UCHBURCHAK BURCHAKLARIGA ICHKI CHIZILGAN AYLANALAR. Текст научной статьи по специальности «Языкознание и литературоведение»

Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti

UCHBURCHAK BURCHAKLARIGA ICHKI CHIZILGAN AYLANALAR.

Kumushoy Zulfiqorovna Ro'ziyeva Chirchiq Davlat pedagogika instituti "Matematika va informatika" fakulteti 2-bosqich

magistranti

Mazkur maqolada uchburchakka, uchburchak burchaklariga ichki chizilgan aylanalar, hamda uchburchakka ichki chizilgan o'zaro urinuvchi aylanalar radiuslari orasidagi munosabatlarni aniqlash, hamda ularga mos doiralar yuzalari yug'indisini turli joylashuv holatlarida taqqoslash natijalari keltirilgan.

Tayanch so'zlar: uchburchak, uchburchak burchaklari, yarim perimeter, ichki chizilgan aylanalar, radiuslar

В данной статье кратко изложены случаи расположения трех окружностей касающихся между собой и вписанных в треугольник, в том числе приведены формулы для нахождения радиусов окружностей Мальфатти. И основная цель напрвлена на сопоставления значений сумм площадей соответствующих кругов в приведенных случаях.

Ключевые слова: треугольник, углы треугольника, полупериметр треугольника, вписанные окружности треугольника, радиусы. This article about triangle, inscribed triangle to the angles of a triangle, and also to determine relations among to triangle inscribed triangle radiuses, as well as the circles surfaces sum are fetched matching for them.

Keywords: triangle, the angles of a triangle, semi perimeter of a triangle, inscribed triangle radiuses

Umumiy o'rta ta'limning geometriya kursida uchburchakka ichki chizilgan va tashqi chizilgan aylanalar radiuslari, ular bilan bog'liq bo'lgan masalalar o'rganiladi.

Uchburchakka ichki chizilgan o'zaro urinuvchi, burchaklariga ichki chizilgan,hamda uchburchakka ichki chizilgan aylanaga urinuvchi aylanalar radiuslari ham o'ziga xos ajoyib xossalarga ega.

1.Umumiy urinmaga ega bo'lgan uchta o'zaro urinuvchi aylanalar radiuslari o'zaro quyidagicha bog'langan:

Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti

V^l

Bu aylanalar tashqarisiga uchburchak chizish mumkin bo'lishlik sharti:

( 1 < 1 + 1 V^l 1 < 1 + 1

V^l 1 < 1 + 1

V^l

dan iborat. ▲

Bu esa uchburchak tengsizligiga ekvivalent bo'lib, bundan quyidagi muhim xulosani chiqarishimiz mumkin:

1-masala. Uchburchakka ichki chizilgan o'zaro urinuvchi uchta aylananing rj, r2, r3 radiuslarini uchburchak tomonlari orqali ifodalang.

Yechilishi: A ABC uchburchakning tomonlari uzunliklari a, b, c ga teng bo'lsin, binobarin proyeksiyalar teoremasiga ko'ra

Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti

a

В с

= ъад- + r3ctg- + 2^Г2Г3

A L I

b = r-iCtg- + r3ctg- + 2^гггз (1)

2 3 ^ 2 A . В

с = r1ctg- + r2Ctg-+2^YT2 Amaliyotdan ma'lumki, bunda kichik burchakka katta radiusli va aksincha, katta burchakka kichik radiusli aylana mos keladi, ya'ni sinuslar teoremasiga asosan, bu aylanalar radiuslari uchburchakning mos tomonlari uzunligiga teskari proporsional bo'ladi:

ar1 = br2 = cr3 = К (2)

(1) tengliklarni hadma-had qoshsak,

P = r1ctgl + r2ctgl + r3ctg^ + Jr\r3 + фж+ф+Ъ (3)

Berilgan uchburchak uchun

S=pr va p — a = rctg^ ,p — b = rctg— с = rctg^ ekanligidan,

uchburchak yuzi

S = г1(р — а)+Г2(р — Ь)+ r3(p — c) + г(фуг3 + + фуъ) va (2) ga ko'ra ; ; (4)

bo'lgani uchun

5 = -а(р — а)+> — Ь)+7(р — с) + г(тш+1к+:1ш) (5)

oki S — K(p-a I p-b I p-c I r ( i I i I i Ъ abc \Väb Väc Vbc)

S

bundan К bc(p-a)+ab(p-c)+ac(p—b) ^^Va+Vb+Vc (6)

abc Vabc

Google Scholar Scientific Library of Uzbekistan

Academic Research, Uzbekistan 513 www.ares.uz

Academic Research in Educational Sciences VOLUME 2 | CSPI CONFERENCE 3 | 2021

Zamonaviy ta'limda matematika, fizika va raqamli texnologivalarning dolzarb muammolari va vutuqlari

Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti

demak, Malfatti aylanalari radiuslarini topish formulalari

f bcS

y = _

1 bc(p-a)+ab(p-c)+ac(p-b)+r^abc(Va+Vb+^c) _ acS

2 bc(p-a)+ab(p-c)+ac(p-b)+r^ abcQja+^b+Jc) (7)

abS

To = - -

. bc(p-a)+ab(p-c)+ac(p-b)+r^abc(-Ja+Vb+Jc)

ko'rinishga ega bo'ladi. ▲ 2. Uchburchakning AC tomoni bilan shu tomoniga urinuvchi r1 va r3 radiusli aylanalarning umumiy urinmasi tashkil qilgan F burchakning 9 kattaligi zC — zA burchaklar ayirmasiga bog'liq bo'lib, xususan teng yonli uchburchakda nolga teng, ya'ni bu urinma uchburchak asosiga, teng tomonli uchburchakda esa, uchburchakning mos tomoniga parallel bo'ladi.

B

■F

A

C

Haqiqatdan ham, sinuslar teoremasi va (4) tengliklarga ko'ra,

<p r3 — r1 a — c sin — =

2 r1 + r3 a + c bundan, tangenslar teoremasiga bo'lamiz.

. w C-A C+A

asosan sin—= tg-^-ctg—^- ga ega

Tangenslar teoremasi. ABC uchburchak burchaklari A,B,C va tomonlari a, b, c

A-B

, „ , , , a-b ^ A-B ^ A+B tg-

bo lsa, u holda — — --— —2

a+b

= tg — ctg

2

—c~ tengliklar o'rinli. ▲ ctg-

Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti

2-masala. Uchburchakka ichki chizilgan aylanaga urinuvchi, hamda burchaklariga ichki chizilgan aylanalarning ra ,n r radiuslarini uchburchakka ichki chizilgan aylananing r radiusi orqali ifodalang.

Yechilishi: A ABC uchburchakning tomonlari uzunliklari a, b, c ga burchaklari tomonlari va ichki chizilgan aylanaga urinuvchi aylanalar radiuslari mos ravishda ra, rb, rc bo'lsin.

B

A C

Dastlab, A burchakka ichki chizilgan aylananing

munosabatlarni ko'rib chiqamiz. Xuddi yuqoridagi kabi,

• A

l-sin—

_2 _

radiusi uchun

. A r-ra , ra

sin- = —- dan — =

r+rn

l+sin-

1 = ct92 + , yoki ra = rctg2 g + ^

"2

shuning dek

ra = rctg2 g + ^ rb = rctg2 g + ^

= rct92 ^ + 9

(8)

larga ega bo'lamiz ▲

Xususan, teng tomonli uchburchakda a = b = c, r = ^; S = ; ekanligidan

0,2 ft q

K = y°ki, (4) ga ko'ra r' =Ti = T2 = T3=- = ga teng bo'ladi.

r

a

r

Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti

Malfatti masalasi

(yoxud uchburchakka ichki chizilgan o'zaro urinuvchi aylanalar).

Umumiy o'rta ta'limning geometriya kursida uchburchakka ichki chizilgan va tashqi chizilgan aylanalar, ular bilan bog'liq bo'lgan masalalar o'rganiladi.

Uchburchakka ichki chizilgan o'zaro urinuvchi, burchaklariga ichki chizilgan,hamda uchburchakka ichki chizilgan aylanaga urinuvchi aylanalar ham o'ziga xos ajoyib xossalarga ega.

1803 yilda Malfatti quyidagi masalani taklif qilgan:

Berilgan uchburchak ichidan shunday uchta o'zaro kesishmaydigan aylanalarni topingki, ularga mos doiralarning yuzalari yig'indisi eng katta bo'lsin.

Bu masalada ta'kidlangan doiralarni 7 xil holatda joylashtirish mumkin, shundan 6 ta holatda asosiy o'rinda uchburchakka ichki chizilgan r radiusli doira va uchburchak burchaklariga ichki chizilgan doirachalar turadilar. Bu holatlarni quyidagi shakllarda ko'satish mumkin:

C

A

1-holat

C

A

C

B A

2-holat

C

3-holat

B A

5-holat

C

B A

4-holat

C

B

B A

6-holat

B

7-holat:

Uchburchakka ichki chizilgan o'zaro urinuvchi uchta aylananing ri, r2, r3 radiuslarini uchburchak tomonlari orqali ifodalash formulalari:

Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti

B

A

bcS

гл —

< ^ —

bc(p — a) + ab(p — c) + ac(p — b) + rVabc(Va + Vb + -с)

acS

bc(p — a) + ab(p — c) + ac(p — b) + rVabc(Va + Vb + —c)

abS

bc(p — a) + ab(p — c) + ac(p — b) + rVabc(Vä + Vb + —с)

▲

3. Uchburchak burchaklariga ichki chizilgan o'zaro urinuvchi doiralar

Oi

a

B C

Radiuslari Oj C=r va O2 B=r\ bo'lsin. O2 BCOi trapetsiyada O2Oi=R+r ,

BC=V~Rr ekanligidan r — R — (R + r)sin- yoki

• -

R 1-Sin- „ — n

- —-2 — ctg2(- + ~) ga ega bo'lamiz. Bundan 3-doira radiusi ham 2-

r 1+sin-

C

doiraning R radiusidan ctg2(+ ^) marta kichik, va h.k.. degan xulosaga kelishimiz mumkin. Demak, — kattalikdagi burchakka ichki chizilgan va o'zaro tashqi urinuvchi doiralar radiuslari 1-hadi b1 — r va maxraji q — ctg2 + ж) ga va barcha

r

hadlari yig'indisi s —

1 - q 1 ж

1 -ctg (4 + 4)

ga teng bo'lgan cheksiz kamayuvchi

Zamonaviy ta'limda matematika, fizika va raqamli texnologivalarning dolzarb muammolari va vutuqlari

Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti

geometrik progressiyadan iborat. Uning hadlari kvadratlarining yig'indisidan maqola boshida ta'kidlangan masaladagi doiralar yuzalari yig'indisini hisoblashda ham

TW ^

foydalanish mumkin: S =-, bunda a -uchburchakning doiralar ichki

1 -+4)

chizilgan burchagi kattaligi.

9nr2

Teng tomonli uchburchak uchun S = bo'ladi. ▲

Yuqoridagi 1-, 2- va 3-holatlarda doiralar yuzalari yig'indisi

S = (1 + ctg4(— + W) + ctg8(—+ W))wr2 ga, teng tomonli uchburchakda bu qiymat 4 4 4 4

11 91

S = (1 + - + — w2 = — wr2 «l,l2345679Wr2 ga teng bo'ladi. 9 81 81 & &

a W [ w

4-, 5- va 6-holatlarda esa S = (1 + ctg 4(— + —) + ctg+ — ))wr2 ga teng bunda, a

va [ - uchburchakning doirachalar ichki chizilgan burchaklari. Teng tomonli

uchburchak bo'lgan holda bu qiymat S = (1 + 2 • 2 = —wr2 «1,(2)wr2 (eng katta

qiymat!) ga teng bo'ladi.

7-holatda esa uchburchakka ichki chizilgan o'zaro urinuvchi uchta doiralar yuzalari yig'indisi S = (r2 + r22 + r32)w ga, teng tomonli uchburchak bo'lgan holda

/3 9

S = 3 «w(—^)2r2 =-= wr2 » 1,206wr2 ga teng bo'ladi.

1+ V3 4 + 2V3

REFERENCES

1. Karimiy O. , "Trigonometriyadan misol va masalalar yechish" Toshkent "O'qituvchi", 1971. -479 b.

2. Haydarov B. Q. va b. , "Geometriya" , 9-sinf uchun darslik, Toshkent "O'zbekiston Milliy ensiklopediyasi", 2010 . -160 b.

3. Pogorelov A. V. Geometriya. Umumta'lim maktablarining 7-11 sinflari uchun darslik. Toshkent. O'qituvchi. 1992

4. "Fizika, matematika va informatika" jurnali 3-soni, 2007 yil.