CC BY
20
СТРОИТЕЛЬСТВО
УДК 624.042.41:524.1
адаптивные системы гашения колебании высотных сооружений в зонах природного риска. ч. 2
© 2003 г. Г.В. Воронцов
Намечаемая серия статей предусматривает рассмотрение комплекса задач, включающего: математическое моделирование управляемых высотных сооружений различного типа, математическое конструирование средств измерения и систем автоматического гашения колебаний как при импульсных воздействиях типа сейсмических толчков, так и длительных ветровых и других воздействиях. Попутно будет рассмотрен ряд вопросов теории автоматического управления, в частности, адаптивных систем [1].
Настоящая статья посвящена математическому моделированию высотных сооружений с рамным каркасом из тонкостенных стержней, жесткими перекрытиями и центральным несущим столпом.
1. Перемещения, деформации и напряжения нелинейно деформируемого тонкостенного стержня
Перемещения поперечных сечений тонкостенного стержня открытого профиля задаем вектор-функцией
U(z)= colon [[(z) n(z) 0(z) Z(z)], которой ставим в соответствие линейные деформации
[2, 3]
ez (z)=-[[x + V> + 0'Ш-С']+ +1 [)2 + (n')2 + (0')2 P 2 ]+
+ 0(('y -n'x)+ 0'[(x - «x )+ ['(y - ay )]. (1)
Здесь [, n, Z - соответственно перемещения центров кручения поперечных сечений в направлениях центральных осей X, Y; 0 - угол закручивания; x, у, z, ю - декартовы и секториальная координаты точек стержня; ax, ay - координаты центров кручения;
P2 = (x - ax ) + (у - «у )2.
Вводя обозначения
П(d)=-[xd2 I
I2 I rnd2 I - d],
D* (d ) =
'd ! 0 0 d2 0 ! 01
0 d 0 1 1 0 d2 i 0
0 0 1 "Г "I" 0 0 1 d
0 0 0 0 0 ! 0 _
f I
- x I
A(u) = [Г - e'(y - ay) ; n' + e'(x - ax) ) l'y-n'
I Oy \ -ex I e'p2-£'(y - ay )+n'( - ax)], (2)
представим формулу (1) в виде
e z (z ) =
п 2(G)(d)+1 П (a )D(d)
Kz) • (3)
Угловыми деформациями в срединной поверхности стержня пренебрегаем.
Нормальные напряжения в поперечных сечениях определяем по формуле линейного напряженного состояния [4, 5]
аг ^):= Еег ^ ). (4)
Сформировав матрицу напряжений
n2(G) = Gz
±______1
! 1 !
"(y - a
I I x - ax .__!____I______f.
I I
y I - x I
=: a n, z
(5)
-УУ - ау )
получаем важную зависимость
П 2 (а)о(с1) и(г)= П* (й^))аг. (6)
Введем вектор V обобщенных перемещений стержня и (4х4)-матрицу ^^) аппроксимирующих функций, так что
й(г): = )V. (7)
Соответственно перепишем формулу (3)
(П^ )+ 2 ni(u )(dy )
(8)
I I _
x
£
z
и составим выражение для вариации
8ег = 8У*[(Пу)* + (£у)*П*(к)] , (9) где использовано тождество
Я (и )8 и = П1 (8 и .
2. Матрица жесткости стержня с четырьмя степенями свободы
Рассматриваем стержень, жестко защемленный по концам относительно поворотов и депланаций поперечных сечений. Аппроксимацию вектора от смещений Vв верхней опоры определяем выражением
К* )=
n(z)
e(z)
"Z(z)_
Vi (z)
Vi(*)
Vi(z)
V 2(z)
x
X
= v(z )Vв
(10)
где в простейшем случае принимаем (рисунок)
Vi (z ): =
3z2 2z
L
2
L
, V 2 (z ): =
L
Жесткостью 01к тонкостенного стержня пренебрегаем; аппроксимации углов закручивания при стесненном кручении выполняем на основе известной аналогии задач плоского изгиба и «чистого» стесненного кручения [3].
^ = I
Vj(z)
Составим выражение для возможной работы напряжений а(г) на приращениях деформаций см. формулы (3), (7) и (8).
8Ж = ) /8е Ее ёАёг =(в )* х
0 A
хш[(пу )* + (dy)* п* (й)
[о A
x
x E
(пу)+2 П (й)(пу)
dAdzi V =: (sV в )* hSVв
Здесь Ь и А - длина и площадь поперечного сечения стержня. Матрицу жесткости (4х4) представляем суммой
И = И Л+ Иа + Ъи, (11)
где обозначено
ИЛ =| | (пу)*Е(Пу)dAdz ; (12)
Ьа=| / (яу)*П2(а)(у)dAdz ; (13)
Ии =| I (П у)*Е П1(и )( у)dAdz. (14)
Здесь использовано тождество (6) и отброшены малые второго порядка, содержащие произведение
П* (и )х П1 (и ).
Матрицы Иа и Ии учитывают геометрическую нелинейность формулы (1), определяющей деформации. Матрица жесткости стержня, отвечающая смеще-
ун
ниям как верхней, так и нижней опоры V , составляет
" h - h" " V в"
h = V : =
- h h V н _
CT^Ve = 1
"¿fc?----
I
V = 1
zs2
__________i
V2(z)
y
y
Перемещения сечений стержня от единичных смещений верхней опоры
v
X
V
y
V
e
v
z
Z
Рассмотрим два состояния стержня "Уу, и j, Оj и
\в+1 = Ув + д", +1 = + А иу, оу+1 = оу + Аау,
определяемые уравнениями
h,VB = fj и h,+1 (VB + AVj5)= f," + Afj5,
(15)
где Г у и Г у + АГУ - векторы соответствующих сил,
вызывающих смещения Ув и У^ц. Составим разность выражений (15)
(ь у+1 - ь у)в + ь у+1ду; = м;. (16)
Используя формулы (11)-(14) и (4)-(9), имеем
ь у+1 - ь у = ь до у + ь ди} , ь у+1 = ь л + ЬО+ ьи;+!,
доу = е[(п у )+ п (гу )(я у )]дУ;. (17)
При этом уравнение (15) получает вид
(ьдОу + ьдиу ^ + (ьЛ + Ьо,+! + ьи,+1 )дУ^ = М?.
Считая перемещения д"Ув, д и у , а также прира-
щения Ac j малыми, полагаем
\h л + hc, + hMj jAVj = Afj.
(18)
Линеаризованные выражения (17), (18) позволяют построить итерационный алгоритм расчета геометрически нелинейно деформируемого стержня при постепенном наращивании нагрузки.
В первом приближении принимаем
(ь л + Ьоо + Ьио )дУв =д?в,
о ° (19)
до = е[(п у )+ пх (и0 )ф у )]дУв,
где дГв, дУв - полные приращения нагрузки и перемещений; оо, ио - заданное начальное состояние стержня.
С другой стороны, выражения (17), (18) позволяют последовательно уточнять решение
ьлУв = ?в, Оо = е(п у)Уов, (20) полученное по линейным уравнениям. При этом полагаем
(ь л + ьоу + ь^ )дУу+1 = Гв, м у = 0,1,2, к .
Здесь у - номер приближения.
Естественно, что уравнения (19), (20) могут быть (и будут) обобщены на системы многих стержней, см. п. 3. Отметим, что слагаемые ьи матрицы жесткости (11) во многих случаях можно опустить.
Рассмотрим некоторые аспекты вычисления матриц (13) и (14), обеспечивающих приближенный учет геометрической нелинейности задачи при введении матрицы жесткости стержня
h : = hЛ+ hc0 + h»0 •
В частности, полагая в выражении (12)
мо (т) мо (т) В° (т) " —у-^-х +—^^у + юч
+
N0 (z )
A
(21)
учитывая равенства
J xdA = J ydA = 0,
A A
J xydA = J xrndA = J yrndA = 0
A A A
и вводя обозначения
Ix = J y 2dA, I = J x 2dA, Im = fm2dA;
ßx = ± Jx(x2 + y2),
IyA
)dA - ax
ß y = -1 J y(x 2 + y 2),
ly A
dA - a
y
(22)
ß»= -1-1®2 (x2 + y2 )dA, r2 = AAP2dA>
A
вычислим интеграл
Jc0 y, z, ю)я y,p^
■ № |i 1 M0 - ay№ '
! № ! ! 1 IL ! - M0 + axN° L. L y X
1 1 1 1 1 1 1 1 1 - M M ! y 1
i ! -M ! 1 I L 1 1 L L
i ! M ! 1 1 1
M0 - ayN0i -M0 + aNj i " \f (MX, My, BS, N°\
(23)
В выражениях (21), (23) изгибающие моменты Мо (р), мо (р), бимоменты В° (р) и продольные
силы Nо (р) соответствуют некоторому «начальному» или линейно-определенному (первого приближения) состоянию системы;
f0 =:
M0(Xax - ßx)+M0((ay - ßy )+ B°mß0
+ Nr 2. (24)
Полное выражение для матрицы
hc0 = JD V )
J c ndA
A
(D V )dz
определяется составом аппроксимирующих функций матрицы у(т), см. выражение (8).
ю
x
Для стержней с бисимметричным поперечным сечением в формулах (22)-(24) принимаем
ах = ау = 0 .
Аналогично составляем матрицу Ьй , полагая в формуле (2)
?(г ): = £ (г), ) = £, к, п'(г ):= п'о (г),
подробнее см. в [6].
3. Матрица жесткости и инерционная матрица высотного сооружения
Введем «глобальную» систему координат X, У, Z сооружения, где X, У - направления главных центральных осей поперечных сечений столпа, Z - ось центров кручения.
Обозначим через Ь,,- матрицу жесткости стерж-и
ня , этажа -, относящуюся к собственным осям х-, у-, х- стержня, составляющим углы
а-, а- + п / 2, п / 2 с осями X, У, Z . Сформируем матрицу
* j =
cosa sina - sina cosa
lcxsina - cycosa)
lcxcosa + cysinal
0 0
(25)
Здесь Сх, Су, - координаты центра тяжести поперечного сечения в системе X, У .
Матрицу жесткости Н -, отвечающую перемеще-
ниям
Vx (zj ), Vy (zj), Ve(zj ), Vz (z7 ) этажа j
деляем выражением
Hj =S ** h/j V
опре-
(26)
Полагая
Ух (г- )= у X (г- ) Vx, к, (У- )= у - (г- ) V-, (27)
где V, к, V - векторы обобщенных перемещений;
у х (г ), к, у г (у ) - векторы аппроксимирующих функций (п << N, N - число этажей), имеем
V- =[уХ (г-)] ,
где
Vj = colon[Vx(zj )...Vz(zj)] y* (zj ) = diag[X (zj. yz (zj ) ] > V = eolonVx Vy V Vz ].
При этом матрицу жесткости всего сооружения составим так:
н = £{ )- у(г-_1)} {у* (г- )- у* (г,-_)} ,
j=1
(28)
сравним с интегральной формой матрицы жесткости для сооружения башенного типа, в данном случае -столпа, которую нужно прибавить к матрице (28).
Инерционную матрицу, отвечающую обобщенным перемещениям (27), формируем опять-таки на основе смешанной дискретно-непрерывной модели сооружения. Обозначая через М -,Мг- массу и момент инерции перекрытия -, получаем
М = £ у (г- М, I- М, ]у* (г, )+ Мст, (29)
-=1
где М ст - инерционная матрица столпа, получается
по методу [1].
Конечно, приведенные в статье матрицы (28), (29) жесткостей н и инерции М являются весьма приближенными, поскольку они не отражают всю сложность конструктивных решений высотных сооружений рассматриваемого типа. Однако они позволяют составить уравнение колебаний
MV + + HV = F
(30)
эталонной модели, - при введении в матрицы М и Н некоторых параметров, подлежащих идентификации на основе анализа колебаний реального сооружения, подверженного взрывному воздействию, имитирующему сейсмический импульс. Методы идентификации параметров уравнения (30) будут рассмотрены в следующей статье.
Литература
1. Воронцов Г.В. Адаптивные системы гашения колебаний башенных сооружений в зонах природного риска // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2003. № 3. С. 40-43.
2. Воронцов Г.В., Кабельков А.Н., Кузина О.А. Дифференци-
альные уравнения задач об изгибно-крутильных колебаниях нелинейных тонкостенных стержней // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 1996. № 4. С. 67-68.
3. Воронцов Г.В., Ляшенко Е.А., Кузина О.А. Дифференци-
альные уравнения изгиба и кручения нелинейных тонкостенных стержней // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 1996. № 3. С. 127-142.
4. ВласовВ.З. Тонкостенные упругие стержни. М., 1959.
5. Воробьев Л.Н. Влияние сдвига срединной поверхности на величину напряжений и деформаций в тонкостенных стержняхъ открытого профиля с недеформируемым контуром // Сб. науч. тр. / Новочерк. политехн. ин-т. Новочеркасск, 1955. Т. 26/40. С. 92-111.
6. Воронцов Г.В., Кузина О.А. Тангенциальные матрицы
жесткости нелинейно деформируемых тонкостенных стержней // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 1996. № 2. С. 115-130.
Южно-Российский государственный технический университет (НПИ)
29 мая 2003 г.
