CC BY
54
Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видаеться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Рашевський М.О. Про викладання комб'наторики у закладах вищоf oceimu. Ф'зико-математична освта. 2018. Випуск 4(18). С. 136-142.
Rashevs'kyi Mykola. About Teaching Combinatorics In The Institutes Of Higher Education. Physical and Mathematical Education. 2018. Issue 4(18). Р. 136-142.
DOI 10.31110/2413-1571-2018-018-4-023
УДК 372.851
М.О. Рашевський
Кривор'1зький нац'юнальний yHieepcumem, Украна mora290466@gmail. com
ПРО ВИКЛАДАННЯ КОМБ1НАТОРИКИ У ЗАКЛАДАХ ВИЩО1 ОСВ1ТИ
Анотац'я. Викладанню комб'наторики i формуванню комб'шаторного мислення присвячено багато досл'джень. Вивчалися питання методики введення основних понять комб'наторики у шкльному курс'1 математики. Досл'дження стосувалися формуванню комб'наторних понять у молодших школяр'в та тдл'1тк'1в. Комб'наторика е основою для вивчення теорП' ймов'рностей, дискретноf математики та iншuх математичних курав. Кoмбiнаmoрне мислення необх'дне iнженерy, програм'1сту, вчителю математики i багатьом iншuм cпецiалicmам рiзнoгo спрямування. Перед закладом вищоf осв'ти постае завдання продовжити формування комб'наторного мислення, прoвiвшu д'агностику його cфoрмoванocmi на початку вивчення згаданого роздлу.
У статт'1 обговорюються oкремi методичн прийоми, що застосовуються при вuвченнi роздлу «Комб'таторика» у навчальних закладах рiзнoгo спрямування. Кoмбiнаmoрнi роздли математики складають основу як стохастичноf л!нИ шкльного курсу математики, так i деяких математичних курав виш'в. При викладанн! комб'таторики зручно використовувати yнiфiкoванy схему комб'наторних структур. Обговорюються питання iсторИ виникнення та методики використання yнiфiкoванoi' схеми у шкльному курсi та у закладах вищоf осв'ти. На початку вивчення корисно ознайомити студент'1в !з згаданою схемою, i сформувати ум'тня використовувати i'f для розв'язування найпрост'ших задач. Доцльно також розробити набiр компетентнсно ор'ентованих або прикладних задач з урахуванням майбутньоf cпецiальнocmi студент'в. Подальше вивчення комб'таторики стосуеться спе^альних метод'в: методу тв'рних (продуктивних) функ^й, методу рекурентних сп'вв'дношень та методу mраекmoрiй. Названi методи вивчаються в курсi дискретноf математики. У статт'1 обговорюються можливост'1 геометрично! люстраци б'номних кoефiцiенmiв у фoрмyваннi навичок математичного моделювання. Д'агностика рiвня комб'наторного мислення та можливе коригування можуть е проблемою для окремого досл'дження.
Ключов! слова: викладання математики, комб'наторика, yнiфiкoвана схема, комб'наторне мислення, дискретна математика, метод mраекmoрiй
Постановка проблеми. Збтьшення уваги дослщниюв до проблем викладання дискретно! математики та м окремих роздЫв пов'язане як i3 реалiзацieю стохастично! лЫп у шктьному Kypci математики, так i з комп'ютериза^ею Bcix сторш життя, i освти зокрема. Дискретна математика е не ттьки теоретичною базою для комп'ютерних наук, а ще й основою математичного моделювання, осктьки використання комп'ютерiв призводить до необхщносп створювати дискреты моделi навпъ iз вже побудованих неперервних. Широк можливост у моделюванн мае комбЫаторика. КомбЫаторы методи i алгоритми розроблялися i в «докомп'ютерну» епоху, але саме комп'ютерн науки найбтьше потребують апарату i методiв дискретно! математики. КомбЫаторика у вишах вивчаеться як одна iз тем курсу теорп ймовiрностей, а також як роздт дискретно! математики. Не зважаючи на числены методичн напрацювання, багато дослщникв вщзначають, що студенти, ям вивчали згадану тему в шктьному кура, часто мають низький рiвень знань комбЫаторних структур та умшь !х застосовувати при розв'язуванн задач. Студенти, що досить умто застосовують комбЫаторы формули у типових задачах, нерщко не можуть застосувати знання навпъ при невеликих змЫах умови задачу тобто проявляються недолти у !хньому «комбшаторному мислены». Тому актуальними е питання розробки методики викладання згаданого матерiалу у закладi вищо! освти, коригування знань, отриманих ранiше, i продовження формування комбЫаторного мислення майбутнього спецiалiста, розпочате у шктьы роки. Важливою також е проблема дiагностики сформованостi комбiнаторного мислення, але це питання окремого вивчення.
Аналiз актуальних дослiджень. Численнi дослщження математикiв, методистiв та психологiв присвячено викладанню комбшаторики у шкiльному кура математики, методик введення комбiнаторних структур, вивченню та формуванню комбЫаторного мислення. Згаданим питанням присвячено роботи А. М. Колмогорова, Н. Я. Вшеншна,
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
Б. 1нельдер, Ж. Пiаже, Н. Ф. Тализшо''', З. Г. Шефтеля, I. М. Яглома, М. Й. Ядренка, £. £. Белокурово''', Г. В. Бурменсько''', £. П. Вшоградово''', Н. М. Войналович, Л. В. £вдокимово''', Ю. О. Захарiйченка, I. В. 1гнатушино''', Н. Б. 1стомшо'(, В. I. 1мбер, £. Н. Катково''', С. Р. Когаловського, В. В. Лебедева, Е. Локвуд (Е. Lockwood), Т. Г. Попово', Ю. А. Полуянова, Г. Ф. Хаюмова та iнших. Бiльшiсть авторiв пропонуе розпочинати формування комбшаторного мислення i ознайомлювати з основними поняттями комбшаторики ще учнiв початкових та середых клаав. Формуванню комбiнаторного мислення у майбутых учителiв технолог^' присвячена дисертацшна робота А. Ф. Абдрашитова.
Практично у вах дослiдженнях згаданого питання вщзначаеться, що комбiнаторика виходить далеко за межi власне математичного знання, а комбшаторне мислення е необхщним як у практичнiй дiяльностi, так i у повсякденному життi. Вказано також на досить низький рiвень устшност виконання комбiнаторних завдань навпъ у студен^в-математикiв педагогiчних вишлв [2], утруднення при виборi т^е'' чи iншоí комбiнаторноí формули. Тому проблема методики викладання комбшаторики у закладах вищо' освiти i формування комбшаторного мислення у майбутнього спещалкта е наразi актуальною, i саме ц питання обговорюються у статп.
Категорiю «комбшаторне мислення», яка з'явилася, певно, вже в ниншньому столгтп, педагогiчна i психологiчна науки активно використовують, хоча й означення рiзних авторiв рiзняться мiж собою. Бтьшлсть дослiдникiв викладання комбiнаторики говорять про формування або розвиток комбшаторного чи комбшаторно-лопчного мислення, комбшаторного стилю мислення, розвиток комбшаторних здiбностей тощо. Поняття «комбшаторы структури мислення» введено Ж. Шаже. Наведемо (мовою оригiналу) дектька прямих чи опосередкованих означень та характеристик понять, пов'язаних iз «комбшаторним мисленням», взятих iз рiзних джерел, не претендуючи на повноту дослщження.
Комбинаторные рассуждения - это рассуждения, содержанием которых является построение различных комбинаторных объектов дискретных элементов. (http://nauka-pedagogika.com/viewer/520522/a?#?page=4
Е. Е. Белокурова, 1993)_
Фенoмен комбинаторных способностей является системным образованием и представляет собой взаимодействие качеств познавательных процессов (сенсорных, мыслительных и имажитивных), определяющих успешность комбинирования в любой деятельности, в том числе и комбинаторной. (http://www.dissercat.com/content/razvitie-
kombinatornykh-sposobnostei-detei-doshkolnogo-vozrasta#ixzz5XzYmQHVgЕ. H. Каткова, 2005)_
Hеобходимым психологическим условием развития комбинаторного мышления у детей и подростков выступает ориентировка на такие свойства множества и его подмножеств, как объем, а также состав, порядок и повторяемость элементов. (http://www.lib.ua-ru.net/diss/cont/195380.html Л. В. Евдокимова, 2007)
... принципиальное значение комбинаторики, выходящее далеко за пределы собственно математического знания, обусловлено тем, что в ее основе лежит способность субъекта определять, рассматривать и учитывать все возможные варианты. (http://www.vash-psiholog.info/voprospsih/214/17759-formirovanie-kombinatornogo-myshleniya-u-mladshix-shkolnikov-i-podrostkov.html Г. В. Бурменская, Л. В. Евдокимова, 2007)
Под комбинаторно-логическим мышлением будем понимать мышление, направленное на развитие логических законов, операций при конечной вариативности рассматриваемых явлений, понятий.
(https://cyberleninka.ru/article/v/o-vazhnosti-razvitiya-kombinatorno-logicheskogo-myshleniya-starsheklassnikov Т. Г. Попова,
2008)_
Комбинаторное мышление является психическим процессом, по содержанию и механизмам реализации относящимся к переходным от образного к логическому и обратно формам мышления.
(http://www.dissercat.com/content/razvitie-kombinatornogo-myshleniya-u-budushchikh-uchitelei-tekhnologii-v-protsesse-
grafichesА. Ф. Абдрашитов, 2010)_
Комбинаторно-логическое мышление связано с решением таких задач, в ходе решения которых необходимо ориентироваться на составные части предмета или явления, их сочетание, а также на условия их комбинаций, при этом не забывая о возможных скрытых условиях, непосредственно не выступающих.
(http://www.dissercat.com/content/razvitie-kombinatorno-logicheskogo-myshleniya-starsheklassnikov-v-usloviyakh-
profilnogo-obuc#ixzz5XtuoN34NТ. Г. Попова, 2011)_
By students' combinatorial thinking, I mean my interpretation of their thinking based on their observable words and actions. (https://www.researchgate.net/publication/261548119 A Model of Students' Combinatorial Thinking The Role of Sets of Outcomes Elise Lockwood, 2012) Пщ комбшаторним мисленням будемо розyмiти такий вид розумовоУ дiяльностi, який забезпечуе усвщомлення варiативностi ситуацп, дае змогу розглядати i розрiзняти рiзнi варiанти подш, об'ект, здшснювати |'х перебiр, пщраховувати Ух кшьшсть. (http://bloggerhoptyana.blogspot.com/2014/11/blog-post.html Блог О. О. ХоптяноУ, 2014) Комбинаторные схемы мышления используются при решении не только задач непосредственно по комбинаторике, но и многих других математических и нематематических задач. Данные схемы образуют основу экономического и инженерного мышления. (http://elar.rsvpu.ru/bitstream/123456789/18381/1/edscience 2016 1 130 002.pdf В. А. Тестов, 2016)_
Сптьним же у вах дослщни^в е те, що комбшаторного мислення потребуе цтеспрямованого формування у процеа розв'язування комбшаторних задач, i не зводиться лише до засвоення знань про комбшаторы структури. Ва автори сходяться на тому, що формувати математичне ^ зокрема, комбшаторне мислення необхщно ще у ранньому шктьному вц
Мета статп. Викладання комбшаторики у вишах мае на мет продовжити формування комбшаторного мислення студента, виробити навички використання типових комбшаторних структур i нацтити курс, що вивчаеться на формування компетенцш, передбачених обраною спещальыстю. Для реалiзацií сформульованих завдань пропонуеться використання у викладанн так звано' уыфтовано''' схеми комбшаторних структур. Таке використання пропонуеться не
вперше, обговорюеться iсторiя впровадження згадано'' схеми у викладання комбшаторики. Для формування у студентiв навичок математичного моделювання i взагалi математичного мислення корисними е окремi методичн прийоми п^д час ознайомлення зi спецiальними методами комбiнаторного аналiзу, передбаченими програмою курсу. Для деяких iз них пропонуеться методика введення та використання при вивченн роздiлу «Комбшаторика».
Виклад основного матерiалу. В монографп [1] було запропоновано унiфiковану схему комбшаторних структур у виглядi таблиц^ яка пiсля деякого спрощення була застосована автором статт для викладання теми «Комбiнаторика» в курсi теорм ймовiрностей для студентiв педагогiчного унiверситету (https://elibrary.ru/item.asp?id=21117479). Згадану таблицю можна подати таким чином.
Сполуки
Без повторень З повтореннями
Впорядковаш А" - n! Р - rí А - (n - k)!' Pn - П! 1" k A"- n , n! Pn (ni> n2,■■■, nk) - . . . ni4!"• nk!
Невпорядковаш c" - n! n k!(n -k)! _r^k Cn - Cn+k-i
Уперше схожа таблиця описана у поабнику [8, стор. 17] при аналiзi ймовiрнiсноí моделi експерименту 3Í скiнченною кшьшстю результатiв випробування (п виймань Í3 урни, що мктить к кульок). Як i в [1], метою побудови таблиц була систематизащя вах елементарних комбiнаторних структур (сполук). Проте в [1, стор 30] було зауважено, що не для будь-яко'( задачi iснуючi комбiнаторнi схеми можуть забезпечити унiфiковане розв'язання. Там же вщзначалося, що створення «всеосяжно'' комбшаторно' схеми» було давньою задумкою Лейбнща, яку, як виявилося, здiйснити неможливо. Тому неможливо для вах комбшаторних задач створити узагальнен алгоритми у виглядi схем орieнтовноí основи дш. Хоча, мету звести розв'язання комбшаторно' задачi до використання наведено'' схеми або íí варiацiй було досягнуто рядом дослiдникiв шляхом набору таких задач, розв'язання яких вкладаеться у згадану уыфтовану схему. Зауважимо, що набiр згаданих задач досить широкий i цтком задовольняе вимогам шктьно' програми з математики. Аналогiчнi таблиц або íхнi графовi реалiзацií неодноразово зус^чалися у рiзних авторiв [4, Табл. 1, стор 278] iз рiзноманiтними назвами. Запропонованi в робот [2] граф-схема (Схема полной ориентировочной основы действия) та у робот [5, стор 129] «деятельностно-смысловая схема анализа задач по комбинаторике» е графовими реалiзацiями згаданоí унiфiкованоí схеми.
Таким чином, числены дослщження довели доцтьысть використання унiфiкованоí схеми та íí варiацiй у шкiльному кура математики, причому це використання не потребуе багато часу i зусиль для пщготовки: схема заповнюеться у процеа введення комбшаторних структур, i в подальшому досить просто застосовуеться для розв'язування задач. Згадан автори разом iз введенням граф-схем пропонували своí методи i прийоми формування понять «впорядкована» та «невпорядкована» множина.
Для розв'язування комбiнаторноí задачi на обчислення ктькост варiантiв вибору або виконання певноí дм за допомогою наведеноí таблицi необхiдно з'ясувати там питання (не обов'язково у вказаному порядку).
- Впорядкована чи невпорядкована множина е моделлю задачi?
- Чи допускаються повторення елементв?
- З я^ множини проводиться вибiрка (знаходження п)?
- Скiльки елементв вибираеться (знаходження к)?
Шсля того, як вщповд на всi поставлен питання знайдено, необхiдну формулу вщшукаемо в таблицi.
Задача 1. [3, задача 20, авторський переклад]. Сктьки треба видати словни^в, щоб можна було безпосередньо перекладати iз однiеí з п'яти мов - украш^ко^ англiйськоí, французькоí, нiмецькоí, китайськоí на будь-яку шшу?
Розв'язання. Будь-який словник, наприклад, ымецько-англмський (Н-А), утворено вибором двох елементв (мов) Н i А iз множини {У, А, Ф, Н, К}, звщки к = 2, а п = 5. Очевидно, що словники Н-А i А-Н - рiзнi, отже маемо впорядковану множину, що не допускае повторень, осктьки у словнику А-А чи У-У не мае потреби. За таблицею знаходимо потрiбну формулу a2 =20■
Невелика змша умови задачу а саме: кть^сть словниюв мае бути м^мальною, а переклад не обов'язково безпосередым, робить недоцтьним використання таблиц^ хоча особливих труднощiв студентам у бтьшост випадкiв не створюе. Проте i використання таблиц там, де воно можливе, може бути здмсненим по^зному, оскiльки по-рiзному можна побудувати множину-модель задачк Розглянемо такий приклад.
Задача 2. [3, задача 30, авторський переклад]. У деякм кран не було двох мешкан^в з однаковим набором зубiв. Якою найбтьшою може бути кiлькiсть мешканцiв ще краíни (найбiльше може бути 32 зуби)?
Розв'язання. Перший споаб. Можна побудувати впорядковану структуру - послщовысть довжини 32 вигляду 111001...101, де наявысть зуба вщповщае одиницi, вщсут-лсть - нулю. Очевидно, що повторення мають мкце (вибираемо к = 32 елементи iз п = 2 елементв 0 i 1), i в таблиц знаходимо необхщну формулу Ak = nk, отримуючи
вiдповiдь A¡2 = 232 ■
Другий спосiб. Використаемо невпорядковану без повторень множину вигляду {1, 3,., 32}, де наявысть числа вщповщае наявност зуба - порядок розташування номерiв не мае значення. Для побудови множини такого вигляду 33 рази вибираемо iз п = 32 елементв к = 0, 1, 2,., 32 елементи, пщраховуючи ктьккть 0-зубих, 1-зубих,..., 32-зубих. Тому кiлькiсть мешканцiв за правилом суми дорiвнюе кiлькостi вах пщмножин 32-елементноí множини {1, 2,., 32}. Маемо: C0 + С32 +... + СЦ(= 232). Остання тотожнiсть, щоправда, тепер вимагае доведення.
Таким чином, комбшаторна задача моделюеться певною множиною, яка може бути (i, як правило, е) структурою (сполукою), що входить до уыфтовано! схеми. При розв'язуваннi задачi найскладшшим е з'ясування саме цього питання - яка структура моделюе дану задачу? Вщповщь на поставлене питання часто знайти досить складно: або множина-модель може бути побудована неоднозначно (як у задачi 2) або ця множина не вщповщае жодый iз наведених у схемi сполук. Та й складнiсть комбшаторно! задачi полягае не стiльки у процес з'ясування - впорядкована чи невпорядкована множина моделюе задачу, i допускае чи не допускае ця структура повторення, а власне у побудовi само! модел^-множини. Наступний приклад показуе, що описання множини, яка моделюе задачу, з'ясування впорядкованост м та наявностi повторень елеметчв ще не гарантують успiшного розв'язання задачГ
Задача 3. [3, задача 285, авторський переклад]. Транспортна мережа мкта збудована так, що кожен маршрут мктить рiвно n зупинок, причому будь-як два маршрути мають едину спiльну зупинку i з будь-яко! зупинки на будь-яку шшу можна дiстатися без пересадки. Сктьки маршрутiв е у цiй мережi?
Для вiдповiдi на питання задачi необхiдно пiдрахувати, скiльки n-елементних пщмножин мае множина (всiх зупинок, !хня кiлькiсть k невiдома) {oi, o2, o3,..., ok} таких, що кожн два елементи множини входять до одые! з пiдмножин, i будь-як двi пiдмножини мають один i тiльки один спiльний елемент. Очевидно, що йдеться про невпорядкован множини, що не мктять повторень. Проте ктьккть таких пiдмножин пiдрахувати досить складно, i таблиця безпосередньо тут не допомагае.
Вивчення комбшаторики у вишл можна розпочати саме з уыфтовано! схеми, заповнено! «шктьними» сполуками. Увiвши далi тi сполуки, з якими студенти не ознайомлен у шктьному курсi (перестановки i комбшацп з повтореннями), корисно ознайомити студенев зi способом доведення формул для обчислення ктькосп таких сполук, що полягае в штерпретацп дано! сполуки у виглядi послiдовностi нулiв i одиниць. Заповнюючи таблицю, можна перевiрити залишковi знання комбiнаторики, умiння використовувати формули, i в разi необхщност скоригувати !х. Як правило, шктьш знання комбiнаторики швидко вiдновлюються у пам'ят^ i непорозумiнь iз властивостями сполук (впорядкованiсть, наявнiсть повторень), не виникае. Часпше з'являються труднощi у з'ясуванн питання впорядкованосп-невпорядкованостi у конкретних задачах чи практичних ситуащях.
Перевiрку залишкових знань пiсля шктьного вивчення комбiнаторики корисно поеднати iз пропедевтикою понять спецiальних дисциплiн шляхом розв'язування компетентысно орiентованих або прикладних задач залежно вщ спецiальностi студенев. При цьому навiть у задачах можна ознайомити студенев iз деякими поняттями, що вивчатимуться у спе^альних дисциплiнах, увiвши простi означення у формулювання задачк Наступна задача е пропедевтикою деяких понять курсу «Теорiя шформацп i кодування» для студенев комп'ютерних спецiальностей.
Задача 4. Кодовим словом довжини m називатимемо двмкове m-розрядне число. Вiдстанню d(o, b) Хеммiнга мiж кодовими словами називаеться кiлькiсть позицiй, якими рiзняться ц слова. Наприклад, вiдстань мiж словами o = 01101 i b = 00111 дорiвнюе 2. Сктьки можна побудувати кодових слiв, вщстань вiд яких до даного слова довжини 6 дорiвнюе 3?
Для розв'язання задачi використовуеться невпорядкована структура с" : iз n = 6 мкць вибираемо k = 3 для замши
символу 0 або 1 на протилежний, отже с^в можна побудувати c63 ■ В межах сформульовано! задачi можна також задiяти
впорядкованi структури, ставлячи запитання «Сктьки кнуе кодових с^в тiе! чи iншо! довжини?» або «Сктьки кнуе кодових слiв довжини 5, що не мктять поряд двох нулiв?». Для вiдповiдi на друге запитання вже не досить само! лише таблиц. Ще двi задачу що безпосередньо пов'язанi з комп'ютерними спещальностями.
Задача 5. Сктькома способами можна записати 10 Гб шформацп на диски, якщо у наявност е 5 DVD дисмв об'емом 4,7 Гб, 3 DVD диски об'емом 1,4 Мб i 3 CD диски обсягом 700 Мб?
Задача 6. Палшдромом (вщ грец. näXiv - назад, знов та броцо^ - бiг) називаеться рядок символiв, що читаеться однаково як злiва направо, так i справа налiво. Напр., 1230321. Сктьки кнуе одинадцятицифрових чисел-палiндромiв, що мктять лише непарнi цифри? Скiльки кнуе бiтових рядкiв-палiндромiв довжини n?
Пiдбiр прикладних та компетентнiсно орiентованих задачi досить копiтким i непростим завданням, для розв'язання якого необхщна ствпраця iз випусковими кафедрами. Проте розв'язування саме таких задач стимулюе студенев до вивчення комбшаторики. При цьому можна запропонувати пщ час розв'язування задач заповнювати i в подальшому користуватися такою таблицею.
Ктьтсть розмщень n кульок у k KOMipKax
Кульки, n\ KoMipKU, k Розр'вняються Не розр'вняються Можлив'1 обмеження
Розр'!зняються 1 An 2. An (n < k) 3. k!S(n, k) „ min {n,k} 1 Z S(n,i) i=1 2. 1 (n < k) 3. S(n, k) 1.Немае обмежень; 2. Не бльше odHiei кульки в KOMipц^ 3. Немае порожнх ком'рок
Не розр'вняються 1. Cn ck 2. d (n < k) 3. Cr" (n > k) 1 n 1 Z P(n, k) k=l 2. 1 (n < k) 3. P(n, k) (n > k)
Заповнювати i користуватися таблицею доцтьно саме у процесi розв'язування задач на практичних заняттях, а не давати и вже заповнену на лекцп. Можна додати умови у третьому пункт «немае обмежень на кшьшсть частинок у комiрцi», або «у першiй комiрцi - пг, у другiй - п2, ... , у к - й - пк частинок». Можна також розширити таблицю, додавши шшл умови, залежно в^д корисностi те! чи iншоí комбiнаторноí задачi при подальшому вивченнi дисциплiн, так чи шакше пов'язаних iз комбiнаторикою. Заповнюеться вся таблиця лише деякими комп'ютерними спещальностями, оскiльки необхiднi для цього знання про числа Спрлшга другого роду 5(п, к) та числа Белла отримують не всi спе^альносп. Числа
P(n, k), як дорiвнюють ктькосп cnoco6ÍB запису натурального числа у виглядi суми ненульових натуральних доданкiв, визначаються Í3 рекурентного стввщношення, i тому вiдповiднi мiсця в таблицу як правило, не заповнюються. Час в^д часу до згаданих чисел студентам доводиться звертатися н заняттях з програмування. Постшне використання записаних таблиць при розв'язуванн задач сприяе виробленню навичок абстрагуватися вщ конкретного змiсту задачi, вбачаючи у нш одну iз комбiнаторних структур, i навпаки - у кожнш абстракцп побачити реальну ситуацiю. Там навички е необхiдними при побудовi математичних моделей реальних явищ. Практика показуе, що бiльше можливостей для цього мае саме друга таблиця. Уыфтована схема ефективна при ознайомленн з предметом, друга таблиця - при набутт навичок застосування комбшаторних структур.
Як зазначалося вище, далеко не кожна задача розв'язуеться за допомогою унiфiкованоí схеми, i навгть останньо' таблицi. Тому виникае потреба в шших методах. Такими е метод твiрних (продуктивних) функцiй, метод рекурентних стввщношень i метод траекторш. Кожен iз методiв, як правило, входить до стандартного курсу дискретно'!' математики, i кожен метод доцтьно пов'язати iз курсом вищо' математики, який здебтьшого передуе згаданiй дисциплшк Так, iз твiрною функцiею послщовносп та íí застосуванням можна ознайомити студенпв при вивченнi рядiв. Ознайомити iз рекурентними спiввiдношеннями доцiльно в роздЫ «Диференщальы рiвняння», провiвши паралель мiж лiнiйними рекурентними спiввiдношеннями та лшшними диференцiальними рiвняннями зi сталими коеф^ентами. Часто для економiчних спе^альностей вивчення рекурентних спiввiдношень поеднують iз вивченням диференцiальних рiвнянь. Зупинимося детальнее на методi траекторiй.
Вивченню метода траекторш передуе ознайомлення з геометричною штерпрета^ею бiномних коефiцiентiв (Рис. 1). При цьому ознайомленн у будь-якому поабнику чи пiдручнику поза увагою залишаеться питання, яка саме пщмножина (комбiнацiя) вiдповiдатиме тiй чи шшлй траекторп. З'ясування поставленого питання сприяе формуванню у студентiв навичок математичного моделювання. Так, для пiдрахунку ктькосп найкоротших ламаних, що з'еднують точки (0, 0) i (k, n - k), зауважують, що для побудови ламано' необхiдно вибрати iз n вiдрiзкiв k горизонтальних (n - k вертикальних), а це можна здшснити ck (Cn~k) способами. Отже, число ламаних дорiвнюе числу комбiнацiй ck(= Cn~k) ■
n n n V n /
Якщо кожнш ламанш поставити у вiдповiднiсть послщовысть iз n нулiв i одиниць (вправо - 0, вгору - 1), а також нехай одиниця на s- му мкц означатиме, що елемент as множини {a1, a2, a3,..., an} увiйшов до íí k-елементно' комбiнацií, то ламанш 01101.10.000100, зображенш на рис. 1 вщповщатиме комбiнацiя {a2, a3, a5,..., an-3}. Замiнимо шкалу на ос Ox, як показано на рис. 2, i наявысть вертикальних ланок над елементом нехай означае входження елемента у комбша^ю (з повтореннями) сттьки разiв, яку довжину мае ланка ламано' над цим елементом. Ламанш на рис. 2 вщповщатиме комбшащя {a2, a2, a3,..., ak- 1}. Студентам пропонуеться довести взаемно однозначну вщповщысть мiж траекторiями та комбшащями з повтореннями. Оскiльки очевидна взаемно-однозначна вщповщысть траекторiй на рисунках 1 i 2, то маемо такий наслщок: C^ = Ck, або у бiльш звичному запис Ck = Ck+k l ■
Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.
Траeкторiя, що тюструе бшомы коефiцieнти, мае бути найкоротшою. Якщо вiдмовитись в^д вимоги, щоб ламана iшла найкоротшим шляхом, а «дозволити» також iти донизу (але влiво по Ох забороняеться), не виходячи за межi прямокутника (розмiру пх(,-1)), то матимемо геометричну тюстращю для вибiрок з повтореннями. Дшсно,кожнш ламанiй, що мае вигляд стовпчиковоУ дiаграми (рис. 3), поставимо у вщповщысть п-значне число в системi числення з основою q так, що висота 5-го стовпчика дорiвнюе цифр^ яка стоУть на 5-му мкц в запису числа. Ламанш на рис.3 вщповщае число (120...(,-1)0...01),. Кiлькiсть таких чисел (кожне число е впорядкованою множиною, утвореною вибором п цифр iз ,, з повтореннями), а отже i ламаних, що з'еднують точку (0, 0) iз точкою (п, , - 1), дорiвнюе А^ = qn. Остання
геометрична iнтерпретацiя надае можливiсть розв'язати задачу 2, поставивши у вщповщысть кожному мешканцю краУни ламану, що з'еднуе точки (0, 0) i (32, 1). На рисунку зображено ламаы, що вщповщають наборам зубiв 0, 32 i 16 (через один).
1 1 i 1 . 11
1 1 1
h П-Г ги
1 2
31 32
12 3132
Тут , = 2, п = 32, отже ктьккть траекторш i кiлькiсть мешкан^в краУни складае Д,32 = 232 ■
Як показуе досвiд, аналiз геометричноУ iнтерпретацií комбiнацiй та вибiрок сприяе фунтовному засвоенню цього поняття та формуванню навичок математичного моделювання. Студент, що оперуе з моделями, позначеннями чи символами реальних об'ектв, розвивае абстрактне мислення, необхщне для математичного моделювання. Проте це не едина мета вивчення комбшаторики.
На тепершнш час педагоги i психологи не дшшли до единоУ думки щодо категорп «математичне мислення». 1снуе багато дослiджень щодо його формування у школярiв, майбутнiх спецiалiстiв тощо. Кожен автор дае свое означення математичного мислення i пропонуе вщповщну методику формування. Проте iншi автори заперечують навiть iснування такого поняття, як математичне мислення. Так, Л. М. Фрщман, З. I. Слепкань i шшл науковцi вважають штучним термiн «математичне мислення». Цiкаво вщзначити, що вiдомий математик i фiзик-теоретик Герман Вейль означив математичний споаб мислення (а не суто математичне мислення) так [4, стор. 6, цитуеться мовою оригшалу видання]:
«Под математическим способом мышления я понимаю... особую форму рассуждений, посредством которых математика проникает в науки о внешнем мире...и... ту форму рассуждений, к которой прибегает в своей собственной области математик, будучи предоставленным самому себе.», тобто визнавав кнування математичного способу мислення, i там же стверджував [4, стор. 6], що «мышление...не сводится к набору механически применяемых правил и не может быть разделено ... на такие отсеки, как мышление историческое, философское, математическое и другое. Мы, математики, не ку-клус-клан с неким тайным ритуалом мышления.». Тобто стверджуе неможлив^ь його видтити, вирiзнити i3 мислення взагалк Саме таку думку сформульовано i З. I. Слепкань [8, стор. 18].
Вщповкти однозначно на питання як стввщносяться комбшаторне та математичне мислення, або чи можна геометричн мiркування, що застосовуються до розв'язування комбшаторних задач вважати проявом суто комбшаторного мислення (тобто видтити у названих мiркуваннях «чисту комбшаторысть») досить складно. На думку автора, усвщомлення суб'ектом варiативностi ситуацп, навпъ без умшня (до певного часу) навести правильн обчислення можна вважати проявом комбшаторного мислення. I комбшаторне, i математичне мислення не зводяться лише до умшня розв'язувати суто математичн або суто комбшаторы задачi (особливо «типовЬ») i до засвоення вщповщних знань.
Усвiдомлення «комбшаторносп» ситуацп та перехiд вiд реального об'екта до його моделi е проявом того, що багато дослщникв називають «комбiнаторним мисленням». Для такого усвщомлення i переходу знання суто математичы, i зокрема, знання комбшаторики школи не е необхiдною умовою. Проте математика, i зокрема, комбшаторика е одним iз найбiльш ефективних шструментв для формування мислення взагалГ У психологГ'' найбiльше емпiричних дослщжень мислення проводилося саме на матерiалах дисциплiн фiзико-математичного циклу. Говорячи про формування комбшаторного мислення, розумтимемо формування здатносп студента вбачати «комбiнаторнiсть» (варiативнiсть) у реальнiй ситуацп i вмшня змоделювати останню за допомогою вщповщних комбiнаторних структур, а також навпаки - вбачати в конкретнш комбшаторне структурi деяку реальну ситуацiю. Саме з щею метою i запропоновано використання друго' таблицi.
Висновки. Вивчення комбшаторики у закладах вищо' освти мае бути нацiленим на розвиток комбшаторного мислення у майбутых фахiвцiв, на формування компетенцiй, передбачених вимогами вщповщних освпшьо-квалiфiкацiйних характеристик. Викладання цього роздiлу математики у вишм мае скоригувати знання i умшня, отриман в шкiльному курсi, i нацiлити майбутнього спецiалiста на опанування спе^альними дисциплiнами та застосування у практичнш дiяльностi отриманих навичок використання комбшаторних структур.
Список використаних джерел
1. Баранов В. И. Стечкин Б. С. Экстремальные комбинаторные задачи и их приложения. М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. 160 с.
2. Бурменская Г. В., Евдокимова Л. В. Формирование комбинаторного мышления у младших школьников и подростков. Вопросы психологии. 2007. № 2. С. 30-44.
3. Виленкин Н.Я. Комбинаторика. М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969. 328 с.
4. Вейль Г. Математическое мышление. М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. 400 с.
5. Игнатушина И. В. Методический прием обучения школьников решению комбинаторных задач. Вестник ОГПУ. 2016. № 4(20). С. 276-283.
6. Лебедев В. В. Эффективное обучение комбинаторике и теории вероятностей. Школьные технологии. М., 2012. № 2. С. 126-134.
7. Lockwood E. A model of students' combinatorial thinking. The Journal of Mathematical Behavior. 2013, 32. P. 251-265.
8. Слепкань З. И. Психолого-педагогические основы обучения математике. К : Рад. школа. 1983. 192 с.
9. Ширяев А.Н. Вероятность. М. : Наука, 1980. 581 с.
References
1. Baranov V. I., Stechkin B. S. Extremal combinatorial problems and their applications. M. : Nauka. Gl. red. fiz.-mat. lit., 1989. 160 s. (in Russian)
2. Burmenskaya G. V., Yevdokimova L. V. The formation of combinatorial thinking in younger schoolchildren and adolescents // Voprosy Psikhologii. 2007. № 2. P. 30-44. (in Russian)
3. Vilenkin N. Ya. Combinatorics. M. : Nauka. Gl. red. fiz.-mat. Lit., 1969. 328 s. (in Russian)
4. Weyl H. Mathematical thinking. M. : Nauka. Gl. red. fiz.-mat. lit., 1989. 400 s. (in Russian)
5. Ignatushina I. V. Methodical way of teaching students the solution of combinatorial problems // Vestnik OGPU. 2016. № 4(20). S. 276-283. (in Russian)
6. Lebedev V. V. Effective training of combinatorics and probability theory // Shkol'nye tekhnologii. M., 2012. № 2. S. 126-134. (in Russian)
7. Lockwood E. A model of students' combinatorial thinking // The Journal of Mathematical Behavior. 2013, 32. P. 251-265.
8. Slepkan' Z. I. Psycho-pedagogical bases of teaching mathematics: study guide. K. : Rad. Shkola, 1983. 192 s. (in Russian)
9. Shiryaev A. N. Probability. M. : Nauka. Gl. red. fiz.-mat. lit., 1980. 206 s. (in Russian)
ABOUT TEACHING COMBINATORICS IN THE INSTITUTES OF HIGHER EDUCATION
Mykola Rashevs'kyi
Kryvyi Rih National University, Ukraine Abstract. Many studies are devoted to the question of teaching of combinatorics and the formation of combinatorial thinking. The questions of the methodic of introducing the basic concepts of combinatorics in the school course of mathematics were studied. The investigations were concerned to the formation of combinatorial concepts of junior pupils and adolescents. Combinatorics is the basis for the study of the probability theory, discrete mathematics and other mathematical courses.
Combinatorial thinking is necessary for the engineer, programmer, mathematics teacher and many other specialists of different directions. The task for the institution of higher education faces is a continuing the formation of combinatorial thinking, h aving conduction a diagnosis of its formation at the beginning of the study of the mentioned section.
The article discusses some methodical techniques used in the study of the section "Combinatorics" in educational institutions of different directions. Combinatorial sections of mathematics form the basis of both the stochastic line of the school course of mathematics and some mathematical courses of higher education. When teaching combinatorics it is convenient to use a unified scheme of combinatorial structures. Issues of the history of origin and methodics of using the unified scheme in the school course and in higher education institutions are discussed. At the beginning of the study of combinatorics it is useful to familiarize students with the mentioned above scheme, and to form the ability to use it to solve the simplest tasks. It is also advisable to develop a set of competence-oriented or applied tasks, taking into account the future specialty of students. Further study of combinatorics relate to special methods: the method of generating functions, the method of recurrence relations and the method of trajectories. These methods are studied in the course of discrete mathematics. The article discusses the possibilities of geometric illustration of binomial coefficients for the formation of mathematical modeling skills. Diagnosis of the level of combinatorial thinking and possible its correction may be a problem for another investigation.
Key words: teaching mathematics, combinatorics, unified combinatorial scheme, combinatorial thinking, discrete mathematics, trajectories method in combinatorics.
