CC BY
72
УДК 539.4(076.5)
Н. Н. Панасенко, В. П. Юзиков, А. В. Синельщиков
КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ МОДЕЛЬ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ ТОНКОСТЕННЫ1Х СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫГГОГО ПРОФИЛЯ. В 2-Х ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 2
Расчетный анализ конструкций, состоящих из тонкостенных стержней, до настоящего времени остается предметом исследований. Приведены теоретические основы построения математической модели тонкостенного стержня открытого профиля, в которой учитывается влияние сдвигов и перемещений точек и углов закручивания поперечных сечений на величину и характер распределения внутренних усилий. Получены математические соотношения для построения матрицы масс тонкостенного стержня открытого профиля, которая может быть использована при динамическом расчетном анализе конструкций методом конечных элементов.
Ключевые слова: тонкостенный стержень открытого профиля, сдвиг и угол закручивания поперечных сечений, матрица масс, метод конечных элементов.
Выполнение требований надежности и работоспособности сооружений, обеспечивающих технологические процессы в морских и речных портах, определяется эксплуатационными характеристиками сооружений, заданными на стадии их проектирования и расчетного анализа. В [1] отмечалось, что большинство подобных сооружений представляют собой стержневые конструкции, несущие элементы которых являются стержнями открытого или закрытого профиля. Для решения задач по обоснованию статической прочности пространственных конструкций в [1] была приведена методика построения матрицы жесткости стержня открытого профиля. Однако, при расчете пространственных конструкций, составленных из тонкостенных стержней, на динамическое воздействие по методу конечных элементов (МКЭ), необходимо знать не только матрицу жесткости, но и матрицу масс каждого стержня [2].
Математическая модель матрицы масс тонкостенного стержня открытого профиля
Для формирования матрицы масс КЭ, с учетом правила знаков для перемещений и усилий, которые принимаем по рис. 1, определим функционал его кинетической энергии при пространственном деформировании в виде
Рис. 1. Правило знаков для узловых перемещений тонкостенного стержня открытого профиля
Введение
(1)
где р - плотность материала КЭ.
/
В формуле (1) поперечные перемещения точки М (х, у) срединной поверхности стержня определяются формулами [2]:
4 м = 4-( У - «у )©,
Пм = П + (х - «х )©.
(2)
При учете сдвига срединной поверхности стержня продольные перемещения точки М (х, у) равны:
С м = С-(4 - ф у)' х-(п-Ф х)' у - [(1+Кюю )©-фш ]' ю.
(3)
В формулах (2), (3) 4, С, П - компоненты перемещения центра изгиба с координатами [2]:
1 Г
«х = Ьх +—\ юьуЛА - Кхю,
!х А
1
«у = Ьу + — \ ЫЬМА - Кую .
1у А
(4)
В формуле (3)
у = (+ КУДУ),
О'
р'х =7^ (К^ + КхДу),
Фю =-
КЬ
ОГ
Геометрические характеристики поперечного сечения стержня Ку, входящие в выражения (1)-(3), вычисляются по формуле
у ИЛ 52 '
К =
' у А
(5)
в которой г и у принимают значения х, у, ю; 6 - толщина контура сечения. Подставляя (2) и (3) в (1) и интегрируя по площади А, получим:
г=2 А
Э4 Т+(дп I2+Г дс Г+,, Г ЭГ2
Э?) I Э?) I Э?) I Э?
+
+2 А
Э4 Эп
а? у э?
+1,
Э0 г
ЭаТ+'у
5 (4 - ф у)'
Э
а? [(1+к юю )©-Фю ]
+'
•¿г,
Э?(П - Ф х)
+
(6)
где, с учетом (4),
2 2 , 2 , ' х + 'у
г = «г + «у +-у
х у А
Ф
0
2
2
2
При рассмотрении линейных (малых) колебаний кинетическую энергию (6) представим квадратичной формой скоростей на обобщенных перемещениях д :
т 1 V (V ,
(7)
Тогда инерционные коэффициенты матрицы масс конечного элемента Д т
^1,14 т2,14 т3,14
[ М ]1.
m
_т14,1 т14,2 т14,3
с использованием (7) вычисляются по формуле
Э2Г
m1,1 m1,2 m1,3
m2,1 m2,2 m2,3
m3,1 m3,2 m3,3
m
т14,1
(8)
m„ =
dqßqt'
mst = mts> (S t = 1,2,...,14) •
(9)
В качестве компонентов перемещений стержня жестко закрепленного по концам примем перемещения:
г) = I(г), л = 1,5,8,12, П( г) = IЧЖ (г), , = 2,4,9,11, £( г) = I (г), , = 3,10, 0( г) = I^ (г), , = 6,7,13,14,
в которых - узловое перемещение, соответствующее его степеням свободы (л, ? = 1,14), у/г) -аппроксимирующие функции Эрмита [3]:
г) = у2( г) = у6( г) = 1 - 3г2 /12 + 2 г3 /13,
Vs(z) = -V4(z) = -V7( z) = z - 2z2 /1 + z3 /12, V8( z) = V9( z) = ¥13 (z) = 3z2 /12 - 2 z3 /13,
(10)
г) = -¥п( г) = Ум( г) = - г2 /1 + г3 /12, у3(г) = 1 - г /1, Ую( г) = г /1.
Следуя (9) и (10), легко установить, что матрица масс пространственного тонкостенного стержня (8) имеет порядок 14 х 14, а ее элементы, определяемые по формуле (9), составляют матрицу масс тонкостенного стержня открытого профиля в местной системе координат при пространственном деформировании с учетом сдвига срединной поверхности. При ее получении использовались следующие зависимости:
ах =-Е'у4т, ау =-Е'Х\ ь = Н + м ю, Н = О'Л&, м ю = -Е'„0" ,
в которых Ь - полный крутящий момент.
Приведем элементы матрицы масс тя = тв (8), учитывающие сдвиг срединной поверхности:
,2.2 = «9.9 = Р ^ + ^ + ^ ( К + К2 ) + } ,
Г а 13 2 11 1
«4,4 = «11,11 = Р {— + 1. К1 1 + 1х1К2х- КЧ ,
11 з а 12 1
«2.11 = «4,9 = -Р {+10 +1. (К. + 2К2) + 21у • К • К-
«2,4 =-Р Г1!^ + 1 + 1 (К. + 2 К2) + 21у-К]-К1
«411 =-Р + И - ]х.1-К\ - 1-1К1-К2 },
4,11 I 140 30 х х у х ху [
I 9А-1 + 61 х 41х Кх2 41х-К2х- К2у
«29 =-Р {--1----х---
2,9 I 70 51 1 1
[13А-т2 •1 61 п 41 п,
«6-6=Р113А3Г-+1+1(Кп+КП -
Г А-т2 -1 21т/ . .1
т77 = т1414 = р{-+ —— + 1 •Кп -1 !
7,7 14,14 р { 105 15 п п |
«6,14 = «7,13 = Р {13А42Т0 ^ 1 + ^ + 1 ( Кп + 2КП )} , (11)
А-т2 -13 11
«714 = р { ——- -1 п •кП -1}, 7,14 РI 140 30 п п |'
I 9А-т2 -1 61 п 41 пКп „т ^
«613 =-Р {-+ —п + —^^ + 21пКп
6,13 Р { 70 51 1 п п
«67 =-Р + А +1 п (Кп + 2 К
6,7 210 10 ^ п
13 А-Яу, 13ах,
«16 = Р--1, «96 =-Р--1,
1,6 35 ' 2,6 35 '
А-а-13 А-йу-11
«4,7 =-Р * ' «5,7 =-Р-
105 5'' 105
9 А ах 1 9А ау 1
«6,9 = Р-^- ' «6,8 = -Р" у
70 6,8 70
А ах 13 А ау 13
«711 =-Р-х-, =-Р-—
7,11 140 7,12 70
где, с учетом (5),
m2,14 = Р-
13А • а • l2
420
m1,14 = -Р
13А • ау ■ l2 420
m1,7 = -Р
11А • а • l2
210
m2,7 = Р
11А •ау • l2 210
| 12E • Jx • Jy • Ky
m12 = p i-—-
1,2 1 G • Jd • l3
12E__(j • K + j • K )-2
G • J • 12 J Kxx + Jy Kyy) 2
I 6E • Jx • Jy
m1,11 = Р . 42 "2 Kxy
(G • Jd )2 • l2
1 - 12J к - i^Ei k.
l2 • G•Jd
yy 2
l2 • G•Jd
m1,4 = Р
6E • Jx • Jy • K„ 72E2 • Jx • J^ , J
-^^^--x-^Kxy ( Jx ■ Kxx + Jy ■ Kyy H ,
G • Jd •l2 (G • Jd )2 l
/4
K =- JKx^ , K = 6EJm K
GJd l2
GJd Г
(12)
Аналитическая оценка влияния деформаций сдвига серединной поверхности на собственные частоты тонкостенного стержня открытого профиля
Рассмотрим стержневой элемент (рис. 2) длиной I = 0,6 м с поперечным сечением в виде широкополочного двутавра размерами Ь = Н = 12 см, 5п = 5ст = 1 см, у которого А = 34 см2, !х = 809 см4 (ось X параллельна полкам), Е = 2,1-105 МПа, О'л = 10,9 кН ■ м2, р = 7,85 т/м3.
Рис. 2. Поперечный изгиб консольного стержня
Определим первую частоту собственных колебаний консольной балки, как конечного элемента с двумя степенями свободы, без учета сдвига срединной поверхности и инерции поворота. Матрицу масс вычислим с использованием формул (11), полагая в них, согласно (12), Кх = Куу = 0 и ]у = 0, а матрицу жесткости конечного элемента, без учета деформаций сдвига, определим по формулам из [4].
Вычисляем элементы матрицы масс:
m99 = Р
13Al 35
m11,11 = Р
( Al3 ^
m9,11 = m11,9 = Р
(1ш! ^ 210
(13)
которая, согласно (13), имеет вид
[ М ] =
9,9
9,11
11,9 «11,11
или, в численных значениях,
[М ] =
5,948-10-3 5,033 • 105,033 •Ю-4 5,491 • 10-
В элементах матрицы жесткости
4Е/
к =-
»VI с»
13
Е1 2Е
Ах , к11,11 = (1 - Ах - , к9,11 = к11,9 = _1
2ЕТ
А,,
коэффициенты Ах, вычисляемые по формуле
А=
1 +12 К,
Е1
"1 £2ОА
примем равными Ах = 3.
Формируем матрицу жесткости:
[К ] =
, г = х, у, ю,
кк
к9,9 к9,11
кк
к9,11 к11,11
(14)
или, в численных значениях,
[К ] =
9,438 404 2,832 404' 2,832 404 1Д33404
Минимальное собственное число для матрицы, являющейся результатом перемножения [М]- [К], равно: = 6,13 х 10 . Тогда первая частота собственных колебаний балки будет:
со
1 =7^1 = 2,476 •103с-1.
(15)
Точное решение для первого тона колебаний консольного стержня (рис. 2) с распределенной массой известно из [5]:
1,875 Ш 1 И АР '
откуда ю1 = 2,464 ■ 103 с-1.
Разница полученного ю1 по МКЭ (15) и точного решения составляет менее 0,5 %. Далее определим первую частоту собственных колебаний балки (рис. 2) с учетом сдвига срединной поверхности. Предварительно вычислим по формуле (5) К1 = 1,33 ■ 10-4 м2 для матрицы масс и по формуле (14) вычислим Ах = 1,807 для матрицы жесткости. Получим:
[ М ] =
6,052 40-3 5,029 40-4 5,029 40-4 6,453 40-5
(16)
[ К ] =
5,685 4 04 1,706 404 1,706 4 04 7,948 403
(17)
4
3
Минимальное собственное число матрицы [М] ^[К] с учетом (16) и (17) будет = 4,739 ■ 10б, откуда частота первого тона
со
ij = 2,177 -103 c-1.
(18)
Таким образом, учет деформации сдвига срединной поверхности в консольном стержне двутаврового профиля (рис. 2) дает уменьшение частоты (18) первого тона колебаний на 11,6 %.
Рассмотрим стержень с шарнирным опиранием концов (рис. 3, а), для которого в [6, 7] было получено «точное» решение для частоты изгибных поперечных колебаний в плоскости у0г в замкнутой форме, при ах = ау = Кху = 0 на основе (4) и (5).
ш2у = J X4
1
рА
J EJ
1 + J X2 + J X2 А GJd
(
--
РЧ ^
EX2
(19)
б
Рис. 3. Двутавровый стержень с шарнирным опиранием концов
Определим частоту колебания первого тона (п = 1), т. е. рассматривается симметричная форма колебаний п'(0 = 0 (рис. 3, б). Для примера, рассмотренного в [6, 8] (А = 120 см2, = 3,733 х 104 см4,
к = 40 см, ]Л = 40 см4, Ь = 400 см, Кхх = 1,127 см2, Е/О = 2,5 | — = — |), получено по (19) «точное»
L 10
решение:
ш„ =
9,08 EJx
У Т-2
L У рА
(20)
Решим эту задачу по МКЭ. При принятых граничных условиях (рис. 3, б) формируем частотный определитель:
||[К ] - ш2у [ М | = 0 Имеем матрицы жесткости и масс:
[ К ] =
k k
kk
9,4 9,9
, [M ] =
m,
'4,4
m
'4,9
m
9,4
m
9,9
где коэффициенты матрицы жесткости определялись согласно [4]:
k4,4 = 1 (1 + Ах ) , k4,9 = k9,4 = Ц^Ах , к„, = ^ А . (22)
При этом величина Ах = 1,677 определялась по (14), а коэффициенты матрицы масс определены по соответствующим формулам матрицы (11):
«44 = Р |А 105 + 1Ь-' + 1' К2 ' } '
'п»=р IА135+51+1 (К'+к-)} • (23)
«49 = >»„ = -Р {• А1' + 1 + 1 ( К + 2 К^ )} ,
где Кх вычисляется согласно (12).
После подстановки числовых данных в (22) и (23) получим:
к44 = 2,6671, к99 = 6,708 1, к49 = к94 = 3,354 Е1
4,4 > 1 ' 9,^ ^ " 13 ' 4,9 ""9,4 ->>^ ^ 2 '
«4,4 = 0,01177рА13, = 0,4013рА1, = = -0,03082рА1.
Частоту юу по МКЭ определим после раскрытия частотного определителя (21), который после раскрытия имеет вид
п4у -240,8-^т-п2у +1256,0(1- = 0. (24)
у ра1 у р2а212
Решая уравнение (24), находим:
п _ 2,308 Е1х
п у V "рА. (25)
Полагая в (25) 1 = 0,5L (рис. 3, б), получим окончательно
9,232 Е1х
пу ~рА • (26)
Расхождение (26) с «точным» решением (20) составляет 1,7 %. Как известно [6, 7], решение (26) без учета сдвига имеет вид
п= ^ 1 = 9^7 1 (27)
пу Ь2)1 рА L2 У рА ' ( )
т. е. уменьшение частоты (26), вычисленной с учетом сдвига срединной поверхности по сравнению с (27), составило на 8 %. Дополнительно укажем, что с уменьшением отношения Н/1 (Н - высота сечения) влияние сдвига возрастает. Так, при L = 320 см ^^ = 11 ^ по формуле (19) получим «точное» решение
х
8,71 EJx
L
Решая задачу (24) по МКЭ, получим
рА
®y =
8,73 EJx
L
РА
(28)
Уменьшение частоты (28) при учете сдвига серединной поверхности и уменьшения длины двутавра с 400 до 320 см по сравнению с (27) составило 11,7 %.
На основании полученных результатов заключаем, что учет деформации сдвига срединной поверхности дает существенную поправку при вычислении частот собственных колебаний. Если принять во внимание приоритеты учета сдвига срединной поверхности тонкостенных стержней открытого профиля, можно перейти к задаче расчета пространственных конструкций, что реализовано нами при расчете остаточного ресурса металлоконструкций портальных кранов [9] как сварных систем, составленных из тонкостенных горячекатаных уголковых профилей (рис. 4).
Рис. 4. Расчетно-динамическая конечно-элементная модель портального крана «АБУС» г/п 16 т зав. № 1071487 з-да «Кранбау Эберсвальде» (Германия): 1638 узлов, 830 КЭ, степеней свободы п = 11466, масса крана 170 т
Конечно-элементная модель пространственных конструкций из тонкостенных стержней открытого профиля
Решение поставленной задачи выполнено по конечно-элементному уравнению движения п-го порядка [2, 9, 10]:
[м]{у}+ \Уз ([М][К])051{У}+[К]{У} = {РсТ} + {Рдин}-[М]{А(0} , (29)
в котором выражение перед {V} - матрица затухания Мартемьянова; |А(/)} - вектор ускорения кинематических воздействий основания; уз - коэффициент потерь, связанный с коэффициентом относительного демпфирования ^ = 0,02-0,04) зависимостью уз = 2^ = 2 (бз [(2л)2 + 5;; | ' ) ^ 5з / п
в которой 5з - логарифмический декремент затухания колебаний, присущий рассчитываемой конструкции. В уравнении движения (29) следует учесть, что матрицы жесткости и масс КЭ (далее - матрицы типа (8)) получены в местной системе координат Охуг, являются симметричными и имеют блочную структуру:
[ К>к ]
}к -|0^ 14x14
[ К ] [ К ]
]]
7x7 к]
7x7
[ К ] [ К ]
]к 7x7 кк 7x7
(30)
в которых 1 и к обозначают узлы начала и конца КЭ соответственно.
Для получения матрицы полной системы [К]^ в общей системе координат ОXYZ матрицу КЭ (30) необходимо перевести из местной системы координат Охуг КЭ ]к в общую ОXYZ с использованием матрицы преобразования координат [ТЪ^м [11]:
[Кк Г = [Т]Т [Кк Гг [Т],
1_ Jl4x14 1 J 1_ Jl4x14 1 Л
после чего матрица полной системы формируется методом суперпозиции:
г т^/г •, П0XYZ\
[ К ] = У ([ К]к | ) =
I \ [ ^4x14 / „
]к=1 У nxш
к1,1
1
к,1
к1к
к
ш,к
К
1
к
где ^ - число КЭ в полной системе.
Переход к расчетному анализу пространственных конструкций из тонкостенных стержней открытого профиля по уравнению движения (29) вызвал затруднение в его решении, заключающееся в том, что для несущих конструкций оно, как правило, является жестким и его прямое интегрирование методами Рунге - Кутты, Адамса и др. приводит к существенным вычислительным трудностям. В связи с этим в качестве способа интегрирования системы уравнений движения (29) предлагается использовать опробованный нами жестко-устойчивый метод Гира в виде формул дифференцирования назад [12, 13], позволяющий контролировать знак производной ¿//¿у на каждом шаге интегрирования и эффективно строить алгоритм интегрирования системы дифференциальных уравнений движения [10, 14].
Заключение
В процессе развития теории тонкостенных стержней открытого профиля неоднократно возникали различного рода предложения по ее модификации, мотивированные попытками отказа от гипотезы отсутствия сдвигов и учитывающие тем или иным способом влияние деформаций сдвига на работу тонкостенного стержня.
Следуя общей идее, выдержанной в [3, 4], учтено влияние деформаций сдвига включением в выражение для энергии деформации тонкостенного стержня открытого профиля той ее части, которая вызвана работой касательных напряжений. Эта идея по существу является переносом на теорию тонкостенных стержней соответствующей процедуры, использованной другими авторами при переходе от теории балок Бернулли - Эйлера к теории балок Тимошенко, а также при переходе от теории Кирхгофа изгиба пластин к теории Рейсснера. Такая схема рассуждений в части учета деформации сдвига в теории тонкостенных стержней, впервые представленная в работе Л. Н. Воробьева [8], привела к одному из наиболее простых вариантов сдвиговой теории тонкостенных стержней, представленному в настоящей работе.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Панасенко Н. Н. Конечно-элементная модель пространственных конструкций из тонкостенных стержней открытого профиля. Ч. 1 / Н. Н. Панасенко, В. П. Юзиков, А. В. Синельщиков // Вестн. Астра-хан. гос. техн. ун-та. Сер.: Морская техника и технология. 2015. № 2. С. 89-100.
2. Юзиков В. П. Строительная механика тонкостенных стержней / В. П. Юзиков, Н. Н. Панасенко. Волгоград: Волгоград. науч. изд-во, 2013. 361 с.
3. Панасенко Н. Н. Сейсмостойкие подъемно-транспортные машины атомных станций / Н. Н. Панасенко, С. Г. Божко. Красноярск: Изд-во Краснояр. гос. ун-та, 1988. 208 с.
4. Юзиков В. П. Расчёт тонкостенных стержней открытого профиля с учётом сдвига срединной поверхности / В. П. Юзиков, О. Б. Завьялова. Новосибирск, Изв. вузов: Строительство. 2011. № 1. С. 108-115.
5. Вибрации в технике. Справочник. В 6 т. Т. 1. Колебания линейных систем / под ред. В. В. Болотина. М.: Машиностроение, 1978. 352 с.
6. Воробьев Л. Н. К вопросу об изгибно-крутильных колебаниях тонкостенных стержней / Л. Н. Воробьев, Л. В. Яицкий // Прочность, устойчивость и колебания инженерных сооружений: Новочеркасск. Тр. Новочеркасск. политехн. ин-та. 1972. Т. 223. С. 43-50.
7. Юзиков В. П. Прочность и устойчивость внецентренно сжатых тонкостенных стержней открытого профиля за пределом упругости: дис. ... канд. техн. наук. Ростов н/Д: РИСИ, 1979. 168 с.
8. Воробьёв Л. Н. Влияние сдвига срединной поверхности на величину деформаций и напряжений в тонкостенных стержнях открытого профиля с недеформированным контуром / Л. Н. Воробьёв // Тр. Новочеркасск. политехн. ин-та. 1955. № 26 (40). С. 92-111.
9. Панасенко Н. Н. Конечно-элементный анализ остаточного ресурса грузоподъемных кранов / Н. Н. Панасенко, А. В. Синельщиков // Механика и процессы управления: в 2 т. Т. 2. Материалы 44 Все-рос. симпоз. М.: РАН, 2014. С. 158-169.
10. Синельщиков А. В. Численные методы нелинейного динамического анализа грузоподъемных кранов / А. В. Синельщиков // Изв. Тульск. гос. ун-та. Сер.: Подъемно-транспортные машины и оборудование. 2003. Вып. 4. С. 77-84.
11. Синельщиков А. В. Динамика и сейсмостойкость мостовых кранов: дис. ... д-ра техн. наук / А. В. Си-нельщиков. Астрахань, 2000. 276 с.
12. Арушанян А. Б. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране / А. Б. Арушанян, С. Ф. Залеткин. М.: Изд-во МГУ, 1990. 336 с.
13. Gear C. W. Numerical initial value problems in ordinary differential equations / C. W. Gear. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1971. 350 p.
14. Синельщиков А. В. Дискретные методы динамического анализа грузоподъемных кранов / А. В. Си-нельщиков, М. Н. Хальфин // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Технические науки. 2007. № 3. С. 34-38.
Статья поступила в редакцию 13.04.2015
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Панасенко Николай Никитович - Россия, 414056, Астрахань; Астраханский государственный технический университет; д-р техн. наук, профессор; профессор кафедры «Техника и технологии наземного транспорта»; [email protected].
Юзиков Владимир Петрович - Россия, 414056, Астрахань; Астраханский инженерно-строительный институт; канд. техн. наук, доцент; профессор кафедры «Промышленное и гражданское строительство»; [email protected].
Синельщиков Алексей Владимирович - Россия, 414056, Астрахань; Астраханский инженерно-строительный институт; канд. техн. наук, доцент; зав. кафедрой «Прикладная механика и графика»; [email protected].
N. N. Panasenko, V. P. Yuzikov, A. V. Sinelshchikov
FINITE ELEMENT MODEL OF THE SPATIAL CONSTRUCTIONS FROM THIN-WALLED OPEN SECTION RODS. IN 2 PARTS. PART 2
Abstract. The design analysis of the structures consisting of thin-walled rods, still remains a subject of the research. The paper presents the theoretical basis of the mathematical model of a thin-walled open section rod, which takes into account the impact of shifts and displacements of points and torsion angles of the cross sections on the size and nature of the distribution of internal forces. The mathematical relations for the construction of the matrix of mass of thin-walled open section rods, which can be used for dynamic analysis of the structures using the finite element method.
Key words: thin-walled open section rod, shift and torsion angle of cross sections, mass matrix, finite element method.
REFERENCES
1. Panasenko N. N., Iuzikov V. P., Sinel'shchikov A. V. Konechno-elementnaia model' prostranstvennykh konstruktsii iz tonkostennykh sterzhnei otkrytogo profilia. Chast' 1 [Finite element model of spatial constructions from thin-walled open section rods. Part 1]. Vestnik Astrakhanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo univer-siteta. Seriia: Morskaia tekhnika i tekhnologiia, 2015, no. 2, pp. 89-100.
2. Iuzikov V. P., Panasenko N. N. Stroitel'naia mekhanika tonkostennykh sterzhnei [Construction mechanics of thin walled rods]. Volgograd, Volgogradskoie nauchnoie izdatel'stvo, 2013. 361 p.
3. Panasenko N. N., Bozhko S. G. Seismostoikie pod"emno-transportnye mashiny atomnykh stantsii [Earthquake resistant lifting-and-transport machines of the nuclear stations]. Krasnoyarsk, Krasnoiarskii gosu-darstvennyi universitet Publ., 1988. 208 p.
4. Iuzikov V. P., Zav'ialova O. B. Raschet tonkostennykh sterzhnei otkrytogo profilia s uchetom sdviga sredinnoi poverkhnosti [Calculation of the thin walled open section rods taking into account shift of the middle surface]. Novosibirsk, Izvestiia vuzov, Stroitel'stvo Publ., 2011, no. 1, pp. 108-115.
5. Vibratsii v tekhnike. Spravochnik. V 6 t. T. 1. Kolebaniia lineinykh sistem [Reference. In 6 vol. Vol. 1. Vibrations of the linear systems]. Pod redaktsiei V. V. Bolotina. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1978. 352 p.
6. Vorob'ev L. N., Iaitskii. L. V. K voprosu ob izgibno-krutil'nykh kolebaniiakh tonkostennykh sterzhnei [To the question of bending and torsional vibrations of thin walled rods]. Prochnost', ustoichivost' i kolebaniia inzhenernykh sooruzhenii. Trudy Novocherkasskogo politekhnicheskogo instituta, 1972, vol. 223, pp. 43-50.
7. Iuzikov V. P. Prochnost' i ustoichivost' vnetsentrenno szhatykh tonkostennykh sterzhnei otkrytogo profilia za predelom uprugosti: dis. ... kand. tekhn. nauk [Strength and stability eccentric compressed thin walled open section rods beyond elasticity. Dis. cand. tech. sci.]. Rostov-on-Don, RISI, 1979. 168 p.
8. Vorob'ev L. N. Vliianie sdviga sredinnoi poverkhnosti na velichinu deformatsii i napriazhenii v tonkostennykh sterzhniakh otkrytogo profilia s nedeformirovannym konturom [Influence of the shift of the middle surface on the degree of deflection and stresses in the thin walled open section rods with non-deflected contour]. Trudy Novocherkasskogo politekhnicheskogo instituta, 1955, no. 26 (40), pp. 92-111.
9. Panasenko N. N., Sinel'shchikov A. V. Konechno-elementnyi analiz ostatochnogo resursa gruzo-pod"emnykh kranov [Finite element analysis of residual life of cranes]. Mekhanika i protsessy upravleniia: v 2 t. T. 2. Materialy 44 Vserosciiskogo simpoziuma. Moscow, RAN, 2014. P. 158-169.
10. Sinelytsikov A. V. Chislennye metody nelineinogo dinamicheskogo analiza gruzopod"emnykh kranov [Numerical methods of non-linear dynamic analysis of the load lifting cranes]. Izvestiia Tul'skogo gosudarstvennogo universiteta. Seriia: Pod"emno-transportnye mashiny i oborudovanie, 2003, iss. 4, pp. 77-84.
11. Sinelytsikov A. V. Dinamika i seismostoikost' mostovykh kranov: dis. ... kand. tekhn. nauk [Dynamics and earthquake resistance of the bridge cranes. Dis. cand. tech. sci.]. Astrakhan, AGTU Publ., 2000. 276 p.
12. Arushanian A. B., Zaletkin S. F. Chislennoe reshenie obyknovennykh differentsial'nykh uravnenii na Fortrane [Numerical solution of the ordinary differential equations using Fortran]. Moscow, MGU Publ., 1990. 336 p.
13. Gear C. W. Numerical initialvalue problems in ordinary differential equations. Prentice-Hall, Inc., Eng-lewood Cliffs, N. J., 1971. 350 p.
14. Sinel'shchikov A. V., Khal'fin M. N. Diskretnye metody dinamicheskogo analiza gruzopod"emnykh kranov [Discrete methods of dynamic analysis of cranes]. Izvestiia vuzov. Severo-Kavkazskii region. Tekhnich-eskie nauki, 2007, no. 3, pp. 34-38.
The article submitted to the editors 13.04.2015
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Panasenko Nickolay Nikitovich - Russia, 414056, Astrakhan; Astrakhan State Technical University; Doctor of Technical Sciences; Professor; Professor of the Department "Technique and Technology of Land Transport"; [email protected].
Yuzikov Vladimir Petrovich - Russia, 414056, Astrakhan; Astrakhan Institute of Civil Engineering; Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor; Professor of the Department "Industrial and Civil Construction"; [email protected].
Sinelshchikov Alexey Vladimirovich - Russia, 414056, Astrakhan; Astrakhan Institute of Civil Engineering; Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor; Head of the Department "Applied Mechanics and Graphics"; [email protected].
