К задаче оптимизации параметров инерционных автономных гасителей колебаний высотных сооружений Текст научной статьи по специальности «Физика»

СТРОИТЕЛЬСТВО

УДК 624.04.001.893/573

К ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ИНЕРЦИОННЫХ АВТОНОМНЫХ ГАСИТЕЛЕЙ КОЛЕБАНИЙ ВЫСОТНЫХ

СООРУЖЕНИЙ

© 2009 г. Г.В. Воронцов, С.И. Евтушенко

Южно-Российский государственный South-Russian State

технический университет Technical University

(Новочеркасский политехнический институт) (Novocherkassk Polytechnic Institute)

Предложены матричные дифференциальные уравнения изгибно-крутильной динамики высотных сооружений и метод расчёта оптимальных параметров (масс, жесткостей упругих элементов и координат размещения) инерционных гасителей колебаний при действии полигармонических, импульсных и стохастических возмущений.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение; высотные сооружения; изгибная жёсткость; пространственные колебания; изгибные колебания; крутильные колебания; гасители колебаний.

The matrix differential equations izgibno-krutilnoj dynamics of high-rise structures and a method of calculation of optimum parametres (weights, characteristics of section of elastic elements and placing coordinates) in-ertial absorbers of fluctuations are offered at action polyharmonious, pulse and stochastic indignations.

Keywords: the differential equation; high-rise structures; rigidity on a bend; spatial fluctuations; bending fluctuations; twisting fluctuations; absorbers of fluctuations.

1. Уравнения пространственных колебаний высотных сооружений

1.1. Уравнение колебаний сооружения при изгибе в одной из плоскостей «главных» осей инерции поперечных сечений сооружения

Рассматриваем задачу об изгибных колебаниях высотного сооружения в плоскости XZ при следующих допущениях:

- стационарное напряженно-деформированное состояние сооружения считаем заданным;

- колебания описываем геометрически линеаризованными уравнениями относительно отклонений сооружения и перемещений масс антивибраторов от стационарного состояния;

- инерционность сооружения характеризуем выражением

т(г) = |Д(г) + X mj ) 5 (г - ^

- силы внутреннего трения, возникающие при колебаниях, считаем соответствующими гипотезе частотно-независимого линейного вязкого трения;

- в сооружение встроены гасители колебаний (генераторы инерционных сил) с массами тге,

е = 1,..., пг .

Возможную работу сил инерции, возникающих при колебаниях сооружения, определяем выражением

L

АЖин (г) = — {Ах(г)т (г)х(г,г)d2 -

г

-Z Ах(zre)mreх(W)-

e=1

где ^(г) - интенсивность распределенных по высоте сооружения масс; т, - квазисосредоточенные массы; 5(г — 2j ) - дельта-функции;

- тангенциальные матрицы изгибной жесткости отдельных блоков сооружения, определенные с учетом статических изгибных (изг) и сдвиговых (сдв) деформаций, «размазываем» по высоте сооружения, так что жесткости «пластов» ёг составляют

hj (г)ёг, j: = изг., сдв.;

пг

- Z AXemre (xe (t) + х(zre,t) )•

(1)

e=1

Здесь обозначено: х(г,г) - перемещения «пластов» ёг сооружения в плоскости XZ ; х (гге ,1) и Хе (г) - переносные и относительные перемещения центров подвижных масс тге гасителей колебаний; Ах (г) ,Ах (гге ) ,Ахе - возможные перемещения; е = 1,2,.. ,,пг - номера гасителей.

Вводя обобщенные переменные состояния Хп (г) и аппроксимирующие функции fn (z) такие, что

х (z,t)« / (z )*Хп ( г ), (2)

преобразуем выражение (1) к виду

А (г) = -А X* Л f (z) т (z) /* (z) dz +

10

+уmу*}X(t)-A/*Шг X(t)+у*Х(t)

(3)

где принято:

у = [ f ( zr1)•f ( zre )• Г = diag [mri •.. mre •..],

Xl • • -Xe " 'Xn.

m

X = colon Вводя обозначения

Xc (t) X (t)

x (t ) =

M

Mc + у mr у

mr у

0

m

представим выражение (4) в виде

А^Ин (t) = -AX* MX (t),

(4)

(5)

с учетом напряжении стационарного состояния; жесткости упругих элементов гасителей колебании

полагаем заданными.

Подставляя в формулу (7) зависимость (2), имеем

— * I Ь г - - *

АЖк (г) = АХ Л[/"(z) hизг (z) f"(z) +

10

+/"(z)^дв (z)/'^) dz }X(г)+АХИгХ(г),

(8)

сравним с выражением (3). Здесь Иг есть диагональная матрица жесткостей упругих элементов. Знак «минус» опускаем.

Обозначая через Нс матрицу жесткости собственно сооружения (первые два интегральных слагаемых в формуле (8)), получаем

AWh (t) = А X H X (t), H = diag [Hc j hr ].

(9)

где инерционная матрица Мс сооружения определяется интегральным слагаемым в формуле (3).

Во всех дальнейших выкладках учитываем уравнения относительного движения масс тге , представляемые в форме:

тг у* х(г)+х(г) + у^(г) + Их(г) = |г-ИХ-

(6)

Здесь обозначено: у^ и И - диагональные матрицы жесткостей упругих элементов и диссипации энергии в демпферах; gг (г ) - вектор усилий, генерируемых гасителями колебаний; у2 - диагональная матрица коэффициентов аэродинамического сопротивления.

Возможную работу внутренних сил упругости в элементах конструкций, совершаемую при отклонениях сооружения от стационарного состояния, определяем выражением

Ь

АЖ (г ) = {Ах"( z ) ^зг ( z ) х"( z ,г) dz + 0

Ь пг

+ !Ах'(z)hсдв (z)х'(z,t)^ + !АхАеХе (г).

0 е=1 (7)

Функции hИзг (z) и hсдв (z) изгибной и сдвиговой жесткости сооружения считаем вычисленными

Возможную работу внутренних сил трения в элементах сооружения определяем, вводя матрицу диссипации энергии Кс = к Мс + К2 Нс , где коэффициенты К1, К2 назначаем по оценкам скорости затухания свободных колебаний (т.е. по данным натурных экспериментов).

Учитывая силы вязкого линейного трения в демпфирующих устройствах гасителей колебаний, полагаем

АЖф (г) = АХКХ(г), К = diag[Кс \ у1],

(10)

см. выражения (4) и (6).

Наконец, составляем выражение для возможной работы сил, действующих на сооружение:

Ь

АЖР (г) = А X* | / (z)дв (z,г)dz + 0

+АХ* [ gг (г)- у 2Х (г)]. (11)

Здесь обозначено: Чв (z,t) - интенсивность сил ветровой нагрузки (включая «лобовое» давление и отсос); gг - вектор сил, возбуждаемых гасителями

колебаний, см. также выражение (6).

В дальнейшем вводим обозначения: Ь

йв (г ) = | / (2) Чв (2,г)

0

йг (г ) = Чг (г)- у 2Х2 (г); (12)

йсм (г ) = и / (2) т (2) dz + у

тг Хосн (г ).

Условие мгновенного равновесия сооружения и гасителей колебаний в момент времени г записываем в виде

АЖин (г) + АЖк (г) + АЖтр (г) + АЖГ (г) = 0.(13)

Подставляя в выражение (13) формулы (5), (9) -(12) и замечая, что условие £ Ж = 0 должно выполняться при любых А X , получаем уравнение колебаний сооружения

м X (г)+к X (г)+н X (г) = & (г),

где обозначено:

^в (г) + &см (г )" _ &г (г) _

Q (t ) =

Аналогично составляем уравнение колебаний во второй главной плоскости сооружения. Замечая, что

d_ dt

XX

m~1k ! м H

+

+

QB + 0см + 0

_

0 Qr _

получаем

d X м~1к ! м 1h 1

dt _ X _ - E 0

+

+

QB + QCM 0

0 + Qr

0 0

Вводя обозначения:

X =

Xi

A = -

м1к ! м1 h

- E

0

QB + QCM 0

F = 0 , G = Qr

0 0

перепишем уравнение в виде

X = AX (г) + BG в (г) + BF Р (г),

X е R2( п+у).

Здесь введены матрицы BG и Bр, в общем случае характеризующие распределение управлений и силовых воздействий на сооружение.

В заключение приведём формулы для вычисления коэффициентов 5ек (е,к е 1,2,...,У) матрицы по-

датливостей сооружения при действии единичных статических сил.

Сумму работ внутренних и внешних сил на возможных перемещениях Ах ( z ) = / ( z )А X сываем в виде

X

запи-

VU Г" "Si

AW = -АX jj[f"(z)^изг(z)f"(z)

10

+ f"(z)hCÄB (z) f"(z)*]dz }X+

+

+A X* £ f (zj )F: = o.

j=1

Вводя матрицу жесткостей

L

H = j f "(z)hm (z) f "(z) +

0

+ f"(z)^ (z) f"(z)"

dz,

получаем

следует

уравнение H X = £ f (zj ) Fj,

j=1

X = H-1 £ f (zj) f ,

j=1

X ( z ) = f* ( z ) H-1 £ f ( zj ) FJ ,

j=1

см. уравнения (2), (8), (11).

Перемещение 5к„, вызываемое силой

откуда

F = 1

в сечении zк составляет

5ке =5ек = Г (Ze ) H-1 } (Zк ).

Полная матрица податливостей

Рек ] = [/ Г H [/ ],

где матрица [/ ] составлена из столбцов / ( zк ).

1.2. Уравнение крутильных колебаний сооружения

Инерционность собственно сооружения при кручении характеризуем выражением

г() = и(z) + £г] (^)б(z-zJ),

в котором и( 2) - интенсивность распределенных

моментов инерции кручения; ij (Zj) - сосредоточенные моменты инерции.

Здесь и в дальнейшем применяем ту же методику, которая была использована при составлении уравнений изгибных колебаний, см. п. 1.1.

Жесткости при кручении «размазываем» по высоте сооружения, так что для «пластов» dz их величины составляют Нкр ( 2 ) dz .

Моменты инерции гасителей колебаний полагаем равными

• ~ 2

Ке = + тгегге, е = -1,2,- • •,

где - собственный момент инерции; гге - расстояние от оси Z до массы тге . Возможную работу сил инерции определяем выражением

где принимаем

0(z,t)« уn (z) 0c (t),

«V / с'

преобразуем выражение (14) к виду

. Г L

(15)

AW0H (t) = A0 Ij у n (z ) i (z) уп (z) dz +

,0

+ (T0) j 0c (t)

7c = j уn (z) i (z) уП (z)dz,

¥e=[y ( Zrl)... у ( Zre , (16)

lr = diag[iri---ire...],

в (t ) = colon [Pi (t )...pe (t)...],

сравним с формулой (3). Индекс «с» соответствует слову «сооружение». Вводя обозначения:

A0 (t ) =

0 c (t) ß (t).

Ic + у0 ir (у0) / \* '■г (у0)

А Жиен = -1А0 (2) i (2) 0 (г ,2) dz -

0

-!А0( 2ге ) ^е0 (г ,2ге )-е

-X АРе^е [Ре (г ) + 0 (г,2ге )], (14)

е

где Ре (г) есть относительный угол поворота массы тге , сравним с уравнением (1).

Здесь обозначено: 0( г ,2) - углы поворота (относительно оси Z кручения) «пластов» dz сооружения; 0( г,2ге ) - углы поворотов масс тге гасителей колебаний; А0 ( 2 ) , А0 ( 2ге ) , АРе - возможные угловые перемещения.

Вводя обобщенные переменные состояния 0 (г) и

аппроксимирующие функции уп ( 2 ) , такие, что

и формулы (16), представим выражение (14) в матричной форме

А<н (г) = А0* I (0 (г).

Во всех дальнейших выкладках учитываем относительные угловые смещения масс гасителей

(тг Л):

(у0) Ис(t) + ß(t)

+ у oß + h0ß = 0.

Возможная работа внутренних сил упругости в элементах конструкции при кручении 0(г, 2) относительно стационарного состояния составляет

Ь

AW 0 (t) = j A0'( z ) h0 ( z )0'( z,t) dz +

0

+ZAPeh0eße (t).

(17)

Здесь Н0 (2) и Не - жесткости при кручении

пластов dz сооружения и соответствующие жесткости элементов гасителей.

Подставляя в выражение (17) зависимость (15) и

1,0

вводя диагональную матрицу П жесткостей элемен-(ге), получаем

тов

ж

-Aß 'г

ß (t) + у*(jc (t)

AW 0 (t) = A0c | j у'( z ) h0 ( z ) у'( z ) dz j 0c (t) +

+Aß*h0 ß (t).

*

г

e

Вводя матрицу жесткости сооружения Ь

Н® ={ z)¿У(z)dz,

0

составим условие

А <н (г)+АЖин = АёС [I % (г)+НС0С (г)] +

р (г ) = о,

из которого получаем уравнение кручения.

2. Решения уравнений колебания сооружения с встроенными гасителями колебаний

2.1. Уравнения колебаний сооружения с одной степенью свободы

Основные обозначения: w (г) - перемещение сосредоточенной массы М системы (рисунок, а, б); V (г) - полное перемещение массы т гасителя колебаний (ГК); (V (г) - w (г)) - относительное перемещение массы т ; §1 и §2 - податливости конструкции и упругого элемента ГК; Р (г) - внешнее усилие,

действующее на массу М сооружения.

Уравнения колебаний сооружения и массы ГК записываем в виде

w (t ) = -[ Mw (t) + mv (t)- F (t )]5 v (t)-w (t) = -mv( t )52.

(18)

1. Рассмотрим случай гармонического возбуждений колебаний силой

Р (г ) = р мпА г.

Полагая в уравнениях (18)

w (г) = А1 бшА г, V (г) = А2 бшА г,

где А1 и А2 - амплитуды перемещений масс М и т , и сокращая на бшА г , получаем

А = (ыА{к2 + тА2А2 + Р )§ь (19) А2 - Ах = тА2А §2.

2Л и2-

(20)

Исключая из выражения (19) амплитуду A2 , име-

ем

(1 - M X 251) (1 - X 2m52) + mX 251 = F5 (1 - X2m5

(1 - X2m52).

(21)

Положим, что параметры т и §2 подобраны так, что собственная частота колебаний массы ГК

2 1 л 2

Ш2 =-: = А . При этом «свободный» член урав-

т§2

нения

(21)

равен

нулю,

следовательно

A = 0, A2 =

F

X2m51

, см. выражение (19). Во всех

прочих случаях последовательно вычисляем амплитуды А^ и А2 соответственно по формулам (19) и (20).

1

M m

ЩАр (t)

w(t) v(t)-w(t)

M

m

Fj (t)

Fn (t)

а б в

Рис. 1. Схемы сооружения с одной (а, б) и многими (в) степенями свободы

z

Предположим, что на массу М действует Т -периодическая четная (симметричная 1-го рода) нагрузка

п 2л:

Fч(г): = ХFjсовДг, Х(г) = —. (22)

Соответственно принимаем

п п

w (

(t): = ZA1 j cos/11, v(t): = £A2 - cos/11. (23) l l

Коэффициенты F- определяем рядом Фурье

T / 2

FJ = F (t)

T

cos

Г

J-

T

dt.

(24)

Подставляя выражения (22), (23) в уравнения (18) после сокращения на COSjl г, получаем систему разделившихся равенств

Ли 25

A J = (Ml J + mA, J) J\X + Fj Si,

2 2

A j - A j = j j x 62

(25)

лия в сечениях z

- вектор

F(t) = co/on[Fi (t)...Fn (t)] усилий. M = diag [M1 ... M n ],

m = diag[m1 .. .mn ]. Ж(t) = colon [w (t).. wn (t)] - вектор перемещений

масс Mj .

К (t) = colon [ v (t)... vn (t)J - вектор полных

6 J*.

п

перемещений подвижных масс mj; D =

матрица податливостей конструкции; D 1 - матрица жесткостей сооружения; Д = diag [// ... Нп ] - матрица жесткостей упругих элементов ГК.

Перемещения масс Мк и тк определяем выражениями

п

к=1

'j (t) = - i [mkwk (t) + ткvk (t) - fk (t)] 6jk,

(26)

vj (t) - wj (t) = -mj vj (t) dj,

(27)

сравним с уравнениями (18).

Совокупность выражений (26) и (27) записываем в форме:

сравним с выражениями (19), (20).

При действии нечётной (симметричной 2-го рода) нагрузки (рис. 2, б)

n

Fhh (t) = Z Fj sinAt,

1

в формулах (22)-(24) cosjl t заменяем на sin/11. Уравнения (25) при этом остаются без изменения, см. рис. 2, б.

Решение уравнений (25) относительно амплитуд - получаем по выражению (21), производя замены

1: = j1, то же относится к амплитудам A2- .

Оптимизационная задача приводится к назначению таких масс m е {mj и жесткостей h е {hj пружин гасителей колебаний, при которых max |w (t)| функции w4 (t) + wH4 будет минимальным; {mj и {hzj - области допустимых значений

m и h2. Задача решается методами программирования [1].

2.2. Уравнение колебаний сооружения со многими степенями свободы

Основные обозначения M- - массы, сосредоточенные в сечениях z- (j = 1... n), см. рис. 1, в; m- -активные массы гасителей колебаний (ГК), которые вмонтированы в массы M-; F- (t) - внешние уси-

W(t) = -D MW(t) + mV(t)-F(t) V (t)-W (t ) = - m Д^ (t).

(28) (29)

Переформируем систему уравнений (28), (29) к виду

Ф = [( D M)-1 -(Д M)-1 W-( Д M)-1V+ M1F, V = ( Д m )-1 - v )

= iД m)

и объединим их в единое матричное дифференциальное уравнение

-1

W

_ V _

( D M )-1 -( Д M )-1

( m Д )

-1

(Д M )" -( m Д )

х

W m-1F

х +

_ V _ 0

(30)

Здесь введены тождества типа

(D М)-1 = М- D-1.

Вводя сокращенное написание уравнения (30)

X (г ) = АХ (г) + Р%( г), (31а)

введем новые вектор-функции ( г ) = % ( г ),

(г) = 11 (г) = хх (г) и преобразуем уравнение (31а) к виду

f=d

dt

0 E A 0

+

. (31б)

0

X

2

2

Составляя переходную матрицу Пу (г,т) , отвечающую уравнению (31 б), получаем общее решение уравнения (30):

1 (г ) = П (г,г0 )¥ (г0)+} П у (г ,т) Ру (т) d т.

При действии последовательных импульсов Р.

X/

полагаем

Y (t ) = П y (t ,t0 )Y (t0) +

+£{ Пy (t,т)5(т- tj)Fyj (t)dt:

jt0

П y (t,t0 )Y (t0 ) + £ П y (t - tj) F

г,г0) 1 (г0) + £ Пу (г - гу) Руу, г > гу.

]

Рассмотрим некоторые частные случаи. Так, при

Р (г ) = Р мпА г, Ж (г): = Ж бшА г, К (г): = V мпА г

уравнения (28) и (29) преобразуются в

W = D

X2 (MW + mV ) + F

V- Ж = А2 ш ДК.

Из выражения (33) следует

V = (e-X2 m д) 1

W.

(32)

(33)

(34)

Подставляя зависимость (34) в уравнение (32), имеем

\-Г

W = D

X2 M + m (E -X2 m

д)-

W+ D F. (35)

приняв

W (t) = £ A1 / cos/X t, 1 n

V (t) = £ A2 j cosjX t.

(37)

Векторы Ру определяем по формулам типа (17) ~ 4 т'2г,\ ( -2Ш V

Ру = т £ Р (г)С0БI Idг,

сравним с выражениями (22) - (24). Подставляя формулы (36), (37) в выражения (34), (35), получаем сис-

тему уравнений

A j = D

j 2X2M + m ( E - j 2X 2m,

д )■'

a2 j +

V-1

+ A2 j =(E - j2X2mД ) A j.

(38)

Отметим, что в общем случае число антивибраторов может быть меньше числа п масс Му. Однако это не влияет на вид уравнений (38). В этом случае при решении задач об оптимизации значений ту,

Ау и координат zу размещения жесткости антивибраторов Иу заменяем нулями. Методы оптимизации параметров технических систем см. в работе [1].

3. Оценивание состояний сооружений, подверженных действию произвольных случайных возмущений

Рассматриваем линейную систему

X (г) = А (г) X (г) +1 (г),

г

X (г ) = IП (г,т) \ (т) d т,

(39)

Уравнения (34) и (35) позволяют вычислить вектор амплитуд Ж колебаний сооружения и вектор V движений масс ш гасителей колебаний.

Рассмотрим далее колебания сооружения при действии «чётной» многомерной периодической нагрузки

Рч (г) , аппроксимируемой рядом п

Рч (г) = £ Ру С0§/А г, (36)

в которой матрица А (г) и, следовательно, переходная матрица П (г, т) являются случайными многомерными процессами; \ (г) - вектор случайных (внешних) воздействий, не коррелируемых с А (г).

Пусть X (г) есть фундаментальная матрица решений уравнения

X (г ) = А (г) X (г),

а матрица X 1 (г) - аналогичное решение уравнения

X-1 (г) = -X-1 (г) А (г), X (г) X-1 (г ) = е.

Покажем, что передаточная матрица системы может быть представлена в виде

П(г,т) = X(г)X-1 (т) =:щ(г)П2(т). (40)

Умножим уравнение (39) слева н а матрицу X \ а уравнение (40) - справа на вектор X (г) :

X-1 X - X-1А X = X-1^, X-1 X + X-1A X = 0.

t

0

1

Складывая полученные выражения, получаем уравнение, из которого следует

—(X"1 X ) = Х"1^. Интегрируя его и умножая

слева на матрицу X (г), имеем г

X (г ) = | X (г) X"1 (т) Ь (г) — т,

о

см. выражения (39), (40) и книгу [1]. В дальнейшем полагаем, что заданы характеристики случайных процессов А (г), Ь (г) и составлены функции распределения плотностей вероятности первого и второго порядков:

^(1){П1 (г!),гь П2 (г2),г2}; р«{ Ь(г),г}; Р{к] {П1 (ь) ,г1;П2 (г2) (т1) ,т1;П2 (т2 )т2 }.

Матрицу математических ожиданий и корреляционную матрицу П (г, т) определяем выражениями

Ж

тп (Ч,г2)= | |П (г1)П2 (г2)р(1)х

"Ж

х{П1,г1;П2,г2} —П1—П2;

кп (г1,г2,т1,т2 ) = гп (г1,г2 ,т1 ,т2 ) "

"тп (г1 ,г2 )тп (т1, т2 ),

где матрица «начальных» моментов гп (г1,г2,т1,т2) =

ж ж

= | . | р^П^Щ^Щ,т1;П2т2}х

—да —да

случайного вектора X (г) переменных состояния

системы находим по формулам: Т

тх (г) = | тП (г,т) ^(т) — т;

о

Т *( \

Ц{тП (г1,т) т

Kx (hh ) = U

t ,т'

V 2 У

K 5М+

+ КП (t1,x;t2,T,)x тр(т)(т') +

+ K ^(т ,т')

>d Td т',

см. частный случай задачи, относящейся к скалярному уравнению типа X ( г ) = а (г ) X (г ) + ^( г ) , рассмотренный в книге В.С. Пугачева [4].

4. Оптимизация параметров системы гасителей колебаний

Оптимизационную задачу приводим к назначению таких масс mj, жесткостей пружин qj и координат

2 ^I размещения гасителей колебаний, при которых деформации со оружения при возможных (заданных) воздействиях Ре (г), е = 1,...,г будут минимальными в смысле

We (tK )|<

W

пр

tK е [T].

(41)

На варьируемые параметры т1, /1, 21 накла-

дываем ограничения

m j e{m], hj е |h|, Zj е jzj

(42)

х ( п1п2 )( п; п2* ) —п1—п1 —п—П2.

Для векторного процесса Ь (г) соответственно принимаем

ж

г )= 1Ь Р^1)( Ь) —Ь;

/ \

к^)= | |^У2^;^) —Ь—%2-

"ж

В приведенных выражениях символ (*) означает операцию транспонирования матриц. Характеристики

I Г'Ч' "I и составляем вектор

Р = Ыоп[ш \ h \ г]е|Р}. (43)

Здесь {Р} - трехмерная область допустимых

значений параметров, которые приводим к безразмерному виду.

Перемещения ^е (г) от каждого воздействия Ре (г) определяем по уравнениям п. 2.

Обозначим через {Рнд} , {р} , {Рвд} и

{ Рнхд } множества допустимых, худших допустимых

и нехудших допустимых векторов варьируемых параметров, для которых удовлетворяется условие (41). Соответственно в пространстве критериев качества

K: =

тт

W

... min

W,

—да

рассматриваем множества

{Кнд } ~ {Рнд } , {Кд } ~ {Рд } ,

{Кхд} ~ {Рхд}, {Кнхд} ~ {Рн

нхдГ

Лучшим решением Квд по сравнению с любым

допустимым Кд является такое, что Квд < Кд, где,

по крайней мере, для одного из компонентов вектора качества имеет место строгое неравенство. Соответственно нехудшим решением считаем то, для которого в

{Кд | нет лучшего решения. Множества

|Кнхд| ~ {^^хд) часто называют множествами Парето, подробнее см. в [2].

Более полно поставленные в настоящей статье задачи будут рассмотрены и обоснованы в следующей работе авторов.

Литература

1. Воронцов Г.В. Введение в математическую теорию опти-

мального оценивания и управления состояниями технических систем / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). Новочеркасск, 2006. 308 с.

2. Воронцов Г.В., Федий В.С. Векторная оптимизация пара-

метров наблюдаемых и управляемых стохастических систем // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2000. № 1. С. 6-9.

3. Ленинг Дж.Х., Беттин Р.Г. Случайные процессы в задачах автоматического управления. М., 1958. 387 с.

4. Пугачев В.С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления (издание второе). М., 1960. 883 с.

Поступила в редакцию

28 января 2009 г.

Воронцов Георгий Васильевич - д-р техн. наук, академик МАНВШ, профессор, кафедра «Сопротивление материалов, строительная и прикладная механика», Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. (8635)25-53-12.

Евтушенко Сергей Иванович - канд. техн. наук, профессор, зав. кафедрой «Сопротивление материалов, строительная и прикладная механика», Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт).

Vorontsov George Vasilievich - Doctor of Technical Sciences, member of the Academy, professor, department «Resistance of materials, construction and applied mechanics», South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. (8635)25-53-12.

Evtushenko Sergey Ivanovich - Candidate of Technical Sciences, professor, head of department «Resistance of materials, construction and applied mechanics», South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute)._