на рис. 1 сплошной линией. Изнутри к панели крепится теплоизоляция, но полости, образованные стрингерами, остаются незаполненными. В качестве материала используется хромоникелевая сталь с диаграммой деформирования, данной на рис. 2.

При расчетах будем учитывать зависимость механических и теплофизических свойств материала от температуры, а также лучистый теплообмен в ячейке, образованной стрингером.

Разобьем стойку на 10 элементов в продольном направлении и на 34 элемента в сечении. Шаг счета Дт примем равным одной секунде. На рис. 1 пунктиром дан график изменения во времени перепада температур между обшивкой и полкой стрингера. Перепад нарастает на начальном участке траектории, соответствующем максимальному темпу нагрева, достигает наибольшей величины при т=150с, после чего уменьшается и при дальнейшем охлаждении обшивки меняет знак на обратный.

На рис. 3 показано, как меняются напряжения зл и ов в обшивке и стрингере в трех сечениях г = 0, А 2, £ в процессе нагрева. Там же пунктиром приведены напряжения в сечении 2—0, подсчитанные в предположении упругого поведения материала. Из графиков видно, что как в обшивке, так и в стрингере в сечениях, близких к краю 2 = 0, напряжения на участке траектории с максимальным перепадом температур превышают значения, соответствующие пределу пропорциональности. При этом накопление пластических деформаций происходит вплоть до момента времени -с =150 с, в дальнейшем происходит разгрузка. При изменении знака температурного перепада в момент на т = 200с напряжения в стрингере и обшивке также меняют знак и при продолжающемся охлаждении возрастают по величине вплоть до момента т = 900 с.

На рис. 4 показаны кривые прогибов панели в различные моменты времени, там же дан остаточный прогиб. На рис. 5 даны пластические деформации в различных сечениях панели, накопленные к моменту т:= 150 с, им соответствуют остаточные напряжения в обшивке—'ал“4,56 даН/мм2 и в стрингере — ов = — 10,2даН/мм2.

Проводилось исследование точности решения в зависимости от шага счета Ат и числа элементов по длине стойки — Nl. В таблице приведены при нескольких значениях Дт для сечения 2 = 0 и момента времени т=150с перепады температур между точками А и В, значения напряжений в них и величины пластических деформаций. Там же дана величина максимального по длине панели прогиба. Наибольшая разница при Дт = 0,5 и 5 с наблюдается в определении пластических деформаций в полке стрингера и составляет ~20%. Данные расчетов с Дт = 0,5 и 1с достаточно

6—«Ученые записки" № 2

81

Рис. З

Рис. 4

с "‘0,178-Ilf*

Рис. 5

Дт, с Д71, °С . даН л ’ мм2 даН в ’ мм2 ^•103 eg.IO2 W, мм

0,5 172,32 -20,827 33,163 -0,2355 0,1778 -1,0252

ЛГ, = 10 172,27 —20,777 33,304 -0,2358 0,1735 — 1,0198

jV,=20 172,27 —20,823 33,307 -0,2363 0,1768 — 1,0142

5 172,32 —20,954 33.893 -0,2308 0,1427 —0,9938

близки, что говорит о возможности решения данной задачи с интервалом Дт = 1 с.

Расчеты, проведенные при делении стойки по длине двадцатью сечениями при Дт=1с, показывают, что изменение результатов при этом не превышает 2%.

ЛИТЕРАТУРА

1. Cramer В. A., Rummler D. R. Creep analysis capability for stiffened panel structures. AIAA Paper, N 814, 1975.

2. 3 а м у л а Г. H., Иванов С. H. Ползучесть подкрепленных панелей при нестационарном нагреве. „Ученые записки ЦАГИ", т. 7,

№ 5, 1976.

3. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. М., Гос-техиздат. 1955.

4. За мула Г. Н , Иванов С. Н. Экономичный метод расчета нестационарных температурных полей в тонкостенных авиационных конструкциях. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 7, № 3, 1976.

5. Биргер И. А. Расчет конструкций с учетом пластичности и ползучести. „Изв. АН СССР. Механика", 1965, № 2.

6. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем.

М., „Наука*, 1971.

7. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. Новосибирск, .Наука", 1973.

8. Серенсен С. В-, К о г а е в В. П., Шнейдерович Р. М. Несущая способность и расчеты деталей машин на прочность. М., „Машиностроение*, 1975.

9. Биргер И. А., Шорр Б. Ф., Демьяну шко И. В., Дульнев Р. А., Сизова Р. Н. Термопрочность деталей машин.

М., „Машиностроение", 1975. s

Рукопись поступила 6jIV 1977 г.