Адаптивные системы гашения колебаний высотных башенных сооружений в зонах природного риска Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 624.042.41:534.1

адаптивные системы гашения колебании высотных башенных сооружении в зонах природного риска

© 2003 г. Г.В. Воронцов

Устройства гашения колебаний высотных сооружений могут быть разделены на три основные группы:

- антивибраторы с жесткой настройкой на определенные частоты свободных колебаний сооружений и (или) заданные характеристики случайных сейсмических, ветровых или техногенных воздействий;

- системы автоматического управления, включающие средства наблюдения, исполнительные механизмы, фильтры и регуляторы;

- самонастраивающиеся (адаптивные) и управляемые антивибраторы с изменяемыми параметрами.

Настоящая статья посвящена задачам математического моделирования адаптивных систем гашения колебаний наблюдаемых высотных сооружений прямоугольного и круглого (по периметру) переменного поперечного сечения. Принято, что сооружения жестко связаны с основанием типа упругого полупространства и подвержены ветровым или (и) сейсмическим воздействиям. Непрерывно настраиваемыми считаются: жесткости упругих элементов, коэффициенты демпфирования и углы ориентации динамических гасителей колебаний.

Принятые предположения и допущения:

1. Сооружение башенного типа аппроксимируем консольным стержнем прямоугольного (квадратного) или круглого полого поперечного сечения с переменными продольными Е2 (г)А(г), из-

гибными Ех (г )/х (г ) и Еу (г )/у (г ), сдвиговыми ^ ()А(), Оу (г)А(г) и крутильными Окр ()/кр ()

жесткостями, определяемыми методом размазывания матриц жесткостей конечных элементов расчетных схем решетчатых, пластинчатых и других блоков конструкции.

2. Стержень считаем закрепленным в жесткий (монолитный) фундамент, опирающийся на линейное вязкоупругое полупространство.

3. Соответственно вводим приведенные погонные массы т(г) и моменты инерции /х(г),/у(г),/2(г), характеризующие инерционность сооружения, а также массы т^ ( = 1,2, к) устройств гасителей колебаний. Квазисосредоточенные массы гасителей вводим в уравнения с помощью 5 -функций.

4. Перемещения и углы поворота сечений аппроксимируем линейными выражениями вида

vx (z, t ) = vX (t)-ey (t)z + y x (z) x (t)=: y (z V (t); Vy (z, t) = vy (t) + ex(t)z + yy(z>)y(()=: У (zV(();

v

I )= (()+ у * (г ^ г (() =: у * (г )у2 (();

0 2 (г, I) = 0 о (() + у 0 (г ) 0 (() =: у* ( ) ((),

где обозначено

(1)

Vx

vx vy

0 y , Vy = rx , Vz =

VX _ y _

0 * vx = [[ z 1 0 * ! vx 1-, vv e

> ■

z , Ve = z

z _ e _

(2)

Здесь у*е (г)е Я"е (е : = х, у, г, *) есть векторы

перемещений и углов закручивания, отвечающие главным формам основных и нескольких низших обертонов свободных изгибных, продольных и крутильных колебаний стержня (модели сооружения), определенные с учетом масс антивибраторов. Обычно принимают пе < 4 + 5 [1].

Перемещения V^ (() и углы поворотов 0° ((), ] : = х, у, г , обусловлены податливостью основания; углы закручивания 0 (г, ^) считаем малыми.

5. Силы неупругого сопротивления деформациям сооружения вводим на основе модифицированной гипотезы [2] частотно-независимого трения: логарифмический декремент - затухания постоянен для основного и по крайней мере нескольких низших обертонов свободных колебаний независимо от амплитуд. Это означает, что система уравнений вида

мУ(()+ кУ (()+ нУ (()= 0,

где м, к, н есть соответственно матрицы масс, диссипации и жесткости, после приведения к главным координатам у((), относительно которых

V (( ) = ф v(( ), постулируется в виде

ц)+ - п* (()+ п2 v (()= 0.

п

Здесь ф - фундаментальная матрица, отвечаю м-1н; п = diag[ю1...юj...] ;

Здесь принято, что в обозначениях типа

Ю j -

щая матрице ___,__ ™ ____]

частоты колебаний сооружения, найденные без учета сил трения.

6. Демпфирование перемещений масс ц^ гасителей колебаний описываем уравнениями линейного вязкого трения.

7. Считаем, что устройства гашения колебаний позволяют изменять ориентацию гасителей в горизонтальной плоскости в соответствии с изменением направления внешних возмущений и (или) колебаний сооружения.

8. Оптимизацию значений |^ и координат z j

центров подвижных масс, равно как и начальную г

настройку жесткостей Sj упругих элементов и коэф-г

фициентов Kj демпферов гасителей, выполняем по

критерию минимума амплитуд колебаний сооружения при заданных характеристиках экстремальных воздействий [3, 4]. Для башен прямоугольного сечения

начальную ориентацию аг гасителей выполняем в соответствии с «розами» ветров или сейсмических ударов данного региона.

9. Полагаем, что сооружение снабжено системой наблюдения - акселлерометрами и лазерными средствами измерения перемещений и (или) деформаций отдельных узлов.

10. Система адаптации обеспечивает оптимальную настройку параметров элементов жесткостей, демпферов и ориентации (углов поворота аг) гасителей колебаний.

1. Уравнения колебаний сооружений башенного типа Матрицы жесткости В соответствии с выражениями (1), (2) составляем матрицы изгибно-сдвиговых и крутильных жесткостей сооружения L.

Hy = №4| г j(z j(z )* + ¿y8(z - 0)vj>y (z )vj>y (z)

+ [cx8(z - 0)-N (z )]jy (z)vvy (z)) +

+ GAy j

dz;

(3)

EIx\ ,GAy

,... учтены особенности, обусловлен-

ные формой поперечных сечений или (и) решетчатых, пластинчатых, монолитных и других конструкций отдельных «размазываемых» по высоте башни блоков.

Продольные силы N (г) в формулах (3) при горизонтальных возмущениях считаем постоянными во времени (вызываемыми весом сооружения). Жесткость башни в продольном направлении Z определяем выражением

L Г *

Hz =№z |г ^ (zЖ ^)* +

0

+ SzS(z - 0^/z (z)фГz (z)*К В выражениях (3), (4) sj, cj есть приведенные к

осям j : = X, Y, Z жесткости основания, отвечающие линейным и угловым перемещениям фундамента-монолита; 8(z — zк ) - дельта-функции, такие, что L

| c ( ^ — zк )dz = c (zк ).

о

Инерционные матрицы

Вводя обобщенный вектор перемещений

V = со1оп[[ | V у \УЪ \ ув],

сформируем блоки инерционной матрицы

м = diag [ \ыу \ ыъ \12 ], определяемыми по формулам

МХ = о )+ £ mTj 8( — Zj )ух (zЖ ^)dz + + |4/у^)+£'у— Zj )|^Х(z)^Х*(z)*

+

Мz = j|m(z )+]Tm7r 8(z - Zj )J j z (z Ж (z )dz; Ie = Ж (z )+E izj s( - zj )|j e(z )dz.

Hx = |{EIy| z )jX(z)) + Sx§(z - 0)vjvx (z)jX (z) +

о

+ [Cy8(z - 0)-N (Z )]v'x (z )jx (z ) +

+GAx| z C( Ж())}<^;

H KP = J{gikp

+ С

,s(z - 0)vv'e (z )vv; (z)) }dz.

(4)

г *г *г *г Здесь mj , 1у j, 1Х j, lz j - полные массы и моменты инерции конструкций антивибраторов j , расположенных в сечениях zj .

Уравнения колебаний Уравнения колебаний сооружения составляем, естественно, с учетом инерционных усилий типа

—^г, о, ] =1ки

работа которых на виртуальных перемещениях 8Ух( Zj): =5КхУ (Zj)

составляет

z

z

z

8V ^ГVl(zj,t)V(zj) = -SVx[V(zj)]x

j=i

x [ ^] v&x((),

где обозначено

[¥(Zj )]=[ ,

[цг] = diag[...цU], vX(()= colon [vX(zi,t)...vx(zи,t)] .

Напомним, что z j есть координаты гасителей с вышена за счет:

Соответственно уравнения поворотов масс гасителей при изменении ориентации а(() составляем по образцу (5 ), (8):

[/г ]&&(()+[ка ] а(()+] аг ()=§а ((). (9)

Здесь § а(() - вектор моментов, возбуждаемых

исполнительными механизмами системы управления. Устройства настройки жесткостей упругих элементов и демпферов гасителей считаем безынерционными.

Конечно, приведенные уравнения (5)-(9) являются приближенными, но их точность может быть по-

массами ц j, совершающими относительные переме щения Vx (zj, t ),vy (zj, t). Итак, выводим уравнения

mxVx(()+ kxVx(( )+ hxVx(()+ [Vx (zj )x x[^] v&x(()= Fx((),

m yVy (( )+ k yV&y (( )+ h y Vy (( )+ [V x (zj )] X X [ Ц j ] vr (() = Fy (();

m V (() + к V (()+ h z Vz (()=Fz ( ), igVg (()+ kgVg (()+ hgVg (()+ igä(() = Fg (().

m y , k y , h y

(5)

(6)

Здесь Kx,k,Ke - формальные матрицы трения, см. п. 5 принятых допущений; Iг= [ye(z7 )*[/'.] + [ц .]diag[v\(()2 .„vit)2].(7) В уравнения изгибных колебаний (5) введены проекции полных ускорений vj (t) масс Ц. гасителей, поскольку в общем случае необходимо учитывать где обозначено: W - обобщенный вектор перемен-возникновение поперечных (по отношению к направ- 0 / ч

лению ветра) автоколебаний, или так называемого ных состояния, включающий перемещения Ve (() галопирования [1].

Векторы инерционных сейсмических усилий определяем выражениями

1. Идентификации параметров

(у : = х, у, 2) по результатам натурных экспериментов и анализу затухающих колебаний сооружения, вызванных взрывной имитацией сейсмических воздействий;

2. Введения в продольные силы N (г) дополнительных инерционных составляющих, причем

N (г, I): = N (г )--1/ [т(г )+ ¿т7г § (г - )] у * ( )) V (()-,

Естественно, что с учетом представленного выражения усиливается нелинейность уравнений. Более подробно о нелинейных моделях сейсмостойкости сооружений см. в [5];

3. Более точного учета крутильных колебаний сооружения.

2. Настройка параметров динамических гасителей колебаний

Представим совокупность уравнений (5), (6) в виде

Я (()= Ф№ ( ((), Р((), Р№ (()), (10)

Fy()=-ay ()myв, Y : = x,y,z, где в - единичный вектор; - ускорения основания.

Уравнение относительного движения масс |j представляем в виде

[|Г ] {[cos a j ] [у x ( Zj )]* vx ()+[sin a j ] x # y( Zj )]* vy ()++ v&X ()}+

x[

+[кг ] v x (()+[s г ] v г (() = 0,

(8)

где [ц г ],[кгг ],[ s^ ], [cos a j],[sin a j] - диаго-

Ve(() (e = x, y,z) и vг((), Vг((); P(() - вектор варьируемых параметров гасителей колебаний,

P(()= colon [a(() ! sг (() ! кг ] ;

Fw (() - вектор возмущений, подлежащий идентификации на основе анализа показаний средств наблюдения (СН) Rw (()= п wW; (17)

Rw - вектор сигналов СН; пw - постоянная матрица

состава измерений.

Уравнение настройки параметров гасителей колебаний

Введем скалярный критерий качества настройки к(() = min ф(Р((), W ((), Fw (() ), (18)

нальные матрицы масс, коэффициентов демпфирова- где ^(() р(() - оценки переменных состояния и ния, жесткостей и ориентации упругих элементов возмущений, отвечающих как взрывным, так и сейс-

гасителей.

мическим воздействиям.

Применяя для решения задачи (12) метод наискорейшего спуска в форме [6]

8Ф=Ф (р+Рб1)— ф (р)=Р* Урф8т+2 Р* УрфР81 2,

Эф

: = v m + v 2 фр st = 0,

Применение «прямого» метода оценивания переменных состояния и воздействий

Обозначим через V и п размеры векторов и Ж и, полагая V < п, сформируем (VXп)-матрицу п № ранга V так, чтобы

и полагая

выводим

дР

V m: = V m / V , ф

п „

[п v

п v

J, detnw Ф 0.

St,

vn L"vv | "v,n-vJ ' "-"■"""w

Решение уравнения (11) относительно вектора W представим в виде

Р (() = -(v рф) V p ф V рф I =: -г( , Р, Fw).

W =

(13)

nv

Ov_,

К +

п_1п

vv v,n-v

En v

X =: DR+D2X.

Здесь обозначено

дф дф

V ф = colon

дР дР3

3и

, V> =

д 2ф dPj дРе

Уравнения (10) и (13) образуют с истему , достаточную для определения переменных Ж(( ), Р(() при заданных Б№ (( ).

3. Оценивание переменных состояния сооружения и внешних воздействий

Применение методов вариационного исчисления

Введем функционал качества оценивания

ф = 2 J || qw ( - nww)) +| qff

dz ^ min

и соответствующий функционал Лагранжа, учитывающий условия связей (15):

Фл= ф + |[ — ФI (, р, Б )) ]].

о

Здесь Q №, Q р - диагональные матрицы весовых

коэффициентов.

Составляя уравнения Эйлера-Лагранжа, имеем

дФл d

dW dt

дФ

л

dW

= -qWnW ( - п wW )-

M

dW

дФ

L = 0;

дФ„

dF

л = q2f - w L = 0. F dW

(20)

В результате получаем систему уравнений (10), (13) и (14) относительно оценок векторов Ж((), Р((), Б (( ) и множителей Лагранжа Ь( ).

Налагая на вектор X требование

W*Q W ^ min, (15)

получаем

W = -(d2q r d2 ) d2q r dr

При надлежащем выборе определенно положительной матрицы qr критерий (15) означает, что из всех возможных решений уравнения (11) выбираем то, которому соответствует минимальная сумма потенциальной и кинетической энергий сооружения.

В заключение отметим, что в настоящей статье рассмотрены лишь отдельные аспекты постановки задачи о математическом конструировании адаптивных систем гашения высотных сооружений.

Подробное изложение затронутых проблем математического моделирования сооружений, лазерных средств наблюдения, динамических гасителей колебаний с изменяемой ориентацией, а также исследование эффективности предложенных методов настройки параметров системы управления будут представлены в наших следующих статьях.

Литература

1. Коренев Б.Г., Резников Л.М. Динамические гасители колебаний: Теория и технические положения. М., 1988.

2. Воронцов Г.В. Современные методы расчета упругих систем на свободные и вынужденные колебания. Новочеркасск, 1980.

3. Динамический расчет сооружений на специальные воздействия: Справочник проектировщика / Под ред. Б.Г. Коренева, И.М. Рабиновича. М., 1981.

4. Динамический расчет специальных инженерных сооружений и конструкций: Справочник проектировщика / Под ред. Б.Г. Коренева и А.Ф. Смирнова. М., 1986.

5. Гольденблат И.И., Николаенко Н.А., Поляков С.В., Ульянов С.В. Модели сейсмостойкости сооружений. М., 1979.

6. Воронцов Г.В., Свечкарев В.П. Математическое моделирование адаптивных управляемых систем с непрерывно регулируемыми параметрами // Изв. вузов. Техн. науки. Спец. выпуск «Математическое моделирование и компьютерные технологии». 2002. С. 41-45.

Южно-Российский государственный технический университет (НПИ)

6 марта 2003 г.

2