АЛГОРИТМЫ РАСЧёТА НАПРЯЖёННОГО СОСТОЯНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНО ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 624.04

АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНО ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ

© 2008 г. Г.В. Воронцов, А.Н. Кабельков

Геометрически линеаризованные уравнения относительно обобщенных перемещений тонкостенных стержней

Производим аппроксимацию перемещений поперечных сечений

U(z) =colon[£(z) I л^) I e(z) I C(z)]:= У(z)U,

(1)

где у (z) - заданная матрица; U - вектор обобщённых смещений.

Перемещения на торцах стержня определяем вектором

исв =colonSo Ко i Ло I л0 I 00 Ко Ul j ••■

•■■! 0L 1СL]=:CU.

Соответствующие реакции упругих линейно деформируемых связей с обобщённой матрицей жёстко-стей Нсв составляют

RCB Нсв C Ucb ;

r

'ox

—

m.

oy

r • m oy \ "lox

m ' r "loz i 'oz

rLZ

(2)

—

m

Ly

Ly

m

Lx

m

Lz

Lz

Матрицу C определяем выражениями

C

12ХП

([ d ] V (-- ))| z

([d ] V (z))

Z = L

[d] =

[1 d

1 d

1

1

d: = d / dz.

Относительные деформации в точках x := colon [x, y, z, ш] стержня определяем линеаризованными уравнениями

t( x ):=[qi( z )-$'( z ) x-л"( z ) y -0"( z )ш] +

Mкр ( z )

'zn

+-

GL

кр

+e( z)

T|'(z)(x-ax)-£'(z)(y -ay)

+

'My (z) Mx (z)

EIy

-y + ■

EIx

(3)

8 г( х): = П ( х ) и ( г ) = П ( х ) у ( г )и, (4)

где Мх, Му и Мкр - условные изгибающие моменты и момент чистого кручения в поперечных сечениях стержня; матрица

П

1x4

2 / \! 2

-xd - k (y - ay )j -yd + k (x - ax)

-©d2+e

fMy Mx л ——y + —- x I I

m y ^x .

d

mкр k= кр

GL

кр

(5)

подробнее см. в работах [1, 2].

Нормальные напряжения в поперечных сечениях

ог1 (х): = ЕП(х)и(г) = ЕП(х)у(г)V. (6)

Матрицу жесткости стержня (без учета возможных упругих закреплений по концам) составляем на основе выражений (4) и (6), которым соответствует возможная работа внутренних сил:

5WCT: = |5в пЕг2 =

V

= 5 и * |[П ( х ) у (г)]* Е [ П ( х ) у (г)] dV.

V

Следовательно, матрица жесткости

H

ст

|[П ( x ) V (z)]* E [П ( x ) V (z)] dV.

Условные внутренние силы в поперечных сечениях стержня составляют: изгибающие моменты

Мх (г): =1° гУ^ =

= - Eh

= + EI

у

2 (0')2 ß х Му (z ):= - ja zxdA =

A

5 - + 0Л ' - 0 'Л '-1 (0 ')2 ß у 2

(7)

бимомент

Bco( z ): = !a z ®dA =- EI®

0 ''-2 (0 ' )2 ß®

;(8)

продольная сила

N ( z ) = Jo zdA =

= EA

M

С1 + ^(Г«у -Л'«X + 0'^2)

GI кр

С1 = С' + ! [(^')2 + (Л')2 +(0')2 p2"

момент «чистого» кручения

Mкр (z): = GId 0 ' .

; (9)

(10)

Соответствующие нормальные напряжения вычисляем по формуле

N Мх Му

a z (x) = — + —ху---

zW A 1ХУ Iy

x +

++1 e(0 ')2 (p2 - r2 ). (11) Iy 2

В формулах (6)-(9) приняты следующие обозначения:

2р X = — J xp2dA ,...,2рю = — Jop2dA;

'y A

(Ю A

Ix = j у 2dA,•••, I® = j®2dA

2 1

p2 =(x - ax )2 +(у - ay ). r2 = —.\pldA';

2 _ 1fJ, A-

Xa , Ya и центра кручения.

Матрицу Н жёсткости стержня, упруго защемленного по концам, определяем выражениями

H = H^T + С HgB С,

(12)

см. формулы (2)-(6) и статью [1]. Возможную работу распределённых по длине стержня внешних сил

q (z)=colonx

xq (z) j my (z) j qy (z) j mx (z) j mz (z) j qz (z)]

на возможных перемещениях

5 uq = colon x

4

x{5ft(z)U '(z)j л(z)j л'(z);0(z)K(z)]},

5 uq (z) = [d ]5 U (z) = [ d ] у (z )5 U

составляем, считая нагрузку приведённой к деформированной оси центров изгиба: L *

5Wq = J5 uq (z)q (z)dz = 0

A L *

= 5 U J{[d] у (z)} q (z)dz. 0

Отсюда следует выражение для обобщённого вектора внешних сил

F =j{[d]у(z)} q (z)dz

0

(13)

ах, ау - координаты центра кручения; 1Х, 1у и

/ю - главные осевые и секториальный моменты инерции поперечного сечения относительно осей

Объединяя выражения (12) и (13), получаем

/ \ -* -* *

(Нст + Нсв ) и = F, НсВ: = С Ясв С. (14)

Решение задачи об определении напряженно-деформированного состояния стержня при заданном векторе внешней нагрузки выполняем по методу последовательных приближений.

1. Вводим в формулы (1), (5) внутренние усилия

МХ (г), Му (г) , < (г), (г) , Мк, (г) и

матрицу у (г), полученные при решении задачи по

линейной теории В.З. Власова (уравнения изгибов, кручения и растяжения-сжатия разделяются).

2. Соответственно формируем матрицы П(1), Н(1) и уравнение (14) первого приближения, определяя обобщенные перемещения и « , а также смещения и (г), см. выражения (1), (14). Далее переходим

ко второму приближению и т.д.

3. При необходимости учета возрастания нагрузки, например, при нахождении предельно допускае-

мых усилий, возможно понадобится выполнение нескольких циклов последовательных приближений.

Дифференциальные линеаризованные уравнения изгиба и граничные условия в плоскости XZ

Иу^=qx ~(шуА+0^)' - (уумхв)'+(м*е')'+ N (?+«у0')]'+ ky [мкр (0'рх +л')]",

и уравнения растяжения-сжатия

ky = EIy / gik ;

(15)

{я/уГ=QXa ~{myA +QmXÄ )-(vyxMxQ)' + MTX 0'+

+Nr ($'+«y0 ' )-ky [мкр (0'ßx+л')]"| ;

J 0

EIy $' = -( MУа +0MXa )-

VyxM^A^ — kyM Кр (0 ' ß x + Л ' )

0

{EIra0 ' = GlKp0 ' + (m^Ta +Л M^ 'MTXA )

+(My^+Mx^ ')-Nr20 '-kraßro0 ' };

{EIra0 '=Bra- kßra0 }

+ ЙС0 +

d

EAC = q2 + x

dz

'(£ ')2 +(л ')2 ]+0 '($ ' «y-Л ' «x)

EAC ' |L =

Nr + EA-U

ft ')2 +(л ')2 +0'($ '«y -Л '«x )

0

см. также выражения (7) - (9), в которых сохраняем только члены первого порядка малости.

В настоящей статье эта группа уравнений приводится к матричному уравнению первого порядка

Аналогичные уравнения изгиба и граничные условия в плоскости YZ :

ЕхЛ1¥ = qy +(тхА-0туА) +(?хуМу0) -(Му0')' + +[N (л'-«х0')]'+ kx [Мкр (0'Руч')|;

{ЕГхЛ"=ОУуА +{шхА -0ШуА)+(УухМх0)' -Му0'+

+Nг(л'-«х0')+kx[Мкр(0'РуЧ')]'} ;

J о

г л1

Е1хЛ" = МТХА -0М;Уа + VyxMXA0 +

< > .

+kxMщ> (0 ' Ру ') ]0

Приведем также уравнения стесненного кручения

Е1Ю01¥ =(^/кр0')' + (тгА +Л ' туА тхА ) + К, + +(МуЛ '+ М£')-(N 20 ')' - ^Рю0 ' ;

d_ dt

X г

X л АЛ

X 0 A0

X с Ас

X I

X Л X 0

X С.

+

1

(16)

которые записываем в виде

Х14х1 ( 7) = А14х14 ( г ) X ( 7 ) + (г). (17) Здесь введены обозначения типа

" К

Х|2 г' ХЛ ^Л

= ; X = ; f =

Х|з г" X0 F0

_Х^4 _ _ хс_

(18)

В качестве примера приведем матрицу А^ уравнения (16), полагая

г" |

Х^2 Х^з Х^4

При этом

' = ' = 1 г IV.

Х|3 =Х|4, Х|4 = EJ г ;

L

Л

0

A% =

EIV

1

1

1

0 N' N 0 0 kM Kp 2M Kp

kMкр f % f01 f % f02 f % f03 f % f04 0 0

X%4 = %" =

1

EL

\4x

(myA + 0mxA )' - (vyxMx0)" +

+(Мх0')' + Г# (%' +ay9')]'+ k [MKp (0'ßx +л')

y

строка матрицы (19):

/02 = 2

/01:= -vyxMx;

r ^

-1

VIX

m X + N ax+kM Kpß x;

% •=

Mx =- EIx

My = EIy

X01X%3 X02X%2 (X02 )2 ßx X%3 + X02X^3 -Xi2X^2 -(X02 )2 ßy X03 -(X02 )2 ßc

Bo=- EIc

N = 2 + kMкр (x92r 2 + X^ay - Xay - Xax ) Матрицы A^ , Aq , A^ и векторы F^, Fq , F^

F% = colon-1

% EI

y

0 0 0 (qx - ^a )

(19)

Последняя строка матрицы А^ соответствует уравнению (15), из которого следует

Решение краевой задачи о деформировании стержня, произвольно закреплённого по концам

В качестве примера рассмотрим краевые условия изгиба в плоскости XZ :

EIyX%4 - OxA + (myA + X01mxA ) +

+ (VyxMxAX01)' -MxAX02 -N (x%2 + ayX02 ))-\kMKp (Xi2ßx +X^2 )] [ =0;

(20)

Умножению на - подлежит только последняя

EL

yEIy X%3 + (Ma + X01MTXA ) + VmxAX01

I (X02ß x + X_q2 ) j = 0> /0

+

+kMy

которые представим в матричной форме

Г\ (ZF )L1, Xl4x1 () = Y2x1 (), V = 0L•

^ 4 1 /J 2x14 Здесь введены обозначения

; г^( zf )

2x14

^ : = IiyMx + Nay + 2kM;p; /¿4:=!^. Ix

Подставляя соотношения (17), (18) в формулы (7)-(13) для внутренних усилий в поперечных сечениях, получаем

0 1 - N 0 EIy 0 kMKp ! kMKp 1

0 ! 0 EIy 0 0 0 j -kMKp;

I 0 Ф%1 Ф%2 0 0 0 0

1 0 V%1 V%2 0 0 0 0

QxA myA

MУа

(21)

(22)

формируются аналогично. Вектор F^ в соответствии с уравнением (20) составляет

Фв1 =( mxA + vyxM'xA); 92 = kMкрРx - IyMxA / Ix - Nay ;

Ув1 = -IyMxcA / Ix, ^91 = -kM^x.

Аналогично составляем дифференциальные уравнения и краевые условия изгиба в плоскости YZ, стеснённого кручения и растяжения-сжатия. Матрицу (21) и вектор (22) вычисляем при z = 0 и z = L .

0

L

0

z=z

г

Совокупность 14 краевых условий представляем в

виде

Г (^) X () = Y (^г), 0,L; (23)

7x14

Г (Z)J2x14 ГЛ("- )] 2x14

[ Гв(-- )J

Гс(z )Ji

2x14

Y7x1 ( ^ ) =

Y Z ) Y Г( Z )

Ye( Z )

У Z ).

Решение уравнения (17) записываем в виде X ( г ) = П ( 2,0) х ( 0 ) + х ч ( г ),

X ч ( г ) = ] П ( г,Ь ) F ( г ) dz.

(24)

После нахождения вектора начальных условий X (0) по формулам (24) вычисляем вектор-функции

X(г), а затем функции Xji (]:=£, Л, б, С

I: = 1... 4) . Алгоритм метода последовательных приближений во многом аналогичен рассмотренному в п. 3.

Для стержня, упруго защемленного по концам, краевые условия упрощаются:

Н ( гг ) х ( гг ) = Я ( гг ), гг = 0,Ь. Здесь обозначено:

X7x1 (гг ) = Со1оП [х^1 (гг ) | Х^2 (гг ) | ХЛ1 (гг )

Хл2 (гг ) ! Хе2 (гг ) ! Хеэ (гг ) ! Хс2 (гг )]

lz=z„

R7x1 ( Zr ) = Colon [Qx ( Zr ) | My (Zr ) | Qy (Zr )

Mx (Zr )| Мкр (Zr )| Ba(zr )| N (Zr )J z=z ;

H7x1 ( Zr ) = diag x

| h2 \ hr\1 | I he2 \ he3 \ \2

Z = Z„

Подставляя полученные выражения в условия (23), имеем

г ( 0) X ( 0) = у ( 0 ),

Г ( Ь )[П ( Ь,0 ) X (0) + X ч (ь )] = г (ь),

откуда следует выражение

Г ( 0 )

Г ( L ) П ( L, 0 )

X ( 0 ) =

Y (0)

Y (L )" Г ( L ) X ч ( L )

в котором следует вычеркнуть п строк обобщенной матрицы, являющихся тождествами.

Литература

1. Воробьёв Л.Н., Воронцов Г.В., Кабельков А.Н. Теория

нелинейно деформируемых стержней // 100-летие кафедры «Сопротивление материалов, строительная и прикладная механика: сб. избр. науч. тр. / Под ред. Г.В. Воронцова; Юж.-Рос. гос. техн. ун-т(НПИ) Новочеркасск: Оникс+, 2007. С. 38-51.

2. Воронцов Г.В. Расчёт геометрически и физически нели-

нейно деформируемых тонкостенных стержней на прочность, устойчивость и колебания // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2007. № 5. С. 29-36.

Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)

14 апреля 2008 г.

ZZ

г

ZZ

г

x