CC BY
16w^^^v International journal of
örH^ijla theoretical and practical
^ggl? research '^¿iH^s^ Scientific Journal
Year: 2022 Issue: 2 Volume: 2 Published: 28.02.2022
http://alferganus.uz
Citation :
Xolmurzayev A., Alidjanov A. (2022). The use of methods of projective geometry in the construction of projections of shapes with predetermined conditions. SJ International journal of theoretical and practical research, 2 (2), 73-81.
Xolmurzayev A. A., Alidjanov, A.I. (2022). Oldindan berilgan shartlarga asosan shaklning proektsiyalarini qurishda proektiv geometriya usullaridan foydalanish. Nazariy va amaliy tadqiqotlar xalqaro jurnali, 2 (2), 73-81.
Doi:
https://dx.doi.org/10.5281/10.5281/zenodo.6470389
DOT 10.5Z81/zenodo.64703B9
QR-Article
Xolmurzayev, Abdirasul
PhD, dotsent E-mail: abdirasul60@gmail.com,
Alidjanov, Adiljan
PhD, dotsent E-mail : aliionov.odilion@gmail.com
Fergana Polytechnical Institute
UDC 514.18
THE USE OF METHODS OF PROJECTIVE GEOMETRY IN THE CONSTRUCTION OF PROJECTIONS OF SHAPES WITH PREDETERMINED
CONDITIONS
Abstract: The issues of constructing projections based on their predetermined conditions is an important task in engineering activity. The article presents algorithms for constructing projections of the simplest forms and solving problems using them. Keywords: projective geometry, projection, triangle, quadrilateral, geometric model
OLDINDAN BERILGAN SHARTLARGA ASOSAN SHAKLNING PROEKTSIYALARINI QURISHDA PROEKTIV GEOMETRIYA USULLARIDAN FOYDALANISH
Xolmurzayev Abdirasul Abdulaxatovich,
t.f.n., dotsent
Alidjanov Adiljan Isakovich,
t.f.n., dotsent Farg'ona politexnika instituti
Annotatsiya: Oldindan berilgan shartlarga asosan geometrik shakllarning proektsiyalarini qurish masalasi loyihalash amaliyotida muhim sanaladi. Quyidagi
cc
®
73
maqolada shunday shartlar bo'yicha oddiy geometrik shaklningproektsiyalarini qurish algoritmlari va ular yechimlari keltirilgan.
Kalit so'zlar: proektiv geometriya, proektsiya, uchburchak, to'rtburchak, geometrik model
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ПРОЕКЦИЙ ФОРМ С НАПЕРЕД ЗАДАННЫМИ
УСЛОВИЯМИ
Холмурзаев Абдирасул Абдулахатович
к.т.н., доцент Алиджанов Адилжан Исакович
к.т.н., доцент Ферганский политехнический институт
Аннотация: В проектировании вопросы построения проекций по их наперед заданными условиями является важной задачей. В статье приведены алгоритмы построения проекций простейших форм и решения задач с их использованием Ключевые слова: проективная геометрия, проекция, треугольник, четырехугольник, геометрическая модель
Kirish
Yevklid geometriyasi qat'iy qurilgan deduktiv tizimdir. U chizma geometriya, konstruktiv geometriya va bugungi kunda kompyuter geometriyasiga asoslangan. Shu bilan birga, geometrik tuzilmalar amaliyotida kamchiliklar mavjud. Shunday qilib, Gauss teoremasi darajasi m va n ikkita egri chizig'i aniq mn kesish nuqtalariga ega ekanligini ta'kidlaydi. Doira ikkinchi darajali egri chiziq. Ikki doirada to'rtta kesish nuqtasi bo'lishi kerak. Ammo doiralarning kesishuv nuqtalari umuman bo'lmasligi mumkin va agar harakat qilinsa, ulardan ikkitasi aniqlash mumkin. Ushbu oddiy misol, Yevklid geometriyasi tizimi ko'proq e'tibor talab qilishi va ba'zi tushuntirishlarga muhtoj ekanligini ko'rsatadi.
Adabiyotlar sharhi
Geometrik masalalarni faqat real ob'yektlar bilan emas, balki mavhum raqamlar (nuqtalar, chiziqlar) bilan ham yechish zarurati ayrim boshlang'ich ma'lumotlar uchun geometrik yasashlar oddiy (real) yechimlarga ega bo'lmasligi mumkinligidan kelib chiqadi. Bunga yaxshi misol shuki, har bir kvadrat tenglama (masa lan, to'g'ri chiziq va aylananing kesishish nuqtalarini topish shunday tenglamaga tushirilgan) ikkita yechimga ega - haqiqatan ham har xil, haqiqiy to'g'ri yoki mavhum. Birinchi holda to'g'ri chiziq va aylana ikkita kesishish nuqtasiga ega, ikkinchisida ular tegib turadi (kesishish nuqtalari bir-biriga to'g'ri keladi), uchinchisida esa kesishish nuqtalari mavhum chiqadi, ya'ni ular yevklid geometriyasining elementlari bo'lib qolaveradi. Murakkab tekislikning mavhum figuralari (nuqta va chiziqlari) ko'pincha ilmiy va amaliy masalalarni yechishda yuzaga
ce
®
74
SJIF 2022:5.962
keladi [1], xususan geometrik muammolardagi mavhum figuralar to'g'risidagi masalalar [1-5] da yoritilgan.
Chizma geometriya bo'yicha ko'plab adabiyotlarda sirtlarni berilgan tekisliklar bilan kesib, kesim yuzasini qurish bo'yicha anchagina misollar va yechish usullari keltirilgan. Proektiv geometriyada esa har qanday parallel proektsiyalashning asosiy xossalarini buyumni perspektiv-affin fazosida to'liq va mos masalalar ko'rib chiqilgan.
Lekin oldindan berilgan shartlarga asosan geometrik yasashlarda kesuvchi tekislikning proektsiyasini qurish masalasi hamon yechimini topgani yo'q. Quyida oldindan berilgan shartlar bo'yicha geometrik shaklning proektsiyalarini qurish masalasini ko'rib chiqamiz.
So'nggi paytlarda konstruktiv geometrik modellashtirishning zamonaviy tizimlari imkoniyatlaridan kelib chiqib, ularga qiziqish ortdi [3, 5]. Shunga qaramay, ulardan amaliyotda foydalanish sezilarli darajada murakkab bo'lib, bu raqamlarning o'zi va ularning xususiyatlarini bevosita (ko'rish orqali) namoyish etib bo'lmaydi. Yuqorida sanab o'tilgan asarlarda murakkab tekislikning figuralari bilan bog'liq masalalarni yechishda ularni belgilash va ifodalashning ma'lum usullari qo'llaniladi, biroq ko'rsatish uchun tekislikdan foydalaniladi, figuralarning o'zi esa ularning fazoviy elementlari orqali yanada foydaliroq ko'rsatiladi (vektorlar, markerlar, markalar, nuqtali chiziqlar va hokazo.) aniqligiga ko'ra va ularning yozuvlar ball asosan raqamlar sifatida ishlatiladi. Shunday qilib, murakkab tekislikdagi mavhum figuralar va ularning xossalarini ko'rgazmali tasvirlash usullarini ishlab chiqish dolzarb muammo hisoblanadi.
Tadqiqot metodologiyasi
Uchburchak tekislikning frontal proektsiyasini qurish. Bu masalani yechish uchun, avvalo, quyidagi soddalashtirishlarni kiritish maqsadga muvofiq bo'ladi. 1-rasmda yordamchi aylana radiusi B101 to'g'ri chizig'i B1 nuqtadan A1C1 tomonga tushirilgan perpendkulyardir. Buning boshqacha yechimi 2-rasmda ko'rsatilganidek bo'lib, unda A1 (yoki C1 nuqta) aylananing 01 markazi sifatida qabul qilish mumkin.
Endi bu usulni uchburchak tekisligining frontal proektsiyasini yasashda qo'llab ko'ramiz. Birinchi usuldagi 2-rasmda ko'rsatilganidek yasashni, ikkinchi usulda 3-rasmda ko'rsatilganidek yasashni joriy etamiz.
o,
1-rasm.
2-rasm.
4-rasmda ABC uchburchak tekisligining gorizontal proektsiyasi tasvirlangan, uning tomonlari I, m, n kesmalarga teng.
75
SJIF 2022:5.962
Shu kesmalardan foydalanib 2-rasmda ko'rsatilganidek, radiusi O-^B-^, 0111 ga teng aylana yordamida chizilgan uchburchakka o'xshash A1B1C1 uchburchak tekisligini yasaymiz. Ellips yarim diametrlari Ob va 01 orqali o'xshash ellips chizig'i yordamida hosil qilingan ac kesmani 0 va 1 ikki teng bo'lakka bo'lib, 8-rasmdagi A-^C-^ ga o'xshash va 0111 larni topamiz. Ellipsning Od katta va Oe kichik o'qlarni e'tiborga olib, Ob va 01 ni quramiz. Buning uchun 0 nuqta orqali Ob ni 90° ga quramiz. Buning uchun 0 nuqta orqali Ob ni kichik burchak yo'nalishi bo'ylab 90° ga buramiz.
b1 va 1 nuqtalarni tutashtirib, b11 ni 3 nuqtada teng ikkiga bo'lamiz, 03 radius bilan 3 nuqtani markaz qilib aylana chizib b11 kesmani 4 nuqtada kesadi. Ellipsning kichik o'qi yo'nalishi Oe perpendikulyar 04 bo'ladi. 04 to'g'ri chizig'idan 0 nuqtani markaz qilib Od kesmani xosil qilamiz. Bu b, 4 teng va yarim ellipsning katta o'qini tasvirlaydi.
Yarim ellipsning katta o'qi mn ABC ga chizilgan aylananing uchburchak tekisligi gorizontali desa bo'ladi. Yuqoridagi misoldan ko'rinib turibdiki, yarim juftlik radiuslar yordamida chizilgan aylanalar usuli markaz tanlashda keng qo'llanilishi mumkin.
Masalani bu qismini yanada soddalashtirish maqsadida 2-rasmdagi usulni ko'rib chiqamiz. Yordamchi aylana radiusi sifatida uchburchakning A1B1 tomonini (yoki hohlagan tomonini) olamiz. A1 yoki C1 nuqtani 01 markaz deb qabul qilamiz. A-^C-^ ga perpendikulyar tushirib B-^C-^ ni davomida A111 va A121 nuqtalar yordamchi aylana radiuslari bo'ladi.
ABC uchburchak tekisligining frontal proektsiyasini qurishda birinchi (1-rasmdagi) usulni qo'llab 3-rasm, ikkinchi (2-rasmdagi) usulni tadbiq etib 4-rasmdagi masala yechilgan.
Ushbu usullar oldindan berilgan tekis shakllarning frontal proektsiyalarini yasashdan tashqari, berilgan shartlar asosida geometrik figuralarni boshqa proektsiyalarini yasash imkoniyatini beradi.
Usulning bosh mezoni shundan iboratki, unda o'xshash to'rtinchi tekislik kiritish va yarim radiuslar orqali chizilgan aylanalar bilan yasashni masala katalizatori deb atalsa to'g'ri bo'ladi.
Endi gorizontal tekislik va a burchak qiymatiga ega bo'lgan holda, tekislikda yotgan har qanday nuqtaning, uning berilgan gorizontal proektsiyasiga ko'ra, frontal proektsiyasini qurish oson. Shunday qilib, masalan, B nuqtaning frontal proyeksiyasini qurish uchun quyidagilar kerak: b gorizontal proyeksiya orqali bb0 va bb1 to'g'ri chiziqlar chizamiz, ularning birinchisi perpendikulyar,
3-rasm.
@ ©
76
SJIF 2022:5.962
ikkinchisi mn aylanish o'qining gorizontal proyeksiyasiga parallel. b1 nuqtadan orqali bb1 to'g'ri chiziqqa u bilan b1 nuqtada kesishadigan bb1 to'g'ri chiziqni torting, bb1 ikkinchi oyoq aylanma o'qning frontal proyeksiyasidan b' frontal proyeksiyaning masofasini va b0b1 segmentni aniqlaydi. aylanish radiusining haqiqiy kattaligi. bb1 segmenti aylanish o'qining frontal proektsiyasining bir yoki boshqa tomonida b nuqtasining aloqa chizig'ida chizilgan. Demak, muammoning ikkita echimi bor degan xulosaga keldik. Bir xil o'lchamdagi ikkala uchburchak proektsiyalarning gorizontal tekisligiga parallel va mn aylanish o'qidan o'tuvchi tekislikka nisbatan nosimmetrik tarzda joylashtirilgan.
Uchburchakning frontal proyeksiyasini qurishda, gorizontal proyeksiyasining bir tomonida joylashgan uchburchakning gorizontal proyeksiyalari bir tomonida joylashgan nuktalari frontal proyeksiyalarga ega bo'lishi kerakligini hisobga olish kerak. tomoni (nima bo'lishidan qat'iy nazar) gorizontalning frontal proektsiyasi.
Oed1 to'g'ri burchakli uchburchakni qurib, E nuqtaning frontal proektsiyasini qurishimiz mumkin. Endi uchburchakning tekisligi bir-biriga tegishli bo'lmagan to'g'ri chiziq va nuqta bilan belgilanadi va har qanday figuraning gorizontal proyeksiyasidan. Tekislikda yotib, uning frontal proektsiyasini turli yo'llar bilan qurishingiz mumkin. Shu bilan birga, bu erda ishlatiladigan aylanish usuli kamroq yordamchi konstruktsiyalarni talab qiladi va bu ayniqsa qimmatli bo'lib, konstruktsiyalarning grafik aniqligini tekshirishni juda osonlashtiradi.
Uchburchakning frontal proektsiyasini qurishda gorizontal proektsiyaning bir tomonida joylashgan uchburchak nuqtalarining gorizontal proektsiyalari gorizontal proektsiyaning bir tomonida joylashgan frontal proektsiyalarga ega bo'lishi kerakligini yodda tutish kerak.
Endi uchburchak Oed1 tekisligi bir-biriga tegishli bo'lmagan to'g'ri chiziq va nuqta bilan belgilanadi, va samolyot yotgan har qanday arbobi gorizontal proektsiyasi, siz turli yo'llar bilan uning old projektorini qurish mumkin. Shu bilan birga, bu erda qo'llaniladigan aylanish usuli kamroq yordamchi tuzilmalarni talab qiladi va, ayniqsa, qimmatli, binolarning grafik aniqligini tekshirish juda oson.
Bajarilgan qurishlar ABC uchburchagining gorizontal tekisligiga parallel tekislik bilan jipslashgan holatini qurish orqali uning haqiqiy o'ichamlarini osongina aniqlashga imkon beradi. Masalan, B nuqtaning jipslashgan holatini qurish uchun, b0 nuqtadan, xuddi markazdan, radiusi b0b\ bo'lgan aylananing yoyi b2 nuqtada b0b to'g'ri chiziq bilan
4-rasm.
77
SJIF 2022:5.962
kesilguncha tortiladi, bu esa a bo'ladi. B nuqtasining tekislangan holatining gorizontal proektsiyasi, shu tarzda uchburchakning barcha tepaliklarining tekislangan holatini hosil qilib, biz uchburchakka o'xshash bo'lishi kerak bo'lgan ABC uchburchakning haqiqiy kattaligi aibici ni olamiz. Tekshiramiz: masalan, bo'yicha c2 nuqtadan сгйг to'g'ri chiziqni c2a segmentini ciai ga qoldiramiz, c2b2 tomonni c2 nuqtasidan c2b segmentini c\b\ segmentiga teng qoldiramiz. Agar fg segment a1b1 ga teng va a2b2 ga parallel bo'lib chiqsa, u holda bu uchburchaklar o'xshash va grafik konstruksiyalarning aniqligi shubhasizdir.
4 - shaklda 3-shakldagi kabi masala yechilgan. Farqi shuki, aibiCi uchburchagi tekisligiga kiritilgan yordamchi aylananing radiuslari 3-shakldan olingan. Tutash yarim diametrlari ac va yarim diametrli a2i a nuqta atrofida 90 graduslik burchak bilan a va a2i yarim diametrlari hosil bo'lgan burchaklardan kichikroq yo'nalishda aylantirib, a22 holatiga keltiriladi. c va 22 nuqtalari orqali to'g'ri chiziqni o'tkazing; 22 nuqtasi 3 bo'lgan segment yarmiga bo'lingan; a3 radiusi bilan 3 nuqtadan, xuddi markazdan bo'lgani kabi, biz aylana yoyini tasvirlaymiz, u to'g'ri chiziq bilan kesib o'tguncha c22 4 nuqtada; a va 4 nuqtalar orqali biz ellipsning katta o'qi to'g'ri keladigan mn to'g'ri chiziqni chizamiz, bu abc uchburchagi gorizontal tekisligining gorizontal proyeksiyasini anglatadi va a nuqtasi orqali a5 to'g'ri chiziqni perpendikulyar qilib chizamiz (to'g'ri chiziq a4). Ellipsning kichik o'qi yo'nalishi a5 to'g'ri chiziqqa to'g'ri keladi. a nuqtadan a4 ga qo'yib, 4-22 segmentga teng bo'lgan segmentli reklama, biz ellipsning yarim katta o'qini olamiz va a4 to'g'ri chiziqqa as dan a4, c4 segmentga teng bo'lgan segmentai qo'yamiz.
© ©
78
Katetdagi kabi a5 gipotenuza adl 5-shakl
gipotenuzasi ad segmentga teng bo'lgan a5dl to'rtburchaklar uchburchakni qurgan
holda, biz gorizontal tekislik bilan uchburchak tekisligi bo'lgan a burchakning qiymatini topamiz. proektsiyalar a5dl uchburchakka o'xshash to'rtburchaklar uchburchaklar va cc0cl qurib, bbl va ccl katetlari gorizontal tekislikning m'n' frontal proyeksiyasidan b va с nuqtalarning frontal proyeksiyalarining masofalarini aniqlaydi, biz ularning b' va с'. abc uchburchagi haqiqiy kattaligi a2b2c2 ni qurib, uni alblcl uchburchagi bilan taqqoslab, ularning o'xshashligiga amin bo'ldik va bu grafik qurishlarni aniq bajarilganligini ko'rsatadi.
Agar masalaning shartiga ko'ra avval kerakli shaklga o'xshash shaklni qurish mumkin bo'lsa, yassi figurani o'zining gorizontal proektsiyasi bo'yicha frontal proektsiyasini qurishning ko'rib chiqilayotgan usuli amal qiladi.
5-shaklda yuqorida ko'rib chiqilgan masalani to'rtburchakning gorizontal proyeksiyasi asosida, berilgan shartlar ko'ra qurish masalasi tasvirlangan.
Jamiyat hayotining barcha sohalarini global raqamlashtirish loyiha-konstruktorlik faoliyatining modelini tubdan o'zgartiradi va shunga muvofiq muhandislik ta'limi paradigmasi o'zgarishiga olib keladi.
Xulosa
1. Muammoni kerakli tekislikda yechish uchun kiritilgan, bu tekislikda yotgan figura bilan hech qanday bog'liq bo'lmagan, undan mustaqil, uning maqsadi odatda foydalanilishi kerak bo'lgan yordamchi doiralardan tubdan farq qiladi.
2. Ushbu doira chizmalarda umuman chizilmagan. U ikkita tutash radiusi bilan belgilanadi, ularsiz taklif qilingan muammolarni umuman hal qilib bo'lmaydi. Ishda ko'rib chiqilgan yangi turdagi muammolar ularni hal qilish uchun yangi usulni talab qiladi.
3. Ushbu usulda asosiy narsa o'xshashlik tekisligi deb nomlangan to'rtinchi tekislikning kiritilishi va unga aylananing aytib o'tilgan radiuslarini yozishdir. Ushbu radiuslarning (aylana belgilarining) masalani yechishda tutgan o'rni katalizatorning kimyoviy reaktsiyalardagi roliga o'xshaydi, faqat uning mavjudligi bilan harakat qiladi. Ushbu mulohazalardan kelib chiqib, doiralarini "katalizatorlar" deb atash mumkin.
Foydalanilgan adabiyotlar ro'yxati:
1. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия. - М.: ООО «ИПЦ "Маска"», 2008. -216 с.
2. Иванов Г.С., Дмитриева И.М. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3, № 2. - С. 3-8.
3. Гирш А.Г., Короткий В.А. Мнимые точки в декартовой системе координат [Электронный ресурс]. - URL: http://dgng.pstu.ru/conf2019/papers/24 (дата обращения: 25.03.2019).
4. Притуленко, П. В. (1976). Построение плоских фигур и сечений по специальным заданиям. М.: Машиностроение, 132 с.
5. Muxtoralievna, R. M., Nosirjonovich, O. Z., & Zafarjonovich, M. J. (2020). Use of
cc
®
79
SJIF 2022:5.962
graphics computer software in the study of the subject" Drawing and engineering graphics". ACADEMICIA: An International Multidisciplinary Research Journal, 10(5), 83-86.
6. Madaminov, J. Z. (2020). Methods of developing students' design competencies in the discipline "Engineering and computer graphics". ACADEMICIA: An International Multidisciplinary Research Journal, 10(5), 66-71.
7. Kholmurzaev, A. A., Alijonov, O. I., & Madaminov, J. Z. (2020). Effective tools and solutions for teaching "Drawing-geometry and engineering graphics". ACADEMICIA: An International Multidisciplinary Research Journal, 10(5), 58-61.
8. Holmurzaev, A. A., Madaminov, J. Z., Rahmonov, D. M., & Rasulzhonov, I. R. (2019). Metodika razvitija professional''noj kompetentnosti informacionno-tehnicheskih sredstv budushhih uchitelej cherchenija. Aktual'naja nauka, 4, 112-115.
9. Muslimov, N. A., & Madaminov, J. Z. (2020). Methods for improving the qualifications of future curriculum teachers using information technology. Scientific-technical journal of FerPI, 24(1), 177.
10. Холмурзаев, А. А., Алижонов, О. И., Мадаминов, Ж. З., & Каримов, Р. Х. (2019). Эффективные средства создания обучающих программ по предмету «Начертательная геометрия». Проблемы современной науки и образования, (12-1 (145)).
11. Holmurzaev, A. A., Alizhonov, O. I., Madaminov, Z. Z., & Karimov, R. H. (2019). Jeffektivnye sredstva sozdanija obuchajyshhih programm po predmetu" nachertatel'naja geometrija. Problemy sovremennoj nauki i obrazovanija, (12-1 (145))).
12. Toshqo'zieva, Z. E., Nurmatova, S. S., & Madaminov, J. Z. (2020). Features of using innovative technologies to improve the quality of education. Theoretical & Applied Science, (5), 213-217.
13. Мадаминов, Ж. (2021). Булажак мухдндисларни лойих,алаш компетенцияларини компьютер графикаси воситасида ривожлантириш методикасини такомиллаштириш. Общество и инновации, 2(8/S), 462-469.
14. Мадаминов, Ж. (2021). Мухдндисларни лойих,алаш компетенциягарини шaкллaнтиришда "Мухдндислик ва компьютер грaфикaси" фaнини урни. Общество и инновации, 2(4/S), 633-638.
15. Madaminov, J. (2021). The actual problems and solutions of the development of engineering design competencies. Збiрник наукових праць SCIENTIA.
16. Мадаминов, Ж. (2021). Роль науки «Инженерная и компьютерная графика» в формировании инженерно-проектных компетенций. Общество и инновации, 2(4/S), 633-638.
17. Khusanbaev, A. M., Madaminov, J. Z., & Oxunjonov, Z. N. (2020). Effect of radiation on physical-mechanical properties of silk threads. Theoretical & Applied Science, (5), 209-212.
18. Khusanbaev, A. M., Madaminov, J. Z., & Oxunjonov, Z. N. (2020). Effect of radiation on physical-mechanical properties of silk threads. Theoretical & Applied Science, (5), 209-212.
19. Арзиев, С. С., & Тохиров, И. Х. У. (2021). Фазовий фикрлашнинг булажак мухдндис ва архитекторлар ижодий фаолиятида тутган урни. Scientific progress,
@ ©
80
2(2), 438-442.
20. Kholmurzaev, A. A., & Polotov, K. K. (2020). Methods of using media education in the learning process. Theoretical & Applied Science, (5), 205-208.
21. Kholmurzaev, A. A., & Tokhirov, I. K. (2021). The active participation of students in the formation of the educational process is a key to efficiency. ACADEMICIA: An International Multidisciplinary Research Journal, 11(4), 435-439.
22. Polotov, K. K. & Tokhirov, I. K. (2020). Features of teaching engineering and computer graphics. Theoretical & Applied Science, (6), 573-576.
© ©
81
