CC BY
55
. _____УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XXI 1 990
№ 5
УДК 539.376 : 624.07
МЕТОД УПРУГИХ РЕШЕНИИ В ЗАДАЧЕ О НЕУСТАНОВИВШЕИСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
С. П. Барба
Предложен метод последовательных приближений, позволяющий свести нелинейную задачу ползучести к последовательности линейных задач упругости. Сформулированы условия сходимости итерационного процесса. Приведены числовые примеры.
Наиболее простым среди итерационных методов решения нелинейных задач механики деформируемого твердого тела является метод упругих решений [1]. Его развитию и обобщению посвящены работы [2—7 и др.]. Метод упругих решений позволяет свести нелинейную задачу пластичности или ползучести к последовательности линейных задач для упругого однородного тела. Причем в итерационном процессе упругие параметры не меняются.
В [3, 4] описан метод, согласно которому задача ползучести сводится к последовательности задачи линейной вязкоупругости. Предлагаемый в настоящей статье алгоритм значительно проще. Вместо задачи вязкоупругости на каждой итерации решается задача линейной упругости.
Преимуществом итерационных алгоритмов по отношению к явным шаговым методам является возможность использования большого шага по времени [8]. Кроме того, итерационные методы имеют более широкую область применения [4—7] (если мгновенная деформация не является линейно упругой, то явные алгоритмы приводят к нелинейным задачам).
Обобщение схемы метода упругих решений, состоящее в введении итерационного числового параметра для квазиэллиптического уравнения, предложено в [9]. В [2] для улучшения сходимости упругих приближений в задаче деформационной теории пластичности используется приведенный модуль сдвига, что эквивалентно (для несжимаемого материала) введению итерационного параметра. Дальнейшее развитие эта идея получила в работах [5, 6 и др.]. Во всех случаях итерационный параметр использовался для улучшения сходимости метода упругих решений в форме метода начальных напряжений. В соответствии с классификацией, принятой в [10], в настоящей статье рассмотрен метод на-
чальных деформаций. И в этом случае, как показано ниже, можно существенно (примерно в два раза) улучшить сходимость последователь-
ности приближений путем введения итерационного параметра.
1. Постановка задачи ползучести. Девиатор полной деформации вц полагаем состоящим из девиатора мгновенной деформации вц и де-виатора деформации ползучести рц
еч^е'ч+рц, i,/=1, 2, 3, (1)
причем — е8у, где &ij— тензор полных деформаций, е=— екк —
3
средняя деформация; 8(7 — тензор Кронекера (8(;.= 1 при i — j, 5,-у — 0 при i ф j). Согласно теории течения [И]
3 •»“) /04
Plj 2 аи S‘i ’ ^
где Ри — производная девиатора деформации ползучести по модифицированному (приведенному) времени t, являющемуся функцией физического времени ¿физ; stj, аи — девиатор и интенсивность напряжений: slj = 0;j — в8,J, о = °kk> °« = ^-s<7s0; au — тензор напряжений. В соответствии С (2) кривые одноосной ползучести Р (¿физ)
при постоянном напряжении а0 должны аппроксимироваться выражением р —/(e0) t (¿физ).
Пусть связь средней деформации s и девиатора мгновенной деформации вц с напряжениями является линейной
si} == 2[а е'и> о = З/Cs , (3)
где V, К—модули сдвига и объемного сжатия.
Деформации считаем малыми, так что выполняются соотношения КОШИ, СВЯЗЫВаЮЩИе ИХ С ВекТОрОМ Перемещений Ui
£ Ч = If (w‘- / “Ь и>’
Символом ( ), / обозначена частная производная по декартовой коор-
динате xj. Пусть заданы уравнения равновесия
о//, / + Xi = 0 (5)
(Хг — массовые силы), и заданы граничные условия смешанного типа: на части поверхности тела 2i заданы перемещения Ui, а на остальной части — поверхностные силы S{
= °i;’OU = 5‘ (6>
(lj — направляющие косинусы нормали к поверхности тела). Уравнениями (1)—(6) дается постановка квазистатической задачи ползучести.
2. Постановка задачи ползучести в перемещениях. Для t^t0, где <о — некоторый фиксированный момент времени, перепишем уравнения
(1) — (3) в эквивалентной форме
в-ЗрКЕ+/, (7)
Sij = 2 №еи + 7и+/и, _ (8)
где ¡3 = const — итерационный параметр (0<р<[1),
8—«Ученые, записки» № 5 113
/=(1~Р) в.
*
(9)
Г и (*«) = (1 - Р) - 3^ Г уы Л,
/г/ (¿о)— Р (5г/ (¿о) ^ ву (()) .
(10)
Величины р/С, Р|д, представляют собой приведенные модули упругости. Вместо (7) можно использовать линейное соотношение а=ЪКг. Однако тогда при изменении параметра р могут возникнуть трудности (для сжимаемого материала). Например, в методе конечных элементов придется заново пересчитывать матрицу жесткости.
С помощью (7) — (10) получаем уравнения равновесия в перемещениях
Соотношениями (11) — (13) дается постановка квазистатической задачи ползучести в перемещениях.
3. Описание итерационного алгоритма. Решение задачи ползучести
(11) — (13) методом последовательных приближений состоит в следующем.
1. Задаем значение итерационного параметра р. В частности, можно положить р=1. Однако расчеты показали, что в конкретных задачах можно в несколько раз улучшить сходимость метода, подобрав подходящее значение итерационного параметра 0<р<1.
2. С помощью начальных условий ец^0), 0), вычисленных на
предыдущем шаге ПО времени, определяем функции fгj (10). При ¿0 = 0 начальные условия находим из решения соответствующей упругой задачи.
3. Решение задачи ползучести ищем на отрезке времени [4, ¿о+ + А^]. Величину шага по времени М вычисляем по формуле
где х — некоторый коэффициент, начальное значение которого задается; от—максимальная интенсивность напряжений в исследуемом теле в момент времени t—ts¡.
4. В качестве нулевого приближения принимаем а°- у) = аи (¿0).
5. По формулам (9) находим /(а(0)), (у*/). Вычисляем функции
Ф;, (13), которые после подстановки в (11), (12) можно интер-
претировать как фиктивные массовые и поверхностные силы. Решение линейной системы уравнений (11), удовлетворяющее граничным условиям (12), принимаем за первое приближение. По формулам (4), (7) и (8) определяем е1)г аи.
Р и», кк + о* + Чк, *1 =--------------------------------— (Х1 + Ф/)
(И)
и граничные условия
6. Проводим проверку точности полученного приближения 0;/^
сравнивая его с предыдущим Если требуемая точность
достигнута, то переходим к вычислениям на следующем шаге па времени (2 этап).
7. Если количество итераций не превышает некоторое заданное число КР, то итерационный процесс продолжаем (переход к 5 этапу). В противном случае уменьшаем параметр % и возвращаемся к 3 этапу.
В описанном алгоритме значение х корректируется в процессе счета так, чтобы не получилась расходящаяся или несходящаяся последовательность приближений. Если количество итераций превышает некоторое заданное число КР, то процесс считается «расходящимся», и шаг по времени уменьшается. Как следствие условности такой проверки, существует большой произвол в выборе числа Кр. Этим можно воспользоваться в конкретных задачах, оптимизируя (подбором) алго-рим по параметру Кр.
При практической реализации метода интеграл по времени в формуле (9) приходится вычислять численно. Это приводит к возникновению ошибки дискретизации (усечения) [12]. Как показывают расчеты,, требование точности искомого решения накладывает, как правило,, более сильные ограничения на величину шага по времени, чем условие сходимости итерационного процесса. Поэтому выбор параметра % должен быть согласован с принятой схемой приближенного вычисления интеграла в формуле (9). Точность полученного решения можно, как. обычно, оценить путем сравнения между собой результатов расчета при разных значениях %.
Можно управлять величиной шага по времени, оценивая в процессе счета ошибку дискретизации [8]. Однако это весьма сложно и требует увеличения количества вычислений на шаге по времени.
В описанном выше алгоритме первое приближение определяется в предположении, что напряжения постоянны на шаге по времени ац* = а1}(Ь0). В конкретных задачах можно улучшить сходимость итерационного процесса, положив 0$ = гДе —
некоторая функция времени. Например, если внешние силы, приложенные к телу, изменяются пропорционально параметру нагружения 0 (г)
= Ь (¿) Х[ (#1, х2, х3), = б (¿) 5; (лт2, Х2, Хц),
то можно ВЗЯТЬ Г] (/) —0(0/6 (¿о) •
4. Обоснование сходимости итерационного процесса в задаче определения напряжений по заданным деформациям. Пусть процесс деформирования е^-(/) известен. Чтобы найти зависимость от времени девиа-тора напряжений необходимо решить систему нелинейных инте-
гральных уравнений
5<7(^) . 3 р /(Зи) ,
е1)№— 1ГI ~■05)
О
или соответствующую задачу Коши для системы дифференциальных уравнений
= 2 \>-е1} (*) — Зу. , 5,, (0) = 2\хе1 ДО).
9—«Ученые записки» № 5
115
Согласно методу упругих решений ДЛЯ 6-ГО приближения при ¿>¿0 имеем
в(*)(0 = Зр/Гв(0 + /(o(ft-1)) , s%){t) = 2faeij{t)+flj [s{kkrl)) +7u(toh
(16 ) (17)
где функции /, Д,, /и определяются по формулам (9), (10). Сходимость последовательности о<*>, получаемой с помощью рекуррентной формулы (16), при 0<р<1 доказывается очень просто — а<*> = (1 — р) (а<*> — о**-1) )). Итерационный процесс (17) может расходиться на большом шаге по времени. Справедливо следующее утверждение.
Пусть функции /'(ац) и /(<зи)/ои являются ограниченными при -< ат, гДе — некоторое постоянное число, удовлетворяющее неравенству от>о„(^0). Шаг по времени Д£ > О подберем так, чтобы одновременно выполнялись два условия
М < N.
"АШ< 1,
(18)
(19)
где
д1______ ат (¿о)
~~ 3 i*Q
Qi,— max
t£ltо, ¿о+Д«]
TM0
Q’— 'j-QtjQw
/(°b) r.
M = 3(i max
3/(0-2
/(»«)
Тогда последовательность функций ((), определенных рекуррентными формулами (27), при 0 < ¡3 < 1 сходится равномерно на шаге по времени [¿0, + Д£] при любом начальном приближении
3$, удовлетворяющем условию
Если процесс деформирования простой [1], то условия (18), (19) можно ослабить, положив
<3= тах |е„ —/(в„)| ,
<6[*о, <0+«]
/И = 3[а шах 1/(01.
(20)
Следует отметить, что условия утверждения не являются необходимыми. На практике метод сходится при более слабых ограничениях. Например, для модели Максвелла /(e„) = Dau(D = const) в соответствии с (19) шаг по времени М не должен превышать <3[iZ))_1. Однако нетрудно показать, что в данном случае метод последовательных приближений сходится при любом шаге.
В описанном в предыдущем пункте алгоритме последовательных приближений контролируется в процессе счета, и при необходимости уменьшается шаг по времени. Доказанное утверждение показывает, что процесс дробления шага по времени не будет бесконечным, по крайней мере, в задаче определения напряжений по заданным деформациям.
Для степенного закона ползучести /(ои) = Ло2, (Л>0, 1)
и закона гиперболического синуса /(ои) = А эЬ Взц (Л > О, В > 0) выполняется условие
Кроме того, функция /' (0„) является неубывающей. Экспоненциальный закон /(ов) = Л exp Ваа(А^>0, В > 0) не удовлетворяет неравенству (21) при малых аи. Но при малых напряжениях этот закон не пригоден для описания ползучести. При помощи того или иного искусственного приема этот недостаток обычно устраняют [11]. Таким образом, в большинстве случаев выполняется неравенства
Следовательно, условию (19) можно удовлетворить, ограничив значение параметра % в формуле (14). Например, в случае степенного закона ползучести условие (19) будет выполнено, если %<п/(Зп—2).. При простом нагружении с учетом (20) достаточно положить %<1.
В заключение этого пункта добавим, что приведенные выше рассуждения являются строгими только в задаче определения напряжений по заданным деформациям. Вопрос о сходимости итерационного, процесса в общем случае рассмотрен ниже.
5. Числовой пример: задача о релаксации напряжений в стержне-Полагая материал несжимаемым, в случае одноосного напряженного со-
жение и относительное удлинение стержня. Уравнения (7—10) принимают следующий вид:
где £'=3[а—модуль упругости, /—нечетная функция. В задаче о релаксации г == а(0)/Е= const (о (0)— начальное напряжение в стержне). Формула (17) для k-то приближения дает
Для степенного закона ползучести /(о) = Л |о|" *о точное решение задачи о релаксации при а(0)>0 имеет вид
Рассмотрим стержень из сплава Д16Т при температуре 250° С. Исходные данные: о (0)=200 МПа, ц=2,08-104 МПа, Е = 6,25• 104 МПа,. А = 0,82-10-8 (МПа)-", п = 2,27. Модифицированное время * является безразмерной величиной. Физическое время определяется по формуле ¿физ = ^2,33-1 час.
Исследуем численно сходимость на первом шаге по времени [О, Д(§ последовательности а(к) (23) с нулевым приближением о<°) =<з(0). Шаг по времени вычисляем по формуле (14). Для указанных выше исходных данных при 0т = а(О) получаем Л1 = Зц,//(от) =0,97. Поэтому из;
/'(0>/К)Я> 0.
(21)
о(*) = рЯв+/=7;
(22)
7(*о)“Р(° «о)-£«(*<>)) -
=^<Л) (0 = Ре (0) + / +7.
(23)
О
(*)=[(« (0))1-"-f- АЕ(п— 1) t]'~n .
(24)
(13) следует, что шаг по времени Л^х-Теоретический критерий сходимости (19) будет выполнен, если Расчеты по-
казали, что сходимость имеет место на значительно большем шаге. Если р=1, то итерационный процесс (23) сходится при и расходится при больших значениях х- Уменьшение итерационного параметра р позволяет увеличить шаг по времени. Если р = 0,5, то последовательность oW сходится при х<15. При (3 = 0,25 итерационный процесс сходится при х<33.
На рис. 1 представлены результаты расчета релаксации напряжения в стержне методом упругих решений при р = 0,7 на отрезке времени 0<^<8 (х = 7,3). Штриховой линией нанесено точное решение (24). Сплошные кривые отвечают последовательным приближениям а(*>(&= = 1, 2, 3, 4), получаемым с помощью рекуррентной формулы (23).
Пусть для вычисления интеграла по времени в (22) используется квадратурная формула трапеций. Тогда при р=1 описанный выше метод последовательных приближений совпадает с неявным методом Эйлера [8]. Выбор р<1 позволяет улучшить сходимость. Например, на каждом шаге по времени при %=1 для выполнения неравенства | <з(*>—<j(*—*)| < 0,1 МПа при ip=l требуется не более семи итераций, при р = 0,7— не более трех.
Итерационный метод, построенный на основе формулы трапеций, представляет собой простейший безусловно устойчивый алгоритм [8]. Это означает, что условие устойчивости не налагает ограничений на шаг по времени. В [8] это качество неявного метода Эйлера отмечается как основное преимущество по сравнению с явным методом Эйлера и другими условно устойчивыми шаговыми алгоритмами. При простом нагружении теоретический критерий устойчивости явного метода Эйлера £8] совпадает с условием сходимости неявного алгоритма
L,<*TK3 или *<2'
которое уточняет (19), (20) на случай, когда для вычисления интеграла по времени в (9) используется формула трапеций.
Расчеты показали, что в задаче о релаксации явный метод Эйлера •становится неустойчивым при %=5. Неявный метод Эйлера сходится :при х<4 и расходится при %=Ъ. Уменьшая р, мы можем получить сходящуюся последовательность и для %>5. Однако ошибка дискретизации уже при % = 2,5 велика. Погрешность в определении напряжения а на первом шаге по времени составляет 23%. Таким образом, безуслов-яая устойчивость неявного метода Эйлера не является преимуществом по сравнению с явным методом, по крайней мере, в задаче о релаксации.
Неявный алгоритм более эффективен, поскольку он позволяет использовать больший шаг по времени при заданной точности. Чтобы в рассматриваемой задаче получить значение напряжения в момент времени t=i\ с точностью 2%', в неявном методе Эйлера нужно сделать «один шаг по времени и четыре итерации (при р = 0,8 — две итерации). В явном методе Эйлера требуется восемь шагов по времени.
118
Если интеграл в (22) вычисляется по формуле Симпсона, то ошибка дискретизации невелика даже при х = 5. На первом шаге по времени отклонение приближенного значения а, полученного с помощью рекуррентной формулы (23), от точного решения (24) при ¿=5 составляет около 6%. Число итераций & на первом шаге, необходимое для выполнения неравенства |о(*)— о(*_1)|<^0,1 МПа в зависимости от значения итерационного параметра |3 приведено в табл. 1. Нулевое приближение определялось по формуле о(0) (/) == сг(0). Как видно, последовательность приближений при р = 0,7 сходится в 2,5 раза быстрее, чем при ¡3=1.
Результаты решения задачи о релаксации методом последовательных приближений с использованием формулы Симпсона представлены в табл. 2. Величина шага по времени находилась по формуле (14). Полагалось %=2,5, р = 0,7. Приближенное значение стп(0 получено после трех итераций на каждом шаге по времени. Точное значение 0Т(О определялось по формуле (24).
Чтобы получить значение напряжения в момент времени £ = 2,5 с той же точностью явным методом Эйлера, нужно сделать больше двадцати шагов по времени.
Таблица 1
р 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4
к 15 9 7 6 7 9 11
Таб лица 2
и * °п> МПа °т> МПа М Ь ап> МПа от, МПа
0 200 200 14,0 22,3 26,0 26,0
2,5 2,5 101,4 101,2 33,2 55,5 13,2 13.2
5,9 8,3 51,4 51,2 79,0 134,4 6,7 6,7
Метод вязкоупругих решений [3] в задаче о релаксации сходится также быстро, как и предлагаемый в данной статье метод. Однако ошибка дискретизации при численном интегрировании по времени оказывается значительно большей. На первом шаге А/ = 5 приближенное значение а, вычисленное методом вязкоупругих решений с использованием формулы Симпсона, отличается от точного (24) на 26%. Как отмечалось выше, соответствующая погрешность, даваемая формулой (23) при интегрировании методом Симпсона, составляет всего 6%. Чтобы получить такую же точность методом вязкоупругих решений, необходимо использовать меньший шаг по времени.
6. Обоснование сходимости метода упругих решений в общем случае. При р=1 уравнения (7) — (10) можно записать в виде
— Ецы ~ы + fij + f lj^
где
/и (*о) = 8Ц (<о) — 2к,у (¿о)-
В соответствии с методом последовательных приближений на каждой итерации решается следующая линеаризованная задача:
Я11,1 + Х1 = °> гЧ = ~Т К / + «/,;),
„ ^ (25)
ац —Еингы +А] +/|;> и1 ¡1 = ст// ^у|ая =
Ее можно разбить на две задачи. Первая из них (задача А) состоит в решении системы уравнений
ач. } + Х1 = °> *и = ~т К / + и1,«) ,
°и — Ецы гк1 + /¡я и1 к — и о аи 1} к = ^¿.
Отличие от (25) заключается в отсутствии членов 7у в определяющих соотношениях. Решение задачи А пометим индексом А: о,-; = = о|){/лг). В безындексной записи о=ол {/}.
Постановка второй задачи (задачи В) дается уравнениями
0,7, / = О1 £,у = ~2~ (щ, / 4* И/, г),
== ^-1]Ы гк1 "Ь 12» = 0, = 0.
Решение (26) запишем в виде о=ов{/). Нетрудно видеть, что сумма о = оЛ + ов есть решение линеаризованной задачи (25).
Процесс последовательных приближений на шаге по времени описывается следующей рекуррентной формулой:
о(А+1) = оА + ав\у[а(к))}. (27)
Итерационный процесс (27) будем называть осуществимым, если на некотором шаге по времени [4, и+А£] с его помощью можно построить последовательность функций а}*1 (¿, хи х2, х$), определенных и ограниченных в области О, занимаемой средой,
Цз^Цеее шах хи х2, х3)|<оо.
(',/ = 1,2,3 (*„ ха, х3) £ й ^ € [^0, ^0 + ^1
Тем самым предполагаем разрешимость возникающих в итерационном процессе линейных задач (25). Справедливо следующее утверждение.
Пусть итерационный процесс (27) осуществим, а решение задачи В удовлетворяет условию
V 17 (о<Л))} II < С17 (<*))|. (28)
Тогда существует такой шаг по времени Д£, что последовательность приближений хъ х2, х8) равномерно сходится на множестве и + Щ, (хи х2, лг3)££2.
В утверждении не приводятся оценки величины шага по времени, поскольку они вряд ли пригодны для расчетов. Сходимость метода упругих решений, как правило, имеет место на значительно большем шаге. В этом можно было убедиться в предыдущем пункте на примере задачи о релаксации. Организуя контроль за сходимостью метода и
(26)
уменьшая при необходимости шаг по времени, можно получить решение задачи на конечном шаге. В этом состоит практическая ценность утверждения.
Рассмотрим несколько примеров. В задаче определения напряжений по заданным деформациям (п. 4) условия утверждения выполняются при С=1. В задаче о чистом изгибе стержня прямоугольного сечения— при С = 7/2. Для статически неопределимой стержневой системы константа С в (28) определяется через коэффициенты уравнений статики и совместности.
Легко показать сходимость метода последовательных приближений, когда решение линеаризованной задачи (25) строится конечноразностными или проекционными методами. В этом случае на каждой итерации решается некоторая система линейных алгебраических уравнений. Таким образом, итерационный процесс (27) оказывается осуществимым в соответствии с определением, данным выше. Проверка выполнения условия (28) также не вызывает затруднений. Например, если задача (25) решается методом Ритца (в частности, методом конечных элементов в перемещениях), то константа С в (28) выражается через объемные интегралы первых производных базисных функций и их произведений.
7. Числовой пример: кручение круглого стержня. Рассмотрим стержень с круглым поперечным сечением радиусом а, закручиваемый моментом М. Согласно (8) — (10) связь деформации сдвига у с касательным напряжением ,'(ав='1/3ч:) на шаге по времени t>■to можно представить в виде
где а — относительный угол закручивания (крутка), г — расстояние от оси стержня. Из условия равновесия
Как видно, в стержне реализуется неоднородное напряженное состояние. Касательные напряжения т изменяются от нуля в центре сечения до максимального значения на краю.
Решение данной задачи методом последовательных приближений состоит в следующем. С помощью начальных условий т(^о), У (¿о), вьь численных на предыдущем шаге по времени, находим / (31). При £0=0
= + / + /,
(29)
(30)
Полагаем
/=Р (т(*о) ~ М (*„))• ?(*» г) = а. {() г,
(31)
(32)
а
о
с учетом (29), (32) находим
(33)
где
а
а
(34)
О
о
начальные условия определяются из решения соответствующей упругой задачи
т(°) = ^Ь ^т(О).
В качестве нулевого приближения принимаем т<°) (¿) = т (¿0) • Под-
ставляя х<°) в (30), определяем /\ Функции М, М, вычисленные по формулам (34), можно интерпретировать как фиктивные моменты. С помощью (33), (32), (29) находим первое приближение а, у, т. Вновь определяем / (31) и повторяем вычисления до получения результатов требуемой точности. Затем переходим к вычислениям на следующем шаге по времени.
Итак, итерационный процесс осуществим. Задача В описывается уравнениями
а
2к J1 г2 йг = 0, т = т = а г.
о
Ее решение имеет вид
г‘--^\7гыг+/.
о
Отсюда находим
гпах |твК шах |/|.
Г Т
Следовательно, условие (28) выполняется при С=7/3.
Рассмотрим стержень радиусом а = 0,04 м, закручиваемый моментом М = 0,001 МН-м в условиях ползучести. Характеристики материала те же, что и в п. 5 (ц = 2,08- 104 МПа,/(ац) =Аа", А = 0,82 • 10-8 (МПа)~п, л = 2,27). Результаты расчетов приведены в табл. 3. Шаг по времени At определялся по формуле (14) при %=2. Расчеты проводились при разных значениях итерационного параметра р. В таблице приведены данные о числе итераций, необходимом для вычисления напряжений на шаге по времени с точностью до 0,1 МПа. Как видно, при {3=0,8 последовательность приближений сходится примерно в два раза быстрее, чем при 0=1.
На рис. 2 приведены результаты расчета касательного напряжения т в крайней точке сечения г = а методом упругих решений при р = 0,6 на отрезке времени, соответствующем %=4. Штриховой линией нанесено точное решение. Сплошные кривые отвечают последовательным
Таблица 3
м ь се, М 1 Количество итераций
Р = 1 [5=0,9 00 о II оа_ М>,7 ■ъо II О О)
2,5 0 2,5 0,12 0,20 8 6 4 4 5
2,8 5,3 0,29 7 5 4 4 5
2,9 8,2 0,38 5 4 3 3 4
2,9 11,1 0,48 4 3 3 3 4
2,9 14,0 0,58 4 3 2 3 3
Рис. 3
приближениям (& = 1, 2, 3, 4). Как видно, скорость сходимости последовательности приближений достаточно высока.
На рис. 3 представлена картина перераспределения касательных напряжений т(^ г) по сечению стержня при деформировании в условиях ползучести. Прослеживается переход от начального упругого распределения т к установившемуся состоянию.
Расчеты показали, что при р=1 итерационный процесс сходится при %<8. При больших значениях % получается несходящийся процесс. Использование итерационного параметра 0<р<1 позволяет увеличить шаг по времени. Например, при Р = 0,5 последовательность приближений сходится уже при %<22.
ЛИТЕРАТУРА
Гостехиздат, 1948. одном обобщении метода
1. Ильюшин А. А. Пластичность. — М.:
2. Быков Д. Л., Шачнев В. А. Об упругих решений.— ПММ, 1969, т. 33, вып. 2.
3. Ильюшин А. А., Поспелов И. И. О методе последовательных приближений в задаче о неустановившейся ползучести. — Инженерный журнал, 1964, т. 4, вып. 4.
4. Поспелов И. И. Метод последовательных приближений в задаче о неустановившейся ползучести и нелинейной упругости. — Ученые записки ЦАГИ, 1970, т. 1, № 2.
5 Победря Б. Е. Математическая теория нелинейной вязко-упру-гости. — В кн.: Упругость и неупругость, вып. 3. — МГУ, 1979.
6. Победря Б. Е., Ш е ш е н и и С. В. О методах упругих решений. — МТТ, 1987, № 5.
7. Б а р б а С. П. К вопросу о численном интегрировании задачи о неустановившейся ползучести. — Ученые записки ЦАГИ, 1988, т. 19, № 2.
8. Бойл Дж., Спенс Дж. Анализ напряжений в конструкции при ползучести. — М.: Мир, 1986.
9. Ко ш е л е в А. И. О сходимости метода последовательных приближений для квазилинейных эллиптических уравнений. — ДАН СССР, 1962, т. 142, № 5.
10. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. — М.:
Мир, 1975.
11. Работнов Ю. И. Ползучесть элементов конструкций. — М.: Наука, 1966.
12. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — М.: Наука, 1987.
Рукопись поступила 191X1 1986 г.
Переработанный вариант поступил З/У 1990 г.
