Исследование процесса деформирования массива каменной соли, содержащего подземное нефтегазохранилище Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА ДЕФОРМИРОВАНИЯ МАССИВА КАМЕННОЙ СОЛИ, СОДЕРЖАЩЕГО ПОДЗЕМНОЕ НЕФТЕГАЗОХРАНИЛИЩЕ

Аршинов Г. А. - к. ф.-м. н.

Кубанский государственный аграрный университет

Рассматриваются условия сходимости метода упругих решений в задачах нелинейной теории ползучести при исследовании распределения напряжений вблизи осесимметричных полостей различной конфигурации, образованных в отложениях каменной соли.

Практически важные задачи, связанные с добычей солей, а также размещением в их толщах различного рода подземных хранилищ, не могут быть решены без глубокого изучения физико-механических свойств соляных пород. Последние относятся к классу материалов, в деформировании которых доминирующую роль играют нелинейные процессы ползучести и релаксации. Это неоднократно подтверждалось многочисленными экспериментальными исследованиями образцов различных месторождений и натурными наблюдениями. Для большей части опубликованных работ характерно стремление изучить упругие, прочностные, реологические свойства, а также построить уравнения механического состояния соляных пород на основе одноосных испытаний, что не гарантирует возможности распространения полученных результатов на сложное напряженное состояние. Реже встречаются многоосные опыты, подавляющая часть которых выполнена в камере Кармана.

Приведем результаты испытания прочностных и деформативных свойств образцов солей Солигорского месторождения при одноосном сжа-

тии [1]. Ползучесть призматических образцов размером 10 х 5 х 5 см исследовалась на гидравлических и пружинных прессах при циклически возрастающей и длительно действующей нагрузках. Установлено, что мгновенное (=0) деформирование соляных образцов линейно, а при ¿>0 развивается процесс нелинейной ползучести каменной соли с преобладанием необратимых деформаций.

Подобные процессы могут быть описаны уравнением состояния вида:

о(г) +1 Цх -т )о( т )&т+1 Р( т)/[ о( т ^т ] 0 0

(1)

причем уровень нелинейности деформирования зависит от степени нагру-женности образца: для нагрузок, не превышающих 0,4 ос (ос - напряжение разрушения при одноосном сжатии), получены практические линейные изохронны, т.е. в этом случае можно воспользоваться уравнениями линейной теории вязкоупругости [2], успешно применяемыми для описания ползучести горных пород. Если нагрузки не удовлетворяют упомянутому ограничению, то нелинейный член в уравнении (1) необходимо сохранить. Более того, при значительных нагрузках в уравнении (1) можно опустить второе слагаемое без ущерба точности кривых ползучести.

Лабораторные испытания трубчатых образцов различных соляных пород в условиях плоской деформации [3] позволили обобщить уравнение

(1) на случай сложного напряженного состояния и для больших нагрузок представить уравнение механического состояния солей в виде уравнения, представляющего собой уравнения нелинейной вязкоупругости

Ее/ (*) = о/ (*) + п[°/ (Х) - 35/ о(1)]+ 2^1 Р\’т- о/ (т Ло/(т) - 5/о(т)]й?т, (2)

2и 0

ядро которых

Р = ^-т)~а[1 + ро2 (т)], (3)

или уравнения теории старения, если

Р = ЛТао2 (т), (4)

где ои - интенсивность напряжений, 8, аД В - параметры ползучести.

Использование теории старения наиболее предпочтительно. В этом случае второй член в уравнениях (2) дает необратимую деформацию ползучести, что вполне согласуется с экспериментами [3]. В результате обработки лабораторных данных и натурных наблюдений за конвергенцией горизонтальных протяженных выработок круглого поперечного сечения определены параметры ползучести ядер (3), (4).

Согласно данным [3], соотношения линейной вязкоупругости (когда Р(/)=0) применимы при расчете мало заглубленных подземных сооружений, возводимых в соляных толщах. В этом случае задача упрощается в силу независимости поля напряжений от времени.

Нелинейность уравнений (2), которую необходимо учитывать при исследовании подземных сооружений глубокого заложения, значительно усложняет анализ напряженного и деформированного состояния, поскольку неизвестен вид функциональной зависимости напряжений от времени.

Задачи теории ползучести с физической нелинейностью не столь наглядны, как линейные, но и они в ряде случаев успешно решаются методом конечных элементов, что убедительно показано в монографии [4]. Метод конечных элементов распространяется на решение нелинейных задач с помощью метода упругих решений, описанного в монографиях. К наиболее распространенным итерационным схемам относятся так называемые методы переменных упругих параметров, начальных напряжений и деформаций, применение каждого из которых продиктовано соображениями удобства и мощностью ЭВМ.

Линеаризация физически нелинейных задач в методе переменных упругих параметров основывается на предположении о зависимости матрицы упругих постоянных от уровня достигнутой деформации:

[Б]е= [Б]/( е), (5)

где [В] - матрица упругих констант.

В задачах теории ползучести исследуемый промежуток времени дробится на малые интервалы, в каждом из которых матрица упругости корректируется по результатам расчета в предыдущем временном шаге на основе уравнения (5). Итерационный процесс продолжается, пока расчетные напряжения в двух соседних временных интервалах будут близки с заданной степенью точности. Метод переменных упругих параметров не экономичен с точки зрения затрат машинного времени: в каждом временном шаге заново строится матрица жесткости системы конечных элементов.

Метод начальных напряжений удобен, если уравнения механического состояния разрешимы относительно напряжений

о = /(е). (6)

В этом случае путем подбора начальных напряжений, сводимых к вектору начальных узловых сил, искомые значения напряжений определяются последовательным решением ряда задач линейной теории упругости. Итерационный процесс осуществляется следующим образом. Расчетный временной интервал вновь разбивается на необходимое число точек. При 1=0 решается краевая задача линейной теории упругости. По распределению упругих деформаций еу и согласно выражению (6) строятся начальное

поле напряжений и соответствующий ему суммарный вектор начальной узловой нагрузки Q1, затем устанавливаются поправки в результат первого упругого расчета. Для следующего временного шага процедура повторяется вновь, но с откорректированным полем напряжений. Итерационный

процесс прекращается, как только в двух смежных временных шагах напряжения станут достаточно близкими.

Метод начальных деформаций, во многом аналогичный процедуре начальных напряжений, применяется в случае разрешимости уравнений механического состояния относительно деформаций: е = /(о). В этом случае корректировка упругих решений осуществляется подбором начальных деформаций е0 .

Обратимся к вопросу сходимости метода упругих решений в задачах нелинейной теории ползучести. Математическое обоснование уравнений механического состояния нелинейной теории вязкоупругости предложено в работе [5]. Вводя гильбертовы пространства не, Hо функций Е( т), о(т), под которыми понимаются соответственно тензора деформаций е/(т) и напряжений огу( т), определенные на отрезке времени [0, г], и задавая нормы H е и H о в виде

г 1 г 2

||Е|| = (1е/ ( т )е/ (т )Ре (*’т М) 2 -• и = (1 оп (т )о/ (т )Ро (*’т М) 2, 00

где ре(г,т), ро(г,т) - положительные функции памяти, авторы показывают, что любые аналитические в окрестности нуля операторы ¥, Q, отображающие соответственно не на но и но на не о =¥(Е), E=Q(о), можно представить в виде рядов:

1 2г 2 (7)

р(-/8ц) =~ Яу(1) + 2(К(т>и(т)-/(т)ск ' ’

2^ 0

где

V гг

ГпеП = 1 ...1 Гп(г,т1п) Е(т1 )...Е(тп№%1 ..Ахп: 0 0

V гг

Кп оп = 1 ...1 Кп(г,цп) о(т1 )...о(тп)<$%1...с}%п. 0 0

Точность аппроксимации операторов Г, Q зависит от числа членов, сохраняемых в рядах (7) при замене бесконечных сумм конечными. Авторами получены условия, при которых операторы Г и Q взаимно обратны, причем обращение осуществляется методом сжатых отображений.

Рассмотрим уравнения механического состояния, связывающие компоненты девиаторов тензоров напряжений и деформаций и вытекающие из

(2), (4), в виде

Slj(l) _ 20- ¡¡(1) - 18ЛЗ3 (т-а• 2(т) ¡¡(т)<Л

0

(8)

и введем оператор Р

р(• ч^ч) _ ^ *4 (!) + 9В02/ К(т)• 2 (т)• Ї (т)№т. 20

(9)

0

где 0<0 <т<а, 0 < і <а,

22

3 ч ч К( т) =

интенсивность деформаций, а ядро

т а, 0<т<і 0 , т>і

Предположим, что 8ц(т), • ^(т) - элементы пространства С[0, а ] с

нормой

И,

тах | Ъ„ |. Известно [6], что операторы типа (9), определенные

0<т<а

на С[0, а ], дифференцируемы в этом пространстве по Фреше. В частности, производная по Фреше от Р определяется соотношением:

Р~ (• ц) = 90021т-ат)]■ ¡¡(,

V 0

где

/(•¡)_

~ 2 + 4 ~ 2 • _ •

• и + 3 • и, 1 _ ¡

~ 2 8 ~ 2

• и + 3 • ¡

при этом суммирование по I не производится.

Выделим в С[0, а ] шар Я • ц < г. Если в Я имеет место неравенство

Р~ (• ц)

< Ь , то для любых • 'и , • 1: є Я

и и

Р(^ ^Бц) -Р(•:Бц)

<Ь

-

¡¡ ¡¡

(10)

В силу условия (10) при Ь<1 оператор Р является сжимающим в Я, т.е. его неподвижную точку можно найти методом последовательных приближений, принимая за начальное нулевое приближение, удовлетворяющее неравенству [5]

\Р(0,5,,)£(1 - 1)г . (I1)

Определим условия, при которых Ь<1:

Р~ (• ц)

■ тах 0<т<а

9Б0 2 і К( т )/[• ц( т )] • ц( т )Эт

< 9Б0

/(• ц)

.1-а .1-а

1-----< 8Ш02г3 ----

1 -а 1 -а

Таким образом, Ь _ 81Б02г3 1

1 -а

1 -а

< 1, если

і <

1 -а

Ч8Ю2Бг3 ,

1-а

(12)

Для того чтобы удовлетворить (11), примем

||Бц I < 20(1 - Ь)г , (13)

предполагая, что условия (12), (13) выполнены, и используя (9), в результате второго приближения получим уравнение:

Б

1ц (і) _ -^ Б ц (і) + ^~ іт-ао2 (т)Б ц (т)йт,

(14)

20

20

23

где _ 2Б цБ ц - интенсивность напряжении.

Это уравнение в рамках упомянутого приближения обратно (8) и с той же точностью аппроксимирует реальный оператор, связывающий де-виаторы деформаций и напряжений.

0

В работе [7] исследована сходимость метода упругих решений для уравнений механического состояния вида

2

Бц(1) = ]Г(1 - т)■,,(т)* - }Гф(1 -т■2 )■,,(т>Л, (15)

0 0 где ядра разбиваются на сингулярную и регулярную составляющие:

Г(1) = Г 8(1) + Г(1); Гф(1) = Гф 8(1) + Гф(1).

При этом некоторая вектор-функция и называется обобщенным решением краевой задачи для области V с границей 5:

%./(и) + °,,(и) + = 0, (16)

Цб=0, (17)

если и удовлетворяет интегральному тождеству:

I [ (и) • у (^) + ¡1^1] = 0,

V

1

где !, = °,, + Г,- а ° = - .

Далее вводится скалярное произведение для некоторых дифференцируемых функций

= }• ц(и) • (18)

V

и ищется обобщенное решение в пространстве Н, которое получается замыканием по норме (18) множества дважды непрерывно дифференцируе -мых векторов-функций, удовлетворяющих (16). При этом метод упругих решений краевой задачи (16), (19) для уравнений механического состояния

(15) сходится к единственному решению, если уравнение х = IГ (1 -т )у( т )ёт

0

1

однозначно разрешимо в виде у = | К(1 -т )х( т )ёт, а функция

0

2

ф( • и ) и ядро Гф(1) таковы, что для любого 1 > 0:

0 <ф(^ и) <$(•

-

и и1

Г ф (і) < АГ (і) ,

причем Лц = q < 1, а начальное приближение выбрано из условия

• и 0 £ (1 - Лц)М, где М - константа, ограничивающая • 2 (• и £ М.

Уравнения (8) вытекают из (15), если в последних положить

0 ~ 0 2 2 ~

Г = 20, Г(1) = Гк= 0, ф(• 2 ) = • и и во втором интеграле вместо Гф(1 -т) ввести функцию Г (т) = 18003т-а.

Приведенная теорема о сходимости метода упругих решений распространяется на (8), а следовательно, и на уравнения (14). Если тах | • , | £ г, то

для удовлетворения неравенства (19) достаточно положить ц = 12г2. Тогда метод упругих решений для уравнений механического состояния (8), (14) сходится, если ц и начальное приближение и0 удовлетворяют неравенствам:

жений и деформаций, соответствующие параметрам упругости и ползучести каменной соли, обеспечивают выполнение условий (12), (13) и (20). За начальное приближение и0 принимается упругое решение.

1. Ержанов, Ж. С. Об оценке устойчивости формы осесимметричной полости в соляном массиве / Ж. С. Ержанов, Г. А. Аршинов, Э. И. Бергман // Известия АН КазССР. Сер. Физ.-мат. - 1974. - № 5.

2. Ержанов, Ж. С. Теория ползучести горных пород и ее приложения / Ж. С. Ержанов. -Алма-Ата : Наука, 1964.

0<т<і

Л< 10 3 ; • 2и(щ)<(1 -п)м .

(20)

В промежутке времени [0 - 8,7 103 ч] компоненты девиаторов напря-

Список литературы

3. Ержанов, Ж. С. Ползучесть соляных пород / Ж. С. Ержанов, Э. И. Бергман. - Алма-Ата : Наука, 1977.

4. Зенкевич, О. С. Метод конечных элементов в технике / О. С. Зенкевич. - М. : Мир, 1975.

5. Илюшин, А. А. Основы математической теории термовязкоупругости / А. А. Илюшин, Б. Е. Победря. - М. : Наука, 1970.

6. Люстерник, Л. А. Элементы функционального анализа / Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. - М. : Наука, 1965.

7. Победря, Б. Е. О сходимости метода упругих решений в нелинейной вязкоупругости / Б. Е. Победря // ДАН АН СССР. - 1970. - Т. 195. - № 2.