CC BY
64CENTRAL ASIAN ACADEMIC JOURNAL ISSN: 2181-2489
OF SCIENTIFIC RESEARCH VOLUME 2 I ISSUE 4 I 2022
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=4.63) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22230
M.I.SKANAVINING MATEMETIKADAN MASALALAR TO'PLAMINING
PLANEMETRIYAGA OID MASALALARINI GEOGEBRA DASTURI
YORDAMIDA YECHISH
Nilufar Vayitovna Jurayeva Fotima Xoldarova
TVCHDPI dotsenti TVCHDPI 2-bosqich magistranti
ANNOTATSIYA
Ushbu maqolada M.I.Skanavining matematikadan masalalr to'plamidagi ayrim planemetrik masalalarni yechish usullari ko'rsatilgan bo'lib, ushbu masalalarning chizmalari Geogebra dasturida ishlab chiqilgan. Maqolada keltirilgan misollarni umumta'lim maktablarining 9-sinf matematika darslarida ham qo'llash mumkin.
Kalit so'zlar: Geogebra, matematik paketlar, tashqi chizilgan aylana, ichki chizilgan aylana, uchburchak, urunma.
SOLVING PLANEMETRY PROBLEMS OF MATHEMATICS PROBLEMS WITH THE USE OF GEOGEBRA PROGRAM
ABSTRACT
This article discusses the solutions of some problems from the collection of problems in mathematics edited by M.I.Skanavi, and the drawings of the given problems were made on the Geogebra mathematical package. In addition, the examples of tasks given in the article can be used in mathematics lessons in grade 9 of secondary schools.
Keywords: Geogebra, mathpackets, circumscribed circle, inscribed circle, triangle, tangent.
KIRISH
Geometriya darslarini tashkillashtirishdagi o'qituvchi oldiga qo'yiladigan eng asosiy vazifalardan biri bu o'quvchilarda berilgan masaladagi jism yoki bir necha o'zaro bog'liq jismlarning, ularning elementarining chizmasini to'gri chizish ko'nikmalarini hosil qilishdir. To'gri chizilgan chizma orqali har bir o'quvchi masalaning mazmun mohiyatiga yaxshi tushunadi, masalaning yechimini aniq va tez, bir necha usullar yordamida topa oladi.
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=4.63) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22230
ASOSIY QISM
Hozirgi kunga kelib dasturchilar tomonidan ko'plab matematik paketlar ishlab chiqilgan bo'lib, ulardan eng ommalashganlari Maple, MathCAD, MathLab va hokazolar. O'rta-maxsus ta'limda, xususan maktablarda, Geogebra dasturini yaxshi samara beradi. Ushbu paketning boshqalaridan ajratib turadigan jihati - bu uning oddiy va sodda interfeysi va oson qo'llanilishidadir. Ushbu dastur bilan ishlashni endi boshlayotgan foydalanuvchi qaysi tugma qanday funksiya bajarishini tezda o'zlashtirib oladi. Foydalanuvchi ushbu dastur orqali oddiy chiziqli tenglamalardan tortib bir necha o'zgaruvchiga ega funksiyalargacha, oddiy planemetrik figuralardan tortib bir biriga ichki va tashqi joylashgan fazoviy shakllar bilan tanisha oladi.)
Hozirgi geometriya darsliklarida o'quvchilar uchun oddiy yoki o'ta murakkab bo'lmagan misollar berilgan bo'lib, yanada murakkabroq misollarni o'qituvchi qo'shimcha nodavlat darsliklari orqali topishi mumkin. Hozirgi vaqtda bunday qo'shimcha darsliklar juda hilma-hildir, birida berilgan misol va masalalar boshqasidagidan tubdan farq qiladi.
Ana shundan darsliklardan M.I.Skanavining matematikadan masalalar to'plamidir. Ushbu to'plam o'qituvchilar tomonidan ancha yillardan beri qo'llanib kelinib, boshqa to'plamlardan har bir mavzu oldidan qisqacha tavsif berlganligi va bir necha misollar yechib ko'rsatilganligi, masalalar qiyinligiga qarab bloklarga, bloklar esa, o'z navbatida, qiyinlik darajasiga qarab ketma-ketliklarga bo'linganligi bilan ajralib turadi.
Ushbu ishda M.I.Skanavining matematikadan masalalar to'plamidan ayrim geometrik masalalarning yechimlari va chizmalari Geogebra dasturi orqali berilgan.
10.001. (M. I. Skanavi, 10 bob, 1-masala) To'gri burchakli uchburchakka ichki chizilgan aylana uchburchak gepotenuzasini 12 sm va 5 smga teng chiziqlarga bo'ladi. Ushbu uchburchakning katetlarini toping.
Avvalo masalani chizma chizishdan boshlaymiz. Geogebra dasturi orqali to'gri burchakli uchburchak chizamiz. To'gri burchakli uchburchakni ikki usul orqali chizish mumkin: 1- perpendikulyar chiziqlar orqali yoki 2-berilgan gradus orqali burchak chizish komandasi orqali. Ammo shuni ham inobatga olish kerakki, ushbu uchburchakning gipotenuzasi 12 va 5 sm teng qismarga bo'lingan, demak u 17smga teng. Endi uchburchakka ichki chizilgan aylanani chizamiz.
Uchburchaklarning bissektrisalari tutashgan nuqta ichki chizilgan aylananing markazi ekanligini bilamiz. Demak, avval hech bo'lmasa ikkta bissektrisa o'tkazib, ularning tutashgan nuqtalarini belgilab olamiz. Ana shu nuqtani markaz deb olib, ichki chizilgan aylana chizamiz.
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=4.63) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22230
0 •' / Jr >(•' 8 X
5CQ,=
-j. OcHoeHbie OcbAöcqucc OcbOpaMW
o
*■
N
Yechim: Masala sharti bo'yicha AE=12sm, EB=5sm. R orqali aylananing radiusini belgilab olamiz. Shunda
AABC uchburchakda < C = 90°. Unday bo'lsa, Pifagor teoremasi bo'yicha:
AB2 = AC2 + BC2
Ushbu kvadrat tenglamaning ildizlari rx = 3 va r2 = — 20. Bundan kelib chiqadiki, r=3. Shunday qilib, BC=15sm va AC=8sm. Javob:15sm va 8sm.
10.006. (M. I. Skanavi, 10 bob, 6-masala) Radiuslari R=3 va r=1 bo'lgan ikki aylanalar tashqi tomondan bir birlariga tegadilar. Aylanalarning teginish nuqtasidan umumiy urinmasigacha bo'lgan masofani toping. Ushbu masalaning chizmasini chizishda Geogebra dasturida berilgan radius orqali aylana chizish funksiyasini qollanilgan va ikkta aylana chizilgan. Songra, aylanaga urinma otkazish komandasi orqali urinma o'tkazib olinadi.
va
BE=BP=5 sm PC=r BC=PC+BP=5+r, AE=AF CF=r AC=CF+AF=r+12 AB=AE+EB=12+5=17.
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=4.63) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22230
Yechim: FM ni x orqali belgilaymiz. Shunda A0±T0^ AFMOdan = ni bilib
olish mumkin. Bundan kelib chiqadiki
x =
r(R - r )
tf+r '
г(Д-г) EF — ——--h r =
2 Rr
R + r R + r
R =1,5 sm
Agarda urinma deb EF qaralsa , unda qidirilayotgan masofa 0ga teng bo'ladi. Javob: 0 sm va 1,5 sm.
10.010.(M. I. Skanavi, 10 bob, 10-masala) Muntazam uchburchakning har bir tomoni uchta teng qismga bo'lingan bo'lib, tegishli bo'linish nuqtalari bir xil yo'nalishda mos ravishda bir-biri bilan bog'langan. Paydo bo'lgan muntazam uchburchakka aylana uchki tomonlama chizilgan bo'lib, shu aylananing radiusi r=6sm. Ushbu uchburchaklarning tomonlarini aniqlang. Muntazam uchburchak chizish uchun Geogebra dasturidagi muntazam jism chizish funksiyasidan foydalanildi. Ichki paydo bo'lgan ikkinchi uchburchak ichiga chizilgan aylanani chizish uchun ham uchburchakning bissektrisalari tutashgan nuqtani markaz deb olindi.
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=4.63) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22230
Yechim: Masalaning sharti bo'yicha
AS=CS=AC, SB=BD=DC=CM=MK=KA=AF=FE=ES va r=6sm .
Bir tomondan AFBM ning yuzasi SAFBM = . r = . r bo'lsa,
vi
Boshqa tomondan SAFBM = —• FB2, ya'ni
AÄFM uchburchagida:
FB = 12a/3sm bo'ladi.
<FAM=60°,
AF 3 ACFM2 = AF2 + AM2 — 2-AF- AM ■ cos < F AM (kosinuslar teoremasï) bo'lsa, unda:
FM = BF ^ AS = 12V3- V3 = 36sm Javob: 12V3sm. 36sm
10.013. (M. I. Skanavi, 10 bob, 13-masala) Tomonlari 12sm, 15,sm va 18sm bo'lgan berigan. Shunday aylana chizilganki, ushbu aylana uchburchakning ikkta kichik tomoni bilan tutashgan bo'lib, markazi uchburchakning katta tomonida yotadi. Aylananing markazi uchburchakning katta tomonini bo'lganida hosil bo'lgan chiziqlar uzunligini toping. Ma'lumki, ichki chizikgan yarim aylananing markazi uchburchakning tomoni va u bilan tutashgan bissektrisasining umumiy nuqtasida yotadi. Shunday ekan, ushbu xossiyatdan foydalanib berilgan uchburchakka ichki chizilgan aylana chizib olamiz. Uchburchakning qolgan tomonlari uchbu aylanaga urunma ekanligini, va aylananing radiusi uchbu tomonlarga perpendikulyar.
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=4.63) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22230
Yechim:Kosinuslar teoremasini qo'llagan holda sin a va sin ßni topib olamiz:
cos a = -4
V?
4
sin a = tJi — I BC2 = AB2 + AC2 - 2 ■ AB-AC- cos ß
IS2 = 122 + 182 - 2 - 12 18 cosß
Boshqa tomondan:
sin/? —
OK _ R OA ~ x
Ushbu proporsiyani yechib x va y ni topib olamiz:
5x=4(18-x) ^ 9x=72 x=8sm, y=10sm.
Javob: 8sm va 10sm.
10.015.(M. I. Skanavi, 10 bob, 15-masala) 120o burchakli aylana yoyining uchlaridan ushbu ayanaga ikkta urinmalar o'tgan bo'lib, ushbu urinmalar va aylana yoyi orqali hosil bo'lgan figura ichiga boshqa bir aylana chizilgan. Ichki chizilgan aylananing uzunlugi berilgan aylananing 120oli yoyi uzunligiga tengligini isbotlang.
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=4.63) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22230
Isbot: r orqali ichki chizilgan aylananing radiusini, R orqali esa yoyning radiusini belgilaymiz.
<AO1B=60o , <BAO1=90o bo'lsa , demak <ABO1=30o bo'ladi.
ABAO± orqali bilamizki : B01 =
sill 30°
= 2 R, ABE02 orqali esa : <BE02=90°.
Bundan kelib chiqadiki:
BO2=2r, OiO2=2(R-r).
Masala sharti bo'yicha:
O1O2=R+r, demak 2(R-r)=R+r, R=3r yoki r=R/3.
Shunday qilib, ichki chizilgan aylananing uzunligi:
2 TT
U = a- R = — ■ R
l1 = 2 TT.-r =
2ttR
Yoyning uzunligi esa:
Bundan kelib chiqadiki: h = h Tajriba-sinov ishlari natijalari va ularning tahlili
Tajriba-sinov ishlari Chirchiq shahar 12-sonli umumta'lim maktabida geometric maslalalarni Geogebra dasturidan foydalanib yechish bo'yichi dasr o'tildi va tajriba-sinov natijalari tahlil qilindi. Tajriba va nazorat guruxlarining o'zlashtirishlarini
taqqoslash maqsadida guruhlarda o'zlashtirish bahosining o'rtacha qiymati X - ^x'mj deb
N
olindi. Bu yerda xi - о'zlashtirish kо'rsatkichi (baho qiymati) bо'lib, ular 2, 3, 4, 5; qiymatlarni qabul qiladi. mj - baxolarning takrorlanishlar soni, N - tajribada ishtirok etayotgan о'quvchilar soni. О'quv jarayoni samaradorligini baholovchi о'rtacha qiymat tajriba va nazorat guruhlari baholarining о'rtacha arifmetik qiymatlari nisbatidir, ya'ni samaradorlik koeffitsiyenti quyidagi formula orqali hisoblanadi:
CENTRAL ASIAN ACADEMIC JOURNAL ISSN: 2181-2489
OF SCIENTIFIC RESEARCH VOLUME 2 I ISSUE 4 I 2022|
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=4.63) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22230
Umumta'lim maktab o'quvchilarining oraliq nazorat natijalari
Guruxlar O'quvchilar Baxolash mezonlari
soni 5 4 3 2
Tajriba guruxi 18 10 4 4 -
Nazorat guruxi 16 7 3 4 2
Ushbu natijalarga nisbatan о'rtacha о'zlashtirish ko'rsatkichini hisoblaymiz:
_ 1 1 70
r = — [10 • 5 + 4 • 4 + 4 • 3l = — (50 +16 +12) = — = 2,29
T 34L 34V / 34
_ 1 1
= — [7 • 5 + 3 • 4 + 4 • 3 + 2 • 2l = — (35 +12 +12 + 4) = — = 1,85 34 34 34
2,23
Samaradorlik koeffitsenti: Л =^3" =1,15
Demak oraliq nazorat natijalariga ко'га tajriba guruhidagi samaradorlik 1.15 barobarga yuqori ekan. Ushbu natijalarga ko'ra diagrammasini keltiramiz
Название диаграммы
20 15 10 5 0
18
16
II
O'quvchilar soni
10
I7
5 baho
4 3 4 4 ■ ■■
4 baho 3 baho Baxolash mezonlari
2
0
2 baho
I Tajriba guruxi ■ Nazorat guruxi
Demak olingan natijalar va diagramma ko'rinishiga ko'ra biz olib borgan o'qitish jarayoni samarali ekan. Tajriba guruhlarida o'zlashtirish samaradorligi 86,67 % ni (natija guruhlariga nisbatan 26,67% ga ko'p.
XULOSA
Ushbu dastur tadbiqi Toshkent viloyati Chirchiq shahridagi 12-umuta'lim 9-sinf o'quvchilariga geometriya faning "Uchburchakka ichki va tashqi chizilgan aylana", hamda 8-sinf o'quvchilariga "Aylanalarning o'zaro joylashuvi" mavzulariga oid
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=4.63) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22230
masalalarda ko'rsatib berildi. Dars mobaynida o'quvchilar geometrik chizmalar chizishda dastur muhim ahamiyatga ega ekanligini yaxshi tushunib olishdi, hamda ularda geometriya faniga matematik dasturlar sababli yanada qiziqish uyg'ondi.
Shuningdek, informatsion texnologiyalarni darsda qo'llash orqali, o'quvchilarning o'qituvchida diqqatini jalb qilish imkoniyati paydo bo'ldi.
Shunday qilib, Geogebra dasturi orqali maktab o'quvchilari uchun matematika darsini nafaqat mazmunli va qiziqarli o'tkazish mumkin, balki o'quvchilarni ushbu fanga qiziqishlarini yanada kuchaytiradi.
ADABIYOTLAR (REFERENCES)
1. Тимофеева Н. М., Киселева О. М. Перспективы развития методов математического моделирования в обучении // Системы компьютерной математики и их приложения. - Смоленск: Изд-во СГПУ, 2009. - С. 249-252.
2. Тимофеева Н. М., Киселева О. М. О применении программных средств в процессе обучения // Системы компьютерной математики и их приложения. - Смоленск: Изд-во СГПУ, 2005. - С. 233-235.
3. Ю.Г.Игнатьев. Проектная геометрия и методы изображений. Курс лекций. III семестр. -Изд-во НИЛИТМО,2005,Казань-122с
4. М. И. Сканави. Сборник задач по математике. Москва "Мир и образование", Минск "Харвест", 2003г.
5. Juraeva N., Abduraimov J., Xoldarova F. МакаЬ geometriya kursini o'qitishda interfaol texnologiyalardan foydalanish.. ..УзМУ ХАБАРЛАРИ ВЕСТНИК НУУз 117.
