Эффективные по времени модули и интегральные неравенства для задач нелинейной вязкоупругости Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вычислительные технологии

Том 7, № 3, 2002

ЭФФЕКТИВНЫЕ ПО ВРЕМЕНИ МОДУЛИ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ

А. А. Светашков НИИ прикладной математики и механики при Томском государственном университете, Россия e-mail: [email protected]

A method for approximate solution of the boundary value problems for isotropic nonlinear viscoelastic bodies is considered. A method for obtaining time-effective integral estimates for the functional of potential energy of deformations and stresses is given.

Введение

Задачи нелинейной вязкоупругости (НВУ) возникают при расчетах напряженно-деформированного состояния конструкций из полимерных и композиционных материалов, для которых характерны следующие нелинейные свойства: отсутствие линейной пропорциональности между приращениями напряжений и деформаций, влияние вида напряженного состояния и т. д. Точное решение подобных задач сопряжено с определенными трудностями, связанными с необходимостью учета процессов как упругой наследственности, так и физической нелинейности. Известны следующие приближенные подходы: итерационные методы Б.Е. Победря [1], обобщенный принцип соответствия В. В. Колокольчикова [2, 3], а также некоторые другие подходы [4, 5].

В настоящей работе в соответствии с главной квазилинейной теорией вязкоупруго-сти [6] приводится приближенный алгоритм решения на основе эффективных и оптимальных модулей. Выражения для этих модулей выводятся из условий эквивалентности функционалов потенциальных энергий напряжений и деформаций исходной нелинейной вязкоупругой среды и некоторой упругой среды с модулями, являющимися функциями времени. Показано, что функционалы удельных потенциальных энергий напряжений и деформаций, рассчитанные на точных решениях, имеют двусторонние оценки, которые вычисляются через функционалы приближенных решений с эффективными модулями. Приведен численный пример.

© А. А. Светашков, 2002.

1. Вывод выражений эффективных модулей

Рассмотрим выражения главной квазилинейной теории вязкоупругости [6], для которой физические формулы имеют вид

ац(Ь) = Л*05г] + 2О*ег] - Г*(р(еи)егз). (1)

Здесь а^, е^ — тензоры напряжения и деформации; е^ = е^-1/305^, 0 = е^, г,] = 1, 2, 3, — символ Кронекера; Л*, О*, Г* — интегральные операторы наследственности, описывающие сдвиговую, объемную и нелинейную релаксацию; р(еи) — функция нелинейности;

г г

О*£г3 = ! Я(Ь - Т)(егз (т) = (Ь) - I Г^ - т)ег] (т)(т];

о о

г г

Л*0 = У П(Ь - т)(0(т) = Ло[0(*) - I Г2(Ь - т)0(т)(т]; (2)

оо г г

Г*(ре*,-) = J Г(Ь - т)([^(е„(т))е^(т)] = Го[<р(еи(Ь))ец(Ь) - J Гз(Ь - т)<р(еи(т))е^(т)(т]; оо Я(0) = Оо, П(0) = Ло, Г(0) = Го.

Функции релаксации Д(Ь), П(Ь), Г(Ь), ядра релаксации ГДЬ), г = 1, 2, 3, и упругомгно-венные модули Ло, Оо, Го определяются из эксперимента. Предполагается, что функция нелинейности удовлетворяет условию [1]

(р

0 < р(еи) < р(еи) + 2еи— < 1,

(еи

еи — , г,] — 1, 2, 3- (3)

Рассмотрим функционал удельной потенциальной энергии деформаций:

т

W = 1 агз(1)(ег], г,] = 1, 2, 3, (4)

о

который, как можно показать, является положительно-определенным при условиях (3) и

т

/ ёц(2О* - Г*)е^-(Ь > 0, г,] = 1, 2, 3. (5)

Функции релаксации К(Ь), П(Ь) и Г(Ь) доопределены в область отрицательных Ь: Я(Ь) = Я(-Ь) и т.д. Зададим среду сравнения с физическими уравнениями вида

а° (Ь) = \1(Ь)05ц + 2^1(Ь)ег^- - р^М^, (6)

где Лх, 01 (¿), 71 (¿) — функции времени, которые определим из условия энергетической близости функционала Ш и

т

Шо = а",, г,з = 1, 2, 3.

г] О

Положительная определенность функционала Ш0 обеспечивается введением функций Л(в, т), С(з,т), Г(в,т) по типу

^(т, в) = 2[^1(т)й(т - в) + 01 (г)^ - т)], Л(т, в) = 2[Л1(тЖт - в) + Л1 (в)Ь(в - т)],

Г(т, в) = 2[Т1(тЖт - в) + 71 (*)&(* - т)], (7)

где Л,(£) — функция Хевисайда. Тогда при условии

201 (*) > 71 (*) > 0 (8)

и при выполнении (3) функционал Ш0 ограничен снизу положительно-определенным функционалом Ш0 вида

т т

Ш > Шо ^ У [2С(з,т(^¿г, (т) +Л(в,т)^(т)^0(в) - Г(в, т(в)^," (т)] > 0.

00

Тогда имеют место неравенства

тШо < Ш < МШо. Константы т, М можно найти из решения экстремальных задач

т = шт Ш (¿г,), М = тах Ш (¿г,),

Шо(ёг,) = 1, Шо(ёг,) = 1. (9)

Перейдем от (9) к задаче на безусловный экстремум для Ш1 = Ш - ¡Шо и проварьируем Ш1 по ¿г,. В результате получим

т

= ^ [¿¿г] (аг] - ¡Т° ) + ¿г]¿(Тг] - ¡Т° = 0.

о

Последнее уравнение представляет собой интегральное тождество [7]. В силу произвола вариаций получаем две системы уравнений:

т, - ¡мт, = 0, ¿г, = 0, < г, з = 1, 2, 3 > . (10)

Рассмотрим нетривиальное решение, определяемое (10). В системе (10) имеет место симметрия по переменным £ц и £ij (i = j), тогда £ц = £, £ij = е и получаем

(K* - ^ki(t))0 = 0, (11)

[2G* - rV(e) - M(2g!(t) - ^(e„)7i(i)]e = 0, (12)

K * = Л* + 2/3G*, ki(t) = Ai(t) + 2/3gi(t),

en eij eij 6e , ец 0, 0 3е.

Приведем систему (11), (12) к положительно-определенному виду, умножив (11) на 0, а (12) — на е и проинтегрировав по t от 0 до T:

T т

j0K*0d0 je[2G* - FV(eM)]edt

0 0 /10ч

= -т-; = -т-• (13)

J0(t)0(t)ki(t)dt je(t)[2gi(t) - ^(e„)7i(t)]e(t)dt

00

Условие W0(£ij) = 1, входящее в (9), принимает вид т

J {0(t)0(t)ki(t) + 6e(t)e(t)[2gi(t) - 7i(t)p(e„(t))]}dt = 1. (14)

0

К системе уравнений (13), (14) относительно неизвестных 0, е и можно присоединить

уравнение

т т

= J aij(t)£ijdt = J [0K*0 + 6e(2G* - FV(e„))e]dt. (15)

00

Далее потребуем, чтобы условие (14) выполнялось для всех t £ [0,T], а также положим ^ = 1. С учетом разделения решений для по £ и е будем иметь

t

h(t) = J 6е(т)e(r)[2gi(r) - р(е„(т))7i(r)]dr,

0

-t

h(t) = J 6е(т)[2G* - Г*^(e„)]edr. (16)

0

Разность двух последних уравнений дает

gi (t) = G*e/e, Yi(t) = r*(^(eM)e)/^(eM)e. (17)

Учтем, что уравнению (16) удовлетворяет функция e(t) = e0h(t), е0 = const, тогда из (17) получаем искомое выражение эффективных модулей:

gi(t) = G*h, Yi(t) = r*h. (18)

Рассуждая аналогичным образом, запишем

к1Ц) = К *9/9о, (19)

где 0(Ь) удовлетворяет (14), в котором положено е = 0, причем 0(Ь) = в0к(Ь). Тогда

Ь(г) = К *к. (20)

Найденные выражения эффективных модулей нелинейной вязкой упругости в виде (18), (20) можно назвать модулями лагранжевого типа, поскольку они получены из сопоставления удельных потенциальных энергий соответствующих лагранжианов. Рассмотрим соотношения главной квазилинейной теории ползучести

егз (Ь) = Л*а + 201^3 + Щ(Ф(°и)8гз), (21)

К* = Л1 + 2/(3 01) = 1 / (9К *), 0\ = 1/(40*).

Здесь а = а^8гз; в^ = агз — 1/3а8з; Л*, 0*, Я* — операторы, описывающие линейную и нелинейную ползучесть и аналогичные по структуре операторам релаксации (2); ф(аи) — функция нелинейности, удовлетворяющая неравенствам [1]

0 < ф(аи) < ф(аи) + 2аи< 1. (22)

ааи

Вводя физические соотношения, в которых нелинейно вязкоупругие напряжения связаны с деформациями с помощью определяющих уравнений вида

4 (I) = \2(1)а8г] + 2д2 (1)агз + ф(еи)ъ(Ь)зг3, (23)

и формулируя задачу об энергетической эквивалентности функционалов потенциальных энергий напряжений

т т

Ф^У £гз <1ац, Фо = ^ £0 йац г,] = 1, 2, 3, о о

получим в результате решения следующие выражения для \2(Ь) = к2(Ь) — 2/3д2(¿), д2(Ь),

к2(1) = (К *-1к)-1, д2(г) = (0*-1к)-1, Ъ(1) = Я\к. (24)

Как видно из сопоставления (18), (20) и (24), выражение для имеет отличный от

к1(Ь), д-]_(Ъ) вид в силу того, что соотношения (1), (21) не являются взаимообратными. Заметим, что найденные эффективные модули к2(Ь), д2(Ь), 72(Ь) можно назвать модулями кастильянового типа.

2. Оптимальные эффективные модули

Найденные эффективные модули к1(Ь), д1(Ь), 71 (Ь) отражают эквивалентность функционалов удельных потенциальных энергий деформаций: Ш0 ~ Ш, а тройка модулей к2(Ь), д2(Ь), ^2(Ь) определена из условия Ф0 ~ Ф. Попытаемся найти д0(Ь), к0(Ь), 70(Ь), которые

удовлетворяли бы совместным условиям W0 ~ W, Ф0 ~ Ф. Для этой цели сопоставим соотношения в точках стационарности Wi и Ф1 = Ф — хФ0, где х удовлетворяет уравнению, аналогичному (15):

т

X = J е„, = 1, 2, 3. о

Из суммы (15) и последнего уравнения следует

^ + X = 0ij £ij •

Положим ^ = х =1 (условия эквивалентности функционалов W0 ~ W, Ф0 ~ Ф), тогда получаем соотношение

^ = х = 1 /2аij£ij = 1, i, j = 1, 2, 3. (25)

Возвращаясь к решению задачи относительно функций ki(t), gi(t), Yi(t) в виде (17), (20), найдем промежуточные функции e(t), e(í) из соотношения (25), которые с учетом eii = е, eij = e принимают вид

2[9еК *е + 12eG*e — 6Г*(^(е«))е] = 1. (26)

Теперь, полагая е = 0 в (26), получим следующую систему для определения e(t), Y°(t), g0(t):

g0(t) = G*e/e, Y0(t) = r*(^(eM)e)/^(eu)e,

2e(t)G*e — e(t)r*(p(e„)e) = 1/3. (27)

При e = 0 получаем систему для определения k0(t), e(t):

K * e 1

k0(t) = —^ = ^, e(t)K *e =1. (28)

Заметим, что в системе (28) введен нормирующий числовой множитель е =

Оптимальные эффективные модули (ОЭМ) линейно-вязкоупругого тела можно получить, положив Г* = 0, тогда

g0(t) = G* e/e = -¿L-, e(t)G* e = 1, (29)

e (t)

а вид k0(t) и в этом случае определяется (28).

Размерности полученных ОЭМ так же, как и размерности эффективных модулей (18), (20), (24), совпадают с размерностями соответствующих модулей сдвига, модуля объемного сжатия и нелинейного модуля. Действительно, найдем k0(t) при t = то. Из (28) получаем

1

е2(то)

K *h

к0(то) = K *h|í=c

t=<x

е2(0) = -^, k0(0) = K0.

K0

Соотношения (27) дают в t = то:

2G*h|t=^ — ^(eu(TO))r*h|í=^ = зе^ = 2g0 (то) — tV^M).

Отсюда, учитывая (3), (8), запишем = 7°(го) = Найденные д°(£),

к°(£), 7° (¿) можно назвать ОЭМ лагранжевого типа. Для определения ОЭМ кастильяно-вого типа достаточно решить задачу, аналогичную рассмотренной, для функционала Ф. Заметим, что для линейной вязкоупругости оптимальные эффективные модули в виде (27), (28) являются одновременно модулями лагранжевого и кастильянового типов.

3. Двухсторонние неравенства для функционалов потенциальных энергий

Рассмотрим разность удельных потенциальных энергий деформаций W — W0. Используем вольтеррову форму записи определяющих уравнений (1), (2), а также учтем выражения для эффективных модулей в виде (18), (20):

т t т t

W — Wo = У ¿¿,-(t)dt^ ri(t — т) [ej (t) — e^ (т)]dr + J K(t — т)[0(t) — 0(т)]dr—

0 0 0 0

T t

— J etj (t)dt У rs(t — т)[^(t)etj (t) — ф(т)ej (т)]dr. (30)

00

Здесь ^(t) = ^(eu(t)), K(t) = r2(t) + 2/3r1(t). Сумма двух первых интегралов всегда будет положительна, так как знаки разностей деформаций в квадратных скобках совпадают со знаками соответствующих скоростей деформаций 0(t) и ё^(t). Проанализируем, какой вклад дает последний интеграл в (30).

Из (3) и eu = ejej > 0 следует, что sign <^(t) = sign eu(t). Рассмотрим первый вариант распределения знаков: а) ф > 0, ¿¿j > 0, ej > 0. При этих условиях из (3) следует d

— ^(t)ej(t)) < eij(t) (суммируя обе части последнего неравенства, умноженные на ej > 0, получаем (3)), тогда

фСО^(t) — ф(т)eij(т) < eij(t) — eij(т)-

Подставляя последнее неравенство в (30) и учитывая (5), убеждаемся в том, что

W(¿ij) — W0(£ij) > 0. (31)

Тот же результат получим, проверяя остальные варианты соотношений знаков: б) ф > 0, ¿ij < 0, ej < 0; в) ф < 0, e^ > 0, ej < 0; г) ф < 0, e^ < 0, e^- > 0. Аналогичным образом проводя анализ разности функционалов удельных потенциальных энергий напряжений Ф — Ф0 с учетом (22), приходим к неравенству

Ф(^-) — Ф0) < 0. (32)

Эффективные модули (18), (20) и (24) помимо (6), (23) входят в нелинейно-упругие определяющие уравнения вида

4 (t) = Ai(t)01(t)iij + 2gi (t)e1j — ф^М^-,

¿2j (t) = A2(t)a2(t)iij + 2g2 (t)4 + )72(t)4. (33)

Здесь а], ¿], а = 1, 2 — компоненты напряженно-деформированного состояния, полученные из решений задач нелинейной упругости с модулями 0а(4), Ла(4), 7а (4); еЦ = ¿1¿1, аЦ = а2,а2,, (г,з = 1, 2, 3). Выразим из (33) эффективные модули через свертки девиаторов упругих напряжений и деформаций:

2ЛЙ - ^ й = ¡Щ| •

е2. (¿)е2. (4)

202(4) + Ф(аЦЬ(4) = ¡Щ,), ¿,3 = 1, 2, 3, (34)

к (/) а1 (¿^(¿) ^ (/) (¿2(4))2

к1(1) = 1ШГ, к2(4) = •

Подставляя (34) в (30), (32), получим

т г т г

[ ег,(4)^ / [Г1 (4 - т) - ^(еад(т))Гэ(4 - т)]еч(т)^т + / ¿(4)^ / - т)0(т)йт-

т г т г

- / ег, ^ / [е^ЕШег, (т)^т -/ ш] да¿(т)*т > 0, (35)

о о о о

г,3,М = 1, 2, 3,

т г т г

J ¿г,[Р (4 - т) + ф(ащ(т))Рз(4 - тЖ,(т)^т + I ¿(4)^ - т)а(т)Лт-0 0 0 0 т г т г

- / %^ / е|(т)ек;С) е«(т- /-т/ ¿^¿^а(т)*т < 0, (36)

о о о о

г,3,М = 1, 2, 3.

Здесь Рг(4), г = 1, 2, 3, — соответственно ядра сдвиговой, объемной и нелинейной ползучести, через которые можно выразить операторы Л^, С^, Р^, входящие в (21); к2(4) = Р2(4) + 2/3Р1(4).

Таким образом, неравенства (35), (36) дают двухсторонние оценки для точного решения задачи нелинейной вязкой упругости, определяемого ег,(4), в,(4), ¿(4), а(4) через соответствующие свертки девиаторов , е, и аа, ¿а (а = 1, 2) приближенных нелинейно-упругих решений, которые могут быть получены из расчетов с упругими модулями Ла(4), 0аСО, 7«(4).

4. Расчет нелинейного вязкоупругого цилиндра

В качестве примера рассмотрим точное и приближенные решения для несжимаемого цилиндра, находящегося под действием внутреннего давления Р(4). Аналитическое решение

данной задачи приведено в [8]. Определяющие уравнения взяты в однопараметрическом виде

(¿) = ) = 2 Со

(г) - Я(г - т)^(е„(т))вгу(т)^т

(37)

(р \п

в^ , В = Со/3, п € [0.1, 0.5].

Решение указанной задачи в одномерной постановке при граничных условиях

аг (а) = — р(г), (Ь) = 0,

где а, Ь — внутренний и внешний радиусы цилиндра, дается формулами

аг (г, г) = о> (г)р(г), г) = 0>(г)р(£),

(Ь-7 — г-7) (Ь-7 — (7 - 1)г-7)

^(г) = -г—), МО = (Ь , (7 , , ), 7 = 2(п +1) (38)

^ у (а-7 — Ь-7) ^ у (а-7 — Ь-7) ^ у ^ у

(г — радиус цилиндра). Деформации ег, е^ определяются через функцию С (г):

ег (г, г) = — е^(г, г) = —С (г)/г2, ег = 0, еи = ^С/г2

С(0 = (Сог*-1р)1/("+1>, Со = ^■ = (. да

Найдем разность удельных потенциальных энергий деформаций, выраженную через компоненты напряженно-деформированного состояния. Имеем

г

^ — ^о = г2+7(а-7 — Ь-7) / (р(г) — 71(г)г*-1р)^С(^

о

где 71 (г) = Г* Л, — эффективный модуль лагранжевого типа. Пользуясь известным [9] неравенством для функций материала

Г*ЛГ*-1Л < 1,

получаем справедливость > Ж0.

Аналогичным образом представим разность удельных потенциальных энергий напряжений Ф — Ф0:

г

Ф — фо = ^ ^ / (С (г) — С2(г)Жг),

о

где С2 (г) определяется по (39) при замене Г*-1р на рГ*-1Л:

С2(г) = (Сор(г)г*-1л)1/(п+1). (40)

С учетом выражения для С (г) убедимся, что Ф < Фо .

г

Пару приближенных решений найдем, используя эффективные модули да(£): $1 (¿) = Г*Л,, д2(£) = (Г*-1Л,)-1. В результате получим

™ = (с. т р.

а функция С2(£) дается (40). При этом согласно (38) вязкоупругие напряжения совпадают с упругими.

Рассчитаем приближенное решение с ОЭМ лагранжевого типа 7оь(£). Из (27) получаем с учетом определяющих уравнений (37):

Ъь(Ь) = , е(*)Г*(^(е„)б) = 1, (41)

где еи выражается через неизвестную функцию е(£)

еи = ^(еи) = хе™, X = ( "В6

п

С учетом последних соотношений систему (41) приводим к виду

= зхе^ • еГ* <е'+п> = (42)

После решения системы (42) С^ор;(£) определялось по формуле

/СоР (¿Л 1/(п+1)

V 7оь(£) У

Числовой пример рассчитывался для полиэпоксидиенуритана [8] при следующих значениях констант: О0 = 40 кг/см2, п = 0.5, а =1 см, Ь = 5 см, Д(£) = Ле-в*, Л = 0.45 мин-1, в = 0.15 мин-1 и с учетом закона изменения нагрузки Р(¿) во времени Р(£) = РоДо[* + (¿о - ¿Ж* - ¿о)], где Ро = 50 кг/см2, ¿о = 17.5 мин.

На рис. 1 показано изменение окружных деформаций во времени: £^(£) соответствует аналитическому решению; ££(£), а = 0,1, 2, — приближенные решения, рассчитанные с модулями 7оь(^), 71 (¿), 72(¿). Рис. 1 соответствует нелинейному случаю (п = 0.5), рис. 2 — линейному (п = 0). Здесь кривые 1, 3, 4 — деформации, рассчитанные соответственно по

71 (¿), 72(¿), 7оь(£), кривая 2 — точное решение. Из анализа графиков видно, что приближенные решения с разной степенью точности аппроксимируют аналитическое решение, при этом в моменты £ = 0, то все четыре решения совпадают. На рис. 3 показано изменение во времени эффективных модулей: кривая 1 — 7оь(£), кривая 2 — 71 (¿), кривая 3 —

72 (¿). Расчет неравенств для функционалов удельных потенциальных энергий деформаций и напряжений проиллюстрирован на рис. 4, здесь кривым 1 - 4 соответствуют функционалы потенциальных энергий Шо, Ш, Ф, Фо во времени. Из графиков видно, что неравенства (31), (32) выполняются для нелинейного решения (п = 0.5), аналогичный результат будет и для случая линейного вязкоупругого решения (п = 0).

0.5

—£(f, % 1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

/

0.4

0.3

0.2

0.1

У/

Z7

10

20 , 30 0

г, мин

10

20 , 30

I, мин

Рис. 1.

Рис. 2.

g, кг/см2 80

60

40

Y\У;

W, кг/см2 5

/

< /

41 Г/ /

L

/ ///у

У

10 20 . 30 О

Í, мин

10 20 . 30

t, мин

Рис. З.

Рис. 4.

Выводы

1. Получены выражения эффективных по времени и оптимальных модулей, с помощью которых найдены приближенные решения краевых задач НВУ.

2. Найдены двухсторонние интегральные оценки для функционалов удельных потенциальных энергий напряжений и деформаций, рассчитанных на точных решениях краевых задач НВУ, через функционалы, связанные с приближенным и нелинейно-упругими решениями.

3. Приведен численный пример расчета несжимаемого НВУ цилиндра из эпоксидиену-ритана.

4. Методика формулировки эффективных модулей и построения двухсторонних интегральных оценок функционалов точных и приближенных решений может быть без труда обобщена на случаи других вариантов задания НВУ свойств полимеров.

Список литературы

[1] ПоБЕдря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1995. 366 с.

[2] Колокольчиков В. В. Принцип соответствия и метод аппроксимации для нелинейных наследственных сред // Механика полимеров. 1971. №1. С. 66-73.

[3] Колокольчиков В. В. Смешанные сверточно-суперпозиционные ряды при решении интегральных уравнений нестабильной вязкоупругости // Докл. АН СССР. 1980. Т. 252, №4. С. 829-831.

[4] Нетребко В. П., Лучников М. А. Метод последовательных приближений в задачах нелинейной вязкоупругости // ПМТФ. 1981. Т. 17. №3. С. 23-30.

[5] Ермоленко Г. Ю. Принцип соответствия краевых статических задач нелинейной вязкоупругости со старением краевым задачам теории упругости // ПМТФ. 1998. Т. 39. №4. С. 155-161.

[6] Ильюшин А. А., ПоБЕдря Б. е. Основы математической теории термовязкоупру-гости. М.: Наука, 1970. 280 с.

[7] Розин Л. А. Задачи теории упругости и численные методы их решения. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1998. 532 с.

[8] Кузнецов Г. Б. Упругость, вязкоупругость и длительная прочность цилиндрических и сферических тел. М.: Наука, 1979. 112 с.

[9] Буглков И. И. Ползучесть полимерных материалов. М.: Наука, 1973. 287 с.

Поступила в редакцию 20 июля 2001 г.