Математическое конструирование управляемых вантовых мостов при динамической нагрузке. Ч. 1 Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

АВТОМАТИКА, УПРАВЛЕНИЕ И ТЕХНИЧЕСКАЯ КИБЕРНЕТИКА

УДК 624.04.001.891/573

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ УПРАВЛЯЕМЫХ ВАНТОВЫХ МОСТОВ ПРИ ДИНАМИЧЕСКОЙ НАГРУЗКЕ. Ч. 1

© 2005 г. Г.В. Воронцов, С.В. Бурка

Общая постановка задачи

Математическая модель наблюдаемого и управляемого вантового моста, оборудованного электромагнитными инерционными гасителями колебаний, включает в себя:

1. Математическую конечно-элементную модель собственно сооружения, представляющую собой систему линейных или нелинейных дифференциальных обыкновенных уравнений, описывающих напряженно -деформированное состояние (НДС) конструкции, подверженной действию сейсмических, ветровых и техногенных нагрузок.

2. Математическую модель средств измерения, оповещения и прогнозирования НДС сооружения, а также действующих и ожидаемых нагрузок.

3. Алгоритм коррекции параметров математической модели сооружения по сигналам средств измерения.

4. Модель регулятора импульсного или (и) непрерывного управления (гашения колебаний сооружения), а также адаптивной настройки параметров антивибраторов, оптимально размещенных по высоте конструкции и имеющих оптимальный спектр частот свободных колебаний.

Предлагаемая статья относится к п. 1 и 2 приведенного перечня моделей при плоской деформации конструкции.

В дальнейшем принимаем следующие допущения.

1. В первом приближении достаточно ограничиться математической моделью линейно деформируемого моста (в плоскости симметрии УХ , см. рис. 1).

Y пр

и ^ ^ Е1Б (у) ш

б)

Рис. 1. Схема вантового моста с исполнительными механизмами: а - геометрические характеристики; б - жесткости элементов при изгибе и растяжении - сжатии, сосредоточенные и распределенные внешние воздействия

2. Элементы моста оборудованы системами наблюдения и управления напряженно - деформированным состоянием и гашения нежелательных колебаний моста.

3. Деформации элементов моста можно описать векторами обобщенных перемещений сравнительно малой размерности.

4. В математическую модель можно ввести ряд параметров, оптимизация которых обеспечит приемлемую корректность уравнений, описывающих статические и динамические деформации моста.

5. Напряжения в вантах остаются растягивающими при любом сочетании нагрузок. Инерционностью вантов и растяжек пренебрегаем.

6. Силы внутреннего трения в элементах конструкции моста можно учитывать зависимостями

а] = Е]е] +п;е], ]:= Б,В,Р,П

между нормальными напряжениями и относительными линейными деформациями в балке, вантах, растяжках и пилонах.

Основные обозначения и определения

qу(2,1), q2(2^) и |х(2,1) - интенсивности

распределенных по длине балки жесткости моста неподвижных возмущающих сил и моментов;

т(2), Iх(2) - интенсивности распределенных масс и их моментов инерции;

qу(2,1), т(2,1) - интенсивности распределенных нагрузок и масс, непрерывно перемещающихся по балке с постоянной скоростью V ;

Ру(2е,г), Р2(2е,г), Мх(2е,г) - сосредоточенные силы и моменты, действующие на балку; М(2е ), 1х(2е ) - соответствующие массы и моменты инерции;

ру( 2$ ,1) и ММ (2$ ,1) - сосредоточенные силы и

массы, перемещающиеся по балке со скоростью V ;

и у (2,^), и ъ(2,{) - перемещения сечений балки

в вертикальном У и горизонтальном Z направлениях;

и Л (^), иПр ^) - вертикальные перемещения левой и правой «точек» подвеса вантов и растяжек, вызываемые управляющими воздействиями исполнительных механизмов, установленных на вершинах пилонов (см. рис. 1);

и ИМ ( 2 А

и (25,1) - перемещения, генерируемые исполнительными механизмами (ИМ), устанавливаемыми на вантах с координатами 25 узлов крепления к балке;

Ь, Л(2), Е1 х(2),X 0Л(2),ЕА(2) - длина,

площадь поперечного сечения и жесткость балки по отношению к изгибу, сдвигу и сжатию; X - коэффициент, зависящий от формы и состава поперечного сечения;

ЕВ Л В (2) - жесткости вантов, «размазанных»

по длине балки; Е В Л В (2]-) - то же для дискретно

размещенных пилонов, на которых установлены исполнительные механизмы системы управления, гене-

В

рирующие перемещения и (2 ^ ) ;

Е ПIП (у), т П (у) - изгибные жесткости и интенсивности масс, распределенных по длине пилонов.

/п /В /Р

/ , / , / - высота пилона, длины вантов и растяжек;

Б В Р

а ,а ,а - коэффициенты температурного удлинения материалов балки, вантов и растяжек;

Б В Р Р

а (2,у,г),а (2),ал(г),аш(0 - напряжения

в поперечных сечениях балки, вантов и растяжек;

иП (^), и Пр (^) - горизонтальные перемещения вершин пилонов, соответствующие их изгибным же-и П и П

сткостям ил , ипР .

? (^) - вектор сигналов средств наблюдения за деформациями моста, отвечающие матрице состава измерений С и вектору обобщенных перемещений ) ;

dz

dt

2 У

(z,t):= üy (z,t)+u'y (z,t)v2 + 2uy (z,t)v (1)

- полное ускорение сечения 2 балки (сумма относительного, переносного и кориолисового ускорений);

Б В Р П (2), П (2), П (2) - коэффициенты сил вязкого линейного внутреннего трения.

1. Работа внешних и внутренних сил в элементах моста на возможных перемещениях

Составляем выражения для работ внешних Жр ,

инерционных Жин и внутренних Жа сил, совершаемых на произвольных возможных перемещениях (отклонениях от деформированного состояния элементов моста).

Возможная работа внешних возмущающих

внутренних сил балки Возможная работа внешних возмущающих сил и моментов

L

AWp = jAuz( z)

qz (z, t) + XFz (ze, t)S( z - ze)

dz-

hjAu y( z)

qy(z,t) + q y(z, 0 + E Fy( ze, t)s(z - ze ) -

-X FFy( zs ,t)8( z - zs)

dz + J Au y(z) [ji x(z,t) +

-EMX(ze ,t)8(z - ze )

dz + J Au y (z) N( z)uy (z,t)dz. 0 (2)

Возможная работа сил инерции масс, не перемещающихся по балке Ь

ГБ

А^Ин = -JAm z( z)

0

xüz (z,t)dz - Jamy (z)

m( z) + ^M( z^ ,t)S( z - z e)

e

m(z) + ^M( ze ,t )S( z - ze )

x

0 L

xüü y (z,t )dz + jAuy (z)

0

1 x( z) + EJx( ze,t )S(z - ze )

x

x

x ü y (z,t )dz.

(3)

-|Диу (I) 0, о

где принимаем:

Дф, У ):=Ди '2 ^)-уДи у (I);

а(

(5)

+Auy(z)пБ(z)/Б(z) üy(z,t)--АиУ (z)EБIБ(z) uy(z,t)}dz.

Возможная работа сил инерции масс, перемещающихся по балке Ь

AW^ =-Jaü y (z)

0

m (z,t )+XiM(zs,t;8( z - z s)

üy (z,t )v2 + ü y (z,t)+2ü'y (z,t )v

1 "у^''/ 1 у (8)

Возможная работа внутренних сил в вантах, пилонах, растяжках и температурном компенсаторе

Относительные деформации в вантах определяем выражением

В формулах (2), (3) 8( I - 1е ) есть дельта-функции.

Штрихами обозначены производные по I, точками -по t.

Возможная работа внутренних сил балки Ь

ДЖБ :=-|/Де(г,у)а(г,у,t)АБ (1) -0 АБ (г)

+

еВ (z,t)={-(ü y (z,t )sin у j (z)+ü z (z,t) cos у j (z))

+(ü П (t)sin Y j (z) + u" (t)cos Y j (z)) -

-а в At](t)/] (z)+

+ü ™ (zs ,t )sin y j (z)8(z - zs )}// В (z); j := л,пр.

(9)

Здесь /В (г) - длина ванта. Соответственно полагаем

(4) е В

(,у^):= Е (и'2 (z,t)-уи'у (z,t)--а Б (I )[t0 (z,t)+ytl0 (z,t)]}+ +ПБ (I)[и'2(I,t)-уи#у (I,t)] ; (6)

0 (z,t ):= Е БIБ (I )и ^ ^ ).

Принимаем, что t0 (z,t), t0 (z,t) есть медленно

изменяющиеся функции времени. С учетом равенств (4) - (6) и

| уйА Б = 0, | у 2йА Б = I (I) АБ (I) АБ (I)

формируем интеграл

ДЖБ =- ДДи; (I )Е Б А Б (I )х

0

х[< (I ,t )-а Б (I) t0 (I, t)+п Б (I )и'2 (z,t)]+ +Диу (I )Е БIБ (I )[иу (z,t )-а Б (I )t0 (I, t)]+

j (z,t) = {-Am y (z)sin y j (z ) -Aw Z(z )cos у j) +

+AU П COS у j (z)}. (10)

Нормальные напряжения в вантах находим по формуле

а В (z,t ) =

E+п

V

В1 dt

е В (z, t).

'j

(11)

j

Возможная работа внутренних сил, возникающих в вантах, составляет

AW® =-

^ L ^

J+ J

0 L-Ln

Ае B(z,t)aB (z,i) AB (z)d.(12)

Отметим, что в формулах (9), (10) принято, что ванты крепятся в «точках» оси центров тяжести балки. В противном случае

Uz ( z,t ):= и( I ,t) - у( I )и'у( z,t),

где у (I) - ординаты точек крепления.

Подставляя в формулу (12) выражения (9) - (11), получаем

Awa

В

L

J+ J

0 L-Lnp

{-Aüy(z)sin Y(z) -

-Aüz (z)cosY(z)+^Au" cosY j (z)}x

j

EB +ПВ — l{-üy(z,t)sin y(z) -üz(z,t)cosY(z)

+

+üj ()sinY j (z)+и"" (OcosY j (z) - aBA ] ())В (z)+

+£üИМ (zs, t)sinY(z)S(z - zs )}AB (z)/]1 (z)dz. s (13)

Возможная работа внешних воздействий, инерционных и внутренних сил в пилонах

Определяя возможные деформации и исходные напряжения в пилонах выражениями (штрихами обозначены производные по у )

еП у=-иП (ОУ(у)п; ЛеП (у)=-ЛиПГ(у)п;

J

оП (yt)=-Enul (t)f (y)п,

получаем

W=XJ{ Aujf^jynPw^j)

J 0

-Au^/-(y)nEnIn(y)^(y)nu^(t)}dy, (14)

П2ПП

J E П y 2 dA =: E ПIП (y).

A П (y)

Напомним, что здесь ЕПIП (у) - изгибная жесткость пилона, иП (у,А) - перемещения, qП и даП -

интенсивности распределенных сил и масс (см. рис. 1). Напряжениями центрального сжатия пилонов пренебрегаем.

Возможная работа внутренних сил в растяжках и температурном компенсаторе

Отбрасывая в выражении (13) члены, содержащие множители Лиу(2), Ли2(2) и Иу^,?), и2(г,/), а также знаки интегралов, получаем формулу для определения возможной работы внутренних сил в растяжках

2. Математическая модель вантового моста при динамическом нагружении

Уравнение переменных состояния моста записываем в виде

ми (А )+ки (А)+Н(р )и (А) = 1? (А) + Н ИМ(^ (А), (16)

где М,К,Н - матрицы масс, диссипации и жесткости конструкции; р - вектор параметров, подлежащих оптимизации; ) и ((А) - векторы внешних воздействий и управлений.

Все матрицы и векторы соответствуют обобщенным перемещениям

U(t) = colon

I

I

U Б (t )| U zE (t )| и П (t)

(17)

которые совместно с аппроксимирующими вектор-функциями /у( 2 ), /2( 2 ) и / П (у ) определяют перемещения балки

Я",

uy(z,t):= f*(z)UyB(t); U^, fy<

uz(z,t):= fz*(z)UzE(t); Ul, fzeЯг

(18)

и пилонов

U Я(y,t):= f П(y)u J(t), f n(ln) = 1, (19)

причем

и n (t) = colon

U л (t )| U Яр (t)

(20)

AWOp =XAuin cos у p

EР+ПРf dt

Вектор сил ) считаем определяемым по результатам показаний средств измерения и имеющим структуру

х{-а Р Л Р (Г)+и П (Г )б1п у ] (2)+и П (А )ес>8 у j (2)+ +£иИМ (25 А)япу(2)8(2 - 25 )}ЛВ (2)/В1 (2). (15)

Если в конструкции предусмотрены установки нескольких растяжек (слева и справа от пилонов), производим формирование соответствующих выражений типа (15).

Возможную работу внутренних сил в пружинах температурного компенсатора вычисляем по формуле

ТК Г с

ЛЖ1^ =: Ли2(Ь)Итк и2(2)-атк^КТК

где итК и /тк - приведенные жесткость и длина

компенсатора; а - коэффициент температурного ТК

расширения.

F(t) = colon

fye (t) fze (t) f л (t)

Соответственно с выражением (17) формируем матрицы уравнения (16):

S :=

оБ оБ оБ

S yy S yz S yu

пБ пБ пБ

S zy S zz S zu

пБ пБ пБ

S uy S uz S uu

S := M ,K, H.

3. Составление матриц инерции, диссипации и жесткости моста, а также векторов сил и управлений

1. Подставляем в выражения (2) и (7) члены, содержащие только функцию

Ли у( 2) =: Ли у /у( 2)

и ее производные, полагаем

AU * Fy (t)=AU.

J /y( z) [

q y( z,t) + q y( z,t) +

dz +

^ x( V) + XM x( ze ,t Ж z - ze ) jz -

+X Fy (ze, t )8( z - ze )+X Fy (zs, t )8( z - zs )

e 5

+J fy (z) 0

-1 /у (z)E БIБ (z)а Б (z)t10 (z)dz 0

2. Отбирая в выражениях (2), (7), (8) и (13) члены, содержащие множители Диу(I),иy(z,t) и их производные по I, с учетом соотношений (18), (19) выводим

гь

AUy HyyUy(t)=AU

y

0

J- fy(z)E^Б (z)fy (z) -

~fy (z)E IБ (zf(z) dz-J/y(z) [m (z,t) +

0

+£M( zs, t)8( z - zs )v2f;( z)

dz +

+

J fy( z) N(z)fy(z)* dz +

L, L

J + J

0 L-L

'ПР

fy(z)X

AUy HyZU z(t)=AUy

LL L, L

J+ J

0 L-LT

sin2y( z)X

xfy (z)f*(z)EВAB (z)lz)dz} Uz (t);

(22)

AU* HyuUT (t)=-AU

y yu

'L, L <

J+ J

0 L-LT

sin2y(z) X

xfy(z)e*EВAB(z)lB1(z)dz} un(t),

(23)

см. выражения (13), (18), (20). Здесь обозначено

е * = [1 1].

3. Для составления блоков Куу, Ку2, Ку^ первой строки матрицы диссипации, таких, что парциальная работа сил внутреннего трения составляет

ДЖу =Ди* {Кууду(0+К^и^)+к у^иП (t)},

достаточно в формулах (21)-(23) произвести замены Б Б

Е :=п и отбросить в выражении (21) все, кроме первого и последнего слагаемого. Кроме того, в выражение для К уу добавим выражение

й (z,t)+XMM ( zs ,t )8( z - zs )

/y( y

Ь

-2у 1 /у( I)

0

хотя оно и не относится к возможной работе сил трения, см. формулы (1) и (8).

4. Отберем в уравнениях (3) и (8) члены, содержащие множители Диу(I),иу(I,t), и производные от них по I. Составим равенство

AU* MyyUy(t)=AU

y

J-fy(z)

0

L ./y(z)

m(z)+£M(ze ,t)8(z - ze )

e

lx(z) + XJx(ze,t)8(z - ze )

fy(z)dz +

/y(z)* ^ -

-J-?y(z)

0

х/у*(^т2у^)ЕВАВ(z)/В1(z)dz} ^). (21)

Выражение, заключенное в фигурные скобки, составляет блок Нуу матрицы жесткости конструкции моста.

По аналогии с (21) составляем:

т(z,t) + jM(zs ,t)8(z - ze ) [ s

X fy(z)di} Uy(t).

Выражение, заключенное в фигурные скобки, есть блок Муу инерционной матрицы моста. Поскольку ванты

считаются безынерционными, Му2 := 0, Муи := 0 . 5. Отбирая члены уравнений, содержащие Ди2,

выводим:

L

Ff (t) = J fz( z)

0

qz (z>t) + XFz (ze, t)8( z - ze )

dz +

L

+J fz( z)E Б АБ ( z)a Б ( z)t o( z,t)dz; 0

L 1

Hzz =J £ (z)EБ АБ (z)fz (z)* dz+-

+

0 L-L

'ПР

xfz(z)fz*(z)EВАВ(z)lB1cos2Y(z) dz;

^ L ^

H = H • H =__-

zy yz' zu ,

J+ J

0 L-LT

Xfz (z)e*EB AB (z)lB1 cos2 y(z)dz. (24)

Матрицы к22, К7у, кт получаем, произведя в Вектор иВ (/) соответствует перемещениям

В В

выражениях (24) замену Е :=п .

Далее, используя формулу (3), выводим

Ь Г "

м22 =| /2(2) т( 2) + ЕМ (2е ,А)8(2 - 2е ) 0 I е _

Х/г( 2 )

где массы, перемещающиеся по балке, не учитываем: М 2у:= 0, М 2и := 0.

Блоки третьих строк матриц Н,К,М и вектора

Р составляют:

ЛЖаБ =-/{Ли; (2 )Е Б ЛБ (2 )х 0

х[и ; (2* )-а Б (2 ) 0 (2) + П Б (2 )и; (2,1)] + +Ли у (2 )Е БIБ (2 )[и у (2 )-а Б (2 )/? (2 )] + +Ли у (2 )пБ (2 )1Б (2 ) и у (2 / )--Ли у (2 )Е БIБ (2) и у (2,А )}^2;

и ИМ( 2^ ,/ ), генерируемым ИМ, установленными в узлах крепления отдельных вантов к балке жесткости.

Н ИМ

Матрица жесткостей Н имеет вид

НП нВ 0" н2П н2В 0 0 0 0

H

ИМ ._

Отбирая в выражении (13) члены, содержащие множители иП (/), j := Л, ПР , выводим ^ * гт ^ п ^ *

Ли у н Пи п (а )=Ли

(W L л

- J+ J

^ 0 L-Lnp /

xsin у

y

fy( z)sln Y ( z ) x r^l Гтл

J

(26)

H uy H yu ; H uz H*u ; H uu E

iL, L 4

J+ J

0 L-Ln

Выражение, заключенное в фигурные скобки, есть блок НП матрицы

x

(z,t)={-(uy (z,t)sin y j (z)+uz (z,t)cos Y j (z))+

хе *х т82 у у (2)Е ВлВ (2)/В1(2М2 + ста уР ста у / (2)х фП (фту / (2)+иП (/)сс8у/ (2))-аВ&В(')/ В (2)+

/п I

хЕР ЛВ (2)^(2) + | /"(у)П ЕпIп (у)/'(у)П М .

0(25) Для составления матриц К, К^у, Ки2 необходимо в выражениях (25) произвести замену

+и ИМ (,^1П у / (2)5(2 - 25)}//В (2);/=ДПР.

Отбирая в выражении (13) члены, содержащие ИМ

В В Р Р Е :=п , Е :=п и в выражении для Квы-

бросить последнее слагаемое.

Используя формулу (14), выводим Ь

Б

ИМ

множители и (2 5 ,1), выводим

Ли * н ^иВ (/)=Ли у

x

m (z,t )+EMM(zs,t;8(z - zs) dz,

ЛжИн =-|Лиу (2) 0

и у (2,/)у2 + иу (2,/) + 2иу (2,/) V

где вектор управления ((/) имеет структуру ( (/) = со/оп

Lл L

J + J

0 L-L

ПР

fy(z)sin Y(z) X

хЕ§(2-)ЕВЛВ(2)/В-1(2)^2} иВ(/). (27) Аналогично выражениям (26) и (27) получаем

U П (t) U В (t )0

Т

x

AU*HziUП (t) = AUz x

LL L Л L

J + J

0 L - L П

fy( z )sln2 Y ( z ) x

Вектор иП (/) соответствует вертикальным перемещениям «точек» подвеса вантов и растяжек, вызываемых исполнительными механизмами, установленными на вершинах пилонов, причем

xEВAВ (z)l-1(z)dz} U П (t); A U z H zBU В (t) = A U z x

x

U П (t) = colon

u

л (t)! u Пр (t у

л

j + J

0 L - L П

fy( z )sln2 Y ( z ) x

xE§(z-zs)EВAВ (z)lВ1(z)dz} UВ(t).

Южно-Российский государственный технический университет (НПИ)

20 сентября 2004 г.