CC BY
180
Математическое моделирование и методы идентификации деформационных и прочностных характеристик материалов
В.Г. Баженов
НИИ механики Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, Нижний Новгород, 603950, Россия
Излагается экспериментально-расчетный подход и разработанные на его основе оригинальные методики исследования и идентификации деформационных и прочностных характеристик материалов и элементов конструкций при активных статических и динамических процессах нагружения в основных видах испытаний (растяжение, сжатие, кручение, кинетическое внедрение, взрывное нагружение) с учетом неоднородного напряженно-деформированного состояния.
Mathematical modeling and methods of determining strain and strength characteristics of materials
V.G. Bazhenov
Research Institute of Mechanics associated with N.I. Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod,
Nizhni Novgorod, 603950, Russia
The paper discusses an experimental-computational approach and related original methods of studying and determining strain and strength characteristics of materials and structural elements under active static and dynamic loading. The main test conditions considered are tension, compression, torsion, kinetic penetration and explosive loading with regard to the inhomogeneous stress-strain state.
1. Введение
В настоящее время разработан широкий набор математических моделей нелинейного поведения упругопластических материалов, для применения которых необходимо знать материальные функции и константы. Получить эти данные имеющимися инструментальными средствами путем прямых измерений достаточно сложно, поскольку в лабораторных образцах возникает неодноосное и неоднородное напряженно-деформированное состояние, проявляется влияние концентраторов напряжений, краевых эффектов и т.п. Традиционно деформационные и прочностные свойства материала идентифицируются на основе экспериментально-аналитических подходов исходя из экспериментальных данных и упрощающих гипотез, накладывающих ограничения на форму образцов и вид нагружения. Эти методы позволяют получать характеристики упругопластических материалов лишь при однородном одноосном напряженно-деформированном состоянии, что не выполняется в реальных условиях эксперимента при больших
© Баженов В.Г., 2007
деформациях. Таким образом, на сегодняшний день не существует эффективных методов получения прочностных и предельных характеристик материалов при больших деформациях и неоднородном напряженно-деформированном состоянии с приемлемой для конструкторских расчетов точностью. В этой связи для исследования прочностных свойств материалов, особенно при больших деформациях, целесообразно развитие экспериментально-расчетного подхода, в значительной мере свободного от ограничений экспериментальноаналитических методов. Этот подход предполагает проведение совместного анализа результатов эксперимента и полномасштабного (в рамках механики сплошных сред) компьютерного моделирования процессов деформирования лабораторных образцов или элементов конструкций без принятия априорных силовых и кинематических гипотез.
В работе на основе экспериментально-расчетного подхода разработаны методики и алгоритмы исследования деформационных и прочностных свойств изотроп-
ных и композитных материалов при статических и динамических нагружениях элементов конструкций. Основой для разработки являются методы теории идентификации в сочетании с итерационными схемами последовательного уточнения характеристик материалов в образце, учитывающих неоднородное напряженно-деформированное состояние, большие деформации и зависимость от скорости деформирования. Для всех реализуемых в системе типов экспериментов формируются целевые функции параметров сравнения, описывающие отклонения значений физических величин, экспериментально замеряемых в натурном эксперименте, от соответствующих величин в вычислительном эксперименте. Далее строится сходящийся итерационный процесс уточнения текущих значений материальных функций в образце путем минимизации целевой функции последовательностью вычислительных экспериментов. Разработанные методики позволяют свести решение обратной задачи к последовательному решению ряда прямых задач и, в конечном итоге, получить набор параметров математической модели. Одновременно с идентификацией, согласно предлагаемой методике, проводится анализ чувствительности получаемых в расчете параметров сравнения с экспериментальными данными к изменению параметров модели. Область применимости экспериментально-расчетной методики, таким образом, определяется областью применимости математической модели упругопластических сред, так как безусловная сходимость итерационного процесса гарантирует нахождение искомых параметров модели с заданной точностью.
2. Методика численного решения
Для решения обобщенных двумерных задач кручения был разработан вариационно-разностный метод, позволяющий моделировать процессы деформирования упругопластических тел вращения при комбинированном воздействии осесимметричного нагружения и кручения с учетом больших деформаций. При решении обобщенных двумерных задач кручения исходим из принципа минимума мощности работы в форме Журде-на, записанного в цилиндрической системе координат г, Р, г (Oz — ось вращения):
Я (агг$ёгг + врр + а ..5 ё.. +
о.
+ 20^ 5 + 2агр5 8 )гёЙ +
+ Я (pwr 5 иг +pwp5 мр + pwz5 и.)
а
- I (Рг8Мг + Рр5г&р + р.8й.) гdG -
в
Р
- | (чг5иг + qp5м р+ qz8и .) г <в = 0.
ров скорости перемещения и ускорения перемещения; Ра, Ча — компоненты поверхностных и контактных нагрузок (г, j, а = г, Р, г); р — плотность; й — область, занимаемая меридиональным сечением сплошной среды; вр — часть поверхности, на которой задается априори известная поверхностная нагрузка; вч — часть поверхности, на которой задаются контактные давления, определяемые в процессе решения. В силу осевой симметрии все искомые функции зависят от радиальной и осевой координат и не зависят от азимутальной (угловой).
Кинематические соотношения формулируются в скоростях и строятся в метрике текущего состояния, что позволяет учитывать большие формоизменения. Компоненты тензоров скоростей деформаций и скоростей вращения с учетом ир = г 0 (0 — угол закручивания по азимутальной координате Р) имеют вид:
ёгг иг,г > ёрр игг , ё22 >
г0 г гв.
ёгр=~Г’ ^ =~2
(2)
иг$ - —, 2
Для устранения особенности на оси вращения и повышения точности численного решения уравнений движения вводятся новые функции &г = гиг, = ги.,
0 = г. Тогда общее уравнение динамики (1) с учетом соотношений (2) преобразуется к виду:
гг Э5 ■ Э5 ■
Ц -3^ИГ -
-------—о &г +pwг о
г
- {(рг + чг )5 &г dG = 0,
в
сс Э50 Э50 _■ 2
Я (аг^“^ + аР^“^7 + р wp50)г (3)
(Рр+ Чр) г2 50 dG = 0,
Здесь а у, ёу — компоненты тензора напряжений Коши и скоростей деформаций; ма, wa — компоненты векто-
гг Э5 V. Э5 V. о г. „.
Я (°+ ° г.^-^-------------- 5 V. + pwz 5 V. )с!^ -
а г
-/(Р. + Ч.)5 = °-
в
Для описания упругопластических свойств материалов применяется теория течения с нелинейным изотропным и кинематическим упрочнением. Полагается, что (1) скорость деформации ёу можно представить в виде суммы скоростей упругих ёУ и пластических ёР составляющих:
ё- = ёе + ёР
ё1] ё1}^ ёу .
Связь между скоростями девиатора напряжений д'у = = 6у д и упругих составляющих девиатора дефор-
маций ёЦ = ёу -Ьуё - ёЦ определяется в виде:
^оЦ = 2вЩ,
АтаЦ = ®'ц ~®ik °'т<Ц Q'^k ’
(5)
®Ц =
Щ, ц иц,1
где — производная Яуманна; G — модуль сдвига; 5ц — символ Кронекера.
Связь между скоростями шаровых составляющих напряжений а и деформаций ё полагается линейной:
д = 3Кё, с = ^, ё = Ц-, $ = о,
(6)
где К — модуль объемного сжатия.
Уравнение поверхности текучести, ограничивающей в пространстве девиаторов напряжений область упругих состояний, принимается в форме Мизеса. Скорость пластических составляющих деформации определяется ассоциированным законом течения:
=°у-Ьу Ст, СТ^-3-.
(7)
Здесь С = С(к) — радиус поверхности текучести; к =
= \ 3 ^ ’ ёрёр dt — параметр Одквиста.
Параметр X тождественно равен нулю при упругом деформировании, а при пластическом деформировании определяется из условия прохождения мгновенной поверхности текучести через конец вектора догрузки. Для процессов активного нагружения, близких к пропорциональным, достаточно учитывать лишь нелинейное изотропное упрочнение, для которого не требуются данные по эффекту Баушингера. В этом случае задается только истинная диаграмма деформирования материала С =
= 4 (к).
Полная система уравнений при заданных начальных и граничных условиях решается по явной конечно-разностной схеме интегрирования по времени типа «крест» [1]. Пространственные производные аппроксимируются исходя из дивергентной схемы в предположении линейного изменения вдоль каждой из сторон четырехугольной элементарной ячейки. Перемещения и скорости перемещений определяются в узлах разностной сетки, а тензоры напряжений и скоростей деформаций — в центрах ячеек.
В вариационном уравнении движения (2) компоненты контактного усилия ца (а = г, г) заранее неизвестны и определяются в процессе решения задачи. Для простоты полагается, что контактное взаимодействие возможно только между отдельными конструктивными элементами, которые занимают в меридиональном сечении или
на плоскости гОг односвязные подобласти Йу, ограниченные контурами вц. На контактных границах ву вводится местный координатный базис s, £, ^ — направление касательной, £, — нормали к поверхности), связанный с деформированной поверхностью.
Для определения сил контактного взаимодействия используются симметричные алгоритмы контакта на несогласованных разностных сетках, обеспечивающие непроникание по нормали и проскальзывание вдоль касательной без учета и с учетом трения. Для алгоритма контакта без трения усилие по нормали определяется из условия непроникания:
0,
> о,
(8)
Ч, 0,
касательные усилия полагаются равными нулю: -
=чг:=0.
Для модели контакта с трением усилие по нормали определяется также из условия непроникания (8); касательное усилие на первом этапе — из условия жесткой склейки, а в случае превышения силы трения покоя — в соответствии с законом Кулона:
(9)
ч* > Ы ^ Ь Ы>
^ |ч|| ^п(ч*), |ч,| > ^ |.
Связь контактирующих подобластей полагается односторонней, т.е. возможен отрыв поверхностей друг от друга и повторное вступление в контакт. Поэтому условия (8), (9) применяются только для сжимающих усилий.
Описанные численные методики и алгоритмы реализованы в рамках пакета прикладных программ «Динамика-2» [1].
3. Построение истинных диаграмм деформирования при растяжении образцов
При больших деформациях возникают трудности в построении диаграмм, связанные с учетом неоднородного напряженно-деформированного состояния, вызванного нелинейными краевыми эффектами и локализацией деформаций — образованием шейки. Предположение о равномерном удлинении всей рабочей части образца часто приводит к большим ошибкам [2]. Поэтому в зоне однородности напряженно-деформированного состояния для определения продольных деформаций применяют тензодатчики с базой, меньшей чем рабочая часть. В процессе нагружения предпочтительнее измерять изменение площади поперечного сечения, но возникают трудности, связанные с локализацией
деформаций. Вопрос описания диаграммы упругопластического деформирования до разрушения к настоящему времени недостаточно изучен. Основная проблема заключается в описании ниспадающего участка условной диаграммы, так называемой стадии неустойчивого (закритического) деформирования [3]. Обычно построение истинных диаграмм деформирования после образования шейки основано на экспериментальных исследованиях Мак-Грегора [4], который показал, что зависимость средних в минимальном сечении шейки напряжений от деформаций близка к линейной до момента разрушения. Таким образом [4-6], истинная диаграмма деформирования строится до точки, соответствующей максимальной растягивающей силе, затем проводится прямая, соединяющая эту точку с другой, рассчитанной по формулам [7-12] для момента разрушения. В [7] получено точное аналитическое решение задачи о распределении напряжений и деформаций вдоль минимального сечения шейки в сплошном цилиндрическом образце на начальный момент локализации деформаций, а в [8, 9] — приближенные решения этой задачи при развитых деформациях в шейке. В [10-12] уточнены распределения напряженно-деформированного состояния в шейке и показано, что полученные решения удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными. В последнее время появились работы, посвященные построению диаграмм деформирования на основе экспериментально-расчетного подхода [13, 14], в которых предложен метод построения диаграмм после образования шейки при растяжении стержней с прямоугольным сечением. Метод основан на коррекции напряжений в шейке и аналогичен предложенному в [8] для цилиндрических образцов. Основные трудности практической реализации рассмотренных выше подходов связаны со сложностью измерений геометрических параметров шейки при проведении экспериментов.
Для предлагаемого здесь метода необходимо иметь только экспериментально полученную зависимость растягивающей силы от удлинения образца [15-17]. Испытуемые образцы могут быть переменного сечения. Известно, что при монотонном растяжении процесс нагружения в области локализации пластических деформаций будет активным до разрушения. Построение диаграммы деформирования основано на коррекции зависимости «интенсивность напряжений ог- - интенсивность деформаций ё1» . Для этого в процессе численного решения задачи анализируется отношение значений растягивающих сил, полученных в эксперименте Fэ и расчете Fp, при одинаковом удлинении образца: P = FЭ/Fp. Затем устанавливается функциональная зависимость между максимальным значением интенсивности деформаций в объеме образца ё* и соответствующим удлинением. Итерационная процедура корректировки диаграммы осуществляется по формуле
аг- (ё*) = Рстг- (ё*) до совпадения экспериментальных и расчетных результатов с заданной точностью. Как показали исследования, для сходимости итерационной процедуры достаточно в качестве начального приближения задать любую диаграмму деформирования упрочняющегося материала. Скорость сходимости — число итераций — мало зависит от начального приближения. Наиболее эффективный алгоритм заключается в корректировке диаграммы на каждом этапе нагружения по мере растяжения образца. Можно также корректировать сразу всю диаграмму. При этом необходимо решать задачу многократно, что более трудоемко, но позволяет воспользоваться доступной программой решения прямой задачи без каких-либо модификаций.
Рассмотрим пример построения истинной диаграммы деформирования стали 12Х18Н10Т на основе эксперимента растяжения цилиндрического стрежня до разрушения. Радиус рабочей части стержня — 0.5 см, ее длина — 6 см. Модуль объемного сжатия К = 1.75 • 105 МПа, модуль сдвига G = 0.8077 • 105 МПа, плотность р = = 7800 кг/м3. Численное решение задачи первоначально проводится с использованием диаграммы деформирования, полученной в предположении равномерного деформирования рабочей части стержня и линейно экстраполированной для больших деформаций после образования шейки. Один торец стержня жестко закреплен, другой движется с постоянной скоростью. Исследования показали, что итерационный процесс быстро сходится. Для построения диаграммы до образования шейки достаточно одной итерации, после образования шейки до разрыва — пяти при заданном различии параметров сравнения (растягивающая сила - удлинение) в эксперименте и расчете на 1 %. На рис. 1 приведены зависимости растягивающей силы F от удлинения образца
— начальная длина образца; ДЬ — удлинение образца в процессе нагружения), полученные из эксперимента (сплошная линия) и в результате численного расчета (пунктирная линия). Полученная истинная диаграмма деформирования стали 12Х18Н10Т показана на рис. 2, где стг- — интенсивность напряжений; к — параметр Одквиста.
60 1---------------------------------
20
о -I---------.---------.---------.----------1--------
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
АиЬо
Рис. 1. Зависимость растягивающей силы от относительного удлинения образца
0 -I-------.-------.--------1-------
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
к
Рис. 2. Истинная диаграмма деформирования стали 12Х18Н10Т
Таким образом, были построены истинные диаграммы деформирования для различных конструкционных материалов. На основе полученных данных проведены численное исследование и сравнительный анализ процессов деформирования, предельных состояний и разрушения цилиндрических оболочек и стержней с различным профилем поперечного сечения (круг, квадрат, прямоугольник) при растяжении [18, 19], цилиндрической оболочки под действием внутреннего давления [20], шара при сжатии между пластинами [21] и др.
4. Построение истинных диаграмм деформирования при кинетическом индентировании шара в образец (проба Бринелля)
Одним из самых распространенных и малозатратных неразрушающих способов изучения деформационных свойств упругопластических материалов является испытание на твердость путем внедрения упругого ин-дентора в исследуемый элемент конструкции [22-28]. Наиболее распространены методы, в которых шар вдавливается по нормали к поверхности испытуемого образца, поскольку он является универсальным индентором с переменным углом контакта, возрастающим по мере углубления (в отличие от конуса или пирамиды). Для получения наиболее полной информации о деформационных свойствах материала необходимо непрерывно регистрировать диаграмму вдавливания при нагружении индентора в координатах «нагрузка - глубина проникания». При построении диаграммы деформирования обычно определяют зависимость среднего напряжения в отпечатке от степени деформаций, которую называют «кривая твердости». В качестве среднего напряжения выбирают отношение нагружающей силы к площади поверхности отпечатка (твердость по Бринеллю НВ) или отношение нагружающей силы к площади проекции отпечатка (твердость по Майеру НМ). Для характеристики степени деформации используются отношение диаметра отпечатка к диаметру шара или другие параметры. Большинство известных методов исследования свойств материала по испытаниям на твердость основа-
ны на построении корреляционных зависимостей между диаграммой деформирования при одноосном растяжении образцов и кривой твердости, или диаграммой вдавливания. Однако такие методы не универсальны. В последние годы появились публикации, посвященные разработке методов построения диаграмм деформирования из сравнительного анализа зависимости нагружающей силы от глубины внедрения шара, полученных в эксперименте и в результате численного моделирования [29, 30], но предлагаемые методы не позволяют строить диаграммы деформирования даже при малых деформациях с точностью, приемлемой для математического моделирования прочностных задач. Несмотря на разнообразие существующих подходов проблема разработки достаточно эффективной методики определения механических свойств материалов по испытаниям на твердость является по-прежнему актуальной.
В рамках предлагаемого экспериментально-расчетного метода для построения истинной диаграммы деформирования из эксперимента необходимо знать только зависимость нагружающей силы от глубины внедрения шара [31]. Методика построения диаграмм в этом случае аналогична описанной выше при растяжении образцов. В процессе численного решения задачи ин-дентирования шара в образец осуществляется итерационная корректировка диаграммы деформирования пропорционально отношению значений нагружающей силы, полученных из эксперимента и расчета при одинаковой глубине проникания шара. Для сходимости итерационной процедуры в качестве начального приближения также достаточно задать любую диаграмму деформирования упрочняющегося материала. Но в данном случае, в отличие от задачи растяжения, скорость сходимости — число итераций — сильно зависит от начального приближения. Для его выбора целесообразно воспользоваться описанными выше аналитическими методами [22-28].
Для оценки влияния эффекта Баушингера и сил трения проводились численные и экспериментальные исследования внедрения шара диаметром 0.5 см, выполненного из стали ШХ-15, в круглую пластину диаметром 4 см и толщиной 0.5 см из сплава меди. Истинная диаграмма деформирования была получена ранее [18] при растяжении полосы, вырезанной из того же листа меди. В расчетах принимали, что верхняя граница шара движется с постоянной скоростью вдоль оси вращения, а нижняя граница пластины покоится на жестком основании без трения. Как показали численные исследования, учет кинематического упрочнения (эффекта Бау-шингера) не оказывает значительного влияния на зависимость силы сопротивления от глубины внедрения шара. На рис. 3 представлены диаграммы вдавливания в координатах «нагружающая сила F - к/Б» (к — глубина внедрения шара; D — диаметр шара), полученные в эксперименте и при численном решении задачи с
0 ---------------------1------------------,------------------1------------------
0.00 0.06 0.12 0.18 0.24
ГіЮ
Рис. 3. Диаграммы вдавливания, полученные в эксперименте и при численном решении задачи с учетом и без учета сил трения между шаром и пластиной
учетом и без учета сил трения между шаром и пластиной. При развитых деформациях заметную роль играет учет сил трения. Максимальное значение интенсивности деформаций в расчете достигает 45 %. Результат расчета с коэффициентом трения к = 0.3 хорошо согласуется с экспериментом, что подтверждает близость диаграмм деформирования, полученных при растяжении образцов и при кинетическом индентировании.
Для оценки точности метода построения истинных диаграмм деформирования вместо экспериментальных данных использовали результаты численного расчета внедрения шара в пластину с учетом сил трения (рис. 3) при заданной диаграмме деформирования сплава меди. В дальнейшем полагали, что диаграмма неизвестна. В качестве начального приближения использовали диаграмму деформирования сг- (ёг-), полученную по методике, предложенной Тейбором [22-28]. Им показано, что твердость по Майеру (НМ = ^(я(й/2)2)) пропорциональна интенсивности напряжений (НМ = Сог-, С = 2.87 для меди), а отношение диаметра отпечатка d к диаметру шара D — интенсивности деформаций (ё = = 0.2й/Б). Интенсивность деформаций ограничена 20 %, поэтому для больших деформаций диаграмма
линейно экстраполируется. На рис. 4 пунктирными линиями представлены исходные диаграммы вдавливания и деформирования, сплошными линиями — диаграммы вдавливания и соответствующие им диаграммы деформирования, полученные в процессе итерационной корректировки. Исследования показали, что итерационный процесс быстро сходится. Диаграмма деформирования после пяти итераций восстанавливается с точностью 5 % при различии параметров сравнения (диаграмм вдавливания) в эксперименте и расчете примерно 1 %. Таким образом, чувствительность построения истинных диаграмм деформирования к изменению диаграммы вдавливания шара достаточно высокая. Рассмотренный метод, в отличие от известных, позволяет получать диаграммы деформирования для больших деформаций с высокой точностью при внедрении инден-тора любой формы.
5. Построение истинной диаграммы деформирования при кручении образцов
Известно, что наибольшие однородные деформации возникают при кручении в поверхностном слое сплошных цилиндрических образцов [2]. Ввиду неоднородного напряженно-деформированного состояния по толщине образцов возникают значительные трудности при определении напряженно-деформированного состояния по измеряемым интегральным характеристикам. При кручении тонкостенных трубчатых образцов неоднородностью напряженно-деформированного состояния по толщине пренебрегают, но при этом невозможно достигнуть больших степеней деформаций из-за потери устойчивости оболочек. В опытах А.М. Жукова и других исследователей деформации не превышали 20 %. Люд-виком [4] предложен метод построения зависимости «касательное напряжение - сдвиг» из экспериментов на кручение сплошных цилиндрических стержней. Данный метод налагает ограничения на форму испытуемых образцов и требует дифференцирования экспериментальной зависимости крутящего момента от относи-
к
Рис. 4. Диаграммы вдавливания (а) и деформирования (б): исходные (пунктирная линия) и полученные в процессе итерационной корректировки (сплошные линии)
тельного угла закручивания, аналитическое выражение которой неизвестно. В работах [32 и др.] предложен метод «условной тонкостенной трубки», для реализации которого необходимо проведение экспериментов на двух сплошных цилиндрических образцах с различными, но близкими величинами диаметров. Все существующие методики предполагают однородность деформации вдоль образцов, что не всегда реализуется в натурных экспериментах и не позволяет оценить напряженно-деформированное состояние в момент разрушения.
В рамках предлагаемого экспериментально-расчетного метода для построения истинной диаграммы деформирования из эксперимента необходимо знать только зависимость крутящего момента от угла закручивания. При численном моделировании для текущего угла закручивания образца выбирается поперечное сечение с наибольшими величинами интенсивности напряжений и параметра Одквиста к, в котором крутящий момент М представляется в виде суммы двух моментов от касательных напряжений Стр2 во внутренних М-1 и внешних М 2 волокнах (рис. 5):
R-5 R
М = 2п | Оргг2йг + 2л | Оргг2йг =
0 R-5
= М1 + М2 = МЭ. (10)
Здесь R — радиус поперечного сечения; 5 — толщина внешнего волокна; М3 = М3 (0) — экспериментальная зависимость величины крутящего момента от угла закручивания между торцами.
При кручении касательные напряжения Стр2 являются монотонно возрастающими функциями от радиуса г и времени. Полагается, что для данного угла закручивания часть диаграммы деформирования, используемая для вычисления момента М1 во внутренних волокнах [0, R - 5], найдена ранее. Выражение для момента М2 в предположении малости толщины внешнего волокна 5 записывается в конечном виде:
М 2 = 2ястр2Л 25. (11)
Неизвестные касательные напряжения Стр2 во внешних волокнах ^ - 5, R] определяются из (10) и (11):
Рис. 5. Распределение касательных напряжений вдоль радиуса поперечного сечения образца при кручении
Ор2 = (М3 -М1)(2пЯ25)_1. (12)
Найденные напряжения используются для построения следующего участка неизвестной части диаграммы деформирования материала =а1 (к) по формулам:
=^1 V24>
‘ I— (13)
к=Л/^ ёцё? &.
0
В общем случае кручения произвольного тела вращения требуется итерационное уточнение интенсивности напряжений и параметра Одквиста. Интенсивность напряжений корректируется по формуле:
Ъ =ст* (стр2/ )> (14)
где ар2 определяется из эксперимента (12); стг-, Стр2 — расчетные значения. В качестве начального приближения применяется экстраполяция известной части диаграммы деформирования. Итерационная процедура корректировки проводится до совпадения экспериментального и расчетного моментов с заданной точностью. Экстраполяция позволяет также корректировать диаграмму деформирования не на каждом временном шаге, а только при отклонении моментов свыше заданной величины. В итоге однократного прямого численного расчета в дискретном виде с заданной точностью выстраивается диаграмма деформирования материала ai = = ai (к), соответствующая экспериментальной зависимости крутящего момента от угла закручивания М3 = = МЭ (0).
Для тестирования предложенной методики построена диаграмма деформирования стали 12Х18Н10Т. Геометрические параметры образца (рис. 6): радиус и длина рабочей части — Я1 = 5 мм, L1/Я1 = 20, радиус и длина захватных частей — Й^Й1 = 1.65, Ьъ/ Ц = 0.14, общая длина образца — Ь = 142 мм.
На рис. 6 треугольниками представлена исходная экспериментальная зависимость МЭ = М3 (^0/(2Ll)) X х(Мт)~! (Мт = (2/з>/з) лЯ13ат — предельный пластический момент; От = 240 МПа — предел текучести). Сплошной, пунктирной линиями и точками приведены диаграммы деформирования 6 = (к)/От , построен-
ные из эксперимента на кручение с использованием данной методики, метода Людвика [4] и из эксперимента на растяжение [18] соответственно. Диаграммы деформирования, определенные на основе экспериментов на кручение и растяжение, практически совпадают при деформациях до 80 %, что свидетельствует о независимости диаграммы «интенсивность напряжений - параметр Одквиста» от вида напряженного состояния для стали 12Х18Н10Т при больших деформациях. При кручении однородность напряженно-деформированного состояния вдоль рабочей части образца сохраняется вплоть до разрушения, что позволяет строить диаграм-
Рис. 6. Диаграммы деформирования стали 12Х18Н10Т на основе данных экспериментов на кручение и растяжение
му деформирования до деформаций, вдвое больших, чем при растяжении.
На основе полученных истинных диаграмм деформирования проведено исследование процессов деформирования и предельных состояний конструкционных материалов, находящихся в условиях неоднородного напряженного состояния, при комбинированных нагружениях кручением с растяжением [33].
6. Идентификация упругопластических свойств грунтовых сред при внедрении ударников
Исследованию процессов удара и проникания тел в грунтовые среды посвящено большое количество теоретических и экспериментальных работ. Были предложены аналитические [34-37] методы решения задач проникания тел вращения в грунты с использованием упрощенных представлений о динамическом поведении грунта. Экспериментально [37-40] оценивались такие характеристики проникания осесимметричных тел, как сила и коэффициент сопротивления внедрению, ускорение, глубина проникания и другие параметры.
Значительное количество экспериментальных работ посвящено анализу динамических свойств мягкого грунта. В [37] наряду с анализом процесса проникания представлен метод динамического внедрения для определения сопротивления сдвигу глинистого грунта. Известны результаты [41] полевых экспериментальных исследований взрывных волн в песчаных грунтах нарушенной и ненарушенной структуры при давлениях до ста атмосфер. В динамических испытаниях [42] образца грунта в упругой обойме, оснащенной тензодатчиками, получена информация о сопротивлении грунтовых сред сжатию и сдвигу при давлениях порядка тысячи атмосфер. В плосковолновых экспериментах [43] достигаются давления свыше десяти тысяч атмосфер, но опреде-
ляется лишь сжимаемость грунтовой среды (ударная адиабата). Таким образом, эффективные методы исследования упругопластических свойств грунтовых сред в широком диапазоне давлений на сегодняшний день отсутствуют.
Математическая модель [44] динамики мягкой грунтовой среды записывается в цилиндрической системе координат rOz (Oz — ось симметрии) в виде системы дифференциальных уравнений
гір/dt + р(иг г + и2 2) = - (риг)/г,
pdur/ dt -ап pduz/ dt -а г
- (Огг Свв Vг , = Ъг?1г >
(15)
П]Sj +Ш(J2 -1/3/22(р)Н- = 2Geij (і, j = г, 4
= ар/ dtH (р - р*)Н ^р/ dt) и конечных соотношений
р = /І(Р, Р*)Н(р* -р)Н(Ро -р),
J2 = V3 /2 (р), J2 = Т ,
где Н — функция Хевисайда; t — время; р0, р и р, — начальная, текущая и максимальная плотность; щ, а у, sij, ёу — компоненты вектора скорости, тензора напряжений Коши и девиаторов тензоров напряжений и скоростей деформаций соответственно (;', j = г, г); р — давление; — производная Яуманна; ё/ё? — полная
производная по времени; G — модуль сдвига грунтовой среды; Jг — второй инвариант тензора напряжений в условии пластичности Мизеса-Шлейхера. Символ после запятой обозначает дифференцирование по соответствующей переменной, по повторяющимся индексам производится суммирование, неизвестные функции /1 и f2 подлежат определению.
Решение задачи идентификации параметров уравнения состояния грунтовых сред (15) целесообразно осуществить на основе сочетания обращенных экспериментов с использованием мерного стержня [39, 40] и численного моделирования процессов удара и проникания цилиндрических стержней в грунтовые среды [45, 46]. При этом необходимо регистрировать изменение силы сопротивления внедрению от времени на поверхности мерного стержня только в одном сечении вблизи ударяемого торца.
Процесс проникания состоит из двух стадий — нестационарной и квазистационарной. На нестационарной стадии наблюдается рост силы сопротивления до максимума с последующим падением до квазистацио-нарного значения. Оптимальным для решения задачи идентификации параметров уравнения состояния грунтовой среды является выбор цилиндрических ударников с плоским торцом, время нарастания силы сопротивления которых минимально, а различие между силами сопротивления внедрению на начальной и квазистацио-нарной стадиях максимально.
На рис. 7 точками приведена экспериментально полученная [40] зависимость безразмерной силы сопротивления внедрению с начальной скоростью 350 м/с. Значения силы F и времени t отнесены соответственно к F * = 0.5р0^2 яЯ2 и ? * = 2 Я с, где V0 — начальная скорость удара; R и с — радиус поперечного сечения и скорость распространения продольных упругих волн в стержне. Особенности зависимости силы сопротивления от времени позволяют использовать максимум силы для определения динамической сжимаемости грунта [47], а квазистационарное значение — для идентификации сдвиговых характеристик грунтовой среды [46].
Задача идентификации параметров модели грунта при известной ударной адиабате сводится к определению зависимости напряжения внутреннего трения от давления. Искомую зависимость определим минимизацией функционала, описывающего суммарное средне-
Рис. 7. Зависимость безразмерной силы сопротивления внедрению в песчаный грунт с начальной скоростью 350 м/с: данные эксперимента (точки) и численных расчетов с линейной (штрихпунктир-ная линия) и уточненной (штриховая линия) зависимостью предела текучести от давления
квадратичное рассогласование теоретических и экспериментальных данных в некотором диапазоне скоростей:
2
(16)
к=1 Ш2
*
Здесь Fk — экспериментально полученная сила сопротивления внедрению с начальной скоростью ¥к; Fk — квазистационарное значение силы сопротивления, полученное в расчетах с той же скоростью.
Для приближенного решения поставленной задачи оптимизации представим зависимость предела текучести от давления в дискретном виде:
/2(р) = /2 1 + «к(р-рк ^ рк4 ^ р < рк, к =N,
(17)
определив узлы дискретизации таким образом, чтобы выполнялось условие
1 Рк ~ Рк
<5,
где 5 — заданная малая величина. Для этого в численном расчете для скоростей удара V = ¥к > ¥к_1 уточняется угол наклона <хк очередного звена ломаной (17) до совпадения расчетных и экспериментальных значений сил сопротивления на квазистационарной стадии внедрения. Корректировку угла наклона каждого звена ломаной (17) осуществляем пропорционально различию экспериментальных и расчетных данных
+і_ Рк - ^°(а = 0)
а* =
Г («к) -^0(а = 0Гк’
і = 1, 2, ....
(18)
Здесь i — номер итерации. Начальное значение угла ак при к = 1 определяется приближенной формулой [35] для силы сопротивления F на квазистационарной стадии: ак = «к-1 при к > 1. Опорные значения давлений р кусочно-линейной функции f2 (р) определяются при численном решении задачи как среднее давление на ударяемом торце стержня.
Изложенный итерационный процесс в каждом узле дискретного представления функции пластичности аналогичен методу секущих для нахождения корней нелинейного уравнения. Данный метод гарантирует монотонную сходимость, так как зависимость силы сопротивления от угла наклона является выпуклой функцией.
В качестве примера практической реализации предлагаемой методики идентификации определим функцию пластичности в песчаном грунте. Уравнение состояния (15) задавалось в виде [43, 48]:
Л =Р0а V (1 ~Ьг)2,
Л =^Р/ С1 + №/ о), где Р0 = 1.7 г/см3; а = 400 м/с; Ь = 2.4; |Л, = 1.19; о~ = 0.245 ГПа.
(19)
Расчеты проводились в осесимметричной постановке. На поверхности контакта ударника с грунтовой средой использовалось условие «непроницаемости» по нормали и в касательном направлении. Поверхностное трение в численных расчетах не учитывалось, так как смещения частиц грунта вдоль торца ударника практически отсутствуют, а обтекание грунтовым потоком примыкающей к торцу цилиндрической части носит отрывный (кавитационный) характер. На свободных поверхностях грунта и ударника нормальные и касательные напряжения равны нулю. Внешние границы расчетной области грунта считались жесткими и соответствовали геометрии обоймы, используемой в обращенном эксперименте.
На рис. 8, а точки соответствуют рассчитанным дискретным значениям предела текучести при скоростях соударения 100, 200, 300, 400, 500, 700 и 1000 м/с, пунктиром показан коридор ошибок для искомой зависимости. Наблюдается уменьшение темпа роста предела текучести с увеличением давления, связанное с дроблением частиц грунта при ударе и проникании. Штриховой линией нанесена аппроксимация дискретных значений предела текучести функцией (19), штрих-пунктирная линия соответствует линейной зависимости /2 = цр. С ростом давления уменьшается вклад сдвиговых составляющих в решение, чувствительность падает — растет величина погрешности вычисления зависимости сопротивления сдвигу.
На рис. 7 приведены численно рассчитанные графики силы сопротивления от времени при внедрении с начальной скоростью 350 м/с. Штрихпунктирная и штриховая линии соответствуют расчетам с использованием линейной и полученной в результате идентификации нелинейной функции пластичности (19); отмечается существенное различие результатов.
С целью оценки соответствия модели эксперименту при больших скоростях внедрения на рис. 8, б представ-
лены графики квазистационарных значений силы сопротивления в зависимости от начальной скорости удара. Сплошной линией показана экспериментальная зависимость силы сопротивления в диапазоне скоростей удара 50-350 м/с [46]. Эта зависимость экстраполирована в область скоростей удара до 1 000 м/с с целью иллюстрации работоспособности предлагаемого метода. Штрихпунктирная и штриховая кривые на рис. 8, б, аналогично обозначениям на рис. 7, соответствуют результатам расчетов с использованием линейной и нелинейной зависимостей предела текучести от давления. Результаты расчетов с линейной зависимостью предела текучести удовлетворительно соответствуют экспериментальным данным лишь при скоростях удара менее 200 м/с (давлениях до 0.1 ГПа). Результаты численного моделирования с использованием полученной в результате идентификации нелинейной зависимости «предел текучести - давление» полностью находятся в коридоре ошибок (пунктир на рис. 8, б). Хорошее соответствие экспериментальных и расчетных данных подтверждает эффективность экспериментально-теоретического метода идентификации параметров уравнения состояния мягких грунтовых сред в практически важном диапазоне давлений, где существенную роль играют сдвиговые свойства грунта.
7. Идентификация вязкоупругих характеристик композитных материалов
При проектировании конструкций современной техники широко используются новые композитные материалы, обладающие, в отличие от металлов, существенно лучшими диссипативными свойствами. Поскольку композитный материал и конструкция создаются, как правило, в рамках единого технологического процесса, возникает задача определения упругих и демпфирующих характеристик композитного материала при его работе в конструкции, решение которой необходимо для
а I ' —1 / / / л.
/ 'V
!/// Г 1
0.0 0.5 1.0
р, ГПа
V, м/с
Рис. 8. Зависимость предела текучести от давления: исходная (штрихпунктирная линия), рассчитанные в процессе итерационной корректировки значения (точки), их аппроксимация по методу наименьших квадратов (штриховая линия) и коридор ошибок (пунктирная линия) (а); зависимость значений силы сопротивления от начальной скорости удара на квазистационарной стадии внедрения: данные эксперимента (сплошная линия, пунктирная линия — коридор ошибок) и численных расчетов с линейной (штрихпунктирная линия) и уточненной (штриховая линия) зависимостью предела текучести от давления (б)
построения адекватных моделей деформирования материала и конструкции с целью последующего прогнозирования их поведения при заданных воздействиях. Традиционные способы решения этой задачи, основанные на испытаниях представительных образцов методом свободных затухающих колебаний, зачастую оказываются неприемлемыми из-за существенного влияния на результаты измерений условий закрепления, способа возбуждения колебаний, неоднородности напряженно-деформированного состояния и технологических трудностей изготовления образцов.
Одним из методов определения параметров моделей деформирования является непосредственное использование экспериментальной информации, получаемой при нагружении элементов конструкций. Такие подходы идентификации материалов и моделей применялись для определения эффективных упругих характеристик композитных материалов на основе статических экспериментов [49-52]. Среди работ, посвященных определению физико-механических характеристик при динамических испытаниях, можно отметить лишь исследования [53, 54], в которых анализируются экспериментальные результаты и определяются демпфирующие характеристики композитных материалов при взрывном нагружении колец и полусферических оболочек. Данная статья представляет собой развитие этих исследований, связанное с разработкой экспериментально-расчетного подхода к определению жесткостных и реологических характеристик композитного материала на примере деформирования динамически нагруженных полусферических оболочек. По сути, этот метод является решением обратной задачи, позволяющим получить характеристики материала и модели, закладываемые в расчет конкретной конструкции. Метод решения задачи идентификации жесткостных и реологических характеристик композитных материалов основывается на сопоставлении информации, полученной в эксперименте, и численного решения прямой задачи вязкоупругого динамического деформирования полусферической оболочки.
Для построения разрешающей системы уравнений неклассической теории полусферических оболочек используется принцип возможных перемещений в сочетании с методом рядов [55]. Связь между напряжениями и деформациями устанавливается на основе реологических уравнений Максвелла-Томсона, которые в данном случае можно представить в виде:
°й = 1Се (і = 1,3),
м
_ _Г~<0 f
аіз - Цзеіз>
1 -
а
с°
С77
о _
ву ~ еЛ
с; 1 —У-
сО
}R(t -х)е11 (х)дх,
е13
е13 ■
^13
Г'О
°13
А і
|R(t -т)е13(т)ёт.
Здесь Су, Су , С13, Gl3 — мгновенные и длительные жесткостные характеристики; R (t) = Ре ^ — ядро релаксации; Р — параметр, характеризующий время релаксации; t — время процесса. Входящие в (20) вязкоупругие характеристики образуют вектор
Ь = (Е11, Е11, Е22, Е22, Е33, Е33, ^3, ^3^12^13^23, Р)?, который в дальнейшем необходимо определить.
Для вывода уравнений движения полусферической незакрепленной оболочки, нагруженной импульсом внутреннего давления, используется вариационное уравнение динамики [55]. Сформулированная начальнокраевая задача решается на основе явной вариационноразностной схемы [55].
Задача определения жесткостных и реологических характеристик сводится к задаче нелинейного программирования. Допустим, что имеется численное решение сформулированной выше начально-краевой задачи о динамическом поведении композитной полусферической оболочки в виде временных зависимостей окружных и меридиональных деформаций на внешней поверхности оболочки. Считаем, что имеются соответствующие тензограммы деформаций, полученные в экспериментах. Поскольку расчетные и экспериментальные осциллограммы деформаций являются условно моногармоническими затухающими колебаниями, можно определить максимальные и минимальные значения расчетных ет и экспериментальных едеформаций,
т *т
а также соответствующие моменты времени ti и ti (т = 1, М), в которые они достигаются.
Ниже рассматривается параметризованный вариант постановки задачи идентификации параметров модели вязкоупругого поведения материала оболочки. Требуется найти набор параметров (вектор) физических соотношений (20)
\ R (і -%)еи (т)ёг,
(20)
Рис. 9. Схема нагружения (Р3* = 0.3 МПа, і = 0.4 -10 с)
е22, %
0.02
0.01
0.00
-0.01
Рис. 10. Осциллограммы угловых деформаций на внешней поверхности изотропной вязкоупругой (а) и ортотропной вязкоупругой (б) оболочек вблизи экватора: Е0 = 61 ГПа, V = 0.33, Е = 54.9 ГПа, Р = 20 000 с"1 (а); Е = 50.7 ГПа, Е° = 41.7 ГПа, Е0 = 63.7 ГПа, = 57.3 ГПа, Е30 = 47.2 ГПа, Е3“ = 39.7 ГПа, У12 = 0.22 , У13 = 0.26 , У23 = 0.28, G103 = 43.35 ГПа, 63 = 35.2 ГПа, Р= 18 300 с"1 (б); 1 — экспериментальные данные [54]; 2 — результаты расчета
- (ЕП> E11, E22, E22, E33, E33, G13> G13> V12> V13> V23> P) , при которых математическая модель, описывающая динамическое поведение вязкоупругих полусферических оболочек, лучше всего согласуется с экспериментальными данными. В результате задача сводится к минимизации целевой функции нескольких переменных, представляющей собой сумму среднеквадратичных отклонений теоретических и экспериментальных значений деформаций [56],
С (b) =
(21)
K M £ М20 f m eii *m A - eii 2 + ^ ,m *m ^ ti ti 2 ^
* *
k=1 m=1 i=1 eii ^ t
V V V _
Здесь К — число точек, для которых имеются экспериментальные данные о деформациях; е* — максимальные значения окружных и меридиональных деформаций в первом полупериоде колебаний; t * — время про-
цесса. Границы области поиска и ограничения, налагаемые на значения физико-механических характеристик материалов, следуют из общих физических принципов и экспериментальных фактов [54, 57].
При выборе метода решения сформулированной задачи идентификации вязкоупругих характеристик композитных материалов необходимо учитывать ряд факторов: чувствительность методов оптимизации к погрешностям экспериментальных измерений деформаций, сложность вычисления производных целевой функции, многоэкстремальный характер целевой функции и большие вычислительные затраты при ее формировании. С учетом отмеченных трудностей был выбран синтез методов адаптивного случайного поиска и детерминированных прямых алгоритмов локальной оптимизации, в которых строится нелокальная аппроксимация функции по ее значениям в ряде точек [58].
Применимость предлагаемого подхода оценивалась на примере осесимметричного деформирования полусферической оболочки толщиной h = 0.006 м и радиусом
Таблица 1
Оболочка 8 So s,
n = 3 n = 5 n = 7 n = 9 n = 11 n = 13 n = 15
Изотропная 0.5707 0.1768 0.1685 0.2714 0.1223 0.1484 0.2101 0.2383 0.2166
Ортотропная 0.3869 0.2128 0.1598 0.2331 0.1635 0.1676 0.1936 0.2168 0.2166
Таблица 2
Средний декремент затухания в зависимости
от R/h
R/h 8
4 0.1033
8 0.22б0
15 0.3770
30 0.3б75
50 0.3б98
R = 0.049 м, выполненной из хаотически армированного полимерного материала и нагруженной импульсом внутреннего давления (рис. 9) [59].
В ходе вычислений предусматривался предварительный анализ чувствительности целевой функции по переменным проектирования для оценки возможности определения параметров определяющих соотношений в данной задаче. Кроме того, для повышения эффективности расчетов подбор жесткостных и реологических характеристик осуществлялся на последовательно расширяющихся временных интервалах.
На рис. 10 приведены результаты экспериментальных исследований [54] и теоретических расчетов с найденными параметрами физических соотношений (20). Наблюдается достаточно хорошее качественное и удовлетворительное количественное соответствие экспериментальных и теоретических результатов.
На основе осциллограмм деформаций, приведенных на рис. 10, анализировалась зависимость логарифмического декремента затухания 5 от временного интервала процесса деформирования (числа циклов колебаний). В табл. 1 приведены значения декремента затухания 5 в зависимости от числа периодов п колебаний, а также среднее теоретическое значение 50 и экспериментальное значение 5*.
Из анализа полученных данных следует, что декремент затухания зависит от интервала, по которому он рассчитывается. Однако среднее значение декремента затухания 5о хорошо согласуется с экспериментальным значением 5* [54], причем для ортотропной модели поведения материала оболочки результаты расчетов практически совпадают с экспериментальными данными.
Проведен анализ зависимости логарифмического декремента от параметра тонкостенности полусферической оболочки . В табл. 2 приведены значения среднего декремента в области экватора при различных значениях . Видно, что по мере уменьшения толщины оболочки декремент сначала существенно увеличивается, а затем при > 20 становится практически постоянным. Полученный результат согласуется с аналогичными данными для традиционных материалов [57].
Таким образом, проведенный экспериментальнотеоретический анализ нестационарного деформиро-
вания полусферических оболочек, выполненных из хаотически армированного полимерного материала, свидетельствует об эффективности предлагаемого метода идентификации динамических вязкоупругих свойств композитных материалов.
8. Заключение
Разработанные методики, в отличие от известных ранее аналогов, позволяют получать деформационные и прочностные характеристики материалов независимо от формы образцов и вида нагружения для больших деформаций и с учетом неоднородности напряженно-деформированного состояния вплоть до момента разрушения без привлечения упрощающих гипотез силового и кинематического характера. Представляется возможным получать предельную поверхность разрушения в зависимости от вида напряженного состояния, определенного в численных расчетах на момент разрушения. Высокая информативность и точность получения деформационных и прочностных характеристик материалов позволит повысить уровень достоверности диагностики состояния и ресурсных параметров материала в элементах конструкций, находящихся в условиях эксплуатации.
В заключение автор выражает благодарность с.н.с. НИИМ ННГУ Осетрову С.Л. за помощь в оформлении работы.
Работа выполнена при финансировании Программы поддержки ведущих научных школ России (грант № НШ 6391.2006.8) и гранта РФФИ (№ 05-01-00837).
Литература
1. Баженов В.Г., Зефиров С.В., Кочетков А.В. и др. Пакет программ «Динамика-2» для решения плоских и осесимметричных нелинейных задач нестационарного взаимодействия конструкций со сжимаемыми средами // Мат. моделирование. - 2000. - Т. 12. - № 6. -
С. 67-72.
2. Дегтярев В.П. Деформации и разрушение в высоконапряженных
конструкциях. - М.: Машиностроение, 1987. - 105 с.
3. РадченкоВ.П., НебогинаЕ.В., БасовМ.В. Структурно-феноменоло-
гический подход к описанию полной диаграммы упругопластического деформирования // Изв. вуз. Машиностроение. - 2000. -№ 5-6. - C. 3-13.
4. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел / Под ред. Г.С. Шапиро. - Т. 1. - М.: Изд-во иностр. лит., 1954. - 647 с. - Т. 2. -М.: Мир, 1969. - 863 с.
5. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. -М.: Машиностроение, 1975. - 399 с.
6. Петросян Ж.Л., ШиршовА.А. К построению диаграммы деформи-
рования после построения шейки // Изв. вузов. Машиностроение. - 1967. - № 2. - С. 27-30.
7. Жуков А.М. К вопросу возникновения шейки в образце при растя-
жении // Инж. сб. - 1949. - Т. V. - Вып. 2. - С. 34-51.
8. Бриджмен П. Исследования больших пластических деформаций и разрыва. - М.: Изд-во иностр. лит., 1955. - 444 с.
9. ДавиденковН.А., Спиридонова Н.И. Анализ напряженного состоя-
ния в шейке растянутого образца // Заводская лаборатория. -1945.- № 6. - С. 583-593.
10. Ахметзянов М.Х., Албаут Г.Н., Барышников В.Н. Исследование напряженно-деформированного состояния в шейке плоских металлических образцов при растяжении методом фотоупругих покрытий // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - № 8. -2004. - Т. 70. - С. 41-51.
11. Важенцев Ю.Г., Исаев В.В. К вопросу о напряженном состоянии в шейке круглого и плоского образца при растяжении // Проблемы прочности. - 1988. - № 4. - С. 66-69.
12. Малинин Н.Н., Петросян Ж.Л. Напряжения в наименьшем сечении шейки растянутого круглого образца // Изв. вуз. Машиностроение. - 1967. - № 6. - С. 34-39.
13. Zhang Z.L., Odegard J., Sovik O.P. Determining true stress-strain curve for isotropic and anisotropic materials with rectangular tensile bars: method and verifications // Comput. Mater. Sci. - 2001. - V. 20. -No. 1. - P. 77-85.
14. Zhang Z.L., Odegard J., Sovik O.P, Thaulow C. A study on determining true stress-strain curve for anisotropic materials with rectangular tensile bars // Int. J. Solids and Struct. - 2001. - V. 38. - No. 26-
27. - P. 4489-4505.
15. Баженов В.Г., Ломунов В.К. Экспериментально-теоретическое исследование процесса образования шейки при растяжении стального трубчатого образца до разрыва // Межвуз. сб. «Пробл. прочности и пластичности». - Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского университета, 2001. - Вып. 63. - С. 35-41.
16. Баженов В.Г., Зефиров С.В., Осетров С.Л. Экспериментальнорасчетный метод идентификации деформационных и прочностных свойств материалов // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2006. - № 9. - Т. 72. - С. 39-45.
17. БаженовВ.Г., Зефиров С.В., Осетров С.Л. Метод идентификации деформационных и прочностных свойств металлов и сплавов // Деформация и разрушение материалов. - 2007. - № 3. - С. 43-48.
18. Баженов В.Г., Кибец А.И., Лаптев П.В., Осетров С.Л. Экспериментально-теоретическое исследование предельных состояний упругопластических стержней различного поперечного сечения при растяжении // Проблемы механики: Сб. статей к 90-летию со дня рождения А.И. Ишлинского / Под ред. Д.М. Климова и др. -М.: Физматлит, 2003. - С. 116-123.
19. Баженов В.Г., Жегалов С.В., Кибец А.И., Крамарев Л.Н., Лаптев П.В., Осетров С.Л. Образование шейки и закритическое поведение упругопластических стержней с различным профилем поперечного сечения // Вестник ННГУ. Механика. - Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2003. - Вып. 1(5). - С. 84-88.
20. Баженов В.Г., Жегалов С.В., Зефиров С.В. Осетров С.Л. Упругопластическое деформирование и предельные состояния цилиндрических оболочек под действием внутреннего давления при различных граничных условиях // Вестник ННГУ. Механика. - Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2003. - Вып. 1(5). - С. 90-94.
21. Баженов В.Г., Крамарев Л.Н., Осетров С.Л. Экспериментальное и теоретическое исследование упругопластического деформирования и разрушения стального шара при сжатии между пластинами // Межвуз. сб. «Проблемы прочности и пластичности». -Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2003. - Вып. 65. - С. 85-91.
22. Алехин В.П., Булычев С.И. Испытание материалов непрерывным вдавливанием индентора. - М.: Машиностроение, 1990. - 224 с.
23. Марковец М.П. Определение механических свойств по твердости. - М.: Машиностроение, 1979. - 191 с.
24. Матюнин В.М. Методы твердости в диагностике материалов. Состояние, проблемы и перспективы // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2004. - Т. 70. - № 6. - С. 37-41.
25. Алехин В.П., Булычев С.И., Калмакова А.В., Узинцев О.Е. Кинетическое индентирование в проблеме неразрушающего контроля и диагностики материалов // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2004. - Т. 70. - № 6. - С. 46-51.
26. Бакиров М.Б., Потапов В.В. Феноменологическая методика определения механических свойств корпусных сталей ВВЭР по диаграмме вдавливания шарового индентора // Заводская лаборатория. - 2000. - № 12. - С. 35-44.
27. Булычев С.И. О корреляции диаграмм вдавливания и растяжения // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2001. -Т.67.- № 11. - С. 33^1.
28. Маклин М.М., Мозгунова А.И. Аналитическое определение параметров внедрения сферического индентора по диаграмме растяжения материала контртела // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2001. - Т. 67. - № 11. - С. 47-51.
29. Бакиров М.Б., ЗайцевМ.А., Фролов И.В. Математическое моделирование процесса вдавливания сферы в упругопластическое полупространство // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2001. - Т. 67. - № 1. - С. 37-47.
30. HasanovA., Seyidmamedov Z. The solution of an axisymmetric inverse elasto-plastic problem using penetration diagrams // Int. J. Non-Linear Mech. - 1995. - V. 30. - No. 4. - P. 465-477.
31. Баженов В.Г., Зефиров С.В., Осетров С.Л. Экспериментальнорасчетный метод построения истинных диаграмм деформирования при больших деформациях на основе испытаний на твердость // Доклады Академии наук. - 2006. - Т. 407. - № 2. - С. 183185.
32. Васин Р.А., Ильюшин А.А., Моссаковский П.А. Исследование определяющих соотношений и критериев разрушения на сплошных и толстостенных трубчатых цилиндрических образцах // Механика твердого тела. - 1994. - № 2. - С. 177-176.
33. БаженовВ.Г., Зефиров С.В., ПавленковаЕ.В. Экспериментальночисленный метод изучения деформационных и прочностных характеристик упругопластических материалов при кручении с растяжением // Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород: Сб. статей к 75-летию со дня рождения Е.И. Шемякина. - М.: Физматлит, 2006. - С. 74-82.
34. Сагомонян А.Я. Проникание. - М.: Изд-во МГУ, 1974. - 299 с.
35. Григорян С.С. Приближенное решение задачи о проникании тела в грунт // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1993. - № 4. - С. 18-24.
36. Осипенко К.Ю., Симонов И.В. Модель пространственной динамики тела вращения при взаимодействии с малопрочной средой и несимметричной кавитацией // Изв. РАН. МТТ. - 2002. - № 1. -С. 143-153.
37. Бивин Ю.К., Колесников В.А., Флитман Л.М. Определение механических свойств среды методом динамического внедрения // Изв. АН СССР. МТТ. - 1982. - № 3. - С. 181-185.
38. Аллен У., Мэйфилд Э., Моррисон Г. Динамика проникания снаряда в песок // Механика: Сб. перев. и обзоров иностр. период. лит. -1957. - № 6. - С. 125-137.
39. Hauver G.E. Penetration with instrumented rods // Int. J. Eng. Sci. -1978. - V. 16. - No. 11. - P. 871-877.
40. Баженов В.Г., Котов В.Л., Крылов С.В., Брагов А.М., Баландин В.В., Цветкова Е.В. Анализ нелинейных эффектов проникания цилиндрического ударника в песчаный грунт // Проблемы прочности. - 2003. - № 5. - С. 104-112
41. Рыков Г.В. Экспериментальное исследование поля напряжений при взрыве в песчаном грунте // ПМТФ. - 1964. - № 1. - С. 8589.
42. Брагов А.М., Гандурин В.П., Грушевский Г.М., Ломунов А.К. Новые возможности метода Кольского для исследования динамических свойств мягких грунтов // ПМТФ. - 1995. - Т. 36. - № 3. -С. 179-186.
43. Лагунов В.А., Степанов В.А. Измерение динамической сжимаемости песка при высоких давлениях // Изв. СО РАН. ПМТФ. -1963. - № 1. - С. 88-96.
44. Григорян С.С. Об основных представлениях динамики грунтов // ПММ. - 1960. - Вып. 4. - С. 1057-1072.
45. Баженов В.Г., Брагов А.М., Котов В.Л., Кочетков А.В. Исследование удара и проникания тел вращения в мягкий грунт // ПММ. -2003. - № 6. - С. 686-697.
46. Баженов В.Г., Котов В.Л. Идентификация параметров динамической сжимаемости и сопротивления сдвигу грунтовой среды при внедрении ударников // ДАН. Механика. - 2006. - Т. 408. -№ 3. - С. 333-336.
47. Бpaгoв A.M., Баландт B.B., Лом^^овA.K., Фжшпов A.P. Методика определения ударной адиабаты мягких грунтов по результатам обращенных экспериментов // Письма в ЖТФ. - 200б. - Т. 32. -Вып. 11. - С. 52-55.
48. Замышляев Б.B., Eвmepeв Л..C. Модели динамического деформирования и разрушения грунтовых сред. - М.: Наука, 1990. - 215 с.
49. Bopoнцoв LB., Плющев Б.И., Резнтенко AM. Определение приведенных упругих характеристик армированных композитных материалов методами обратных задач тензометрирования // Механика композитных материалов. - 1990. - М 4. - С. 733-73б.
50. Cyвopoвa Ю.B., Дoбpынuн B.C. Определение свойств композита в конструкции методом параметрической идентификации // Механика композитных материалов. - 1989. - М 1. - С. 150-157.
51. Aлфymoв H.A., ЗшовьевПЛ., Такова Л.П. Идентификация упругих характеристик однонаправленных материалов по результатам испытаний многослойных композитов // Расчеты на прочность. -М.: Машиностроение, 1989. - Т. 30. - С. 1б-31.
52. Mamвeeнкo BM., Юpлoвa H.A. Идентификация упругих постоянных композитных оболочек на основе статических и динамических экспериментов // Изв. РАН. МТТ. - 1998. - М 3. - С. 12-20.
53. Демешшн AT., Ko3em M.E., Kop-нев B.M., Kypгyзoв B-Д. Демпфирующие характеристики композитных материалов, изготовленных намоткой // ПМТФ. - 2001. - Т. 42. - М 1. - С. 190-195.
54. Володина Л.В., Гердюков Н.Н., Зотов Е.В. и др. Реакция полусферических оболочек из ВВ на действие импульсной нагрузки (экспериментально-расчетное исследование). Вещества, материалы и конструкции при интенсивных динамических воздействиях // Тр. Междунар. конф. «V Харитоновские тематические научные чтения». - Саров: Всерос. науч.-исслед. ин-т эксперим. физики, 2003. - С. 316-322.
55. Абросимов Н.А., Баженов В.Г. Нелинейные задачи динамики композитных конструкций. - Н. Новгород: Изд-во Нижегор. гос. ун-та, 2002.
56. Абросимов Н.А., Баженов В.Г., Куликова Н.А. Идентификация вязкоупругих характеристик композитных материалов по результатам экспериментально-теоретического анализа динамического поведения полусферических оболочек // ПМТФ. - 2006. - Т. 47. -№ 3. - С. 126-133.
57. Писаренко Г.С., ЯковлевА.П., МатвеевВ.В. Вибропоглощающие свойства конструкционных материалов. - Киев: Наукова думка, 1971. - 376 с.
58. Поляк Б.Т Введение в оптимизацию. - М.: Наука, 1983. - 384 с.
59. Зотов Е.В., Гердюков Н.Н., Володина Л.В. Миниатюрное сферическое взрывное нагружающее устройство // ФГВ. - 1996. - Т.2.-№ 2. - С. 134-140.
Поступила в редакцию
11.0б.2007 г.
