CC BY
41
УДК 519.8 А.М. НАГ1РНА*
ЛОКАЛ1ЗАЦ1Я ЗНАЧЕННЯ Л1Н1ЙНО1 ФУНКЦП, ЗАДАНО1 НА МНОЖИН1 СПОЛУЧЕНЬ
Украшський державний унiверситет фшанав та мiжнародноl торгiвлi, Ки!в, Украша
Анотаця. Розглядаеться алгоритм локалгзацИлШйног функцп, заданоi на конфггурацИ сполучень, з урахуванням ii представлення у вигляд1 неор1ентованого графа. Приведено числовий приклад реа-л^зацИ алгоритму.
Ключовi слова: функция, локал1зац1я, конф1гурац1я сполучень, генерування, неор1ентований граф, дерево, поддерево, корть, гамтьтотв шлях.
Аннотация. Рассматривается алгоритм локализации линейной функции, заданной на конфигурации сочетаний, с учетом ее представления в виде неориентированного графа. Приведен числовой пример реализации алгоритма.
Ключевые слова: функция, локализация, конфигурация сочетаний, генерирование, неориентированный граф, дерево, поддерево, корень, гамильтонов путь.
Abstract. This paper considers the localization algorithm of a linear function on the configuration of combinations taking into account its representation in the form of an undirected graph. A numerical example of algorithm realization is given.
Keywords: function, localization, configuration of combinations, generation, undirected graph, tree, subtree, root, Hamilton path.
1. Вступ
Оптим1зацшш комбшаторш задач1 е одними з найбшьш важких з обчислювально! точки зору. В бшьшосп випадюв методи ix розв'язання зводяться до повного перебору вар1ант1в, що не е ефективним для задач велико! розм1рносп. Тому при розв'язанш практичних задач часто виникае необхщшсть розробляти нов1 та удосконалювати юнуюч1 методи, як точш, так i наближеш, як були б застосовш до задач бшьшо! розм1рносп, шж метод повного перебору [1, 2].
У процес розробки i реалiзащi алгоритму природним чином розкриваються власти-восп, що вщображають комбшаторш характеристики, яю використовувалися в модифша-цп з новими шдходами [3-5]. Графи як абстрактш математичнi моделi можна використо-вувати при розв'язаннi комбiнаторних задач рiзноi розмiрностi, оскiльки вони е воображениям многогранно! структури певних комбшаторних конфiгурацiй. Тому представлення комбшаторних множин у виглядi графiв дозволяе отримати новi пiдходи та методи вирь шення [6-8].
При врахуванш взаемозв'язку мiж комбiнаторними конфiгурацiями i 1х графовими моделями вивчаються структуры властивостi допустимо! областi, якi забезпечують знахо-дження розв'язку задачi за лiченi кроки.
Дана робота продовжуе дослщження робiт [6-10]. В нш описуеться застосування нового пiдходу до розв'язання комбшаторних задач локалiзацii функцп на комбшаторнш конф^урацп сполучень.
2. Алгоритм локалiзацil значень лшшноУ функцп на конф^рацн сполучень
Нехай дано множину A = (1,2,...,n). Сполучення без повторень з n елементiв по r - це r -елементна пiдмножина множини A . Оскiльки порядок запису елеменпв множини неюто-тний, то запишемо елементи в кожному сполученш у порядку зростання. Сполучення
© Напрна А.М., 2014
ISSN 1028-9763. Математичш машини i системи, 2014, № 3
(«1,$2,...,аг) розглядатимемо як рядок чисел а^,...,аг, де а1 < «2 < ... < аг . Сп - кшь-кють усiх сполучень без повторень з п елементiв по г , де п, г - додатш цiлi числа, при-чому г < п . За даним сполученням можна знайти наступне вщповщно до лексикографiчно-го порядку.
Алгоритм побудови лексикографiчно наступного сполучення [5]:
1. Знайти в рядку а\,«2,...,аг перший справа елемент а^ такий, що аг- ф п - г + /.
2. Для знайденого елемента виконати присвоювання а^ = аг- +1.
3. Для ] = I +1,1 + 2,..., г виконати а]- = а^ + ] —1 або а^ = а]—1 +1.
Наступний алгоритм генеруе вс к - елементнi пiдмножини так, що кожна наступна тдмножина утворюеться з попередньо'1 з видаленням одного елемента i додаванням шшо-го. Розглянемо алгоритм у рекурсивнш формь
Позначимо через 0(п, к) список, який мае вс к - елементн пiдмножини множини {1,...,п}, в якiй першою пiдмножиною е {1,...,к}, останньою - {1,2,...,к — 1,п} , i кожна наступна тдмножина утворюеться з попередньо'1 з видаленням деякого елемента i додаванням другого. Зазначимо, що якщо 0(п — 1, к) i О(п — 1, к — 1) вже побудоваш, то 0(п, к) мо-
жна
: *
визначити
таким
чином:
в(п, к) = в(п — 1, к — 1), О * (п — 1, к — 1) и {п},
де
О *(п — 1, к — 1) и {п} означае список, утворений з О(п — 1, к — 1) змшою порядку елемешив списку на зворотний та наступним додаванням елемента п до кожно'1 множини. Списку О(п, к), як i у випадку генерування вах тдмножин, можна поставити у вщповщшсть де-який гамiльтонiв шлях у графi [6].
Розглянутi вище методи генерування комбшаторнох конф^урацп сполучень не да-ють можливостi побудувати упорядкування за значенням щльово'1 функцп. Тому слiд розг-лянути новi методи генерування комбшаторнох конф^урацп сполучень, як дають можли-вiсть, у залежносп вiд складностi задачi, представити елементи комбшаторно! конф^урацп у виглядi графа.
Даний метод генерування полягае у виборi елементiв з задано! упорядковано! множини за зростанням, тобто вибираються елементи для прикладу по два - перший, другий; перший, третш; перший, четвертий i т.д. Таким чином будуеться верхнш тдграф загально-го графа послщовносп, далi - другий, третiй; другий, четвертий т.д.
*-
12 13
23 24 25 26 27 28
34
35
45
36
46
56
-*-►
14 15 16 17 18
37
47
57
38
48
58
67 68
1
Рис. 1. Граф сполучень з п по 2
1п
2п
3п
4п
5п
6п
пп
Дерево на рис. 1 можна представити у виглядi розкладу на тддерева, тодi кожне тддерево формуеться з вершин, в яких елемент на останньому мющ фiксуeться i е вибра-ним з початково! множини о^,а2,...ап як максимальний, а останн перебираються рекурси-вним методом.
Слiд зазначити, що дане дерево е орiентованим, в якому визначений корiнь - най-нижча вершина останнього тддерева i яка е лексикографiчно бшьша за всiх iнших.
Тодi алгоритм побудови наступного сполучення полягае у виконанн таких крокiв.
Крок 1. Знайти в рядку а1,а2,...аг перший справа елемент а1 такий, що аI ф п — г + г.
Крок 2. Для знайденого елемента виконати присвоювання а^. = аг +1.
Крок 3. Для ] = г +1,г + 2,...,г виконати а;= аг- + ] — г (або, що те ж саме,
Даний алгоритм дае можливють будувати наступне по порядку сполучення. Рядок чисел, яким подано лексикографiчно наступне сполучення, вiдрiзняеться вщ рядка, що зо-бражае дане сполучення, з позицп г, бо в даному сполученн в позищях г +1, г + 2,..., г е
максимально можливi числа. Отже, аг +1 - найменше можливе число, яке можна записати в позищю г, якщо хочемо отримати сполучення бiльше вщ даного. Тодi аг + 2,..., аг + г — г +1 - найменш можливi числа, якi можна записати в позищях вщ г +1 до
Важливють запропонованого методу генерування комбшаторно! конф^урацп спо-лучень у тому, що одержуемо граф (дерево), який можна використовувати для розв'язування комбшаторних задач, оскшьки граф складаеться iз уах елементiв сполучення.
Метод, що об'еднуе засоби комбшаторного аналiзу та теорп графiв, передбачае по-слiдовне виконання таких пункпв [9]:
- вибiр способу генерування у певнш послiдовностi всiх елеменпв задано! комбша-торно! конф^урацп, який найбшьше пристосований до задано! функцп цiлi;
- представлення множини комбшаторно! конф^урацп у виглядi орiентованого графа, де дуга вщповщае спаданню значень щльово! функцп;
- побудову полiномiального алгоритму розв'язку задачi на частково упорядкованих вершинах графа.
Цей метод було застосовано для розв'язання задач з лшшною та дробово-лшшною цiльовими функщями на перестановках, розбиттях, комбiнацiях та розмщеннях. Продо-вжимо дослiдження з метою створення вщповщного алгоритму для розв'язання комбша-торно'1 задачi на конф^рацп сполучень.
Згiдно з методом генерування, елементи множини конф^урацп сполучень можна зобразити у виглядi дерева, неорiентованого графа, що не мае ци^в, тобто такого, в якому кожна пара вершин з'еднана одним простим шляхом - ланцюгом.
Дерево можна орiентувати, вибравши для цього довшьну вершину, як корiнь i ребрам приписати таку орiентацiю, щоб кожна вершина з'еднувалася з коренем тшьки одним простим шляхом. Тодi елементи конф^урацп сполучень будуть розмщеш у виглядi орiен-товного дерева, де тддерево визначаеться початковим елементом у вершит.
Слщ зазначити, що при розв'язуванн екстремальних задач на множит сполучень не мае значення порядок розмщення елеменпв, а тшьки 1'х вибiр з вихщно! множини, в якiй елементи впорядковаш за зростанням, тому екстремальне значення функцп завжди можна визначити.
г.
Нехай задано числове значення функцп f (xq) = yo . Необхщно знайти точки конфь гурацп сполучень, в яких досягаеться дане числове значення.
Алгоритм локалiзащi значення лшшно'1 функцп на конф^урацп сполучень полягае
У:
1) формуванш множини сполучень: Aj (aj, a2,..., a^), i = 1,..., к; введеннi n, r (n > r),
r n!
визначенш кiлькостi елементiв Cn =-;
n к !(n - к)!
2) побудовi базового дерева конф^урацп сполучень: визначенш кшькосп вершин
базового дерева C1n , пiддерев (пiдплощин) d = n - r +1;
3) визначенш початково'1 i кшцево'1 крайнiх точок пiдграфiв та знаходженш max f (Xj), min f (xi) у цих точках вщповщного пiддерева;
4) визначеннi множини точок пщдерева, що задовольняють умову f (Xj )> f (x0), де
x0 - точка, для яко'1 f (x0 )> y0, а xi, i e Nk - множина точок, значеннi щльово'1 функцп
f (x), у яких бшьше заданого;
5) визначенш множини вершин тддерева, для яких виконуеться умова f (xj) < f (x0), де x0 - точка, для яко'1' виконуеться умова f (x0) < y0; а xj, j e Nn-k - множина точок, для яких значення щльово'1 функцп f (x) менше заданого;
6) знаходженш множини пщдерев , утворених шляхом перетину множин п. 5-6;
7) формуванш множини точок - елеменпв сполучень, що задовольняють умовi f (xo) = Уо . Якщо всi точки знайденi, тобто серед множини тддерев визначеш, i задача розв'язана. В iншому випадку - перехщ до наступного п. 8;
8) визначенш тддерева, для якого виконуеться умова f (xj) < yo < f (xj);
9) n := n -1, перехщ до п. 1.
Розглянемо числовий приклад застосування алгоритму.
3. Приклад застосування алгоритму
Дано цшьову функщю I(х) = х2 + Х3 + Х2Х3 на конф^урацп сполучень СП , де п = 6,
АI = (1,2,3,4,5,6), г = 3. Тодi Сб = 20 - кшькють точок дерева. Вiдповiдно, кшьюсть пiддерев у де-ревi рiвна d = 4. Визначене значення функцп' I (х) = 47.
Необхщно знайти точки - елементи конф^урацп сполучень, в яких досягаеться задане значення щльово'' функцп.
¡6
Розв 'язання
5б Для конф^урацп сполучень елементи множини зобразимо у виглядi дерева, що складаеться iз трьох пiддерев. Елементи конф^урацп сполучень ,56 розмiщуемо у виглядi неорiентованого графа без циклiв. Вибираемо довшьну вершину як корiнь для орiентацп дерева. Ребрам приписуемо таку 456 орiентацiю, щоб кожна вершина з'еднувалася з Рис. 2. Огандартний вигляд базового коренем тiльки одним простим шляхом. Елементи дерева О конф1гурацп сполучень С|
конф^урацп сполучень будуть розмщет у виглядi орieнтовного дерева, де пiддерево ви-значаеться початковим елементом у вершит.
Вiдповiдно, базове орiентовне дерево iз трьох пiддерев (пiдплощин), утворене мно-
жиною сполучень без повторень
/ (1,2,3) = 11 / (2,3,4) = 26 / (3,4,5) = 47
О,
О2
О
/ (1,5,6) = 41
/ (2,5,6) = 52
/ (3,5,6) = 63
О
з шести елементiв по три, буде мати такий вигляд.
На рис. 3 структурна схема дерева О конф^урацп сполучень розбиваеться на тд-дерева О!, О2, О3, О4, де вщ-мiченi крайт точки пiддерев (пiвплощин). Злiва знаходяться вершини, в яких досягаються мiнiмальнi значення функцп вь
/ (4,5,6) = 74
Рис. 3. Структурна схема дерева сполучень для / (х)
дповiдного пiддерева, а справа - максимальн значення функцп /(х).
Користуючись базовим деревом конф^урацп сполучень, будуемо структурне дерево розв'язюв.
Задане значення щльово!
/(2,3,4) =26 °21 /(2,3,6)=36 функцп /(х) = 47 досягаеться в •-Щ точках (3, 4, 5) вщповщно пiд-
/(2,4,5)=38
/(2,4,6)=44
/(2,5,6)=52
Рис. 4. Структурна схема тддерева сполучень О2
дерева О2 , де
/(2,3,4) < /(х) < /(2,5,6) i О3, / (3,4,5) = / (х) < / (3,5,6) мо-жуть мютити задане значення у вщповщних вершинах.
Розглянемо тддерево
О2.
Пiддерева О21, О22 не мiстять необхiдних точок, а едина точка (2,5,6) тддерева О23 набувае значення / (2,5,6) = 52, що значно бшьше / (х) = 47.
Зпдно з рис. 2, тддерево О3 складаеться iз трьох вершин: (3,4,5), (3,4,6), (3,5,6).
Оскшьки /(3,4,5) = 47, тодi значення функцп /(х) в наступних вершинах рiвне / (3,4,6) = 54, / (3,5,6) = 63, що не задовольняе умову.
Отже, функщя / (х) досягае значення 47 у вершит (3,4,5).
4. Висновки
У робот описано та дослщжено алгоритм локалiзацii лшшно'1 функцп на конф^урацп сполучень, елементи яко'1, з урахуванням методу генерування, представлен у виглядi неорiен-тованого графа, що не мае ци^в. За рахунок структурних схем пiддерев сполучень зага-льного базового дерева знаходяться або вершини, або вiдповiднi пiддерева, що мютять не-обхiднi значення функцп. Якщо локальне значення функцп не потрапляе в числовi екстре-мальн iнтервали вiдповiдних пiддерев, то розглядаються наступнi пiддерева i т.п. Якщо ж не юнуе конкретно! вершини базового дерева, що забезпечуе досягнення даного числового значення функцп, то тодi розв'язком буде ребро вщповщного тддерева, в екстремальний штервал якого потрапляе значення функцп.
Алгоритм об'еднуе засоби комбшаторного аналiзу та теорп графiв i надае можли-вють не робити повний перебiр елеменпв конф^урацп сполучень, на якiй розглядаеться задача.
У результат наукового дослщження було розглянуто приклад задачi на конф^ура-цп сполучень, представлено! у виглядi неорieнтованого дерева.
Подальшi дослiдження будуть спрямоваш на адаптацiю нових пiдходiв та алгорит-MiB розв'язання комбiнаторних задач на шших конфiгурацiях з нелшшними функцiями з можливiстю зростання потужносп множини iз застосуванням графових моделей та про-грамно! реалiзацii методiв.
СПИСОК Л1ТЕРАТУРИ
1. Баранов В.И. Экстремальные комбинаторные задачи и их приложения / В.И. Баранов, Б.С. Стеч-кин. - М.: Наука, 1989. - 160 с.
2. Сергиенко И.В. Модели и методы решения на ЭВМ комбинаторных задач оптимизации / И.В. Сергиенко, М.Ф. Каспшицкая. - К.: Наукова думка, 1981. - 288 с.
3. Семенова Н.В. Пол1едральний тдхщ до розв'язання одного класу векторних задач комбшаторно! ошгашзацп / Н.В. Семенова, Л.М. Колечкша, А.М. Напрна // Доповщ НАН Укра!-ни. - 2009. - № 6. - С. 46 - 53.
4. Колечкина Л.Н. Многокритериальные комбинаторные задачи оптимизации на множестве полиразмещений / Л.Н. Колечкина, Е.А. Родионова // Кибернетика и системный анализ. - 2008. - № 2. -С.152 - 160.
5. Колечкша Л.М. Властивост задач багатокритер1ально! оптим1зац1! на комбшаторних множинах та методи !х розв'язання / М.Л. Колечкша. - Полтава: РВВ ПУСКУ, 2008. - 162 с.
6. Донец Г.А. Построение гамильтонова пути в графах перестановочных многогранников / Г.А. Донец, Л.Н. Колечкина // Кибернетика и системный анализ. - 2010. - № 1. - С. 10 - 16.
7. Донец Г.А. Экстремальные покрытия графов / Г.А. Донец, А.Я. Петренюк. - Кировоград: ОАО «Юровоградське видавництво», 2009. - 170 с.
8. Донец Г.А. Об одном подходе к решению комбинаторной задачи оптимизации на графах / Г.А. Донец, Л.Н. Колечкина // Управляющие системы и машины. - 2009. - № 4. - С. 36 - 42.
9. Донец Г.А. Локализация значения линейной функции, заданной на перестановках / Г.А. Донец, Л.Н. Колечкина // Радиоэлектроника и информатика. - 2009. - № 1. - С. 76 - 81.
10. Донец Г.А. Метод упорядочения значений линейной функции на множестве перестановок / Г.А. Донец, Л.Н. Колечкина // Кибернетика и системный анализ. - 2009. - № 2. - С. 50 - 61.
Стаття над1йшла до редакцп 13.06.2014
