К вопросу о численном решении задачи о неустановившейся ползучести Текст научной статьи по специальности «Математика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГ И

Том XIX 1988

№ 2

УДК 539.376

539.376:624.071.3

К ВОПРОСУ О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ О НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ

С. П. Барба

В работе предлагается две модификации метода упругих решений применительно к задаче о неустановившейся ползучести, описываемой теорией течения.

Линейные задачи, возникающие при исследовании упругих конструкций, являются основой многих инженерных теорий, поэтому наиболее простой путь решения нелинейных задач состоит в том, чтобы линеаризовать исходные уравнения относительно отклонений от начального приближения и далее последовательно решать линейные задачи до тех пор, пока итерационный процесс не сойдется [1Ц. Существующие в теории пластичности методы линеаризации, обзор которых содержится в работе [2], можно разделить на две группы [3]. К первой группе относятся методы, основанные на идее метода Ньютона. Во второй группе методов процедура решения задачи строится аналогично методу Ньютона-Канторовича. При использовании методов второй группы на итерациях каждого шага по нагружению упругие параметры не изменяются. Другим достоинством методов второй группы является возможность использования более крупных (по сравнению с методами первой группы) шагов по нагрузке [3].

Ко второй группе относится широко используемый (особенно в инженерных расчетах) метод упругих решений [4]. Развитию и обобщению этого метода посвящены работы [5—9 и др.]. Важная роль метода упругих решений связана не только с простотой его применения. Существует ряд теорем, позволяющих ответить на вопросы о существовании и единственности решения, сходимости и скорости сходимости итерационного процесса [5, 8—11 и др.].

Одно из основных преимуществ метода упругих решений заключается в том, что задача пластичности сводится к последовательности линейных задач для упругого однородного тела. Аппарат решения таких задач наиболее развит. Большинство итерационных методов обычно основывается на решении линейных задач для неоднородного тела (метод переменных параметров упругости, метод Ньютона — Рафсона и др.).

В данной статье приводятся две модификации метода упругих решений применительно к задаче о неустановившейся ползучести, описываемой теорией течения [12]. Первая модификация во многом аналогична методу вязко-упругих приближений [6, 7], согласно которому задача ползучести сводится к последовательности линейных задач для вязко-упругого тела. Методы теории линейной вязко-упругости достаточно развиты [13, 9 и др.], но их применение часто сопряжено со значительными трудностями. Модификация метода упругих решений, рассмотренная в данной статье, позволяет свести задачу ползучести к последовательности линейных задач для «стареющего» упругого однородного тела. Сходимость метода иллюстрируется числовыми примерами.

Часто для приближенного решения задач неустановившейся ползучести, описываемой теорией течения, используются шаговые методы [1, 2, 14, 17]. В [1] особо выделяется неявный метод Эйлера первого порядка как простейший безусловно устой-

чивый алгоритм. Это означает, что условие устойчивости не накладывает ограничений на величину шага по времени. Для решения нелинейной задачи, получаемой с помощью неявной схемы, обычно используется итерационный метод, аналогичный методу упругих решений. При этом невязка [2] определяется через напряжения. Скорость сходимости такого процесса может оказаться невысокой [1]. При развитых пластических деформациях сходимость может отсутствовать.

В данной работе предлагается вычислять невязку через деформации. Сходимость последовательных приближений на шаге по времени исследуется теоретически и иллюстрируется расчетом. Эффективность предлагаемого подхода определяется величиной шага по времени, которая ограничена требованиями к точности искомого решения. Поэтому для получения достаточно точного решения первая модификация метода упругих решений, рассмотренная в данной работе, оказывается более эффективной (особенно если при расчете можно пренебречь мгновенной пластической деформацией). В задачах, где необходим учет пластичности (например, мгновенное догружение конструкции после ползучести в течение некоторого промежутка времени) более эффективен и удобен второй подход.

1. Пусть в декартовой системе координат определяющие соотношения, связывающие тензор напряжений <г,-3- и тензор деформаций ец, задаются в следующем виде [12]:

3 ?(«,) 3 Г /(„„)

еЧ— 2 аи ^+ 2 } аи Лх' ’ ^

О

а = 3/С е , (2)

где ец — девиатор деформаций, эц, аи — девиатор и интенсивность напряжений; т — модифицированное время; а, е — среднее напряжение и деформация; К—коэффициент объемного расширения; ф, / — функции, определяющие свойства материала.

Деформации будем считать малыми, так что выполняются соотношения Коши, связывающие их с вектором перемещений и:

Ч) = — (И/, / + «/, *•)• (3)

Символом ( ),;• обозначена частная производная по декартовой координате Пусть заданы уравнения равновесия среды, занимающей ограниченный объем Й с границей Г:

°«7, , + *1 = 0, (4)

где ЛГ — объемные силы, и заданы граничные условия смешанного типа: на

части границы тела ^ заданы перемещения и°, а на другой части — поверхностные силы 5

и1'|е, = и1 • °У (/|за =5,- , + 22 = Г (5)

(I] — направляющие косинусы нормали к поверхности).

Соотношениями (1)—(5) дается постановка квазистатической задачи ползучести.

2. Для т>т0 запишем уравнение (1) в эквивалентной форме:

_ _ яг;- = 2^гу+Д?. (6)

Здесь ]ы == (д, (х) — некоторая функция модифицированного времени.

/1; + /ц >

/у — «у

/у(т)— — Зг;(то) —3[А 14 (а“ I —

Н-1 I. (т)

? (°и Ы ) Г / (°и) 1

~'«ы (То)+3 йх'\ ’ (7)

! ■'О

_ _ Г «уЫ 1

/<7 = !^ ---------2гу(т0^ ; (8)

I1! — приведенный модуль сдвига.

С помощью (2) — (6) получаем уравнения равновесия в перемещениях:

Iх и1, ~ 0х + ик, Ы= № + (®)

и граничные условия:

111 = и], * £ ^ ; (10)

Йк«,/'+ и).д 1) +"*“*, к ^г = 5/— (11)

- 3 -

где х — радиус-вектор точки,' X = К —- “ ц,

Ф1 — Л/, 1 > ^=/у*; . (12)

Соотношения (9) — (12) дают постановку квазистатической задачи ползучести в перемещениях. Процедура. решения этой задачи методом последовательных приближений при т>то заключается в следующем.

С помощью начальных условий (то), $ц(то), вычисленных на предыдущем шаге по времени, определяем fij (8). При То=0 начальные условия находим из решения соответствующей упруго-пластической задачи. _

Для определения первого приближения полагаем /и = 0. Вычисляем Ф{, (12),

которые можем интерпретировать как фиктивные внешние силы. Решение линейных уравнений (9) с преобразованными правыми частями, удовлетворяющее (10), (11), принимаем за первое приближение. С помощью (3), (7), (6) определяем е^-, вц, и

продолжаем итерационный процесс до получения результатов требуемой точности. Затем переходим к вычислениям на следующем шаге по времени.

Сходимость описанного метода последовательных приближений зависит от выбора первого приближения, т. е. от выбора функции ц. В работах [6, 7] в качестве (Л используется интегральный оператор, и первое приближение находится на основании предположения о линейной зависимости напряжений и деформаций на шаге по времени [то, т]:

| ....................Sij (to)

е'Ч ~ 2(Xj + 2 D J s4 dx' + еЧ ^ — 2jjtx ( 13)

T°

где D — условные постоянные.

Из (13) для случаев ец Е const либо s*/= const при -с > т0 получаем (6), где соответственно:

[A = !*J exp (3fi! £» (-Со—т)), (14)

либо

[a 5= fii (1 -f- 3[j.j D (z — To)) *, fij—fij- (15)

Отметим, что при малом З(хх D (т — т0):

exp (3(j-i D (т0 — т) ) я: (1 + 3(1.! D (т — х0) )-1 .

Можно задавать ц=р.1. Однако расчеты показали, что выбор функции [г в виде

(14) либо (15) улучшает сходимость и позволяет использовать больший шаг по вре-

мени.

Следуя [7], условные постоянные |ii, D вычисляем по формулам:

/ (<*т) От

D=~^T’ 14 “3Wm)' (Ш)

где ат — максимальная интенсивность напряжений в теле в момент т=то, умноженная на коэффициент а 1.

3. Как и в работе [7], рассмотрим задачу о растяжении стержня с постоянной

скоростью е=ст (е — деформация стержня, с — постоянная). С учетом несжимаемос-

ти материала (8и = е, аи = о, где а — напряжение в стержне) для й+1 итерации на шаге по времени [то, т] согласно (6) — (8) имеем:

<т<*+1> = 3^ст+/(*)+7;

_ X

/(*> = (у) — ~ ® (т0) — 3[а [ср(а(*> (х) ) — <р (а (т0) ) + [ / (о<*>) «Гт'];

14

/=Ц(1^-3С.„) .

Константы Ц1, О определяем из (16), полагая сгт = <т(то).

Расчеты показали, что упрощение, связанное с заменой интегрального оператора [7] в уравнении (6) на функцию ц(т) (14) несколько улучшает сходимость последовательности приближений в данной задаче. На рис. 1 представлены кривые изменения напряжения в стержне с течением времени при расчете с учетом и без учета

пластичности (сплошная и штриховая линии соответственно) для с = Ха-

рактеристики материала и величина шага по времени те же, что и в работе [7]. При расчете напряжения с учетом пластичности с точностью до пятого знака требуется не более шести приближений. Если пластичность не учитывается, то для определения лапряжения с точностью до шестого знака требуется не более четырех приближений.

4. Рассмотрим шарнирно-опертый по концам стержень, поперечное сечение ^ которого постоянно и имеет ось симметрии. Стержень с начальным прогибом Доо сжимается продольной силой Т. Систему координат выбираем следующим образом. Ось Ох направлена вдоль оси стержня, ось Ог — вдоль оси симметрии поперечного сечения, ось Оу — перпендикулярно Ох, Ог.

Согласно (6) — (8) на отрезке времени [то, т] связь напряжения 01 и деформации «1 с учетом несжимаемости материала может быть представлена в виде:

31 = £ е1 +/ь /1=/ + />

где

/ = 01 (т) — -^г 01 (т0) — Е [<Р (®1 (т) ) — <Р (а! (т0) ) + | / Ы лГ-с' ] ; (17)

Х0

/=£ £ = 3(Г, £! = %!,. (18)

Принимая гипотезу плоских сечений и полагая деформации малыми, получаем уравнение относительно дополнительного прогиба ш (х, х):

<52 ни

Б -~=Т{т,+ т0) — гсТ1+М1. (19)

а2 ^ “2

Здесь D = Е I о3 — — I , гс = — , aj — площадь поперечного сечения стерж-\ “1 / “1

ня F,

<*2 = J *d.F , я3 = f г1 dF;

j fidF, . Мг = J /, z<£F , (20)

7\, Afi —фиктивные сила и момент соответственно.

Задавая начальный прогиб выражением:

Ъ X ■

w0 = а0 sin -у- ,

дополнительный прогиб приближенно ищем в виде:

к X

w = а (т) sin ~

(/ — длина стержня).

Удовлетворяя уравнению равновесия (19) только в среднем сечении стержня, получаем:

гсТ1-Та0 — М1

а =---------li---------' (21>

I к _

п — + т р

Напряжения в среднем сечении определяются по формуле:

ai = (Т— Тг) — Еа —— (гс ■?) + /i. (22)

«х /■*

Процедура решения задачи методом последовательных приближений состоит в следующем.

Начальные условия ei(To), <Ti(t), необходимые для вычисления / (19), определяем с помощью решения известного на предыдущем шаге по времени, либо при т0=0 из решения соответствующей упруго-пластической задачи.

Первое приближение найдем, полагая /=0. Из (20)—(22) определяем а(т), CTi(z, т). По формуле (17) вычисляем f и продолжаем итерационный процесс до получения результатов требуемой точности. Затем переходим к вычислениям на следующем шаге по времени.

В качестве примера рассмотрим стержень, поперечное сечение которого изображено на рис. 2.

Для числовых расчетов принимались:

о о

tp(a)= —+------------

Ь о0

m— 1

. f(*) = A М"-1 а,

где з0 = 600 МПа, Е — 6.8-10< МПа, , яг =13,

п = 2,8, А = 0,16. Ю-10 (МПа)--" —.

час

Константы Д определялись из (10), где ат— максимальное абсолютное значение напряжения при т=то, умноженное на а=1,2. Функция ц вычислялась по формуле (14). В процессе счета, если не выполнялось неравенство:

I 0 (г> т) I °ОТ>

величина шага по времени Дт уменьшалась. Интегралы по времени и по координатам вычислялись по формуле Симпсона.

Значения амплитуды дополнительного прогиба а(т), процесс дробления шага Дт, количество приближений к, требуемое для определения напряжений с точностью до пятого знака, представлены в таблице.

Результаты расчета свидетельствуют р достаточно высокой скорости сходимости последовательности приближений.

№ т-10~2 , час Дт-10~2, час А а (т), мм № т-10-2 , час Дт-10-2, час к а (т), мм

1 0 — — 0,46 11 10,0 1.0 4 3,30

2 1,0 1.0 3 0,69 12 11,0 1.0 4 3,70

3 2,0 1,0 3 0,92 13 12,0 1,0 4 4,15

4 3,0 1,0 3 1.16 14 13,0 1,0 4 4,66

5 4,0 1,0 3 1,42 15 14,0 1,0 4 5,24

6 5.0 1.0 3 1,69 16 14,5 0,5 3 5,58

7 6.0 1,0 3 1,97 17 15,0 0,5 4 5,94

8 7,0 1,0 3 2,27 18 “ 15,5 0,5 4 6,31

9 8,0 1.0 3 2,59 19 16,0 0.5 4 6,74

10 9,0 1,0 3 2,93 20 16,5 0,5 4 7,23

Т — — 2,3-106Н, Ьс = 54мм, Ь — 1305 мм, Ло=1,8мм, /0 = 1,7 мм, / =400 мм, Л «= 28 мм.

5. Рассмотрим иной подход к интегрированию уравнений неустановившейся ползучести. Рассматриваемый интервал времени точками т=0, т=Х1,...,т=т л,... разби-

ваем на отдельные отрезки. Применяя к (1) неявную схему трапеций, для т=тл+1 по-

лучаем уравнения, по форме аналогичные уравнениям теории малых упруго-пластических деформаций:

3 Ф (а„) ~

ец = ------—зц + ГцЫ, (23)

где

Ф (»,) = Ч Ы + / К) — 'о . (24)

3 ^ (°и (0))

Л/ (°) — 2 ац (0) 2 ’

при & > 1

~ 3 /(»вЫ) хА + 1 —т*-1

/у (-*) = /г;('£-1) + “2" аи (тЛ) 5У'(тй) 2

Из (24) найдем:

^ = Ф (•«), (25)

- /2--------\2 _

ГДе £ц — | ^ еч ] > е,;у - ('/; /у*

Разрешая (25) относительно аи (в расчетах для этого можно использовать итерационные методы), найдем:

аи = ф-‘(Ец). (26

С учетом (26) преобразуем (25) к следующему виду:

5у = 2Й. еу+/у , (27)

где

/у = — Ф~^ (£и) ~ц - 2? «у , ' (28)

3 еи

ц—некоторая константа.

Метод последовательных приближений для каждого момента времени со-

стоит в следующем.

Для нахождения первого приближения в зависимости от решаемой задачи можно положить:

«уЫ=еУ (т*-0

либо

................3 /М^_1)) , 1

ец (Ч) = «у (“Ь-О + Т (^-0------2----•

С помощью (28), (12) определяем ?ц, 5,. Уравнения (9), (11) с преобразо-

ванными правыми частями представляют собой уравнения линейной теории упругости. Их решение Ui принимаем за первое приближение. Из (3), (28) определяем ец, !ц, и продолжаем процесс последовательных приближений до получения результатов требуемой точности. Затем переходим к вычислениям для нового значения т=ть+1.

6. Вопросы существования решения и сходимости методов последовательных приближений нелинейных задач механики деформируемого твердого тела рассматривались в работах [5, 8—11 и др.]. При этом принимались однородные кинематические условия.

Рассмотрим постановку задачи ползучести, определяемую соотношениями (9) — (12) при р, = (Х1>0, где р.1 — приведенный модуль сдвига.

Обозначим через V множество дважды непрерывно дифференцируемых в £2 век-тор-функций V (х), удовлетворяющих на 21 однородным кинематическим условиям:

Если на всей границе тела заданы поверхностные силы (22 = Г), то через V обозначим множество дважды непрерывно дифференцируемых в £2 вектор-функций V (х), удовлетворяющих условиям:

J V dQ = О, J

2 2

При этом потребуем, чтобы главный вектор и главный момент внешних массовых и поверхностных сил равнялись нулю.

Рассматривая систему (9) как вектор — уравнение, умножим его скалярно на ® £ V и проинтегрируем по объему £2. Получим:

(и, я) = j XiVidQ + j 5,° V/ ^2 + Д,-(и) е;;(я)

2 2

(и, с) = К Ц 0 (и) в (®) ^2 + 2ц! ^ е;;(и) £;;(©) о® ; (29)

Здесь:

0 (в) = ит, т - «V = + 8У • (30>

Функции выражаются через и с помощью соотношений (28), (30).

В линеале V выражение (29) задает скалярное произведение [15, 16]. Определим норму:

II « II = V (ю, и)

и рассмотрим гильбертово пространство Н, получающееся из V замыканием на этой норме.

Обобщенным решением краевой задачи (9)—(12) назовем вектор-функцию м = то + (гдеад^Я, №0—произвольная-дважды непрерывно дифференцируемая в Й вектор-функция, удовлетворяющая неоднородным кинематическим условиям (10), обращающую (29) в тождество для любой вектор-функции V из линеала V.

Справедливо следующее утверждение. Если внешние силы удовлетворяют условиям [10]:

$ Ч>~ ,

а функция Ф(ст„) (24) и константа ц4>0 таковы, что:

1 ЛФ (о„)

-7Г<С1<Ъь ----------(31)

2 °а

то существует обобщенное решение краевой задачи (9) — (12), (28) при (г=щ и оно не зависит от выбора гю0. При этом имеет место сходимость описанного в п. 5 метода последовательных приближений при (А=Ц1.

Единственность обобщенного решения следует из более слабого, чем (31), ограничения:

1 (№(а„)

—----<оо.

2 а аи

Отметим, что условие (31) не является необходимым для сходимости метода. Константу Ц1 ДЛЯ вычислений В момент времени Т = Т/[+1 можно определить по следующей формуле:

Р = , (32)

ЗФ (<тт)

где ат—максимальное значение интенсивности напряжений в теле в момент х=хн, умноженное на коэффициент р.

7. Рассмотрим задачу о кручении круглого вала радиуса а в условиях неуста-

новившейся ползучести моментом М(т). Согласно (27), (28) связь деформации сдвига

712 и касательного напряжения в момент т=тл+1 представляется в виде:

512 = (* 712 + /12 >

где

_ 1 Ф~ 1 (*и) - - .

'12— „ - 712 — [А 712 , (33)

з £„

712 = 712 - 2/12. 712 •

Полагая у1г(г» х)=а(г)г (а — крутка сечения, г — расстояние до оси вала), из условия равновесия определяем

(34>

Процедура решения данной задачи методом последовательных приближений заключается в следующем.

Первое приближение определим, задавая

3 / (ои (г, тА))

712 (г, тА+1) = 713 (г, 1к) + ~2~ Яи (г■ та) (тА+х - Ч) ■

С помощью (33) находим /(2. При этом уравнение (25) разрешаем относительно Си методом Ньютона.

Из (34) находим а. Определяем деформацию сдвига и продолжаем итерационный процесс до получения результатов требуемой точности.

На рис. 3 представлены результаты числовых расчетов деформации сдвига "У12(а, т) и кривые распределения касательного напряжения в момент г=35 мин, для

Н -м

вала радиуса а=40 мм закручиваемого моментом М(т)=ст, с=800 —— в условиях

неустановившейся ползучести. Сплошные линии отвечают расчету с учетом пластичности, штриховые — без учета пластичности. Штрих-пунктирные кривые соответствуют валу из упругого материала.

Законы пластичности и ползучести принимались в виде:

' • » ,

где (л = 21 170 МПа, а0 = 460 МПа, тп = 9,9, я = 3,1, А = 0,13-10-9 (МПа)-"----------------.

МИН

Рассматриваемый отрезок времени разбивался на шаги Дт= 1 мин. Приведенный модуль сдвига определялся по формуле (32), при этом полагалось (5=1,3.

Результаты расчетов свидетельствуют о достаточно высокой скорости сходимости последовательности приближений. Для определения напряжения с точностью до пятого знака требуется от двух до пяти приближений в случае, когда пластичность учитывается, и от двух до четырех приближений, когда пластичность не учитывается.

литература

1. Бойл Д ж., Спенс Д ж. Анализ напряжений в конструкции ' при ползучести. —М.: Мир, 1986.

2. Замула Г. Н., И ванов А. И„ Иерусалимский К. М., Жебракова Г. В. Методы решения нелинейных задач прочности на основе МКЭ. — Обзор № 623, ЦАГИ, 1983.

3. П о з д е е в А. А., Т р у с о в П. В., Н я ш и н Ю. И. Большие упруго-пластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. —М.: Наука, 1986.

4. Ильюшин А. А. Пластичность.—М.: Гостехиздат, 1948.

5. Б ы к о в Д. Л., Ш а ч н е в В. А. Об одном обобщении метода

упругих решений. — ПММ, 33, вып. 2. 1969.

6. Ильюшин А. А., Поспелов И. И. — О методе последовательных приближений в задаче о неустановившейся ползучести. — Инже-

нерный журнал, 1964, т. IV, вып. 4.

7. П о с п е л о в И. И. Метод последовательных приближений в задаче о неустановившейся ползучести и нелинейной упругости. — Ученые записки ЦАГИ, 1970, т. 1, № 2.

8. П о б е д р я Б. Е. Математическая теория нелинейной вязко-упру-гости. — В кн.: Упругость и неупругость, вып. 3, изд-во МГУ, 1979.

9. П о б е д р я Б. Е. — Численные методы в теории упругости и пластичности. — М.: Изд-во МГУ, 1975.

10. Ворович И. И., Красовский Ю. П. О методе упругих решений.—ДАН СССР, 126, № 4, 1959.

11. Кошелев А. И. Регулярность решений эллиптических уравнений и систем.'—М.: Наука 1986.

12. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций.— М.: Наука, 1966.

13. Ильюшин А. А., Победря Б. Е. Основы математической теории термовязкоупругости.—'М.: Наука, 1970.

14. Замула Г. Н. Численное решение осесимметричных задач ползучести круговых цилиндрических оболочек. — Ученые записки ЦАГИ, 1977, т. 8, № 3.

15. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. — М.: Мир, 1985.

16. Ми х лин С. Г. Проблема минимума квадратичного функционала.— М.: Гостехиздат, 1952.

17. Замула Г. Н., Иванов С. Н. Ползучесть подкрепленных панелей при нестационарном нагреве. — Ученые записки ЦАГИ, 1976, т. 7, № 5.

Рукопись поступила 27/Х 1986 г.