CC BY
14
УДК 519.85
О.С. П1ЧУГША*, Л.М. КОЛеЧКША**
ДВОКРИТЕР1АЛЬНА КОМБ1НАТОРНА МОДЕЛЬ ОПТИМIЗАЦIÏ ТЕЛЕКОМУН1КАЦ1ЙНИХ МЕРЕЖ
Харк1вський нацюнальний ушверситет радюелектрошки, м. Харк1в, Украша Полтавський ушверситет економши i торпвл1, м. Полтава, Украша
Анотаця. У роботг представлено математичну модель прикладног задачi визначення швидкостг та якостi передачi тформацп по телекомуткацттй мережi як багатокритерiальноï задачi евк-лiдовоï комбiнаторноï оптимiзацiï. Вона представляе собою двокритерiальну квадратичну умовну модель на композицтному образi загальног множини переставлень i булевог множини. Запропоно-вано тдходи до гг розв'язання, таю як метод гток та меж, метод вiдсiкань; графовi методы, та-Ki як метод направленого структурування та полiедрально-поверхневi методи. Метод опуклих продовжень застосовано до перетворення моделi на опуклу задачу евклiдовоï комбiнаторног оп-тимiзацiг i таким чином обгрунтовано застосовтсть полiедрально-сферычных методiв оптимiза-цп до розв'язання поставленог задачi.
Ключовi слова: телекомуткацтна мережа, передача iнформацiг, багатокритерiальна оптимiза-щя, ев^дова комбтаторна оптимiзацiя, суперкритерт, загальна множина переставлень, булева множина, метод направленого структурування, опукле продовження функцп, вершинно розташо-вана множина, сферично розташована множина, полiедрально-сферичний метод.
Аннотация. В работе представлена математическая модель прикладной задачи определения скорости и качества передачи информации в телекоммуникационной сети в виде многокритериальной задачи евклидовой комбинаторной оптимизации. Она представляет собой двухкритериальную квадратичную условную модель на композиционном образе общего множества перестановок и булевого множества. Предложены подходы к ее решению, такие как метод ветвей и границ, метод отсечений; графовые методы, такие как метод направленного структурирования и полиэдрально-поверхностные методы. Метод выпуклых продолжений применен к переводу модели в выпуклую задачу евклидовой комбинаторной оптимизации и таким образом обоснована применимость полиэдрально-сферических методов оптимизации к решению поставленной задачи. Ключевые слова: телекоммуникационная сеть, передача информации, многокритериальная оптимизация, евклидова комбинаторная оптимизация, суперкритерий, общее множество перестановок, булевое множество, метод направленного структурирования, выпуклое продолжение функции, вершинно расположенное множество, сферически расположенное множество, полиэдрально-сферический метод.
Abstract. A mathematical model of application problem of determining a speed and a quality of the information transmission through telecommunication networks is presented in the form of a multiobjective Euclidean combinatorial optimization problem. It is a two-objective quadratic constrained model over a compositional image of the general set of permutation and the Boolean set. Approaches to the problem solution such as the branch and bound method, cutting method, graph methods such as the directed structuring and the polyhedral-surface methods are suggested. The convex extensions method is applied to the transformation of the model into the convex Euclidean combinatorial optimization problem. Thus the applicability of polyhedral-spherical optimization methods to solving the problem is demonstraited. Keywords: telecommunication network, information transmission, multiobjective optimization, Euclidean combinatorial optimization, supercriterion, the general permutation set, boolean set, directional structuring method, convex function, vertex-located set, spherically-located set, polyhedral-spherical method.
1. Вступ
Створення ефективного шформацшного простору передбачае активне використання теле-комушкацшних систем i мереж шформацшного обмшу, широкомасштабну комп'ютериза-
© Шчупна О.С., Колечшна Л.М., 2017
ISSN 1028-9763. Математичш машини i системи, 2017, № 4
щю процеав обробки шформацп в уах сферах дiяльностi. Iнформацiйна iнфраструктура -це комплекс програмно-техшчних засобiв, оргашзацшних систем i нормативних баз, який забезпечуе органiзацiю взаемодп iнформацiйних потоюв, функцiонування i розвиток засо-бiв шформацшно'х взаемодп та iнформацiйного простору св^у, континенту, краши, регiону чи оргашзацп [1-6].
Iнформацiйна iнфраструктура включае в себе територiально розподiленi державш та корпоративнi комп'ютернi i телекомушкацшш мережi, системи конфiденцiйного призна-чення i загального користування, мережi та канали передачi даних, засоби комутацп та управлiння iнформацiйними потоками.
Поява мобшьного зв'язку та бездротових мереж ютотно вплинула на органiзацiю телекомушкацшних мереж, i на сьогоднiшнiй день вони охоплюють величезнi територп з великим числом користувачiв [1]. Серед багатьох вимог, що висуваються до бездротових мереж, основною е забезпечення високо'1 продуктивносп з гарантованою яюстю обслуго-вування запитiв користувачiв. Сфера телекомушкацш е одним iз найбшьших секторiв свь тово'1 економiки, що динамiчно розвиваеться i формуе передумови для подальшого розвит-ку шформацшного суспiльства. Свiтова телекомунiкацiйна сфера надае широкий спектр сучасних телекомушкацшних та шформацшно-комушкацшних послуг, якюш характеристики яких вщповщають потребам найвимогливiших споживачiв. У той же час, розвиток сфери телекомушкацш, у свою чергу, значно впливае як на сощальний, так i на економiч-ний розвиток багатьох кра'ш. Отже, дослщження питань, пов'язаних з визначенням ступеня i закономiрностей впливу розвитку телекомунiкацiй на розвиток економiки в цшому, акту-альнi.
2. Постановка задач1
В оргашзацп будь-яко'1 телекомунiкацiйноi мережi можна видiлити рiвнi, якi вщокремлеш територiально i взаемодiють мiж собою. У свою чергу, щ рiвнi системи можна розглядати як накладен мереж рiзних технологiй.
Абсолютна бшьшють iнформацiйних потокiв, що передаються в сучасних телекомушкацшних мережах, утворюють мультимедшний трафш. Вiн характеризуеться нерiвно-мiрнiстю надходження запитiв на передачу потоюв мультимедiйноi iнформацii, що приз-водить до виникнення як тимчасових перевантажень у мереж1, так i iнтервалiв часу з недо-статньою завантажешстю каналiв [1]. Внаслiдок цього, канали мережi використовуються недостатньо ефективно. Вiдомi рiзнi методики кiлькiсноi оцшки ефективностi використан-ня каналiв телекомушкацшно'1 мереж1 [5, 7]. 1х аналiз свiдчить про те, що вони не дозво-ляють точно визначити, наскшьки рацiонально використовуеться пропускна здатшсть ка-налiв мереж1. Тому вважаеться за доцшьне знайти такий споаб обчислення завантаженостi каналу i якосп передачi iнформацii, який вiдображав би реальну ефективнють використан-ня канальних ресурав.
З цiею метою розглянемо телекомушкацшну систему, що накопичуе шформащю по предметних областях (порталах) i здiйснюе передачу iнформацii на сервери, робочi станцii, термiнали тощо. Необхщно скласти такий план розподiлу деякого об'ему шформацп по предметних областях на порталах i 11 передач^ щоб мiнiмiзувати сумарну швидкiсть п пе-редачi на комп'ютери i максимiзувати сумарний якiсний коефiцiент завантаження. При цьому необхщно врахувати штенсившсть потоку запшив на передачу шформацп по каналу телекомушкацшно! мережi; середню швидюсть передачi потоку iнформацii; дискретшсть обсягiв iнформацii, що передаеться, тощо.
Зауважимо, що для виршення дано! проблематики в рядi робiт [8-10] пропонуеться використовувати математичну модель мереж1, що представляе собою набiр графiв, якi мо-жуть вiдрiзнятися як кшьюстю ребер i вершин, так i топологiею графiв у цшому. Вщзна-чимо також, що в наведених роботах пропонуеться модель побудови телекомушкацшних
мереж за умови, що мюцезнаходження обладнання вузлiв мережi, якi забезпечують функ-цiонування кожного з й рiвнiв, вiдоме.
Метою дано'1 роботи е побудова математичнох моделi дано'1 задачi як багатокритерь ально'1 задачi евклщово! комбшаторнох оптимiзащi та пропонування пiдходiв до й розв'язання, що використовують властивостi допустимох множини й особливосп поведш-ки функцiй на цш множинi.
3. Математична модель
Для побудови математично'х модел1 введемо необхщш позначення: визначимо т предмет-них областей (портал1 в) 1 позначимо 1х Д-, / е./н? ={1 ,...,т}. Нехай також Iк евизна-
чатиме набiр видiв шформацп. Вважатимемо, що на кожному порталi Д- накопичуеться
деяка невщома кiлькiсть хк одиниць шформацп виду I%. Також вщомо, що уся шформа-щя розподшяеться м1ж п серверами (персональними комп'ютерами, термшалами), яи поз-начено Bj,j <еЗп .
Зауваження 1. В подальшому викладенш ми прив'яжемо використаш вище iндекси I,кза номерами порталiв, видами шформацп та серверами. Будемо опускати границ змши цих шдекав, маючи на уваз1, що вони проб1гають область змши k<EJp,
у е . Таким чином,
А = (4}г, 1={1к}к, в = {Д/}/ 0)
визначатиме множину усiх предметних областей, видiв шформацп та термiналiв вiдповiд-но.
Потрiбно скласти план розподшу шформацп на порталах та передачi й на сервери з метою мiнiмiзацii сумарного часу передачi шформацп (далi критерiй ^(.) ) i максимiзацii
сумарного коефiцiента якостi вщображення шформацп (далi критерiй ^2(.) ) за умови ви-конання таких умов:
• Обмеження 1. Невiдомi набувають дискретних значень iз мультимножини
С = (2)
де я=т ■ р, а в цшому вони утворюють усю цю мультимножину:
{4кк = о. (3)
• Обмеження 2. Весь обсяг шформацп передаеться на один iз серверiв iз множини В , тобто передача здшснюеться повним пакетом.
• Обмеження 3. Обсяг потоку шформацп, що передаеться по каналу «предметна область АI - сервер В■», не перевищуе задано! наперед величини ¡у (г, у).
3у мае зберiгатися щонайменше у
Обмеження 4. На кожному серверi В ■ мае збер^атися щонайменше Ук одиниць
шформацп типу I% (], к) .
• Обмеження 5. Середня швидюсть передачi потоку шформацп обмежена знизу величиною т, зверху - утах.
О^м множин (1) та вiдомих параметрiв ¡у , Ьк, , Утах, вхiдними даними в за-
да1п е величини: а) - швидюсть передач! одинищ шформацп виду I/. ¡з предметно! об-
ластi Д- на сервер В^ ; б) ^ - коефщент якостi вiдображення одиницi шформацп виду ¡^ ¡з области А-! на сервер! В^ (V /, /,А:).
Також вiдомо, що сумарний коефщент якостi вiдображення шформацп е сумою ко-ефiцieнтiв якостi вiдображення по вах предметних областях, типах шформацп i серверах. Для побудови математично'1' моделi задачi введемо в розгляд матрицю невiдомих:
Х = (4)еЯрхт, (4)
що задае план передачi шформацп, а також тривимiрну булеву матрицю
Г = фи,кеЩ*Р*т,В1={0Л} (5)
для вщображення плану розподшу ще! шформацп на серверах. Тут уу = 1, якщо вся шфо-рмацiя з обласп Авиду ¡^ передаеться на сервер В^, шакше 0 . Для зручносп також будемо використовувати величину
4=4-Уу- (6)
обсяг шформацп з обласп Aj виду Ik, що передаеться на сервер Bj
к zk
Зауважимо, що величина 4i буде елементом мультимножини G® = Glj{0}, де G -
це вихщна мультимножина (2):
к к к /• ■ 1 \ zij = xi ' Уу е ^ (i,j,k) .
Наша задача полягае у визначеннi матриць (4, 5), яю доставляють мшмум функцп FlQ, максимум функцп Fj(.) та задовольняють Обмеження 1-5.
Формалiзyемо дану задачу як задачу евклщово'1' комбшаторно'1' оптамiзащi. З цiею метою проведемо занурення матриць невщомих (4, 5) в евклвдв арифметичний простiр. А саме:
а) матрищ (4) поставимо у вщповщшсть вектор х е Rn p: х = xjjj,..., х^ ,..., xj^), теля чого комбшаторне Обмеження 1 можна представите у виглядi
xeEss>(G), (7)
де Ess'(G) - загальна множина s -перестановок iз мультимножини G [10, 11], де s - по-тужшсть (}, в л' - кшыасть р1зних елементсв у ньому. Не обмежуючи загальносп, вважа-тимемо, що елементи G впорядковаш по неспаданню G = {gi,...,gs}, gi <... <gs;
б) матрищ (5) поставимо у вщповщшсть вектор
У = (у1ъ - >У1п> - >Ут1> - >Утп) Р т , шсля чого обмеження на його булевють можна представити у виглядi
уеВ?={0,1}?, t = m-n-р. (8)
Формалiзyемо критерп:
• Для першого критерш - вщношення —■ визначае час передачi шформацп виду
1к з област Аг на сервер Ву. Оскшьки, згiдно з умовою задачi, передача шформацп здшс-
нюеться на один сервер, це вщношення нульове для уах iнших серверiв, тобто виконуеть-к к ся умова: якщо -у- > 0 —7— = О, V/ Ф у.
Сумуючи вс цi вiдношення, отримуемо загальний час передачi вша шформацп:
р т п к р т п л.к
Qft i—4—l j—l Q«.
k=l 7 = 17=1 ^77 ¿=17=1 7=1
Наша мета - MrniMi3yBara функцiю (9), тобто задача полягае в тому, щоб знайти па* *ч
ру (x >y ):
^(х ,у )= min ^(х,у). (10)
x<=Rs,у eR*
• Другий критерiй стосуеться якосп вiдображення шформацп. Величина dfjzJj е ко-ефiцiентом передачi уаа шформацп виду Ij з обласп Ai на сервер Bj. Як i у поперед-ньому випадку, вона набувае нульового значення для вах серверiв, крiм одного:
44 >° >44 v'/'-
Тодi другий критерiй мае вигляд
р т п р т п
(Ц)
¿=17=17=1 ¿=17=1 7=1
* *
а мета задачi полягае в тому, щоб знайти (x , y ), що в тому чит максимiзyе фyнкцiю
(П):
^2(Х*>У*)= тах F2(*,y)- (12)
Перейдемо до формалiзацii обмежень.
• Обмеження 2 на передачу шформацп одного типу з порталу повним пакетом буде мати вигляд (8, 13)
п
(13)
7=1
• Обмеження 3 на обсяги потоюв шформацп по предметних областях:
^4 = ТиУГхкг (14) к=1 к=1
• Обмеження 4 на обсяги завантаження серверiв iнформацiею вщповщних типiв:
т т
1=1 1=1
• Сформуемо Обмеження 5 на середню швидкiсть передачi шформацп. Оскшьки, виходячи з (3), загальний обсяг шформацп
р т к=11=1
то середня швидюсть V визначаеться дшенням величини !,(} на загальний час передач!
. . - . . - -
шформацп: v =-. Вщповщно, Обмеження 5 матиме вигляд ут^п<у<утах. Иого
також можна переписати як двосторонне обмеження на цшьову функщю (9):
^а-^х^С^У О7)
и
Зауваження 2. У формулi (9) доданки виражають час передачi усього обсягу iн-
формацп А1: виду ¡к на сервер В^ . Вщповщно, ^(х, у) - це сумарний час передачi наяв-
но'1' шформацп, тобто час використання уах каналiв передачi шформацп. Враховуючи, що
• • • ^¡(х, у) . „
кiлькiсть цих каналiв п , то —--це очiкуваний час використання одного каналу пере-
п
дачi шформацп, який ми мiнiмiзуемо, розв'язуючи задачу з критерiем (10). У раз^ якщо нас цiкавить передача шформацп якомога швидше, цей критерш можна замiнити таким
р т 2к р т хкук.
(дал1 Критерш (.) ): /'3 (х, у) = тах У = тах У! У! * ^ • Вщповщно, формула (9)
] к=7 А:=1;=1 %
* *
перетворюеться на ^з(х ,у )= тт ^3(х,у) .
хе/г5, уе^
Проведемо аналiз моделi (9-17) (далi Модель 1). Вона двокрш^альна, умовна, квадратична, лшшна по кожнiй групi змшних (7) i (8), комбiнаторна, комбшаторним простором яко'1 е множина, що е декартовим добутком загально'1 множини перестановок (О) та булево! множини Б^. Отже, ми маемо справу з задачею оптимiзацii, яка: а) комбшаторна на Е = ; б) двокритер1альна; в) умовна; г) нелшшна за рахунок
(6). Бшьше того, вона квадратична, адже цiльовi функцп (10, 12) квадратичнi неопукл^
та обмеження (14-17) - також квадратичш неопуклi; д) лiнiйна по вщношенню до кожно'1 окремо'1 групи змшних х, у ((7) i (8)).
Також, вище сформульована задача дозволяе переформулювати П на множиш буле-вих полшерестановок:
(х,у)еЕ' = £^(С)®Ви(1), (18)
деВй(1)= <8> Вп(\), Вп(\) = Еп1({0 ~ ,1}).
Це стае можливим, враховуючи, що умови
к^р
(8) i (13) можна об'еднати в едину умову yeBw(l), вщповщно, умови (7, 8, 13) можна
представити у виглядi (18). В результат отримано нову задачу (9-12), (14-18) (далi Модель 2). Ця нова модель е моделлю задачi багатокритерiальноi оптимiзащi на скiнченнiй
дискретшй множит тонок простору RN , де N = s +1. Саме Модель 2 будемо розглядати в подальшому i саме для не'! пропонуватимемо методи розв'язання.
Модель 2: пщходи до розв'язання
A. Постановка багатокритер1ально'1 задач1 евкл1дово1 комбтаторно! оптим1заци
Багатокритерiальна оптимiзацiя передбачае оптимiзацiю кiлькох критерпв одночасно, при-чому цi критерп можуть як максимiзуватися, так i мiнiмiзуватися, оскшьки у практичному застосуваннi часто виникае потреба у зменшенш одних критерпв та збiльшеннi iнших [1214]. Якщо при цьому оптимiзацiя здшснюеться на деякому комбiнаторному просторi, задача являе собою багатокритерiальну задачу комбшаторно'! оптимiзацii [10, 15, 16]. Ё мате-матична модель виглядае таким чином:
fl (х) —» min, I g ju,
fl(x) —» max, I <eJ^\Ju, (19)
x<EX<EE\
де E' - комбшаторний npocTip, X - множина допустимих розв'язюв задачу а функцп fl (х), I g Jl визначеш на Е'.
Набiр цiльових функцш у (19) можна представити у виглядi вектор-функцп:
F = (-/l (*)>••.,-fL,(x), fL>+i(x),...,fL(x)) , (20)
максимум яко'1 необхщно знайти. Слщ зазначити, що кожний розв'язок х — (xi,x2,---,xn) е X характеризуеться вщповщною векторною ощнкою, тобто вектором F (х). Тому вибiр оптимального розв'язку iз множини всiх розв'язкiв зводиться до вибору оптимально'!' ощнки iз множини оцiнок:
Y = F(X) = {y<=R
у = F(x), х g X}.
При цьому оптимальнють ощнок (розв'язкiв) визначаеться деяким принципом оп-тимальностi, заданим у крш^альному просторi.
Надалi ми будемо вважати, що комбшаторний проспр Е' - непорожня скшченна
множина точок RN i будемо розглядати векторну (багатокритерiальну) задачу Z(F,X)
максим1зацп векторного критерш Р — (/[,...,, визначеного на Е':
X) —» тах,
1е1сЕ'с/. (21)
Якщо множина Е' е образом в RN деякох множини A реальних комбiнаторних об'ектiв, причому мiж елементами Е' та A можна встановити бiекцiю, то множини Е' i A будуть евклiдовими комбшаторними множинами [17], а (21) являтиме собою загальну математичну модель багатокритерiальноi задачi евкл^ово'^' комбiнаторноi оптимiзацii [11]. З шшого боку, той факт, що задачу сформульовано в термшах координат вектора х, свщ-чить про те, що розглядаеться й постановка як задачi багатокритерiальноi дискретно'^' оп-тимiзацii.
B. Багатокритер1альн1 задачi евклгдовог комбтаторног оптимгзацИ': тдходи до розв 'язання
Пщ розв'язанням ще1 задач^ як правило, розум^ть знаходження елементiв одше'1 Ï3 таких множин [10]:
1. Множини щеальних I (F, X ) розв'язюв:
I(F, X) = {xeX:v(x,F,X) = 0}, (22)
де v(x, F,X) = {yeX \ 3ieJL : ft {y) > ft (*)}.
2. Множини Парето P( F ,X ), тобто множини ефективних (оптимальних за Парето) розв'язкiв:
P(F, Х) = {х&Х : п(х, F, X) = 0}, (23)
де п(х, F,X) = {y еХ : F (у) > F(x), F (у) ф F(x)} .
3. Множини Слейтера Sl ( F ,X ) слабоефективних розв'язюв:
SI (F, Х) = {х^Х: о(х, F, X) = 0}, (24)
де <5(x,F,X) = {y<EX:F(y)>F(x)}.
4. Множини Смейла Sm( F ,X ) строгоефективних розв'язкiв:
Sm (F, I) = {iel: r|(x, F, X) = 0}, (25)
де ф, F,X) = {yzX\ {x} : F (y) > F(x)}.
Вiдзначимо, що елемент множини (22) називаеться iдеальним розв'язком [12-14]. Цей розв'язок е найкращим вiдразу за вама частковими критерiями. Оптимальнiсть за Парето (23) означае, що значення будь-якого iз часткових критерпв можна збшьшити лише за рахунок зменшення значення хоча б одного з шших часткових критерпв. Для слабоефек-тивно'1 оцiнки (розв'язку) (24) не знайдеться та^ оцiнки (розв'язку), яка була б бшьше вь дразу за вама частковими критер1ями. Внаслщок цього множини (22-25) зв'язаш таким чином: I(F,X) ci Sm(F,X) с: P(F,X) с: Sl(F,X).
Проблема вщшукання вах ефективних розв'язкiв (оцшок) представляе не тiльки те-оретичний, але й великий практичний штерес. Це пояснюеться тим, що побудова вае' множини ефективних розв'язкiв або ж деяко'' досить широко'' ïï пiдмножини е одним iз перших етатв у цiлому рядi процедур оптимального вибору при багатьох критерiях [10], [12-14]. Якщо розглядаеться багатокрш^альна комбiнаторна задача (19), проблема ïï розв'язання значно ускладнюеться. Але якщо замють (19) розглядаеться задача (21) бага-токритерiальноï евклiдовоï комбшаторно1' оптимiзацiï, цi складнощi можна подолати за рахунок використання специфши задач^ зокрема, враховуючи властивостi конкретноï евкль довоï комбiнаторноï множини та цiльовоï функцп на нiй.
Переважна бшьшють методiв побудови множини ефективних розв'язюв грунтуеться на тих або шших умовах оптимальность Найчаспше використовуються необхiднi умови,
що полягають у тому, що якщо точка х° ефективна (у тому або шшому розумшш, напри-клад, згiдно з одним iз критерпв оцiнки (22-25)), то вона е розв'язком задачi максимiзацiï або мiнiмiзащï (можливо, при деяких додаткових обмеженнях) числовоï функцп спещаль-ного вигляду при належним чином призначених величинах параметрiв, що входять у цю функцiю, i (або) обмеження. Отже, задача видшення вах ефективних розв'язкiв зводиться до вiдповiдноï скалярноï параметричноï задачi оптимiзацiï. Таку замiну задачi з векторним критерiем параметричним сiмейством звичайних екстремальних задач часто називають скаляризацiею вхiдноï задачi. Якщо використовуванi умови оптимальносп е достатнiми, то
множина розв'язюв параметрично'' задачi е шуканою множиною ефективних розв'язкiв ви-хщно'' задачi. У протилежному випадку побудована шляхом скаляризацп множина може мютити зайвi точки, якi варто виявити й вщаяти.
Одним Ï3 поширених методiв розв'язання задач векторно'' оптимiзащï е метод зве-дення багатокритерiальноï задачi до однокритерiальноï шляхом згортання векторного кри-терiю в суперкритерш [10, 12]. При цьому кожний критерш множиться на вiдповiдний йо-му ваговий коефiцiент, а по^м результати додаються. Так, для векторного критер^ (20) суперкритерiй виглядатиме таким чином:
L
Ф« = 1а/Ж4а;<0, leJr, щ>0, leJL\Jr. (26)
1=1
Ид час здшснення згортки (26) головне питания i основш трудноиц виникають ¡з правильним вибором коефщ1енпв щ, 1 e J^ . 1снують pi3Hi способи ïx вибору. Одним Î3
них е призначення коефiцiента залежно вщ вщносно'' важливостi критерпв [12].
Шсля формування суперкритерiя (26) вiд задачi (21) здiйснюеться перехiд до задачi
Ф(х)^/ш;1е1сЕ'с/. (27)
Вона являе собою задачу дискретно'' оптимiзащï, до розв'язання яко'' застосовуванi вiдповiднi методи, таю як метод меж та гшок, метод вщакань, метод гiлок i вщсшань та iн. [18, 19]. Також слщ вiдзначити тут метод направленого структурування [10], який вважае-мо перспективним для розв'язання задачi (27). Вш полягае у представленш множини E' у виглядi орiентованого графа, де дуга графа вщповщае спаданню значень цшьово'' функци. У ходГ реалiзацiï методу вiдбуваеться галуження i частина гшок вщтинаеться на основГ анал1зу множини допустимих розв'язив X як шдмножини Е'. Якщо початкова задача (19) - лшшна комбшаторна, тобто не тшьки функци /¡{х), /е Jl, але i додатков1 обме-ження, що видГляють X з E', - лшшш, то задача (27) буде лшшною задачею дискретного програмування, до яко'' можна застосувати методи комбшаторних вiдсiкань, у яких врахо-вуеться специфiка комбшаторно'' множини E' [20, 21]. Останнi два методи - направленого структурування та комбшаторних вщакань - можна вщнести до методiв евклщово'' комбь наторно'' оптимiзацiï [11]. Ця група методiв призначена для розв'язання задачi вигляду (27) у випадку, якщо множина E' - евклщова комбiнаторна i вони передбачають комплексне використання в них дослщжених алгебро-топологiчних властивостей множини E' як множини точок евклщового простору та ïï опукло'' оболонки, а також особливостей поведшки функцш на цГй множинГ.
Перед тим як викласти наступний метод, який також належить до класу методГв ев-клщово'' комбшаторно'' оптимГзацГ'', повернемося до МоделГ 2 i зазначимо, що множина (18) - евклщова комбшаторна i мае таку властивГсть, що вона збГгаеться з множиною вершин свое'' опукло'' оболонки:
E' - vert Р', Р' - conv Е', (28)
тобто вона е вершинно розташованою [22]. Це пояснюеться тим фактом, що довшьна зага-льна множина перестановок та булева множина е вершинно розташованими [11], а опера-щя декартового добутку зберГгае вершинну розташовашсть множин.
З точку зору оптим1зацп, вершинна розташованГсть множини E', на якш проводиться оптимГзащя, важлива в тому планГ, що вона дозволяе як цшьову функщю, так i до-датковГ обмеження вважати опуклими або угнутими [23] в залежносп вщ того, якими методами ми розв'язуватимемо цю задачу.
Сформулюемо загальну задачу багатокритерГально'' евклщово'' комбшаторно'' опти-
мiзащl на вершинно розташованш множинi: знаити
*
х = arg extr fi (л") (29)
хеЕ' l&JL'
за умови виконання обмежень:
hr(x) < О, г g JR; hr(x) >0, rsJR>\ JR, (30)
де E' задовольняе умову (28), а
[min, I <eJt<,
extr -1 f (31)
[max, I eJi'\Ji,
а функцп fi (x), l g Jj^ ; hj. (x) < 0, r g Jr визначеш на E '.
Якщо порiвняти задачi (28-31) та (21), вiдмiннiстю буде те, що в першому випадку множина допустимих розв'язюв X видшяеться з E' в явному виглядi за допомогою функ-цiональних обмежень (30), а також додаеться умова (28) на вершинну розташовашсть множини E' .
Отже, математична модель (28-31) е загальною постановкою багатокритерiальноï оптимiзащИноï задачi на вершинно розташованш множиш.
Дана задача буде опуклою багатокритерiальною на комбшаторнш множинi E', якщо будуть виконаш умови:
//(х), /gJz -опуклц/Дх), leJL,\JL -угнута, (32)
hfix), r&JR - опукпп; hr(x), reJR>\JR -yrHyri. (33)
Зауваження 3. Не обмежуючи загальностi, можна вважати, що умови (32, 33) виконаш, шакше можна побудувати onyioii продовження функцш .//(х), / g ,/j , hr(x), r^JR
чн угнуп продовження для /¡(х), I sJ^AJ^, hr(x), reJR> \JR з множини Е' в евклвдв npocTip, ¡снування яких для вершинно розташованих множин обгрунтовано у [22]. Нагада-емо, що опуклим продовженням функцп /(х) Î3 множини Ei у ïï надмножину Е2 Ei називаеться функцiя F ( x ), що визначена на E2 i яка зб^аеться з f ( x ) на Ej, тобто
F(x) = /(x). (34)
E
Внаслiдок цього, вщповщна однокритерiальна задача (27) матиме вигляд
Ф(х)—»max (35)
за умови виконання обмежень (28, 30, 32, 33) i буде опуклою задачею евклщово'1' комбша-торно'1' оптимiзацiï.
Враховуючи (28), ïï можна сформулювати як задачу неперервно'1' оптимiзацiï, що мае вигляд (32, 33, 35)
хеР, (36)
x е £, (37)
де P = conv Е' - комбшаторний многогранник, який вщповщае E', a S - строго опукла поверхня, описана навколо E' [24]. А це, у свою чергу, дозволяе застосувати до розв'язання задачi (28, 32-35) полiедрально-поверхневi методи [24, 25]. Ця група методiв об'еднуе як точнi, так i наближеш методи з оцiнкою точность Вони грунтуються на комбь нуванш двох релаксацiИ задачi (32-37) - полiедральнiй (33-36) та поверхневiИ (33, 35, 37),
а також на можливосп п редукцп за рахунок декомпозицп вихщно! задачi на подiбнi задачi меншо! вимiрностi. Той факт, що полiедральна релаксащя е неперервною опуклою задачею, дозволяе застосування апарата опуклого програмування до п розв'язання [26]. А це, у свою чергу, дозволяе будувати яюсш ощнки цшьово! функцп у дискретнiй задачi (28, 3235), що i дозволяе створення ефективних апроксимацiйних та точних методiв 1! розв'язання.
Як було зазначено у зауваженш 3, умова (28) дозволяе 11 уопуклювання, тобто здш-снення переходу вiд довшьно! задачi вигляду (27, 28) до опукло1 задачi (28, 32-35). На практищ цей перехiд зв'язаний iз побудовою опуклих чи угнутих продовжень цшьово! функцп та обмежень, вигляд яких залежить як вщ самих функцш, так i вiд типу евклщово! комбшаторнох множини Е'.
Модель 2: приведення до опуклоТ евклщовоТ комбшаторноТ задач1 та застосування
У даному пункт буде продемонстровано, що до сформульовано! вище задачi оптимiзацii телекомунiкацiйних мереж застосовнi полiедрально-поверхневi методи. Для цього у Моде-лi 2 достатньо провести згортку (26) та уопуклювання, а також вказати строго опуклу по-верхню, описану навколо множини Е' .
Як було показано вище, Модель 2 - нелшшна за рахунок присутносп добутюв
змшних 4 >у\ у цшьових функщях та обмеженнях. Уопуклювання ще! комбшаторнох за-
дачi буде грунтуватися на такому твердженнi:
Твердження 1. Опукле продовження функцп:
./,/ - -V, - г,. (38)
де х = (хД-^ е Ех с Я (х°) ^Кп*,у = с: Я (/) с= тЛ (тут ЗД -
пперсфера з центром у точщ а рад1уса г ) з множини Е = Е х ЕУ на Я х у юнуе в такш формi:
Ру = /у + \ ((* - X0)2 + Су - у0)2 - г2 - г2) . (39)
Доведення.
1 7 7 7
■4'= ±дс/'у]= о ((-х> ± у^ ~ ъ ~ у
= ^((хг ±у^2 + (-х2 +(х-х0)2-г2) + (-у2 + (у-у0)2 -Г2)) =
= ±хг ■yJ+^ ((х - х° )2 + (у - / )2 - г2 - г2).
Як видно, у правш частинi рiвняння стоЛть опукла функщя, яку ми i обираемо як опукле продовження, враховуючи (34).
Спираючись на твердження 1, побудуемо опукле квадратичне продовження Z^jj функцп (6) у формi (39), користуючись умовою (7) та сферичною розташованiстю множин Е55' G i ВI [24]. Як сфери, описаш навколо х та ук, розглянемо сфери мiнiмального ра-дiуса. Отже, маемо
х е Б (х0) с Я, х0 = (х0)^ , х0 = Js, ; ук е Б1 Д) с Я1, (40)
х •'.у V 5 - 2
2
де знайдено за формулою (16), а
р т
4=Х2>?)2 (41)
£ = 17=1
Обираючи в вираз1 (39) х, =х- , у^ ~Уу, одержуемо
4=4- у\ ((X - х° )2 + {у\ - 0,5)2 - г2 - 0,25) =
Е 2
= ^ + 0,5(х-х°)2 + 0,5(з|2-4»-4-
'к
Аналогично побудуемо угнуте продовження Zy функцп (6) у формi (39):
к ,„£ ,к ( к £\ ( к £ , А 0\2 . А с,,£2 ,,£\\
277 ~~ 7 • У у = ~(~х1 ■ У у ) =, - ("*/ ■ У у + 5(х - Х ) + ЯУу - У у )) ^
Е
= 2$ - 0,5(х - х0)2 - 0,5(у!2 -у£) =
(42)
(43)
Пiдставивши вирази (42, 43) у (9, 11) вiдповiдно, отримаемо квадратичш продовження: опукле для х, у та угнуте для ^2 х, у :
р т п 2к р т п р т п -к
___7" Г " / . . Г " 7
£=1 7=1 7=1 £ = 1 7=1 7 = 1 У £ = 1 7=1 7=1 У
р т п р т п ,.£2 _ к
£=17=17=1 £=17=17=1 у
р т п ук2 _ к = ^ (х, у) + 0,5©(х - х° )2 + 0,5£ £ ^ ^ = (х, у),
£=17=17=1 Э77
р т п
«в-Шсф"1-
£=1 / =1 7=1
р т п р т п р т п
ъ(*.у)=11144=11144-ЕЕЕ44 -
к=17=17=1 £=17=17=1 £=17=17=1
р т п р т п
£=17=17=1 £=17=17=1
(44)
p m п
F2 х,у -0,5D(x-x°)2-0,5£^^4(42-4) = F2(x,y),
k=li=lj=1
p m n y '
jfc=l/=l 7=1
Результат згортки цшьових функцiИ (44, 45):
F (x, y) - -cqFi (x, y) + a2F2 (x, y). (46)
Перейдемо до уопуклювання обмежень (14, 15, 17), враховуючи, що вони юнують у двох формах: а) f(x) < а, якщо /(х) - опукла, а а - константа; б) f(x) > а, якщо /(х) -угнута.
• Для (14) маемо
Р
./,) =£4 <//; (/../); (47)
к=1
для (15):
m
(/,*); (48)
7=1
• двосторонне обмеження (17) представимо у виглядi
(49)
-^(х, y)<-EG-v^x. (50)
Для кожно'1 з функцiИ (47) опукле продовження Fj побудуемо з використанням фо-рмули (42):
4=É4=¿4=4+0,5р(х-х»)2 +О,5Х(42 -4)=4
¿=1 ¿=1 к=1
Результуючi опуклi обмеження:
^ xi У ij +0,5/>(х — х^)2+0,5 ^ (У/Р ~ Уij)- hj QJ)- (51)
к=1
2
Опуклi продовження функцiИ fß побудуемо, використовуючи (43):
mm m
к X^ry'k г2 л _0ч2 acV/J2
■ i ^ ■ i
7=1 7=1
Шуканi опуклi обмеження таю :
7 = 1 ^ 7 = 1 7=1
т т
(j,k). (52)
7 = 1 7=1
f
Обмеженню (49) вщповщатиме таке, що мiстить опукле продовження з F (x, y) :
^(х, y)<ZG-vmin. (53)
Зрештою, до (50) опукле обмеження побудуемо, використовуючи (43):
р т п „к р т п у'к р т п „к р т п
^.^EEEl^EEibEEEl-^-VEEE^)-1-
к=1 7=1 7=1 Vjj ^ k=\ 7=1 7=1 У77 к= 1 7=1 7=1 7/ ¿=1 7=1 7=1
р т п л.к2 _ к Р т п л.к2 _ к
к=1 7=1 7=1 ^77 ¿=17=17=1 ^77
Тож обмеження матиме вигляд
р т п ук2 _ к
FX (х, у) - 0,5©(х - х°)2 - 0,5 J] X Z J4rL ~ ZG "• <54)
к=17=1 7 = 1 %
* * 7V
Екв1 валентна до Модел1 2 задача (дал1 Модель 3) пошуку вектора (х , у ) е R з евклiдовоi комбiнаторноi множини (18) такого, що задовольняе обмеження (51-54) i доста-вляе розв'язок двокритерiальноi задачi:
I * * I
Е\ (х >У )= min ^(х,у), (55)
х,у еЕ'
г * * '
F2(x ,у ) = max F2(x,у), (56)
(х,у)еЕ'
у якш функцп Fi( x, y), Fj( x, y) задан формулами (44, 45).
Вiдповiдна до Моделi 3 однокритерiальна модель (далi Модель 4) виду (26) мае ви-
гляд
1
F (х,у)—»max, (57)
г
де F (x, y) мае вигляд (46), а змшш x, y задовольняють обмеження (51-54).
Модель 4 - це математична модель вихщно'' задачi в виглядi опукло'' задачi евклщо-во'' комбiнаторноi оптимiзацii. До того ж, евклщова комбiнаторна множина E' - сферично розташована як декартовий добуток двох сферично розташованих множин Ess<(G) i
Bn(1) . Тобто, як поверхню S у (37) можна обрати, наприклад, сферу мЫмального радiуса
S = Sr(а) . Для визначення п параметр! в скористаемося таким твердженням.
Твердження 2. Якщо Ei,...,Em - сферично розташоваш, а Sr. (аг) - мшмальна
м м
описана сфера для Ej (/' eJM ), то Е = ® Et - сферично розташована множина i а = 0 аг-,
/=1 /=1
г =
л
м
У - центр i рад1ус сфери мш1мального рад i уса, описано! навколо Е . /=1
HacnidoK 1. Множина Е' виду (18) - сферично розташована i пперсфера
Sr (a) a R мае таю параметри:
а =
Í с <Л
/V V íi Y
— -
5 ) \2j
r=il E G-
t
■ + - . 4
(58)
Отже, обгрунтувано 3acTOCOBHÍCTb до Моделi 4, а, вiдповiдно, i до вихщно! задачi, полiедрально-поверхневих методiв з поверхнею - гiперсферою Sr (a), що мае параметри (58). Бшьше того, в даному випадку застосовш полiедрально-сферичнi методи [25]. До того ж, осюльки Модель 4 - це опукла квадратична задача оптимiзацii на сферично розташо-ванш евклiдовiй комбiнаторнiй множиш, то не тiльки полiедральна релаксащя (36), але i сферична релаксащя (37) можуть бути розв'язаш точно [25].
2
4. Висновки
У робот розглянуто досить актуальну проблему оптимiзацii швидкосп та якостi передачi шформацп, що виникае в оргашзацп будь-яко'1 телекомушкацшно'1 мереж та ii роботi. Для ii розв'язання побудовано математичну модель у виглядi задачi векторно'1 оптимiзацii на композицiйному образi загально'1 множини переставлень та булево'1 множини, побудовано суперкритерiй i здшснено перехiд до квадратично! умовно! задачi евклщово'1' комбшатор-но'1 оптимiзацii. Запропоновано деюлька методiв ii розв'язання, що суттево використову-ють специфiку задач^ серед яких метод направленого структурування, опуклих продов-жень та полiедрально-сферичний метод. Дано загальну постановку задачi багатокритерiа-льно! евклщово'1' комбшаторно'1' задача На прикладi побудовано'1' моделi оптимiзацii роботи телекомушкацшно'1' мереж продемонстровано можливосп застосування iнструментарiю евклщово'1' комбшаторно'1' оптимiзацii до досить складних практичних задач.
СПИСОК Л1ТЕРАТУРИ
1. Koliechkina L.N. Modified Coordinate Method to Solve Multicriteria Optimization Problems on Combinatorial Configurations Multicriteriality / L.N. Koliechkina, O.A. Dvirna, A.N. Nagornaya // Cybernetics and Systems Analysis. - 2014. - N 4. - P. 154 - 161.
2. Koliechkina L.N. Solving Extremum Problems with Linear Fractional Objective Functions on the Combinatorial Configuration of Permutations Under Multicriteriality / L.N. Koliechkina, O.A. Dvirna // Cybernetics and Systems Analysis. - 2017. - Vol. 53, N 4. - P. 590 - 599.
3. Chiang M. Balancing Transport and Physical Layers in Wireless Multihop Networks: Jointly Optimal Congestion Control and Power Control / M. Chiang // IEEE Journal on Selected Areas in Commun. -2005. - Vol. 23, N 1. - P. 104 - 116.
4. Channel Assignment Strategies for Multiradio Wireless Mesh Networks: Issues and Solutions / H. Skalli, S. Ghosh, S.K. Das [et al.] // IEEE Comm. Magazine. - 2007. - Vol. 45, N 11. - P. 86 - 95.
5. Singh K. Review on Routing Protocols in Wireless Mesh Networks / K. Singh, S. Behal // International Journal of Application or Innovation in Engineering & Management (IJAIEM). - 2013. - Vol. 2, Iss. 2. -P. 143 - 149.
6. Агеев Д.В. Метод проектирования телекоммуникационных систем с использованием потоковой модели для многослойного графа / Д.В. Агеев // Проблеми телекомушкацш. - 2010. - № 2 (2). -С. 7 - 22.
7. Семенова Н.В. Подход к решению векторных задач дискретной оптимизации на комбинаторном множестве перестановок / Н.В. Семенова, Л.Н. Колечкина, А.Н. Нагорная // Кибернетика и системный анализ - 2008. - № 3. - С. 158 - 172.
8. Гаркуша С.В. Особенности использования гиперграфов при моделировании многоканальных mesh-сетей стандарта IEEE 802.11 / С.В. Гаркуша // Радиотехника: Всеукр. межвед. науч.-техн. сб. - 2013. - Вып. 175. - С. 160 - 169.
9. Гаркуша С.В. Огляд та класифшащя протокол1в маршрутизаци в mesh-мережах стандарту IEEE 802.11 / С.В. Гаркуша // Зб1рник наукових праць В1Т1 НТУУ „КШ". - 2012. - № 1. - С. 14 - 23.
10. Донець Г.П. Екстремальш задач1 на комбшаторних конф^уращях / Г.П. Донець, Л.М. Колечкша. - Полтава: ПУЕТ, 2011. - 328 с.
11. Стоян Ю.Г. Теор1я i методи евклiдовоi комбiнаторноi ошташзаци / Ю.Г. Стоян, О.О. Смець. -К. 1СДО, 1993. - 188 с.
12. Ehrgott M. A survey and annotated bibliography of multiobjective combinatorial optimization / M. Ehrgott, X. Gandibleux // OR Spektrum. - 2000. - Vol. 22. - P. 425 - 460.
13. Ehrgott M. Mutiobjective Programming / M. Ehrgott, M. Wiecek // Multiple Criteria Decision Analysis: State of the Art Surveys. - New York: Springer, 2005. - P. 667 - 708.
14. Pappalardo M. Multiobjective Optimization: A Brief Overview / M. Pappalardo // Pareto Optimality, Game Theory And Equilibria / A. Chinchuluun [et al.] (ed.). - New York: Springer, 2008. - P. 517 - 528.
15. Ehrgott M. Multiobjective Combinatorial Optimization - Theory, Methodology, and Applications / M. Ehrgott, X. Gandibleux // Multiple Criteria Optimization: State of the Art Annotated Bibliographic Surveys / M. Ehrgott, X. Gandibleux (ed.). - US: Springer, 2003. - P. 369 - 444.
16. Ehrgott M. Multiobjective Combinatorial Optimization / M. Ehrgott // Multicriteria Optimization. -Berlin Heidelberg: Springer, 2005. - P. 197 - 220.
17. Стоян Ю.Г. Некоторые свойства специальных комбинаторных множеств / Стоян Ю.Г. -Харьков: ИПМАШ, 1980. - 22 с. (Препринт АН УССР/Институт проблем машиностр.; 85).
18. Пападимитриу Х. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность / Х. Пападимитриу, К. Стайглиц. - М.: Мир, 1984. - 512 с.
19. Писарук Н.Н. Модели и методы смешанно-целочисленного программирования / Писарук Н.Н. -Минск: Изд-во БГУ, 2008. - 250 с.
20. Emets O.O. Cut-off in linear partially combinatorial problems of Euclidean combinatorial optimization / O.O. Emets, E.M. Emets // Dopov. Nats. Akad. Nauk Ukr. Mat. Prirodozn. Tekh. Nauki. - 2000. -Vol. 9. - P. 105 - 109.
21. Пичугина О.С. Поверхностные и комбинаторные отсечения в задачах евклидовой комбинаторной оптимизации / О.С. Пичугина // Математичне та комп'ютерне моделювання. -(Серiя <^зико-математичш науки»). - 2016. - Вип. 13. - С. 144 - 160.
22. Яковлев С.В. Теория выпуклых продолжений функций на вершинах выпуклых многогранников / С.В. Яковлев // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1994. - № 7 (34). - С. 1112 - 1119.
23. Пичугина О.С. Методы глобальной оптимизации на перестановочном многограннике в комбинаторных задачах на вершинно расположенных множествах / О.С. Пичугина, С.В. Яковлев // Математичне та комп'ютерне моделювання. - (Серiя «Фiзико-математичнi науки»). - 2017. -Вып. 15, № 1. - С. 152 - 158.
24. Pichugi^ O. Convex extensions and continuous functional representations in optimization, with their applications / O. Pichugira, S. Yakovlev // J. Coupled Syst. Multiscale Dyn. - 2016. - Vol 2, N 4. -P. 129 - 152.
25. P^ugi^ O. Continuous Approaches to the Unconstrained Binary Quadratic Problems / O. Pichugi^, S. Yakovlev // Mathematical and Computational Approaches in Advancing Modern Science and Engineering / J. Belair [et al.] (ed). - Switzerland: Springer, 2016. - P. 689 - 700.
Стаття над1йшла до редакцп 06.11.2017
