CC BY
74
Scientific journal
PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал
Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видаеться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Мтельман 1.М. Навчання розв'язування ол'тп'шдних задач, пов'язаних i3 цлою частиною дiйсного числа, за допомогою властивостей точок розриву кусково-сталих функ^й. Ф')зико-математична осв'та. 2019. Випуск 2(20). С. 107-113.
Mitelman I. On Teaching Solving Olympiad-Type Problems Related To Integer Part Of Real Number Using The Properties Of Discontinuity Points Of Step Functions. Physical and Mathematical Education. 2019. Issue 2(20). Р. 107-113.
DOI 10.31110/2413-1571-2019-020-2-017 УДК 372.851:[378.046.4+378.016]:517.1
1.М. Мггельман
Комунальний заклад вищо'iосв'ти «Одеська академ'т неперервно)освти
Одеськоi обласноi ради», Укра)на i. m. mitelman @gmail. com ORCID: 0000-0002-9817-6690
НАВЧАННЯ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ОЛ1МП1АДНИХ ЗАДАЧ, ПОВ'ЯЗАНИХ 13 Ц1ЛОЮ ЧАСТИНОЮ Д1ЙСНОГО ЧИСЛА, ЗА ДОПОМОГОЮ ВЛАСТИВОСТЕЙ ТОЧОК РОЗРИВУ КУСКОВО-СТАЛИХ ФУНКЦ1Й
АНОТАЦЯ
Практика викладання математики та його науково-методичного супроводу переконливо св'1дчить про те, що задач'! про ц)лу (дробову) частину дйсного числа тради^йно акумулюють значний пласт навичок учнв, вимагають високо) аналтично) культури, технчно)' винах'дливост'!. Така тематика е актуальною складовою реалiзацi')' надважливо) функцюнально)' л'шК пдготовки школяра й студента, пдвищення квалiфiкацu вчителя в питаннях застосування р'зномаштних властивостей функ^й, вимагае навичок алгебра)чних, комбiнаторних, теоретико-числових м'ркувань.
Формулювання проблеми. Виникае проблема пошуку та/або модерн'вацП апарату д'евих методичних та математичних прийомв навчання розв'язування задач пдвищеного рiвня складност!, пов'язаних ¡з цлою та дробовою частиною числа, серед яких завжди видляються задач'! математичних ол'тп'шд як iндикатор якостi сформовано)' фахово) компетентности
Матер/'али /методи. У статт': розглядаеться з теоретично)'та практично)' точки зору питання навчання розв'язування певних типiв задач, пов'язаних 'з цлою частиною числа, шляхом створення прикладу системи задач, в яких ефективно застосовуються м'ркування з генезисом у «базовому» курс'! математичного аналiзу для студентв. Використовуеться потужний ': принциповий для педагог'!чно'! д'яльност': в галуз'1 математики «контрастний» дидактичний метод, який полягае, зокрема, в тому, що для деяких складних ол'ттадних задач наводяться ! розв'язання, передбачен )'хшми авторами,! пропонуються альтернативы! — у контекст': тематики статтi.
Результати. Розроблено 'дею використання елементарно)'характеризац 'й точок розриву кусково-сталих функ^й, що природно виникають у зв'язку з розглядом виразiв з цлою частиною, та необхiднi для реалiзацi')' тако) 'де)' методичне середовище та супровiд.
Висновки. Матерiали статт': набувають особливих рис з точки зору обов'язково)'пдготовки на математичних спец'шльностях педагогчних унiверситетiв до майбутньо)' роботи з обдарованими учнями в процеа опанування роздiлiв вищо)' математично) освти, неперервно)' самоосвти вчителв, скеровують на подальшу пошукову д 'яльн'сть школяр'в, вчителв, викладачв та студентв закладв вищо)'освти, автор 'в задач математичних ол'ттад тощо.
КЛЮЧОВ1 СЛОВА: методика навчання математики, олiмпiаднi задач! з математики, цла частина числа, точки розриву функ^й, кусково-сталi функцй, п'юлядипломна педагог'чна освта, загальна середня освта.
ВСТУП
Постановка проблеми. Важливою складовою тдвищення фахово! компетентности вчт^в математики, тдготовки студенев математичних специальностей педагопчних уыверсите™, навчання учыв на рiвнi поглибленого (профтьного) вивчення математики (у тому чист й тдготовка обдарованих учыв до математичних олiмпiад рiзного рiвня) е невпинний пошук нових форм подання й аналiзу задачного матерiалу, який е найвпливовшим вимiрником якосп математично! освти на вах и етапах. При цьому, як вщомо, неможливо обмежуватись задачним матерiалом суто «вщтворювального» характеру, тобто задачний матерiал на цих щаблях не можна вщокремлювати вщ теоретичного опрацювання апарату математично! науки, формування вщповщного наукового свтогляду та стилю мислення, стшкого усвщомленого Ытересу здiбних учыв до математики, розвитку дослщницьких навичок, творчих здiбностей i схильност до креативно! розумово! дiяльностi в умовах навчального середовища, орiентованого на вибiр у майбутньому професп, пов'язано! з математикою. Одним зi способiв мотивацп, як доцтьно використовувати задля досягнення тако! мети, е
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
створення проблемно!' ситуацп, у тому чи^ й досить складно!', — тако'', що вимагае серйозних математичних знань та значних зусиль для ÏÏ виршення, i пщ час опрацювання проблеми учнi стикаються з недостатнiстю наявних математичних знань та необхщыстю оволодiння новою предметною Ыформа^ею (Навчальнi програми з математики, затверджен наказами МОН Укра'ни вщ 14.07.2016 №826, вiд 07.06.2017 №804, вщ 23.10.2017 №1407). Однiею з провщних змiстових лiнiй е функцюнальна, тому в процесi навчання математики придтяеться особлива увага дослiдженням властивостей функцш у тiй чи ЫшМй формi, розв'язуванню рiвнянь та нерiвностей як окремим випадкам задач на дослщження функцiй, встановленню характеру неперервносл, точок розриву та iн. (Навчальн програми з математики, затвердженi наказами МОН Укра'ни вiд 14.07.2016 №826, вiд 07.06.2017 №804, вiд 23.10.2017 №1407).
Вщтак, у межах вщповщно'' дидактично'' парадигми завжди виникае складна проблема створення для ключових тематичних роздЫв задачних комплексiв (систем задач), ям дозволяють послiдовно реалiзовувати на рiвнi поглибленого навчання школярiв, пщготовки студентiв математичних спецiальностей, пiдвищення квалiфiкацiÏ вчителiв ефективний нерозривний зв'язок мiж теоретичним та практичним (задачним) матерiалом. Один з можливих пiдходiв щодо вирiшення тако'' проблеми на прикладi популярно' тематично'' лiнiÏ, пов'язано'' iз цiлою (дробовою) частиною числа, з упевненим володЫням базовими поняттями математичного аналiзу, з концентрацiею аналiтичних навичок студенев, педагогiчних працiвникiв, розгортаеться у статп в розвитку задачного матерiалу математичних олiмпiад.
Аналiз актуальних дослщжень. Значний методичний потенцiал теоретичного й задачного матерiалу, пов'язаного з функщями цiлоÏ та дробово'' частини числа, досить давно привертае спйку увагу вщомих учених-методистiв та педагопв-практиюв, авторiв задач математичних змагань рiзного рiвня. У роботах (Гурский, 1968; Апостолова та ш., 1996; Апостолова&Ясшський, 2006; Шунда, 2001) докладно розроблено методи побудови графЫв функцiй, аналтичы вирази яких мiстять цiлу й дробову частину числа. Книжки (Апостолова та Ы., 1996; Апостолова&Яанський, 2006; Шунда, 2001), а також статп (Grati&Costa§, 1995a, 1995b) мктять чимало Грунтовних матерiалiв, присвячених класичним прийомам розв'язування рiвнянь та нерiвностей з цтою та дробовою частиною (застосовуеться певний арсенал графiчних прийомiв, прийомiв переходу до систем та сукупностей рiвнянь та/або нерiвностей, метод необхщних умов та iн.). Деякi нестандарты комбшаторы, теоретико-числовi аспекти цiеÏ тематики розглядаються автором дано'' статтi в робот (Мiтельман, 2000). Матерiали сучасних олiмпiад активно, як було вказано вище, презентують задачi з цтою (дробовою) частиною числа (Лейфура та Ы., 2003, 2008; Мтельман, 2010; Сайт математичних олiмпiад в Укра'ы). Звернемо увагу на посiбник (Лейфура та Ы., 1999), iншi роботи цих авторiв, в яких на систематичному рiвнi було реалiзовано принципову стратепю конвертацп iдей деяких роздЫв курсiв вищо'' математично'' освiти для застосування пщ час пiдготовки обдарованих учыв до математичних олiмпiад вищого рiвня не тiльки в теоретичному розрiзi, але й для успшного розв'язування конкретних iдей. Автор статп на прикладах деяких титв олiмпiадних задач комбiнаторно-логiчного характеру в робот (Мiтельман, 2012) розгорнув обговорення проблем формування продуктивних згорнутих дидактичних структур, завдяки яким значною мiрою вщбуваеться навчання розв'язування складних задач (Крутецкий, 1968, c. 336-337; Столяр, 1986, c. 112, 115, 158, 187-196; Шеварёв, 1946, 1959). З ще'' точки зору змкт запропоновано'' тут статп можна вважати продовженням розробки впровадження даного кола методичних та практичних прийомiв уже на Ышому математичному матерiалi.
Мета статп. Свтэва практика пщготовки учнiв до математичних змагань рiзного рiвня — вщ перших етапiв олiмпiад до Мiжнародних математичних олiмпiад — доводить, що основним оперативним шструментом навчання евристичних схем доведення в олiмпiадних задачах, пошуку напрямних моделей шляхом застосування продуктивних узагальнених згорнутих асощащй та згорнутих структур е формування в свщомосп обдарованих учыв таких асощацм та структур у виглядi систем (масивiв) базових задач. Кожна задача сформованого масиву базових задач для обраного роздту олiмпiадних задач мае ретельно й докладно розглядатись з точки зору усвщомленого вибору об'ектв моделювання (визначення того, яка властивкть конструкцп «вщповщае» за твердження задачО, зручно'' «мови» описання моделi, а по™ — з точки зору вщповщно'' евристично'' схеми доведення (Слепкань, 2000, с. 70-82) (або ж — якщо це необхщно — з точки зору Ытегрованого застосування дектькох схем). Усебiчне обговорення цих складових розв'язання задачi, порiвняння з Ышими задачами на дану тему, спроби узагальнити задачу та/або створити подiбну (щоб скласти уявлення про межi застосування того способу мiркувань, за допомогою котрого щойно розв'язали задачу) — усе це е невщ'емними складовими методично'' технiки створення продуктивних згорнутих асощацм та згорнутих структур мислення, майбутньо'' активiзацiÏ та актуалiзацiÏ набутих учнями компетенцiй у виглядi закрiпленого освiтнього результату — устшного виступу на математичних змаганнях рiзних типiв.
Задачi (у першу чергу — рiвняння та нерiвностi) з цiлою частиною числа дуже часто виявляються пов'язаними з поведЫкою кусково-сталих функцй якi, у свою чергу, е одним з найбтьш простих та зрозумтих для початкового ознайомлення титв розривних функцш. Ц задачi акумулюють як важливi для математично'' освiти навички з основ математичного аналiзу, алгебри, так i суто олiмпiаднi компоненти, притаманнi робот з математично обдарованою молоддю. Для виршення поставлено'' вище проблеми стаття ставить за мету створення на концептуальнш основi названих дослiджень конкретного обГрунтованого прикладу евристично орiентованоÏ системи навчальних задач i вправ, якими нас^зно поеднуеться теоретична пiдготовка з математичного аналiзу вчителiв, школярiв, студенев з практикою розв'язування актуального класу олiмпiадних задач, пов'язаних iз цтою частиною числа, точками розриву вщповщних функцш, пошуком дидактичних механiзмiв навчання цього учыв та студентiв.
МЕТОДИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ
Дослiдження базуеться на методах системного науково-методолопчного аналiзу науково'', навчально-методично'' та психолого-педагогiчноÏ лiтератури, задачних матерiалiв математичних змагань для обдарованих учыв, синтезi та узагальненнi теоретичних положень та практичних виснов^в i рекомендацй якi мiстяться в навчально-методичних та наукових джерелах, спостереженн та аналiзi навчального процесу з пiдготовки учыв та студентiв, роботи з учителями математики в системi пiслядипломноÏ педагопчно'' освiти, узагальненнi власного педагогiчного досвщу, досвiду iнших фахiвцiв з питань науково-методичного забезпечення математичних олiмпiад. Деяк математичнi положення статтi
потребують застосування методiв такого роздту математики, як математичний аналiз. Матерiали статтi апробованi автором пiд час пщготовки учнiв до математичних змагань, на лекциях та практичних заняттях з пiдвищення квалiфiкацií вчителiв, а також — у процес складання окремих задач та комплектiв завдань для математичних олiмпiад.
РЕЗУЛЬТАТИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ
Стрибок функци / у точцi розриву I роду (внутрiшнiй точцi областi визначення функци / ) визначаеться так: (/) = |Ях0 (/) - (л\, де через (/) i (/) позначаються скiнченнi границ функци / у точцi х0 —
правостороння та лiвостороння вщповщно. Для будь-яко'' неспадно'' чи незростаючо' на промiжку (а;Р), -<х> < а < р < +<х> , функци / в кожшй точцi х0 е(а;Р) там скЫчены границi iснують [6]. Вщтак, монотонна (неспадна чи незростаюча) на промiжку (а;Р), -да<а<р<+да, функщя може мати точки розриву ттьки I роду. Для неспадноТ функцГ'' /х0(/)= Ях0(/)-ЬХо(/). 1нколи зручно iдентифiкувати внутрiшню точку Хо областi визначення функцГ' / як точку неперервност умовою ] (/) = 0 . Неважко отримати, що для суми дектькох неспадних функцiй / , /2 , ... , /т , кожна з яких у точц х0 мае скiнченнi правосторонню та лiвосторонню границю, виконуеться рiвнiсть ]хо(Л + ■■■+/т) = ]хо(Л)+■■■ + ]хо(/т) . Звщси, зокрема, випливае, що множина точок розриву функцГ'' /1 +...+/т е об'еднанням множин точок розриву неспадних функцм / , /2 , ... , /т : оскiльки ] (/)>0, ... , ] (/т)>0, то ]х0 (/1 + ■■■+/т)> 0 тодi й ттьки тод^ коли iснуе хоча б одне таке i, 1 < i < т, для якого ] (/)> 0 . Вщтак,
запропонований метод зводиться до знаходження вах точок розриву, обчислення та/або порiвняння визначальних значень кусково-сталих функцм у точках розриву й вщповщних стрибкiв цих функцiй. У багатьох з таких задач слщ визначити таку з точок розриву, в якш досягаеться потрiбна рiвнiсть, тсля чого скористатись характером монотонностi розглядуваних функцй На такiй математичнiй ще'', яка може бути розглянута на мотивацшному етапi (задачi 1-3) формування евристичних умшь з нашо'' тематики в класах з поглибленим вивченням математики, на практичних заняттях зi студентами математичних спещальностей, з учителями математики, будуеться наступна «компактна» навчальна система задач рiзнорiвневоí складност, якою динамiчно охоплюеться досить широкий спектр завдань математичних олiмпiад (див. також (Мггельман, 2019)).
Задача 1. Побудуйте графт функцГ' /(х) = [х] + [2х], х еЯ .
Розв'язання. Цей графт можна побудувати в добре вщомий учителям, студентам та учням, як вивчають математику поглиблено, стандартний споаб — «додаванням» графiкiв функцiй д(х) = [х], й(х) = [2х].
Продемонструемо альтернативний пщхщ, ураховуючи, що функцiя / е кусково-
сталою й неспадною. Множина вах '"' точок розриву мае вигляд к: к е Ту, i всi вони е
точками розриву I роду, причому в кожнiй з них (як i в рештi розглядуваних тут задач) ми маемо неперервшсть справа.
Нехай х0 = п — цiле число. ^ (/) = ]п(д+й) = (д) +(й) = 1 + 1 = 2 . Якщо
2/ +1
ж х0 =
, / е г , то ]хп (/) = ]хп (д+й) = ]хп (д)+]х0 (й) = 0+1 = 1. Ураховуючи, що
2 ■ ■ 1 х0 /(0) = 0 , легко побудувати графт функцГ' / (рис. 1).
J
■1 0 1 2 3 X
и ) = •"Н г? V]
Рис. 1
Задача 2. Розв'яжггь рiвняння: а) [х] + [2х] = 5 ; б) [х] + [2х] = 6 .
Розв'язання. Аналопчы рiвняння традицмно розв'язуються iз застосуванням прийомiв «оцЫювання» (Апостолова та ш., 1996; Апостолова&Яанський, 2006; Шунда, 2001; Grati&Costa§, 1995a). Цi рiвняння неважко 0 доцтьно з методично'' точки зору) розв'язати, використовуючи графiк функцГ' /(х) = [х] + [2х] . Але ж у пункт а) вщповщь знаходиться — з
урахуванням неспадання функцГ' / — з того, що для вах х е
3;21 /(х) = /( 3) = 4 < 5, а /(2) = 6 > 5 . Вщповщь у пункт
б) вщразу випливае з того, що найближчою з правого боку до точки розриву х = 2 е точка розриву х = 21. В'дпов'дь:
2
а) 0 ; б) х е
2;2-
Задача 3. Розв'яжггь рiвняння [х]+[2х] + [3х] = 3 .
Розв'язання. Множиною точок розриву кусково-стало'' неспадно' функцГ' /(х) = [х] + [2х] + [3х] е об'еднання
множин ■!— к: к е г
I 2
—(3т +1): те ТУ. Знаходимо точку розриву х = 2 , в яюй досягаеться рiвнiсть, i найближчу до
не'' з правого боку точку розриву х = 1. Вiдповiдь: х е
2".
Зауважимо, що i для u,ieï задачi слщ розглянути розв'язання, яке фунтуеться на побудовi графта функци f .
Задача 4. Доведпъ, що для Bcix X G R [ x ] +
1
x + -2
= [2x ].
Розв'язання. Множина j — k : k e Z j е множиною точок розриву i функци f (x) = [2x], i функци g(x) = [x] +
x + -
. Обидвi ui функци неспады та кусково-сталi, причому Bei точки розриву вiдносяться до I роду, у кожнш з них маемо неперервысть справа. Якщо x = m , meZ, то f (x ) = 2m i g (x ) = m +
" 1" = 2m + 1"
m + m + —
2 2
= 2m . Для натвцтого x = m + 1 ,
2
meZ, f (x) = 2m +1, g (x) =
1
m +— 2
+ [m+1] = 2m +1.
Задача 5. о) Доведпъ, що для вах x eR [x] +
' 1" " 2"
x + - + x + —
_ 3_ 3_
= [3x ] (розв'язуеться аналопчно до задачi 4).
б) Знайдпъ усi такi p e R , для яких рiвнiсть [x] + [x + p] + [x + 2p] = [3x] виконуеться для будь-якого x eR (Фестиваль юних математик та фiзикiв Рiшельевського лiцею, м. Одеса, 1997 р.).
Розв'язання. 1з пункту о) випливае, що p = 1 задовольняе умову задачГ Неважко встановити, що жодне цте p
3
потрiбноï властивостi не мае. Дал^ для будь-якого p i Z , як вiдомо, [-p] + [p] = -1, i тому [- 3p] = -1 , тобто о < p <1.
Утiм, якщо pe[0;-|, то для x = 1 рiвнiсть з умови задачi не справджуеться. Bidnoeidb. p = 1.
I 3 J 3 F 3
Задача 6. Нехай neN, n>2 . Розв'яжiть рiвняння [x]+[2x]+... + [nx] = 1.
Розв'язання. Для функци f (x) = [x] + [2x]+... + [nx] точками розриву е ва точки вигляду x = m, meZ, k eN ,
k
1 <k <n (i тiльки вони). Помiтимо, що f f—1 = 1. Найближчою справа до точки розриву x =1 е саме точка розриву
I n J n
x =_1__Насправд^ для m = 1 i k <n виконуеться нерiвнiсть — > 1 , а для m>2 маемо: (m- 1)(n-1)> 1, mn-m>k
n -1 к n -1
n n -1J
Задача 7 (Сороавська олiмпiада, 1995 р., Украша). Розв'яжiть рiвняння [x] + [2x] +... + [1995x] = 1995 . Розв'язання (див. дещо шши мiркування в (Лейфура та Ы., 2003, с. 319)). Точками розриву функци f (x) = [x] + [2x]+... + [1995x] е всi точки вигляду x =m, meZ, k eN , 1 <k <1995 (i ттьки вони). Знайдемо, що
m > 1 . Bidnoeidb. x e
k n -1
fI-1 = 1995. Неважко довести, що найближчою справа до точки розриву x =_2_ е точка розриву x = 1
I13 31J 1331 665
(Мiтельман, 2019). Bidnoeidb. x e
1331 665
Задача 8 (Сороавська олiмпiада, 1995 р., Украша). Розв'яжпъ рiвняння [ x ] +
3
—x 2
-[2x] = 1995 .
1
Указ1вка (див. шши мiркування в (Лейфура та Ы., 2003, с. 316)). Знаходимо точку розриву x = 44 31 функцп
2
f ( x ) = [ x ] +
-[2x], в якш досягаеться рiвнiсть, i найближчу до не!' з правого боку точку розриву x = 444 . Bidnoeidb.
x e
443^444 |.
Задача 9 (Сороавська олiмпiада, 1998 р., Украша). Розв'яжпъ рiвняння [19x] + 9 8[x] = 1998 . Указ1вка (див. iнший спосiб розв'язування цiеï задачi в (Лейфура та iн., 2003, с. 384)). Знаходимо точку розриву • = 17— функцй' f (x) = [19x] + 9 8[x], в якш досягаеться рiвнiсть, i найближчу до не' з правого боку точку розриву
= 1710 . Bidnoeidb. x e
19
1 7 —;1 7 — |.
19 19,
Задача 10 (Канадська олiмпiада, 1981 р.). Розв'яжiть рiвняння [x] + [2x] + [4x] + [8x] + [16x] + [3 2x] = 12 345 .
Розв'язання (у книж^ (Конягин и др., 1987, с. 163) подаеться шший — значно бiльш «штучний» та складний —
спосiб розв'язування). Точками розриву вщповщно''' кусково-стало!' неспадно!' функцй' будуть усi точки вигляду x = m ,
32
3
meZ (i тiльки вони). Biзьмемо двi cyciднi точки розриву x = ios31 та x7 = 196 . Biдcyтнicть коренiв у даного рiвняння
1 32 2
випливаe з того, що /[х1) = 12342< 1234S</(х2) = 12348. Вдповдь: 0 .
ОБГОВОРЕННЯ
Запропонована система задач мае важливi для формування згорнутих асощацш ознаки гнучкост'1, pi3HopieHeeoï диферен^ацй', алгоритм'чност'! та структурноÏ вЫзнаваност'!, реалiзуе етапи «занурення» й «треншгу» (якi передбачають актуалiзаuiю евристичних ситуацш, формулювання евристичного прийому, оволодiння його змктом, вiдпраuiювання операuiйних навичок, розв'язування вщповщних задач з використанням рекомендованих пiдходiв, евристичних пiдказок), надае матерiали для контрольно-оuiнювального етапу формування евристичних умшь (зокрема, дозволяе пропонувати аналопчы задачi п^д час математичних олiмпiад рiзного рiвня, самоспйно складати hobï задачi такого ж типу тощо). Звертаемо особливу увагу на те, що для деяких задач надаються посилання для ознайомлення з суттево шшими технiчними пiдходами до розв'язування, осктьки компаративний аналiз способiв розв'язування задач олiмпiадного характеру мае особливий дидактичний потенщал для розвитку математичних компетентностей уах учасникiв навчального процесу, помiтно пiдсилюе зазначенi вище етапи навчання та закртлення евристичних прийомiв у математиui.
ВИСНОВКИ ТА ПЕРСПЕКТИВИ ПОДАЛЬШОГО ДОСЛ1ДЖЕННЯ
В умовах постшного оновлення змiсту сучасних математичних змагань розвиток щей формування продуктивних згорнутих дидактичних структур для навчання розв'язування олiмпiадних задач рiзного рiвня складност вимагае постiйного вдосконалення науково-методично''' дiяльностi щодо створення та дидактичного супроводу спещальних ефективних «ланuюжкiв» тренувальних задач i вправ, якими реалiзуеться системне сприйняття математичного змiсту задач (у тому чи^ й логiки авторiв нових задач) у конгломератi математично''' освiти «студент — учитель — учень». Стаття дае приклад тако''' системи задач (з урахуванням фактора мiнiмiзаuiï витрат навчального часу без втрати методично' та науково''' якосп) у поеднаннi з теоретичним матерiалом, яка може не тiльки безпосередньо використовуватись у педагопчнш практиui, але параметрiв котро''' можуть дотримуватись i вчителi для пошуку та опрацювання iнших питань, i вченi-методисти, i викладачi закладiв вищо''' освiти (зокрема, для формування тематики курсових та дипломних робп- для майбутых учт^в). Для обдарованих учнiв вивчення зв'язюв методiв розв'язування олiмпiадних задач з бтьш широким колом математичних питань, виявлення (самостшно або пiд керiвництвом учителя) спеuiалiзаuiï й трансформацп фактв «нешкiльноï» математики в задачному матерiалi сприяе формуванню стiйкого мотивованого тзнавального iнтересу i е не ттьки живильним середовищем для пiдготовки до олiмпiад, але й перспективним напрямом дослщницько'' роботи в Малiй академп наук.
Список використаних джерел
1. Апостолова Г., Панкратова I., Фшкельштейн Л. Цла та дробова частина числа. Ки''в: Факт, 1996. 97 с.
2. Апостолова Г.В., Ясшський В.В. Антье i мантиса числа. Кж'в: Факт, 2006. 128 с.
3. Гурский И.П. Функции и построение графиков. Москва: Просвещение, 1968. 215 с.
4. Зарубежные математические олимпиады/ Конягин С.В. и др.; Москва: Наука, 1987. 416 с.
5. Кукуш А.Г. Монотонные последовательности и функции. Ки'в: Вища школа, 1989. 104 с.
6. Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников. Москва: Просвещение, 1968. 432 с.
7. Лейфура В.М., Мггельман I.M., Радченко В.М., Ясшський В.А. Математичн олiмпiади школяр'в Украни: 1991-2000. Ки'в: Технта, 2003. 541 с.
8. Лейфура В. М., Мпельман I. М., Радченко В. М., Ясшський В. А. Математичн олiмпiади школяр'!в Украни: 2001-2006. Львiв: Каменяр, 2008. 348 с.
9. Лейфура В. М., Мпельман I. М., Радченко В. М., Ясшський В. А. Задач'1 м'жнародних математичних ол/'мп/'ад та методи ¡хрозв'язування. Львiв: бвросвп-, 1999. 128 с.
10. Мпельман I. М. Вибранiзадач'1 в1'дкритихматематичних ол/'мп/'ад та фестивал'в Р'шельевського л'щею. Одеса: ТЕС, 2010. 245 с.
11. Мпельман Ш. Методичн та практичн аспекти розв'язування деяких олiмпiадних задач про цту частину числа. Наша школа. 2000. №№2-3. С. 150-155.
12. Мпельман Ш. Проблеми формування продуктивних згорнутих дидактичних структур та розв'язування олiмпiадних задач про покриття клп^частих областей конгруентними полiмiно. Наша школа. 2012. №6. С. 61-72.
13. Мпельман Ш. Точки розриву кусково-сталих функцш та деяк прийоми розв'язування олiмпiадних задач, пов'язаних iз цтою частиною числа. Науковi тези IV Всеукра'нсько'' науково-практично' конференцп «Розвиток сучасно'' природничо-математично' освiти: реалп, проблеми якостi, шновацп» (Запорiжжя, 1-5 квiтня 2019 р.). Електронний збiрник наукових праць Запор'!зького обласного iнституту тслядипломно)' педагог'!чно! осв'ти, 2019. Випуск 1(33). URL: http://www.zoippo.zp.ua/pages/el_gurnal/pages/vip33.html (дата звернення 29.05.2019).
14. Навчальн програми з математики для закладiв загально' середньо' освiти. URL: https://mon.gov.ua/ua/osvita/zagalna-serednya-osvita/navchalni-programi (дата звернення 22.04.2019).
15. Сайт математичних олiмпiад в Укра'шг URL: https://matholymp.com.ua (дата звернення 22.04.2019).
16. Слепкань З. I. Методика навчання математики. Ки'в: Зодiак-ЕКО, 2000. 512 с.
17. Столяр А. А. Педагогика математики. Минск: Вышэйш. шк., 1986. 414 с.
18. Шеварёв П. А. Процессы мышления в учебной работе школьника. Советская педагогика. 1946. №3. С. 94-109.
19. Шеварёв П. А. Обобщённые ассоциации в учебной работе школьников. Москва: Изд-во АПН РСФСР, 1959. 302 с.
20. UlyHfla H.M. Po3e'R3yeaHHR pieHRHb, noe'R3aHux3 <yHKuiRMu: u,ina i dpo6oea vacmuHU дiuсного vucna. Kuib: TexHiKa, 2001. 124 c.
21. Grati, I., & Costa§, A. (1995a). Ecuajii ce conjin partea Tntreaga a unui numar real. Foaie matematica, 1, 15-23.
22. Grati, I., & Costa§, A. (1995b). Resolvarea inecuajiilor ce conjin partea Tntreaga a unui numar real. Foaie matematica, 6, 916.
References
1. Apostolova, H., Pankratova, I. & Finkelshtein L. (1996). Tsila ta drobova chastyna chysla [Integer and fractional part of number]. Kyiv: Fakt [in Ukrainian].
2. Apostolova, H.V. & Yasinskyi, V.V. (2006). Antie i mantysa chysla [Entier and mantissa of number]. Kyiv: Fakt [in Ukrainian].
3. Gurskij, I.P. (1968). Funkcii ipostroenie grafikov [Functions and graphing]. Moskva: Prosveshhenie [in Russian].
4. Konjagin, S.V. et al (1987). Zarubezhnye matematicheskie olimpiady [Foreign Mathematical Olympiads]. Moskva: Nauka [in Russian].
5. Kukush, A.G. (1989). Monotonnye posledovatel'nosti i funkcii [Monotonic sequences and functions]. Kyiv: Vishha shkola [in Russian].
6. Kruteckij, V. A. (1968). Psihologija matematicheskih sposobnostej shkol'nikov [Psychology of mathematical abilities of schoolchildren]. Moskva: Prosveshhenie [in Russian].
7. Leifura, V.M., Mitelman, I.M., Radchenko, V.M. & Yasinskyi, V.A. (2003). Matematychni olimpiady shkoliariv Ukrainy: 19912000 [Mathematical Olympiads of Ukrainian Schoolchildren: 1991-2000]. Kyiv: Tekhnika [in Ukrainian].
8. Leifura, V.M., Mitelman, I.M., Radchenko, V.M. & Yasinskyi, V.A. (2008). Matematychni olimpiady shkoliariv Ukrainy: 19912000 [Mathematical Olympiads of Ukrainian Schoolchildren: 2001-2006]. Lviv: Kameniar [in Ukrainian]
9. Leifura, V.M., Mitelman, I.M., Radchenko, V.M. & Yasinskyi, V.A. (1999). Zadachi mizhnarodnykh matematychnykh olimpiad ta metody yikh rozviazuvannia [The problems of International Mathematical Olympiads and methods of their solving]. Lviv: Yevrosvit [in Ukrainian].
10. Mitelman, I. M. (2010). Vybrani zadachi vidkrytykh matematychnykh olimpiad ta festyvaliv Rishelievskoho litseiu [Selected problems of Open Mathematical Olympiads and Festivals of the Richelieu Lyceum]. Odesa: TES [in Ukrainian].
11. Mitelman, I.M. (2000). Metodychni ta praktychni aspekty rozviazuvannia deiakykh olimpiadnykh zadach pro tsilu chastynu chysla [Methodological and practical aspects of solving of some olympiad-type problems on the integer part of a number]. Nasha shkola — Our School, 2-3, 150-155 [in Ukrainian].
12. Mitelman, I.M. (2012). Problemy formuvannia produktyvnykh zghornutykh dydaktychnykh struktur ta rozviazuvannia olimpiadnykh zadach pro pokryttia klitchastykh oblastei konhruentnymy polimino [The questions of the formation of productive convolute didactic structures and the solving of olympiad-type problems on the covering of cellular regions by congruent polyominoes]. Nasha shkola — Our School, 6, 61-72 [in Ukrainian].
13. Mitelman, I.M. (2019). Tochky rozryvu kuskovo-stalykh funktsii ta deiaki pryiomy rozviazuvannia olimpiadnykh zadach, poviazanykh iz tsiloiu chastynoiu chysla [Discontinuity points of step functions and some methods of solving olympiad-type problems related to integer part of number]. Proceedings from «IV Vseukrainska naukovo-praktychna konferentsiia «Rozvytok suchasnoi pryrodnycho-matematychnoi osvity: realii, problemy yakosti, innovatsii» — The Fourth All-Ukrainian Scientific and Practical Conference «Development of modern natural sciences and mathematical education: realities, problems, quality, innovation» (Zaporizhzhia, 1-5 kvitnia 2019 r.). Elektronnyizbirnyknaukovykh pratsZaporizkoho oblasnoho instytutu pisliadyplomnoi pedahohichnoi osvity — Electronic Proceedings of Zaporizhzhya Regional Institute of Postgraduate Pedagogical Education, 1(33). Retrieved from: http://www.zoippo.zp.ua/pages/el_gurnal/pages/vip33.html [in Ukrainian].
14. Navchalni prohramy z matematyky dlia zakladiv zahalnoi serednoi osvity [The curriculum for general education schools in mathematics]. Retrieved from: https://mon.gov.ua/ua/osvita/zagalna-serednya-osvita/navchalni-programi [in Ukrainian].
15. Sait matematychnykh olimpiad v Ukraini [Site of Mathematical Olympiads in Ukraine]. Retrieved from: https://matholymp.com.ua.
16. Sliepkan, Z. I. (2000). Metodyka navchannia matematyky [Mathematics teaching methodology]. Kyiv: Zodiak-EKO [in Ukrainian].
17. Stoljar, A. A. (1986). Pedagogika matematiki [Pedagogy of mathematics]. Minsk: Vyshjejsh. shk. [in Russian].
18. Shevarjov, P. A. (1946). Processy myshlenija v uchebnoj rabote shkol'nika [Thinking processes in schoolchildren educational work]. Sovetskajapedagogika — Soviet Pedagogy, 3, 94-109 [in Russian].
19. Shevarjov, P. A. (1959). Obobshhjonnye associacii v uchebnoj rabote shkol'nikov [Generalized associations in schoolchildren educational work]. Moskva: Izdatel'stvo APN RSFSR [in Russian].
20. Shunda, N.M. (2001). Rozviazuvannia rivnian, poviazanykh z funktsiiamy: tsila i drobova chastyny diisnoho chysla [Solving of the equations related to the functions of the integer and fractional part of a real number]. Kyiv: Tekhnika [in Ukrainian].
21. Grati, I. & Costa§, A. (1995a). Ecuajii ce conjin partea Tntreaga a unui numar real [Equations with the integer part of a real number]. Foaie matematica — Mathematical Sheet, 1, 15-23 [in Romanian].
2. Grati, I. & Costa§, A. (1995b). Resolvarea inecuajiilor ce conjin partea Tntreaga a unui numar real [Solving of inequalities with the integer part of a real number]. Foaie matematica — Mathematical Sheet, 6, 9-16 [in Romanian].
ON TEACHING SOLVING OLYMPIAD-TYPE PROBLEMS RELATED TO INTEGER PART OF REAL NUMBER USING THE PROPERTIES OF DISCONTINUITY POINTS OF STEP FUNCTIONS I.M. Mitelman
Odessa Regional Academy of In-Service Education, Odessa, Ukraine
Abstract. The practice of teaching mathematics and its scientific and methodological support convincingly evidences that the problems on the integer (fractional) part of a real number traditionally accumulate a considerable layer of students' skills, require a high analytical culture, technical ingenuity. Such topics are an actual component of the implementation of the most important functional line for a
pupil and a student training, teacher training in the use of various properties of functions, requires skills of algebraic, combinatorial, number-theoretic considerations.
Formulation of the problem. There is a problem of searching and/or modernizing the apparatus of effective methodological and mathematical methods for solving relevant problems of higher complexity level, related to the integer and fractional part of a real number, among which the problems of mathematical olympiads are always highlighted as an indicator of the quality of the formed professional competence.
Materials and methods. The article deals with theoretical and practical point of view of solving some types of problems related to the integer part of the number by creating an example of a system of problems in which arguments are effectively applied with genesis in the «basic» course of mathematical analysis for students. A powerful and principled «contrast» didactic method for pedagogical activity in the field of mathematics is used: that is, in particular, for some complex olympiad-type problems the solutions provided by their authors are presented and alternatives are proposed in the context of the subject matter of the article.
Results. The idea of using the elementary characterization of the discontinuity points of step functions, which naturally arise in connection with the consideration of expressions with the integer part, and the methodical environment and maintenance necessary for the implementation of such idea has been developed.
Conclusions. Materials of the article acquire special lineaments from the point of view of compulsory preparation in mathematical specialties of pedagogical universities for the future work with gifted schoolchildren in the process of mastering sections of higher mathematical education, in-service self-education of teachers, directing for further search activity of secondary school students and teachers, teachers and students of institutions of higher education, authors of the problems of mathematical olympiads, etc.
Keywords: mathematics teaching methodology, olympiad-type problems in mathematics, integer part of number, discontinuity points of functions, step functions, postgraduate pedagogical education, general secondary education.
