CC BY
13
УДК 539.3:624.04
МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕИНО ДЕФОРМИРУЕМЫХ УПРУГИХ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ. Ч. 1
© 2008 г. Г.В. Воронцов, И.А. Петров, С.А. Алексеев
1. Общий метод формирования матриц жёсткости тонкостенных стержней отрытого профиля
В основу метода положена теория расчёта геометрически нелинейно деформируемых стержней при следующих предположениях [1, 2]:
- недеформируемость контуров проекций поперечных сечений на «сопровождающие» плоскости, нормальные к изогнутой и закрученной оси стержня;
- незначительность влияния касательных напряжений на изгибные деформации стержней;
- линейная упругость материала, причём при вычислении нормальных напряжений |: = 0, см. [3];
- равенство общего крутящего момента
Mz (2) = Mю(2) + Mк (2).
В результате получены следующие выражения для относительных деформаций и нормальных напряжений в направлениях, касательных к оси стержня:
8 я = [[х -п"у -е'ю]+
+2 [(^')2 + (п')2 + (е')2 р2 ]+в (^"у - л*)+
+0' п'(х-ах)-£'(-ау) , (1)
а 21: = Ее 21.
Здесь введены общепринятые обозначения: ^ (2 ), П^), £(2) и е(z) - перемещения центров изгиба
в направлениях главных центральных осей X, У, Z недеформированного состояния стержня и углы закручивания; X, у, Ю и а*, ау - координаты точек и центров изгиба поперечных сечений;
р2 = (х - ах )2 +(у - ау ); Мю(2 ) имк (2 ) -
изгибно-крутящий и момент чистого кручения.
Отметим, что первое слагаемое в формуле (1) соответствует теории В.З. Власова, относящейся к расчёту стержней по недеформированному состоянию.
Введем вектор перемещений поперечных сечений стержня
и (2 )=[$(* )|л(2 )|0(г )|С(2)]'
и представим выражение (1) в матричной форме
( ) =
П о + 2 П1 ( (z ))D
u
(z ),
(2)
П0
: xd2 | yd
d: = d/dz;
2 | wd2 |
-d ],
" d \ о о d2 о !о 1
—1- —1 ---V --- \---- -1—
о ! d о о ! d2 ! 0
—1- —1 —1- ___ j---- -1—
о ! о 1 ! о о | d
—1- —1 ---V --- i---- -1—
_ 0i о о о о о
D
Матрицу-строку П (и ^)) размера 1х 6 определим выражением
П1 (и (z )) = [^ )-е'(z )(у - ау)| ¡л'(2) + е"(г)(х-ах)|^(2)у-п''(2)х | | е(z) у | -е(2 )*| е'(z )2 р2Ч'(2 )(у - ау)+ +П'(z)(* - ах )]. (3)
Все координаты (х, у, z; ах, ау ) точек поперечных сечений отсчитываем относительно осей X, У, X , связанных с центром тяжести С .
Далее введем у - матрицу (4 Х14) аппроксимирующих функций, такую что
~ ~ (4)
u
(z)» у (z )U, U: = U
гр'
где и есть постоянный (14 Х1) -вектор обобщенных
(краевых, граничных) перемещений. Подставляя выражение (4) в формулу (2), получаем
е (2 ) = (П 0У (z ))и+
2 П1 ( (z )и )( ^ ))ии.
+
2
(5)
Составим вариацию относительных удлинений , (2 1=111 0У (2 ))8 и + 1
в котором матричные дифференциальные операторы
^ (2 )=(П0У (2 ))8 и+ - П1 (у (2 )и )х х(у(2))8и + 2П1 (у (2)8и)(1>у(2))и. (6)
Определим возможную работу внутренних сил и упругих связей на концах стержня на перемещениях
8 и
8Ж: = -/8е21 (2)Ее2х (2)<& - Нсв8и, (7)
где Нсв - диагональная матрица (14 Х12 ) жестко-стей связей.
Подставляя в формулу (7) выражение (5) и транспонированное уравнение (6), получаем
SW = j|sU*
ПМ^ )* + 1 (((z))* П* ((z)U)
+
1
+- U 2
(Dvp(z)) П*((z)SU)) (z)
откуда следует
SW = -SU
H 0 + 2 (Hu + Hu)
U
SHM U-SU НсвU.
Здесь введены обозначения
v *
(8)
"2(Hu + Hu )•
Do = diag
"э2 э2 э2 э"
dz 2 dz 2 dz 2 dz
П1 («) =
—1—1—i-
-(y - ay)
У
I—I----
¡ -x
—I—I—[--
I I
I
J_
I V-
ax
—I----1-----
y
-x
-(у - ay)
x - a
x
x
Ш
nlfe) n(z)
9("z )
e'-(Z)
(ii)
Но = Яп„у (г)) Е(у (г)) + Нсв, (9)
V
1 * Ни = -!(ПоУ(г)) ЕП1 (у(г)и)((г))dV,
2 V
ДНи = 2К (г))*П* ( (г)и)ЕХ
2 V
х(П- (у (гр))( (г)). (10)
Выражение (9) определяет матрицу жёсткости стержня, соответствующую линейной постановке задачи, формула (8) - поправку, учитывающую нелинейные слагаемые. Матрицей ЛНи второго порядка
можно пренебречь.
Таким образом, общая матрица жёсткости стержня
d
И — d
! o
T i "5( z)
i i n(z)
т i i в( z )
1 ] _C(z )
0
(12)
Н - Н0 + 2(Ни + Ни
Представим выражение (2) в ином виде, последовательно определяя матрицу По и строку П1 . Полагаем
П0:- *D0, X -[х \ у | ю | -1],
и вектор
z)
П(}1
n'_(_z)
е( Z)
е'( z) 4 yJ L I I
см. формулы (1), (3), (4).
Полученные выражения (11) и (12) представим в виде
П* (u ) = :V (x,...,ay ) (d )u (z ).
Обозначение V означает матрицу уравнения (11), D1 - матричный дифференциальный оператор формулы (12).
2. Пример составления матрицы жёсткости стержня Сформируем вектор краевых условий
Игр = colon [£о | I По
ъ ! n0! n ! nL
10b ¡00 ¡el Ко! Zl].
В первом приближении полагаем
x(z ) = ах + а2 z + а3 z2 + a4z3;
: a2 + 2a3 z + 3a4 z
2.
причём
I -:} ** *dF - diag[/у | 1х \ 1т \ а],
А
где площадь поперечного сечения А стержня считаем постоянной. Далее составим выражение для матрицы-строки (3)
X'(z):
Х=:е,П;
9(z ) = b1 + b2 z + b3shKz + b4chKz;
(13)
(14)
9'(z ) = b2 + b3KchKz + b4 KshKz;
Z(z )
к2 =
GIK (15)
EI,
Ю
c1 + c2 z,
(16)
что соответствует решениям однородных уравнении :IV ^ Т7Т „IV
EIy Г = 0, EIX
0,
£/юе1У - 01ке" = о, &с = о,
описывающих деформации плоского изгиба в плоскостях XX и УХ, стеснённого кручения (по В.З. Власову) и растяжения - сжатия стержня.
Подставляя в выражения (14) 2 = 0 и 2 = Ь , получаем
Л" "1 0 0 0 " a1
0 1 0 0
!г =: ^ 0 = 1 L L2 L3 2 a3 : = S^ а
-£L _ .0 1 2 L 3L2 - a4 _
а =:S-^.
(17)
0г =
Ö0 " "1 0 0 0 " " Ъ
00 0 1 К 0 ъ2
0L 1 L shhL еккЬ
0L .0 1 кеккЕ ^ккЬ
b = S-10
GL
г'
: = Sfi b;
(18)
EI
ю
Наконец, на основании уравнения (16) выводим
4:=
"Z 0 " "1 0" " е1"
.ZL _ 1 L .е2 _
: = Sc c;
c = S-1^.
(19)
С учётом выражений (13)—(16) и (17)—(19) получаем [1
£(--) n(z)
0(z )
)
I I z
[1 [1 [1
X
п г
0г
4
z lzl
z 2 z3 ] S-1
z 2 z3 ] Sn'
s^z еккг ] S-1
S-1
у (z )и .
(20)
Заметим, что все матрицы 8-1, 8^, 8--1, 8-1
постоянны при заданных Ь и к; матрица у (2)
имеет размер (4 Х14), матрицы 8^, 8^, 8е -
(4Х4), 8^ - (2Х2).
Для составления матрицы жёсткости подставляем полученную матрицу у (2) уравнения (20) в формулы (9) и (10).
Подставляя матрицу аппроксимирующих функций
У (z ):
Здесь и далее индекс «г» отвечает совокупности граничных условий.
Выражение для Пг аналогично (17). С помощью уравнений (22) составляем равенства
I I
z z z
2 3
z z z
z s^z еккг
z 0 0
,-1
,-1
,-1
,-1 ч
в формулы (9) и (10), вычисляем матрицы Ho и Hu и общую матрицу жёсткости
н = н о+"2 ( + Нм),
такую что Н и = ¥.
Здесь ¥ есть вектор внешних сил, приложенных к стержню, определяемый из выражения для возможной работы
L
8WF = 8u J
0
У*(z)
+
(чф ))*
m
y
mx 0
0
4x qy
mz
- qz.
__* ^
= 8u F,
где qx,...,mx - интенсивности распределённых сил и моментов.
Литература
1. Воронцов Г.В., Ляшенко Е.А., Кузина О.А. Дифференциальные уравнения изгиба и кручения нелинейных тонкостенных стержней // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 1996. С. 127-142.
2. Воробьёв Л.Н., Воронцов Г.В., Кабельков А.Н. Теория нелинейно деформируемых стержней // 100-летие кафедры «Сопротивление материалов, строительная и прикладная механика: Сб. избр. науч. тр. / Под ред. Г.В. Воронцова; Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). Новочеркасск, 2007. С. 38-56.
3. Власов В.З. Тонкостенные стержни. М., 1960.
Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)
10 декабря 2007 г.
