CC BY
20
К ЗАДАЧЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ГАСИТЕЛЕЙ КОЛЕБАНИЙ ВЫСОТНЫХ СООРУЖЕНИЙ
Воронцов Г.В., Евтушенко С.И.
ЮРГТУ (НПИ)
1. Гашение колебаний сооружения с квазиодной степенью свободы
Основные обозначения:
w (7) - перемещение сосредоточенной массы М системы (рис. 1,а,б).
V (X) - полное перемещение массы т гасителя колебаний (ГК).
V (X)- w (X) - относительное перемещение массы т .
/?1 и - жёсткости конструкции и упругого элемента ГК; податливости
§1 = §2 = и21.
Е (7) - внешнее усилие, действующее на массу М сооружения. Уравнения колебаний сооружения и массы ГК записываем в виде w (х) = - [ ММ) (X) + тУ (X) - Е (X)] 81,
V (X) - w (X) = -ту (X) §2 •
а)
(1)
М т
Е (X)
б) в) Iw (X у )- w (х)
^^лот ->МХ
Е ( X )
/ /
М 2
Е (X)
р] (X) М
Еп (X)
МйЛллО
штшш,
Рис. 1. Схемы сооружения с одной (а, б) и многими степенями свободы 1. Рассмотрим случай гармонического возбуждений колебаний силой
г
ВЕСТНИК 1/2009
^ (г ) = ^ г.
Полагая в уравнениях (1)
™ (г) = г, V (г) = А2 sinA, г
и сокращая на г, получаем
А1 = [ыА^к2 + шА2Х2 + ^ 151,
А2 - А1 = шА2^2 62. Исключая из выражения (2) амплитуду А2 , имеем
A
2
1 - M ] (1 - Х2ш82 ] + mX28l
+ F 5111 -V- m52 1 = 0.
(2)
(3)
(4)
Положим, что параметры т и 52 подобраны так, что собственная частота коле-<-) 1
баний массы ГК
„2 1 . ,2
Юо =-. = А .
т^2
При этом «свободный» член уравнения (4) равен нулю, следовательно
А1 = ° А2 =-Т~'
X т
см. выражения (3) и (4). Во всех прочих случаях последовательно вычисляем амплитуды А1 и А2 соответственно по формулам (2) и (3).
2. Гашение колебаний со многими степенями свободы
Основные обозначения
Mj - массы, сосредоточенные в сечениях z j (j = 1...n), см. рис.1,в. mj - активные массы гасителей колебаний (ГК), которые могут быть вмонтированы во всех массах Mj .
Fj (t) - внешние усилия в сечениях zj. F (t) = colon F1 (t)...Fn (t- вектор усилий.
M = diag [M^... Mn J, = diag ... mn J. W (t) = colon W1 (t)... wn (t- вектор перемещений масс Mj . V (t) = colon (t)... vn (t)J - вектор полных перемещений подвижных масс mj .
5,.
D
811 §12
§21 822
8 1 8 i
n1 n2
, 8 jK = 8^ - матрица податливостей конструкции; D
-1
■ матрица жесткостей сооружения.
Д = diag|"й1 ...hn"j - матрица жесткостей упругих элементов ГК.
Перемещения масс Мк и тк определяем выражениями
п
(г) = - X [М™к (г) + ткVк (г) - Рк (г)]5]К,
К=1
V] (г) - W] (г) = -т] V] (г) ^,
сравним с уравнениями (1).
Совокупность выражений (5) записываем в матричной форме:
Ф(г) = -Б иФ(г) + тУ(г)-Р(г) V (г)-Ф (г ) = - т иУ (г).
Рассмотрим частный случай при
Р (г ) = Р sinA, г, Ф (г): = Ф sinX г, У (г): = у sinX г.
При этом уравнения (6) и (7) преобразуются в
Ф = Б
X2 {ИФ+ тУ) + Р
У - Ф = Х2 т НУ.
Исключая из уравнения (1°) амплитуду У, получаем
У = |Е-X2 ти] Ф
Подставляя зависимость (11) в выражение (9), имеем
\-1"
Ф = Б
X2 И + т |Е-X2 т И
Ф + Б Р.
(5)
(6)
(7)
(8)
(9) (1°)
(11) (12)
Уравнения (12) и (11) позволяют вычислить вектор амплитуд Ф колебаний сооружения и вектор У движений масс т гасителей колебаний, см. формулу (8). Выбор оптимальных масс т ■ ГК, их числа и координат г ] размещения будет рассмотрен отдельно. ]
3. Математическая модель гасителя колебаний высотных сооружений на основе электромагнитного «подвешивания» (левитации) массы ГК
На рис. 2. показана схема ГК с массой на колесном «ходу». Ниже рассматривается модель ГК с массой, парящей в воздухе (или в вакууме). Естественно, что подобный ГК должен быть снабжен системами автоматического управления.
В соответствии с рис. 2 вводим следующие координаты, характеризующие основное и возмущенное положения массы ЭМ подвеса гасителей колебаний:
у (г) = 5н-5(г), у (г) = -5 (г): = -л(г); Ду (г) = 5СТ -§(г), ду (г): = -дл(г).
Здесь 5Н и 5СТ есть зазоры между полюсами электромагнита и массой притяжения в начальном и стационарном состояниях.
В математическую модель системы включаем:
- уравнение движения совместной массы т = тэ + тгк , приходящейся на один
ЭМ:
Рэм (X) + тц(X)-кл(X)mg + /(X) + X)= 0, 8 (X ) = );
(13)
Рис. 2 Принципиальная схема взаимодействия электромагнита с массой притяжения (механизм демпфирования не представлен)
- выражение, определяющее
подъемную силу ЭМ:
Рэм М^ИО/ЗМ]2 ; (14)
- зависимость между потокосцеплением у (X), силой тока I (X) в обмотке ЭМ и зазором 5( X):
2 VI (X) / 5( X) ; (15)
-уравнение напряжения тока и (X) в обмотке с активным сопротивлением Я:
и (X ) = Я1 (X), (16)
подробнее см. в работе [1]. В приведенных соотношениях обозначено:
1 2
где ^о - магнитная проницаемость вакуума; п - число витков обмотки ЭМ; £ - площадь полюсов ЭМ; / (X) и X) - соответственно детерминированные и случайные возмущения; g - ускорение силы тяжести; к - коэффициент демпфирования.
Исключим из выражений (13), (16) функции Рэм (X) и I (X), определив из форму-
лы (15) отношение I {X) / Ь^ ) = — у (X). В результате получаем систему уравнений
л (' ) =1 )-т- V2 (')+ я - 1 [ f (t ) + ^)],
m 4vm m L J
5 (t ) = n(t), viz (t ) = ^ (t)- R v(t )8(t )•
Произведя геометрическую линеаризацию уравнений (17), имеем
At,(t) = -A^(tVCT (t)A¥(t)-1 [Af (t) + ^(t)], m 2vm mL J
A 5 (t ) = A^(t), Ду(t) = U(t)--R[VCTA5(t) + AV(t)5CT" .
Введя обобщенный вектор
A X (t) = colon |Xt) j A8(t) j Ay(t)], представим систему уравнений (18) в матричной форме AX (t ) = AA XV (t) + F (t). Здесь обозначено:
k / m \ 0 | yCT / 2vm ,F (t ) = — m " 0 "
A = 1 | 0 | 0 0
0 I -RVCT / 2v -R5CT / 2v _Af (t ) + ^(t)_
(17)
(18)
(19)
Решение уравнения (19) записываем в виде
г
А X (7 ) = П (/-/0 )А X (/0)+ | П (7 -т).Т (т)^ т,
ко
где П - ) - переходная матрица [2].
После определения компонентов Ау(7) и А5(7) напряжение в обмотке ЭМ находим по формуле
А и (Г ):= - у [уст А5(/) + §ст Ау(г)"
Литература
1. Бочаров В.И., Бахвалов Ю.А., Талья И.И. Основы проектирования электроподвижного состава с магнитным подвесом и линейным тяговым двигателем / Изд-во Рост. ун-та. Ч. I. -Ростов-на-Дону, 1992.
2. Воронцов Г.В. Введение в математическую теорию оптимального оценивания и управления состояниями технических систем / 2-е изд., испр. и доп. Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). - Новочеркасск: ЮРГТУ, 2008. - 332 с.
Рецензент: кафедрой САПР ОСФ ЮРГТУ (НПИ), д.т.н., профессор Скибин Г.М.
