CC BY
17
УДК 624.04
МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ ПРОСТРАНСТВЕННО ЗАГРУЖЕННЫХ НЕЛИНЕЙНО ДЕФОРМИРУЕМЫХ СТЕРЖНЕЙ. Часть 2
© 2008 г. Г.В. Воронцов, И.А. Петров, С.А. Алексеев
Предложены линеаризованные дифференциальные уравнения деформации пространственно загруженных тонкостенных стержней открытого профиля. Уравнения положены в основу методики определения несущей способности внецентренно сжатых, шарнирно опёртых тонкостенных стержней. Произведен сравнительный анализ результатов расчета с экспериментальными данными. Получены общие выражения для формирования последовательно уточняемых матриц жёсткости стержней как систем с 14-ю степенями свободы. Матрицы могут быть внедрены в программы метода конечных элементов при расчёте стержневых нелинейно деформируемых конструкций на прочность, устойчивость и задачи определения пределов их несущей способности. Статья является продолжением работы [1].
The linearised differential equations of the deformation of the three-dimensional loaded thin-walled rods of open section are proposed. Equations are placed as the basis of the procedure of the determination of the bearing capacity of the eccentrically compressed, hinge supported thin-walled rods. The comparative analysis of the results of calculation with the experimental data is produced. Are obtained general expressions for the forming of the consecutively refined stiffness matrices of rods as systems the 14th by degrees of freedom. Matrices can be inculcated in the programs of the method of final elements with the strength calculation of the pivotal nonlinearly deformed constructions, stability and tasks of determining the limits of their bearing capacity. Article is the continuation of work [1].
Ключевые слова: матрицы жёсткости; дифференциальные уравнения деформации; тонкостенные стержни открытого профиля; внецентренно сжатые; шарнирно опёртые; тонкостенные стержни; нелинейно деформируемые; стержневые конструкции; несущая способность; упруго защемленный; линеаризация дифференциальных уравнений; напряжённо-деформированное состояние
Введем выражение для определения относительных деформаций 821 ( г, х, у, ш) в направлениях
касательных к осям Z]A центров кручения деформированного стержня (рис. 1)
в я = -л''у -е"ш]+
+е '
л '( x - ax )-$ '(y - Oy )] + е(£, у -л ' X) +
+— 2
(¡О2+(л Г +(е Г р
л2
\2 2
(1)
В целях сокращения записей вводим деформацию
(¡')2 +(л')2 +(е')2 р
,\2
V\2 2
(2)
р2 =(х-ах)2 +(у-ау)2 .
Подробный вывод уравнения (1) приведен в статье [1].
В матричной форме уравнение (1) представим в виде
В формулах (1), (2) введены следующие обозначения: £(г), л(г) , С(2) - перемещения центров кручения поперечных сечений стержня в направлениях стационарных осей X, Y, Z ; 0( г) - углы закручивания стержня; х, у и ах, ах - координаты точек и центров кручения; ш - секториальные координаты;
в z1 ( z ) = [По + П1 ( u ( z )) Do ] u ( z ); (z)= -.colon[¡(z)|л(z) j е(z)|C(z)].(3)
Матричные дифференциальные операторы По, Dq и строку Пц (u (z)) определяем выражениями:
П
0
" .2 1 Л I ,2 1 .
xd | yd I rad I -d
D0 = diag [d \d j 1 \ 1],
d. = d_ •
dz'
П1
2 Ü '-е '( y - ay )! 2 л ' +
1 1 1 +е( x - ax)! $ у -л ''x ! - е 'р2
I
I 2
1
ZA1
Рис. 1. Главные оси изгиба и кручения деформированного элемента тонкостенного стержня:
£, ^2 , £3 - единичные векторы
С целью линеаризации уравнения (1) введем условные изгибающие моменты:
= - EIx
= - EI
У
Mx (z) = JoZiydA: =
A
Л "-0^+er- 2 (e' )2 ß x
My (z) = -JaZ1 xdA =
Г + 9л '-e'Л'-1 (9' )2 ßy 2
(4)
бимоменты
Bra( z ) = JaZ lradA =- EIra
e ''-2 (e ')2 ß»
• (5)
продольные силы
N (2 ) = {а^йА =ЕЛ
А
M
С1 + (е ' ay-л ' ax)
GI кр
и моменты чистого кручения
Mкр (z ) = GId e ',
где принято
2ß x = — J xp2dA ,.. ,,2ßra = — Jrap2dA;
lyA
'ю A
Заметим, что нормальные напряжения могут быть определены по формуле
N Mx M
a z1 = —+—xy--:
z1 A т
у
x +
y
2 e (e ')2 (p2 - r2),
Iy 2
конечно, с учётом выражений (5)-(7).
Пренебрегая малыми высшего порядка, подставим в выражение (1) приближенные соотношения
My
~EIy
Л '' : =
M
Mкр
e': = кр
EI x GIKp
в
e' =:--Bra
EL
Ci = C,
отвечающие формулам (5)-(7). В результате получаем уравнение с квазилинеаризованными слагаемыми:
(6) (7)
s zi =[? '-е 'x -Л 'У -9"Ш] +
M
+-
кр
GI,
кр
Л '(x - ax )-е'(У - ay )
+
+e
My M x ——у + —— x EIyJ EIx
1Х, Iу , !ю - главные осевые и секториальный моменты инерции поперечного сечения с площадью Л ; которым сопоставим напряжения 01кр - жесткость стержня при чистом кручении
стержня [1, 2].
aZ1 ( xy,z,ra) = ЕП u ( z).
Здесь введена матрица-строка
П
- x d2 - к (у - ay ) d
- yd 2 +
+ к (x - ax) xd
f
-rad2 +e
My
V Iy
-y + ■
M
x
к : = Mкр / GIкр,
d
(8)
G и Е - модули угловой и линейной деформаций.
Рассмотрим стержень, упруго защемленный по концам относительно смещений и поворотов, объединяемых в вектор
и св = сыш [^ ! ^0 ! ло ! л0 ! eo ¡с
I
=0 I
I
Ль ! ль ! лЬ Л ¡Сь ], (9)
которому соответствуют опорные реакции связей
RCB = colon
ox | m0y | '0y | m0x | "'0z | '0z |
(10)
mn
mn
'
l
| rLx \ "Ly ! rLy \ "Lx \ "Lz \ rLz
Углы поворотов краевых сечений ф0х : = £0,
Фхь : =1'ь , Фоу : = ^ Фуь • = -ЛЬ (рис. 2).
Зависимость между векторами (9) и (10) полагаем линейной
R = H TT
лсв _ св 17 св
(11)
где Нсв - диагональная матрица жёсткостей связей
(защемлений в узлах закрепления стержня к другим элементам конструкции).
Сформируем (4 х12) - матрицу аппроксимирующих функций у ( 2 ), такую что
и ( г ) = у ( г )и
см. обозначения в выражениях (3).
Функции, составляющие матрицу у , в первом приближении можно составить из уравнений прогибов и углов поворота поперечных сечений стержня, вызываемых единичными смещениями св | .: = 1.
Z= 0
?0
9г
yi Фу0
z
qx
71
qz
q
У
б
Рис. 2. Положительные направления перемещений и поворотов краевых поперечных сечений стержня (а) и направления положительных распределенных сил (б)
x
а
Составим выражение для возможной работы внутренних а21 (х,у, г, ш) и внешних ц (г) сил, а также реакций связей, совершаемых на перемещениях
5 и ( г ) = у ( г )5и; 5W :=-|58^£8 ^ +
+J8 Uq ( z ) q ( z) dz-8UΠHCB U CB = 0. (12) 0
Здесь введены векторы
Uq ( Z ) = colon X
x[5(Z)|5'(z)!n(z)|n'(z)|e(Z)|C(z)] ,
q ( z)=colonx qx (z) ! my (z) ! qy (z) ! m ( z) j mz (z) ! qz (z)],
см. также обозначение (9) и формулу (11). Подставим в условие (12) выражения
ezl ( x ) = П¥ ( z )Û, Sezl ( x ) = SÛ* ( П¥ ( z ))*
Я
Ûq ( Z ) = Dq¥ ( Z )Û, SÛ* ( Z ) =S Û ( DqV ( Z ))
Û = :CÛ,
Ûсв = [(V (z))z=0 КV (z)) где матричный оператор
Z = L
Dq
1 d 0 0 0 0
0 0 1 d 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0
В результате приводим уравнение (12) к виду
( Н + Нсв ) и - Р = 0. (13)
Здесь введены матрица жесткости стержня и упругих связей
H
К Пу ( Z ))* E ( Пу ( Z )) dV,
(14)
Нсв C HCB
Вектор внешних сил
F = ДDqV (z)) q (z)dz. (15)
0
Последовательность расчёта напряжённо-деформированного состояния стержня:
1. В первом приближении вычисляем матрицу П, полагая в формуле (8)
к:= 0, 0:= 0, My = Mx:= 0,
после чего по уравнениям (13)-(15) находим векторы Ûj, F, Ûj ( z ) = V ( z ) Ûj. Это решение соответствует линейной теории В.З. Власова.
2. По формулам (4)-(6) вычисляем внутренние
усилия Mxl (z),...,N1 (z), а также матрицы П2 и H2 по формулам (8), (14) и перемещения
Û2 (z) = V (z) Û2 по уравнению (13) и т.д.
На одном из этапов исследований рассматривался шарнирно опертый тонкостенный стержень Н-образ-ного сечения, сжатый продольной силой N, приложенной с эксцентриситетами ех, еу. Применение выше рассмотренного метода для определения несущей способности внецентренно сжатых, шарнирно опёртых тонкостенных стержней показало, что полученное аналитическое решение достаточно корректно описывает исчерпание несущей способности стоек, сжатых с двухосным эксцентриситетом [4].
Эксперименты Г.М. Чувикина. Опытные и расчетные значения предельных нагрузок
Экцентриситеты относительно осей Гибкость СТт, Предельная нагрузка, кН Расхождения, %
y-y x—x Xy эксперимент по разработанной методике
ey, см ex, см МПа
Депланация стесненная
5,5 3,25 50 240 255,36 245 4,06
5,5 3,25 100 250 165,84 181 -9,14
Депланация свободная
5,5 3,25 50 255 243,36 220 9,60
5,5 3,25 100 263 152,12 138 9,28
В качестве примера точности нахождения предельных нагрузок по разработанной методике проведено сравнение полученных результатов с данными экспериментов Г.М. Чувикина, [3].
Г.М. Чувикиным было испытано 20 Н-образных профилей, которые сваривались из трех листов, материал — сталь марки Ст.3. Геометрические характеристики поперечного сечения профилей имели следующие значения: ^ = 12 см, Ьу = 12 см, ^ = 1,0 см, tf = 1,0 см, А = 34 см2, /тш = 288 см4. Часть стержней имела на торцах стальные плитки толщиной 20 мм, что стесняло депланацию концевых сечений.
Как видно из данных табл.1, результаты теоретических расчетов предельной нагрузки удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными. Обработка результатов экспериментов различных авторов показала, что предельные нагрузки, полученные теоретически, удовлетворительно согласуются с опытными данными.
Литература
1. Воронцов Г.В., Петров И.А., Алексеев С.А. Матрицы жесткости геометрически нелинейно деформируемых упругих тонкостенных стержней. Ч. 1. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2008. № 1.
2. Воробьёв Л.Н., Воронцов Г.В., Кабельков А.Н. Теория нелинейно деформируемых тонкостенных стержней / 100-летие кафедры «Сопротивление материалов, строительная и прикладная механика»: Сб. избр. науч. тр. / Под ред. Г.В. Воронцова; Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). Новочеркасск, 2007. С. 38-57.
3. Чувикин Г.М. Об устойчивости за пределом упругости внецентренно сжатых тонкостенных стержней открытого профиля//Исследования по стальным конструкциям. М., 1962. Вып. 13. С. 70-159.
4. Алексеев С.А. Расчет и оптимизация внецентренно сжатых стоек из упругопластических материалов: Дис...канд. техн. наук. Ростов н/Д., 1999.
14 января 2008 г.
Воронцов Георгий Васильевич - д-р техн. наук, профессор кафедры СМ и СМ Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института).
Петров Игорь Альбертович - канд. техн. наук, доцент кафедры СМ и СМ Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института).
Алексеев Сергей Александрович - канд. техн. наук, доцент кафедры СМ и СМ Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института).
