Оценка погрешности расчетов напряженно-деформированного состояния линейно-вязкоупругих тел с эффективными по времени модулями Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.376

Оценка погрешности расчетов напряженно-деформированного состояния линейно-вязкоупругих тел с эффективными по времени модулями

А.А. Светашков, Н.А. Куприянов

Национальный исследовательский Томский политехнический университет, Томск, 634050, Россия

Рассмотрен энергетический подход для определения эффективные по времени характеристик вязкоупругих тел. Суть данного подхода в формулировке и решении вариационных задач о максимальной энергетической близости функционалов уцельнык потенциальных энергий напряжений и деформаций исходной вязкоупругой среды и среды сравнения, определяющие уравнения которой содержат искомые эффективные характеристики. Решение двух указанных задач позволяет получить эффективные по времени характеристики, аналогичные по своему смыслу эффективным модулям Фойгта-Рейсса, широко известным в механике композиционных материалов. На основе постановки и решения вариационной задачи относительно функционалов плотностей потенциальных энергий вязкоупругого тела и тела сравнения получены новые эффективные по времени характеристики, которые при расчетах напряженно-деформированного состояния дают более точное совпадение компонент напряжений и деформаций с аналитическими решениями.

Найдены оценки погрешности приближенных решений с новыми эффективными по времени модулями, позволяющие рассчитать величины отклонений приближенных перемещений, деформаций и напряжений от их точных аналогов.

Ключевые слова: эффективные по времени модули, напряжения, деформации, перемещения, энергетическая эквивалентность, удельная потенциальная энергия, скалярное произведение, неравенство

Estimation of the calculation error for stress-strain states of linear viscoelastic

solids with time-effective moduli

A.A. Svetashkov and N.A. Kupriyanov

National Research Tomsk Polytechnic University, Tomsk, 634050, Russia

The paper considers an energy method for determination of the time-effective characteristics of viscoelastic solids. The methods consists in formulating and solving variational problems of maximum equivalence of specific potential energy functionals of stress and strain in an initial viscoelastic medium and a reference medium whose constitutive equations contain the desired effective characteristics. The solution of the two problems makes it possible to obtain time-effective characteristics similar in meaning to the Voigt-Reuss effective moduli well known in mechanics of composite materials. In stress-strain state calculations, the time-effective characteristics obtained from the problem solution for potential energy density functionals of the viscoelastic and reference solids give stress and strain components that are in close agreement with those in analytical solutions.

The error of approximate solutions with the derived time-effective moduli is estimated and allows calculations of the deviations of approximate displacements, strain, and stress from their exact values.

Keywords: time-effective moduli, stress, strain, displacements, energy equivalence, specific potential energy, scalar product, inequality

1. Введение

Задачи расчета напряженно-деформированного состояния вязкоупругих материалов и конструкций являются составной частью механики деформируемого твердого тела наряду с задачами теории упругости и пластичности. Многообразие физических процессов нагружения и разрушения естественных и искусственных

материалов (полимеров, пластмасс, полимерных композиционных материалов, твердых ракетных топлив, бетонов, грунтов, горных пород и др.) диктует необходимость поиска эффективных математических методов идентификации механических свойств и расчета конструкций. Основная особенность поведения вязкоупругих материалов — зависимость напряжений и деформаций

© Светашков A.A., Куприянов H.A., 2011

от истории изменения во времени силовых и температурных нагрузок.

В качестве основной математической модели описания реономных свойств принимается теория наследственной механики твердого тела.

Основополагающие работы по наследственной упругости были сделаны В. Вольтеррой и Л. Больцманом [1, 2]. Общий вид определяющих (или физических) уравнений может быть представлен в форме некоторого функционала

ау (г) = фу [% (тХ Т(т)]Т=0-

Здесь а у, е ш — напряжения и деформации; Т — температура; Фу------функционал, замыкающий систему урав-

нений наследственной упругости (или вязкоупругости).

Проблема построения той или иной модели деформирования сводится к идентификации механических свойств материала путем выбора конкретного вида функционала Фу.

Основополагающим методом решения краевых задач вязкоупругости является метод, основанный на принципе Вольтерры [2]. Данный принцип опирается на тот факт, что интегральные операторы упругой наследственности нестареющих материалов являются коммутативными. Другим условием применимости принципа Вольтерры является свойство коммутативности операторов дифференцирования по пространственным координатам и операторов упругой наследственности. Позднее условия применимости принципа Вольтерры были дополнены условиями неизменности во времени объема V, занимаемого телом, и его границы 51 [3].

Согласно данному принципу решение задачи линейной вязкоупругости можно получить из решения соответствующей задачи теории упругости, в котором упругие константы нужно заменить операторами упругой наследственности (например упругий модуль сдвига заменить на оператор G* и т.д.). Далее необходимо провести расшифровку упругого решения, т.е. привести полученные операторные функции к виду, удобному для расчета их воздействия на заданные функции времени. В качестве последних могут выступать объемные и поверхностные нагрузки, граничные перемещения или их некоторая комбинация.

Сдерживающим фактором в применении принципа Вольтерры является, как правило, неявный характер зависимости упругого решения от материальных констант. Явная зависимость присутствует лишь в ограниченном количестве упругих решений, найденных в аналитическом виде. Большинство же решений краевых задач упругости может быть получено лишь в численном виде, и проблема выделения их зависимости от материальных констант становится трудноразрешимой.

Еще одним известным методом решения задач линейной вязкоупругости является метод аппроксимаций Ильюшина [2, 4]. Идея метода состоит в определенном

способе аппроксимации зависимости упругого решения от материальных констант. Последующая расшифровка и переход к вязкоупругому решению осуществляется на основе стандартных процедур. Оценки погрешности данного метода были получены позднее и приведены в

[5, 6].

2. Вывод выражений оптимальных по времени модулей линейной вязкоупругости

В [7-9] были найдены эффективные по времени модули лагранжевого и кастильянового типов. Установлено, что для изотропного линейно-вязкоупругого тела существуют две пары эффективных по времени модулей, соответствующие модулям сдвига и объемного сжатия. Выражения эффективных модулей получены из условий максимальной энергетической близости функционалов удельных потенциальных энергий напряжений и деформаций двух сред:

1. Среда с определяющими уравнениями линейной теории вязкоупругости изотропного тела:

ау(г) = Л*68у + 2G*е1], /, ] = 1,2,3. (1)

Здесь ау, £у — тензоры напряжений и деформаций; 6 = еу8у (/', у = 1, 2, 3) — объемная деформация; Л*, О* — материальные операторы объемной и сдвиговой релаксации:

Л 6 = Л

6(г) + /Л(г -т) 6(т)*:

ну (0 + 1О(г — т) еу СТЫт

Л0, О0 — упруго-мгновенные модули; Л(г), О (г) — функции объемной и сдвиговой релаксации;

61, i = 7,

— символ Кронекера.

8у =

[0, i * у,

2. Среда с определяющими уравнениями в виде закона Гука с модулями, зависящими от времени:

а0 (г) = Х(г) 6(г) 8у + 2 ё (г) е,- (г).

(2)

Функционалы удельных потенциальных энергий деформаций для сред с определяющими уравнениями (1) и (2) имеют вид:

Щ(еу ) = 1ау (г) е у (t)dt,

(3)

(4)

Щи (еу) = /а° (г) (г)dt, и у =1,2,3.

0

По индексам i, j проводится суммирование.

Функционалы удельных потенциальных энергий напряжений для сред (1), (2) будут

^2(а1у ) = ]% (г) ау (0^

0

^,2 (ау) = Iе0 (г) ау (г) dt, ^ ] = 1,2,3

0

(5)

(6)

Здесь еу (г), еу (г) задаются из разрешенных относительно деформаций физических уравнений (1), (2):

еу (г) = Л*а§у + 2О*ау, еУ (г) = ^ (г) а8у + 2 gl(t) ау,

где Лх, О1 — упруго-наследственные операторы ползучести:

г

Л* а = IП1 (г — т) а (т) dт,

0

О*ау =1п(г—т)ау(т) dт,

0

П1(0) = -^, п(0) = 1

Л„' ' ' 2О0 а = ау 5у, и у = 1,2,3.

Здесь п1(г), п(г) — функции объемной и сдвиговой ползучести, определяемые из испытаний на ползучесть.

В силу положительной определенности функционалов (3)—(6) существуют такие положительные константы та, Ма (а = 1, 2), что выполняются неравенства

(еу) < ^ (еу) < М1Щ)1(е0.), (7)

т2Ж02 (ау) < Ж2 (ау) < М2^ (ау). (8)

Эффективные по времени модули лагранжевого типа gL(t), к^г) находятся из решения вариационной задачи о максимальной энергетической близости функционалов Щ(егу)~ Щ)1(егу), а эффективные по времени модули кастильянового типа gC(t), кс(г) — из решения соответствующей задачи для функционалов W2 (ау) ~ ~ W02(аІJ■). Пару эффективных по времени модулей gL(t), kL(t) можно назвать также аналогом эффективных модулей типа Фойгта для вязкоупругих тел, а gс (г), кс (г) — соответствующим аналогом эффективных модулей типа Рейсса [7].

Докажем, что существует пара других эффективных по времени модулей, которые будут общими решениями для двух сформулированных вариационных задач — одновременно удовлетворять условиям энергетической эквивалентности функционалов удельных потенциальных энергий деформаций и напряжений: Щ(егу) ~ Ж01(еу) и W2 (ау) ~ W02 (ау). С этой целью сопоставим соотношения в точках стационарности функционалов вида:

W (еу) = Щ(е1у) — цЖ01(еу),

Т(ау) = Щ(ау ) — XWo2(ау ).

Пусть в результате решения вариационных задач на безусловный экстремум:

8И7

(е«} = &“ 5е»= 0,

8Т(ау) = ^0“= 0 у = 1’2’3>

(9)

(10)

Поскольку ц, х есть значения функционалов W1(еlу), W2 (ау) в точках стационарности W, Т [10], то мы можем записать

Т Т

Ц = I ау (г) еу (г) ёг, х = 1 еу (г) ау (г) dt, I, у = 1,2,3.

00 Сумма двух последних соотношений дает

Ц + Х = ау(Т) еу(Т), и у = 1,2,3. (11)

При условии выполнения та = Ма = 1, а = 1, 2, получаем максимальную энергетическую близость W0а ~ ~ Wа. Полагая ц = х = 1, получим из (11)

Ц = Х = 25у (Т)еу (Т) = 1, I, у = 1, 2,3.

(12)

Поскольку решение одной из вариационных задач (9) дает лишь две независимых экстремали (компоненты тензоров деформаций или напряжений), при которых (еу) или Т(ау) принимают стационарные значения, например

е(г) = ей (t), е(г) = еу (t), I * у; (13)

то выражение свертки напряжений и деформаций

1 —(

2

может быть записано через деформации в виде:

W(еу) = —ауеу, ^ у = 1,2,3

W = -2 [9е(г) К *е+12е(г) О*е] = 1.

(14)

При условиях (13) система шести уравнений (9) дает два независимых уравнения

(О* — ц^г))е = 0, (15)

(К * — цк (г ))е = 0. (16)

Здесь введены оператор К =Л +2/3 О и модуль объемного сжатия к (г) = Х(г) + 2/3 g (г), зависящие от времени. Уравнения (15), (16) не могут выполняться одновременно, поэтому положим е = 0, тогда из (16) при ц = 1 следует К*е

к (г) = —. (17) е(г)

Из (14) при е = 0 имеем 9

—е(г)К е = 1. (18)

Введем в последнем интегральном уравнении нормирующий числовой множитель и положим

е'(г) = ^—е(г).

Поскольку при расчете к(1) по (17) данный числовой множитель несущественен, примем систему для определения Ц/) в виде:

к (г) = , е(г) К *е = 1.

е(г)

(19)

Аналогичным образом найдется g(t). Положим в (16) е = 0, тогда, учитывая ц = 1, получим

найдены выражения для ц, х. По индексам i, j, заключенным в угловые скобки, суммирование не производится.

, ч О е g(г) = ~Т,Л, е(г)

e (t) =-

а из (14) по тем же соображениям при условии введения нормирующего множителя по типу е(г)

■\[6 следует

е(г)О*е = 1. (21)

Эффективные по времени модули Щ), g(t) будем называть оптимальными эффективными модулями и обозначать к0(г), g0(г). Методика их определения следующая: решая соответствующие интегральные уравнения

е(г) К*е = 1,

е(г )О*е = 1,

находятся функции времени е(^, e(t). Затем рассчитываются к0 (г) и g0(t) по (17), (20).

Найденные эффективные оптимальные модули обладают следующими свойствами:

а) положительно определены для t > 0;

б) имеют размерности, соответствующие размерностям модулей объемного сжатия и сдвига;

в) в моменты t = 0, t = они совпадают с соответствующими упруго-мгновенными и длительными модулями К), О0 и К^, О^;

г) не зависят от закона изменения граничных нагрузок во времени;

д) не зависят от вида аппроксимации материальных функций релаксации и ползучести.

Уравнения (19)—(21) имеют определенную физическую интерпретацию. Действительно можно записать:

к0 (г) е2 (г) = е(г) К *е, g0 (г) е2 (г) = е(г) О*е.

Левые части приведенных равенств есть удельные потенциальные энергии упругого тела, расходуемые на изменение объема и формы, правые части соответствуют аналогичным энергиям для линейно-вязкоупругого тела.

3. Оценки для функционалов удельных потенциальных энергий

Решения задач вязкоупругости, получаемые с помощью эффективных по времени модулей, носят приближенный характер. Для определения степени погрешности (отклонения от точного решения), вносимой использованием приближенных физических величин типа (2), необходимы оценки вида:

т\ а7 (г) ёеу (г) < I ау (г) ёеу (г) <

< M^(t)d£j.(t), І, j = 1,2,3.

(22)

Здесь М > т > 0 — некоторые константы; ау — напряжения с модулями к0 (г) и g0 (г); Т — граница временного интервала, на котором отыскивается решение.

Задача определения т, М может быть сформулирована следующим образом: при найденных посредством (19), (20) значениях функций оптимальных эффектив-

ных по времени модулей найти значения констант т, М, входящих в неравенство (22).

Ход решения поставленной задачи во многом повторяет рассуждения, проведенные при выводе выражений оптимальных эффективных модулей. Приведем основные уравнения без подробных выводов.

Будем использовать тот факт, что выражения оптимальных модулей можно получить из решения вариационной задачи для функционала, составленного из сверток напряжений и деформаций, соответствующих точному и приближенному решениям. Вместо определения т, М из (22) достаточно рассмотреть задачу нахождения этих же констант из неравенств

та”1^ < ауеу < Ма, I, у = 1, 2,3. (23)

Составляя функционал

# (еу) = W (еу) ^(еу),

Wo(еу) = аГеу, Ь ] =1,2,3, и формулируя условия его стационарности, получим систему уравнений типа (15), (16)

(О* —ц °(г)) е = 0, (24)

(К * — цк 0(г)) е = 0. (25)

Кроме (24), (25), необходимо, чтобы выполнялось условие нормировки

3к0 (г) е2(г) +12 g0(t) е2(г) = 1. (26)

Уравнение (24) совместно с (26) при е = 0 дает реше-

ние

= G* e

Ці g0(t) e(t),

e(t) = ■

(27)

В последнем соотношении отброшен числовой множитель, не существенный для расчета ц1 по первой формуле (27) е (г) = 1/(2л/3) е(г). Таким образом, получаем

^1 =-

4g0(t) Vg”

Совершенно аналогично рассуждая, находим

1 г* 1

М-2 = . K

(28)

(29)

Следовательно, константы m, M, входящие в неравенство (23), определяются как

m = min (ц,, ц2), M = max (ц,, ц2).

t е[0, T ] t е[0, T ]

Легко видеть, что если объемная релаксация отсутствует: K* = K0 = const, к0(t) = K0, то на основе (29) получаем ц2 = 1.

4. Оценки погрешности приближенных решений с оптимальными эффективными модулями

Сравнительные оценки функционалов удельных потенциальных энергий в виде неравенств (22), (23) еще недостаточны для определения степени близости точного решения задачи линейной вязкоупругости и при-

ближенного, полученного с помощью оптимальных эффективных модулей g0(г) и к0(г). Для отыскания более строгих оценок расхождения приближенных и точных решений рассмотрим вариационную формулировку краевой задачи.

Введем в рассмотрение пространство функций и( х), г( х), квадратично интегрируемых в области п = V х[0, Т]. Скалярное произведение и соответствующая ему норма будут иметь вид:

Т

(Н V)12(п> = I и ь ^ = 11 и ь &

п 0 V

1Ни>=(u, и )/!(п).

Здесь Т — граница временного интервала, на котором рассматривается решение краевой задачи.

Вариационное уравнение [11]

| а у (Н) Ь&у ёп = | р р 8Нг- ёп +

п п

+ |б;0 8Нг- ёХ, I, у = 1,2,3, (30)

дает обобщенное решение краевой задачи линейной вязкоупругости:

(^укеике),у + рР1 = 0, и' |г = и' , ау (и) пу |Г = .

1 ^2

Здесь и0, ^г° — заданные на границе тела Г1, Г2 перемещения и усилия, Г1 и Г2 = Г, где Г — граничная поверхность тела с объемом V, Х1 = Г1 х[0, Т]; п — направляющие косинусы нормали к поверхности Г; р — компоненты вектора объемных сил; р — плотность материала; В**ке — тензор-оператор в общем случае анизотропного вязкоупругого тела, представленный через тензор материальных функций релаксации в виде:

Т

Д*ке = 1 у(г—т)ё ке СО*,

0

Щке (0) = Щке,

Щке — тензор постоянных упругости анизотропного тела, обладающий известными свойствами симметрии [1].

Рассмотрим итерационный процесс решения вариационного уравнения (30):

|ау (Нп+1)8егу(V )ёп = п = 1 [а0 (Нп) — Ра у (Нп)] е у (^п +

, і, j = 1,2,3. (31)

+ р |Р Р ч ^+| ^^ п .

Здесь п — номер итерации, п = 0, 1, ...; в > 0 — константа, выбираемая из условия наилучшей сходимости [12]. Напряжения а0 связаны с деформациями еу по закону, отличному от определяющих уравнений, связы-

вающих а у и е^. В частности, можно положить а у определенными по (2).

Назначение а0у в левой части вариационного уравнения (31) заключается в возможности уйти от необходимости учета всей истории изменений деформаций во времени. Однако проблема учета данной истории неизбежно возникает при решении вариационного уравнения (30).

Итерационный процесс (31) является сходящимся, скорость его сходимости определяется неравенством [6]

|мя+1 - и *|| < ?Я+1|| и 0 - и *|| , п = 0,1,...,

(32)

М - т М + т

где и — точное решение (30), т, Мвходят в оценки, которые могут быть получены интегрированием по объему V неравенств (23). В результате получим

т||и||0 <||и||2 <М||м||0.

(33)

Здесь нормы, входящие в (33), образованы скалярными произведениями:

(Н V)0 =11 [а0- (Н) еу (V) + а0- (V) еу (Н)] ёП,

2п

1 (и, V) = -1 [а у (и )е у (V) + а у (V )е у (и)] ёП,

2 п

I, у = 1, 2, 3,

II—1|2 — — II—1|2 — —

||н||0 = (и, и)0, ||и|| = (и, и),

а неравенства (33) можно рассматривать как условия эквивалентности соответствующих норм.

Теперь на основе неравенств (32) мы можем найти оценку погрешности приближенного решения с оптимальными эффективными модулями. Действительно, положим начальное приближение равным нулю, Н0 = 0. Тогда для первого приближения получаем оценку

и -и < щи

(34)

Учтем, что при и 0 = 0

а°- (Н0) = а у (Н0) = 0.

Тогда согласно (31) получаем, что первое приближение есть решение вариационного уравнения при в = 1:

14 Н )еу(V )ёп =

п

= |рРъ ёп + | Б'&

п х

Последнее уравнение с точностью до обозначений совпадает с вариационным уравнением (30), в котором

вместо тензора-оператора ау стоит тензор-оператор

0 ' ау, связь которого с деформациями еу определяется

посредством физических соотношений (2) с оптимальными эффективными по времени модулями.

5. Выводы

Полученные аналитические выражения для пары оптимальных эффективных по времени модулей позволяют находить приближенные решения краевых задач линейной вязкоупругости.

Дана оценка степени близости функционалов удельных потенциальных энергий для точного и приближенного решений.

Найдены оценки погрешности для перемещений точного и приближенного решений краевой задачи.

Литература

1. Адамов А.А., Матвеенко В.П., Труфанов Н.А., Шардаков И.Н. Ме-

тоды прикладной вязкоупругости. — Екатеринбург: УрО РАН, 2003.— 411 с.

2. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термо-вязкоупругости. — М.: Наука, 1970. — 280 с.

3. Громов В.Г. О математическом содержании принципа Вольтерра в граничной задаче вязкоупругости // ПММ. — 1971. — Т. 35. — № 5. — С. 869—878.

4. Ильюшин А.А. Метод аппроксимаций для расчета конструкций по линейной теории термовязко-упругости // Механика полимеров. — 1968. — №2. — С. 210—221.

5. Мальцев Л.Е. Оценки погрешности решения вязкоупругой задачи по методу аппроксимаций // Механика полимеров. — 1977. — №5.— С. 804—811.

6. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. — М.: Изд-во МГУ, 1981. — 343 с.

7. Светашков А.А. Определение эффективных характеристик неоднородных вязкоупругих тел // Вычисл. технол. — 2001. — Т. 6. — №2 1.— С. 52—64.

8. Светашков А.А. Эффективные по времени модули линейно вязкоупругого тела // Мех. композ. матер. — 2000. — Т. 36. — № 1. — С. 59—70.

9. Светашков А.А., Куприянов Н.А. Применение энергетического метода к определению эффективных по времени модулей линейной вязкоупругости // Физ. мезомех. — 2010. — Т. 13. — №2 3. — С. 69—73.

10. БеллманР. Введение в теорию матриц. — М.: Наука, 1976. — 352 с.

11. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. — М.: Наука, 1977. — 383 с.

12. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 591 с.

Поступила в редакцию 01.11.2010 г., после переработки 31.01.2011 г.

Сведения об авторах

Светашков Александр Андреевич, д.ф.-м.н., снс, проф. ТПУ, svetashkov@tpu.ru Куприянов Николай Амвросьевич, к.т.н., доц., доц. ТПУ, kupr88@gmail.com