Теоретичні основи розв’язування алгебраїчних рівнянь з параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION

Has been issued since 2013.

Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА

Видасться з 2013.

http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/

Мулеса О.Ю., Гече Ф.Е., Кандюх Т.С. Teopemu4Hi основи розв'язування алгебрачних р'!внянь з параметрами.Ф'зико-математична осв'та. 2019. Випуск 1(19). С. 148-153.

Mulesa O., Fedir G., Kindyukh T. Theoretical Bases Of Solving Algebraic Equations With Parameters. Physical and Mathematical Education. 2019. Issue 1(19). Р. 148-153.

DOI 10.31110/2413-1571-2019-019-1-023 УДК 378.147

О.Ю. Мулеса

ДВНЗ «Ужгородський на^ональний ушверситет», Украна

Oksana.Mulesa@uzhnu.edu.ua ORCID: 0000-0002-6117-5846 Ф.Е. Гече

ДВНЗ «Ужгородський на^ональний ушверситет», Украна

Fedir.Geche@uzhnu.edu.ua ORCID: 0000-0002-4757-9828 Т.С. Кшдюх

Ужгородська класична г'тназ'я, Украна Tetsvkin@gmail.com ORCID: 0000-0001-6863-3822

ТЕОРЕТИЧН1 ОСНОВИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ АЛГЕБРА1ЧНИХ Р1ВНЯНЬ З ПАРАМЕТРАМИ

АНОТАЦ1Я

Тема «Р1вняння з параметрами» в шкльному курс1 алгебри е компонентом навчальноУпрограми 10 класу. Проте, анал1з п/'дручнию'в з математики показав, що так/' завдання пропонуються до розв'язування учням вже починаючи з 5 класу /' зак1нчуючи завданнями на зовншньому незалежному оц/'нюванн/' з математики. Також завдання такого типу часто зустр1чаються серед завдань математичних ол1мп1ад та конкурс1в, та присутн1 у завданнях зовншнього незалежного оц1нювання з математики вах попередшх рок1в.

Формулювання проблеми. Таким чином, починаючи з 5-го класу вчитель мае можливсть знайомити учн'ю з поняттям параметра та методами розв'язування р1внянь з параметрами. Тому, в процеа навчання у вищому заклад/' освти, майбутн фах1вц1 - вчител'1 математики, мають набувати компетентностей, як дозволять ¡м в процес'1 навчання р1зних тем, в1дпов1дно до р'вня знань школяр'ю, знайомити ¡х з методами розв'язування р1внянь з параметрами.

Матер/'али / методи. В ход ': досл1дження були використан1 так теоретичн1 методи як анал1з, синтез, узагальнення, пояснення, тощо, що дозволило систематизувати теоретичний матерал та подати його у зрозумлому вигляд'1.

Результати. Проведено огляд теоретичних основ розв'язування алгебраУчних р1внянь з параметрами як в шкльному курс: математики, так /' в процес'1 тдготовки майбутн1х вчител1в математики. Поеднання запропонованих теоретичних викладок дозволяе розв'язувати задач': тдвищеного р1вня складност¡, знаходити нов': способи розв'язування задач, приймати обфунтоваш р1шення на основ': результат'ю використання математичних метод'ю. Результати досл'!дження можуть бути використан1 в навчальному процес'1 вищого закладу освти.

Висновки. Встановлено, що теоретичн/' основи розв'язування алгебраУчних р1внянь з параметрами складають елементи р1зних роздт1в елементарноУ та вищоУ математики. В':д Ух вдалого поеднання залежить усп1шне розв'язування зазначених задач. Таким чином, дисципл1ни навчальних план1в з тдготовки вчител1в математики мають м1стити зм'стовш модул ': з вивчення зазначених тем.

КЛЮЧОВ1 СЛОВА: методика навчання, освiтнiй процес, п'дготовка фахiвцiв, алгебра'Учне рiвняння, параметр.

ВСТУП

Постановка проблеми. <^вняння з параметрами», як тема, в шктьному кура алгебри е компонентом навчально!' програми 10 класу. Проте, аналiз пщручни^в з математики показав, що там завдання пропонуються до розв'язування учням вже починаючи з 5 класу i закЫчуючи завданнями на зовншньому незалежному оцЫюваны з математики (рис. 1, рис. 2):

278." Яке число треба тдетавити заипсть а, щоб коренем р1вняння: 1) (х + а) - 7 = 42 було число 22; 2) (а - дг) + 4 = 15 було число 3?

279." Яке число треба тдетавити зашсть а, щоб коренем р1вняння: 1) (х - 7) + а - 23 було число 9; 2) (11 + дг) + 101 = а було число 5?

Рис. 1. Завдання з шдручника «Математика. 5 клас», тема <^вняння» (Мерзляк, 2018)

ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)

Розв'яаать систему р1внянь параметра а

к и I* «I.

1«<!/ а) 1в(4а' I * I2)

залежно ви значень

Рис. 2. Завдання на ЗНО з математики, 2017 рш

У пiдручниках для старших клаав, зокрема, в пщручниках для клаав з поглибленим вивченням математики, рiвняння з параметрами складають значну частину в^д всiх завдань. Також завдання такого типу часто зус^чаються серед завдань математичних олiмпiад та конкурав, та присутнi у завданнях зовншнього незалежного оцiнювання з математики вах попереднiх рокiв.

Таким чином, починаючи з 5-го класу вчитель мае можливкть знайомити учыв з поняттям параметра та методами розв'язування рiвнянь з параметрами.

Отже, в процеа навчання у вищому закладi освiти, майбутнi фахiвцi - вчителi математики, мають набувати компетентностей, як дозволять '¡м в процеа навчання рiзних тем, вiдповiдно до рiвня знань школярiв, знайомити '¡х з методами розв'язування рiвнянь з параметрами.

Як правило, видiляють таю методи розв'язування алгебра'чних рiвнянь з параметрами як аналтичний, алгебра'чний та графiчний. Проте, розв'язування такого типу рiвнянь, в загальному випадку е нетривiальною задачею. Тому, вчитель математики мае бути здатним знаходити новi способи розв'язування задач, приймати обфунтоваы ршення на основi результатiв використання математичних методiв.

Аналiз актуальних дослщжень. 1снуе ряд методичних розробок, присвячених розв'язуванню рiвнянь з параметрами, зокрема роботи (Горнштейн&Полонский&Якир, 1992; Апостолова&Яанський, 2004; Прус&Швець, 2018). У цих розробках наводиться велика кшьмсть рiзних задач з параметрами, проводиться '¡х систематиза^я та класифiкацiя, пропонуються рiзнi пщходи до розв'язання таких задач. Проте, актуальним залишаеться питання вивчення ц^е'' теми в процесi пiдготовки майбутых вчителiв математики.

Мета статтi. Проаналiзувати теоретичнi основи навчання теми «Алгебра'чы рiвняння з параметрами» та розробити рекомендацп щодо деяких аспектiв змктовного наповнення навчальних планiв з пщготовки вчителiв математики.

МЕТОДИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ

В ходi дослiдження були використанi таю теоретичн методи як аналiз, синтез, узагальнення, пояснення, тощо, що дозволило систематизувати теоретичний матерiал та подати його у зрозумтому виглядi.

РЕЗУЛЬТАТИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ ТА IX ОБГОВОРЕННЯ

Класифшащя алгебраТчних рiвнянь з параметрами та методiв Тх розв'язування.

Алгебраíчнi рiвняння з параметрами можна класифiкувати таким чином (Апостолова, Яанський,2004), (Прус, Швець, 2018) :

1. Лiнiйнi рiвняння з параметрами.

2. Квадратнi рiвняння з параметрами.

3. Рiвняння з параметрами вищих степенiв.

4. Алгебра'чы рiвняння з параметрами, що мктять змiнну пiд знаком модуля.

До цього ж класу можна вщнести рiвняння з параметрами, якi зводяться до алгебра'чних, а також системи таких рiвнянь.

Всi методи розв'язування рiвнянь з параметрами умовно роздтяють на аналiтичнi та графiчнi. Можливе також поеднання цих методiв.

Незважаючи на те, що задачi з параметрами розв'язуються в шкiльному кура математики, для '¡х розв'язання iнодi доцiльно використовувати елементи вищо' математики. Аналiз методичних розробок, присвячених рiвнянням з параметрами, а також задач, як зводяться до розв'язування таких рiвнянь та 'х систем, показав, що для устшного розв'язування задач такого типу необхщним е знання та умЫня, пов'язанi, принаймнi, з такими роздтами математики:

Рис. 3.

Науково-методичн основи методики розв'язування алгебра'чних рiвнянь з параметрами можна зобразити наступною схемою:

Поняття алгебраТчного ршняння. Види ршнянь. Системи алгебраТчних ршнянь

Математична модель задач на розв'язування алгебраТчних р1вняньз параметрами

1 1 1 1 1 I 1 1 Г > Поняття функцюнальнс* залежносп I 1 1 1 1 1

перетворення алгебра(чних ртнянь

иг

Перетворення граф|к!в функцт. Побудов ecKi3ie граф1к1в функцт та р1внянь

B/iacTHBOCTi функцт.

Знаходження екстремум1в функцт

Властивосп функцт. Дослщження функцт на парн1сть

FL

ВлаСТИВОСТ! функций. Дослщження функцт на монотоннкть

Знаходження точних та наближених розв'язюв алгебраТчних р1внянь та Тх систем

Рис. 4.

Графiчний метод розв'язування рiвнянь

Найпростiшим для розумiння та найдоступншим для учнiв е графiчний метод розв'язування рiвнянь з параметрами, який зводиться до побудови вщповщних графМв функцiй i рiвнянь та базуеться на основних прийомах перетворень графМв функцй Основна iдея графiчного методу, як правило, полягае у розбитт рiвняння на двi функцГ'', побудовi 'х графiкiв та знаходженнi точок перетину, що е розв'язками рiвняння.

Проiлюструемо це на прикладi: Знайти скльки розв'язкiв мае рiвняння в залежност вiд значення параметра a :

| х2 -8| х| +71 +3 = a

Розв'язання.

Будуемо графт функцГ'' y =| х2 -81 х | +71 y = a - 3 — пряма, паралельна ос 0Y. Як видно з рис.5, маемо так випадки:

якщо y < 0,a - 3 < 0,a е (-<»,3), то графти спГльних точок не мають, тобто рГвняння коренiв не мае;

якщо y = 0, a - 3 = 0,a = 3 , то графти мають 4 стльы точки, тобто рГвняння мае 4 коренГ, як легко встановити з графта функцГ'; якщо 0 < y < 7, 0 < a - 3 < 7, a е (3,10) , то рГвняння мае 8 коренГв; якщо y = 7, a - 3 = 7, a = 10, то рГвняння мае 7 коренГв; якщо 7 < y < 9, 7 < a - 3 < 9, a е (10,12) , то рГвняння мае 6 коренГв; якщо y = 9, a - 3 = 9, a = 12, то рГвняння мае 4 коренГ; якщо y > 9, a - 3 > 9, a е (12, +х>) , то рГвняння мае 2 коренГ.

Наведений приклад демонструе переваги та вщносну простоту i наочнГсть графГчного методу, проте, не для кожно''' функцГ'' можна побудувати графт лише за допомогою елементарних перетворень графив функцш. Часто, необхщним е залучення додаткових математичних прийомГв, пов'язаних з дослщженням графив функцГй за допомогою похщних. Також е задачГ, графГчне дослГдження яких не дасть вщповщГ на поставлен у них питання. Тому доцтьним е використання деяких понять та тверджень вищо''' математики. Розглянемо найбГльш уживанГ з них.

Теоретичнi основи розв'язування деяких алгебраТчних рiвнянь з параметрами

Елементи математичного анал'!зу. При розв'язуваннГ алгебраТчних рГвнянь з параметрами часто доцГльно використовувати поняття похщно''' функцГ'' та и геометричний змГст. При цьому треба оперувати такими поняттями (Фихтенгольц, 1980):

Теорема: Нехай функцГя f (х) визначена та неперервна на промГжку X i в серединГ цього промГжку мае скГнченну похГдну f'(х) . Для того, щоб f (х) була в X монотонно зростаючою (спадною) в строгому розумшы, необхГдно та достатньо, щоб виконувалися умови:

1) f'(х)> 0 (< 0) всерединГ X ;

Рис. 5

2) /'(х) не перетворюеться тотожно в 0 н в одному з iнтервалiв, що е частиною X .

Означення. Функция /(х) в точцi х0 мае максимум (чи м^мум), якщо цю точку можна оточити таким околом (х0 - 8,х0 + 8), який знаходиться в областi визначення функц^Т, що

/(х)< /(хо) (або /(х)> /(хо) ) , Vxе(х0-8,х0 +8) .

З цього отримуеться правило для дослiдження значення х0, пiдозрiлого на екстремум: пiдставляемо в похiдну /'(х) спочатку хе (хо -8,х) ,а потiм хе (хо,х +8), встановлюемо знак похiдноТ в околi точки х0 - злiва та справа в^д нет; якщо при цьому похщна /'(х) змiнюе знак плюс на мшус, то х0 - точка максимуму, якщо знак мшяеться з мшуса на плюс, то х0 - мiнiмум; якщо ж знак не змiнюеться, то екстремуму немае.

Елементилiнiйно¡алгебри. Для устшного розв'язання систем лЫшних алгебратчних рiвнянь з параметрами часто доцтьно використовувати апарат лiнiйноТ алгебри. Наведемо дектька понять та тверджень (Курош, 1968).

Нехай дано квадратну матрицю порядку п

(1)

Означення. Визначником п -го порядку, що вщповщае матрицi (1), називаеться алгебратчна сума п! членiв, складеним таким чином: членами е всi можливi добутки п елементiв матрицi, взятих по одному з кожного рядка та кожного стовпця, причому член береться зi знаком плюс, якщо його Ыдекси утворюють парну постановку, i зi знаком мiнус - в протилежному випадку.

Формули для обчислення визначнимв матриць другого та третього порядюв наведен нижче:

11 "12

«лл

«11 «12 «

«21 «22 «

«31 «32 «

Розглянемо систему лшмних алгебратчних рiвнянь:

"и-*! + апХ7 ^ ^ аЪ,Х„ = Ь

а ,х, + а ^х^ Н-----V а х = Ь

ш 1 и 2 2 пи п п

Для Тх розв'язувань можна застосовувати теорему Крамера:

Теорема. Якщо головний визначник А системи з п лшмних алгебратчних рiвнянь з п невщомими вiдмiнний в^д нуля, то система мае единий розв'язок, який знаходиться за правилом:

А

А :

/ = 1, п .

Також, при п = 2 та А = 0 справедливi такi твердження:

1) якщо VI е{1,2} А = 0, то система мае безлiч розв'язмв;

2) якщо 3/ е {1,2} 0 , то система не мае розв'язюв.

Також, в рядi задач, що зводяться до розв'язування алгебратчних рiвнянь з параметрами, доцтьно використовувати апарати шших математичних дисциплн Наприклад:

- на основi чисельних методiв наближеного розв'язування алгебратчних рiвнянь можливим е як вщокремлення коренiв рiвнянь i знаходження тх наближених розв'язмв;

- в оптимiзацiйних задачах з параметрами необхщним е застосування основних положень математичного програмування для знаходження екстремумiв функцш на заданих областях та ЫшМ.

Приклади розв'язування деяких алгебратчних рiвнянь з параметрами та задач, що зводяться до них.

Приклад 1 (люстра^я аналiтичного методу). Знайти вс значення параметра ^ при яких рiвняння х2 - х - 21 = 0 \ г2х2 + гх-2? = 0 мають спiльний корiнь.

Для розв'язування данот задачi пропонуеться розглядати параметр t як ще одну рiвноцiнну змЫну. Тодi можемо розглядати систему двох рiвнянь з двома невiдомими:

(х2 - х - 2г = 0 I г2 х2 + гх - 2г = 0

Коренями системи е таю пари (х,г): (0,0) , (1,0),

г = 1 + А, г = 1 -1 . •Д л/2

-72,1 + А |, [^д -А I, а вщповщдю до задачi е: г = 0, Д) ^ -Д у

«11«22«33 + «12«23«31 + «21«32«13 «31«22«13 «32«23«11 «21«12«33

х

Приклад 2 (прийоми застосування геометричного змiсту похiдно¡): Знайти вс значення параметра а, при якому рiвняння мае рiвно 4 коренг

6х5 + 15х4 - 10х3 - 30х2 = а Розглянемо функцию у = 6х5 + 15х4 -10х3 - 30х2 . Дослiдимо функцiю та побудуемо ескз и графiка. Шукаемо похщну функцГ'' та розкладаемо и на множники: у' = (х + 2)(х +1)х(х -1). Побудуемо таблицю:

Таблиця 1

х (-», -2) -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1

f'(х) > 0 0 < 0 0 > 0 0 < 0 0 > 0

f (х) зростае 8 спадае -11 зростае 0 спадае -19 зростае

Побудуемо ескГз графта функцй y = 6х5 +15х4 -10х3 - 30х2 (рис.6):

Рис. 6.

Функцiя у = а - пряма, паралельна ос абсцис. Таким чином, якщо а е (-ю,-19) и (8, +<ю) - рiвняння мае один коршь; якщо а = -19 або а = 8 - рiвняння мае два кореы; якщо а е (-19,-11) и (0,8) - рiвняння мае три кореш; якщо а = -11 або а = 0 - рiвняння мае 4 кореы; якщо а е (-11,0) - рiвняння мае 5 кореыв.

Приклад 3 (використання понять лiнiйно¡ алгебри). Розв'язати систему рiвнянь:

ах + у + г = 1

х + ау + г = 1

х + у + аг = 1

Обчислимо визначники:

1 1 a 1 1 a

= a3 - 3a + 2 = (a - 1)2(a + 2), Ar

1 1

= (a -1)2

A2 =

a 1 1 1 1 1 1 1 a

При а = 1 система мае безлiч розв'язкв. При а = -2 система не мае розв'язкв.

При а е (-ю;-2) и (-2;1) и (1; +ю) х = — =

А а + 2

= (a -1)2, A3

1 1 a 1 11

= (a -1)2

, y=t=

a + 2

a + 2

У результат проведеного дослщження виконано аналiз проблеми навчання теми «Алгебра'чы рiвняння з параметрами» в ходi пщготовки майбутнiх вчителiв математики. Вiдзначено, що для успiшного розв'язування рiвнянь за параметрами необхщно досконало володiти рiзними роздiлами вищо' математики. Таким чином, в процеа дослiдження науково-методичних основ розв'язування алгебра'чних рiвнянь з параметрами в навчальному процеа вищих зaклaдiв освiти, необхiдно спиратися на попередньо отриман знання з таких навчальних дисциплЦ як лiнiйнa алгебра, теорiя функцiй дiйсноí змiнноí, теорiя оптимiзaцií та iнших.

A

A

1

A

z =

ВИСНОВКИ ТА ПЕРСПЕКТИВИ ПОДАЛЬШОГО ДОСЛ1ДЖЕННЯ

Дослiдження присвячено визначенню теоретико-методичних основ навчання теми «АлгебраУчн рiвняння з параметрами» в процесi пiдготовки майбутых вчителiв математики. Встановлено, що теоретичн основи розв'язування алгебраУчних рiвнянь з параметрами складають елементи рiзних роздЫв елементарно'1 та вищо'! математики. Вщ Ух вдалого поеднання залежить устшне розв'язування зазначених задач. Таким чином, дисциплши навчальних планiв з тдготовки вчителiв математики мають мiстити змктовш модулi з вивчення зазначених тем. Такий пщхщ дозволяе набути майбутым фаxiвцям компетентностей, необxiдниx для розв'язувань задач пщвищеного рiвня складносп.

Наступним етапом мае бути вивчення методiв та способiв використання теорп оптимiзацii при розв'язуваннi задач з параметрами.

Список використаних джерел

1. Апостолова Г. В., Ясшський В. В. Першл зустрiчi з параметрами. К.: Факт, 2004. 316 с.

2. Горнштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М. С. Задача с параметрами. К.:РИА «Текст», 1992. 290 с.

3. Курош А. Г. Курс высшей алгебры: учебник для вузов. 9-е изд. М.: Физматлит, 1968. 432 с.

4. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Ямр М. С. Математика. 5 клас: тдруч. для закладiв загально! середньо! освти: Вид.2-ге, доопрацьоване вщповщно до чинно! навчально! програми. Х.: Гiмназiя, 2018. 272 с.

5. Построение графиков функций онлайн. URL: http://yotx.ru (Дата звернення 25.02.2019).

6. Прус А. В., Швець В. О. Задачi з параметрами в шктьному кура математики. Видання друге, доповнене. Навчально методичний поабник. Житомир: «Рута», 2018. 544 с.

7. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3-х т. Т 1. 2-е изд., перераб. M.: мат. лит., 1980. 607 с.

References

1. Apostolova, H. V. & Yasinskyi, V. V. (2004). Pershi zustrichi z parametramy [First meeting with parameters]. K.: Fakt, 2004. [In Ukrainian].

2. Gornshtejn, P. I., Polonskij, V. B. & Jakir, M. S. (1992). Zadacha s parametrami [The task with parameters]. K.:RIA «Tekst». [In Russian].

3. Kurosh, A. G. (1968). Kurs vysshej algebry [The course of higher algebra]: uchebnik dlja vuzov. 9-e izd. M.: Fizmatlit. [In Russian].

4. Merzliak, A. H., Polonskyi, V. B. & Yakir, M. S. (2018). Matematyka [Mathematics]. 5 klas: pidruch. dlia zakladiv zahalnoi serednoi osvity: Vyd.2-he, doopratsovane vidpovidno do chynnoi navchalnoi prohramy. Kh.: Himnaziia. [In Ukrainian].

5. Postroenie grafikov funkcij onlajn [Plotting functions]. http://yotx.ru [In Russian].

6. Prus, A. V. & Shvets, V. O. (2018). Zadachi z parametramy v shkilnomu kursi matematyky [Tasks with parameters in the school course of mathematics]. Vydannia druhe, dopovnene. Navchalno metodychnyi posibnyk. Zhytomyr: «Ruta». [In Ukrainian].

7. Fihtengolc, G. M. (1980). Kurs differencial'nogo i integral'nogo ischislenija [Course of differential and integral calculus]. (Vol.1). M.: mat. lit. [In Russian].

THEORETICAL BASES OF SOLVING ALGEBRAIC EQUATIONS WITH PARAMETERS Oksana Mulesa, Fedir Geche, Tetyana Kindyukh

Uzhhorod National University, Uzhgorod Classical Gymnasium Abstract. "Equation with Parameters", as a topic, in the school course of algebra is a component of the 10th grade curriculum. However, the analysis of textbooks on mathematics showed that such tasks are offered for puples to solving beginning from grade 5. Also, tasks of this type are often found among the tasks of mathematical olympiads and contests, and are present in the tasks of external independent mathematical assessment of all previous years. Formulating of the problem. Thus, since the 5th grade, the teacher has the opportunity to acquaint puples with the concept of the parameter and methods for solving equations with parameters. Therefore, in the process of studying at a higher education institution, future specialists - teachers of mathematics, must acquire competencies tu use of methods for solving equations with parameters. Materials and methods. In the course of the study, the following theoretical methods were used: analysis, synthesis, generalization, explanation,

etc., which allowed systematizing the theoretical material and presenting it in a clear way. Results. An overview of the theoretical foundations for the solution of algebraic equations with parameters both in the school course of mathematics and in the process of preparation of future teachers of mathematics is carried out. The combination of the proposed theoretical calculations allows solving problems of the raised complexity level, finds new ways of solving problems, and adopts grounded solutions based on the results of the use of mathematical methods. The results of the study can be used in the educational process of the higher educational establishment. Conclusions. It is established that the theoretical foundations for solving algebraic equations with parameters are elements of different sections of elementary and higher mathematics. The successful combination of these tasks depends on their successful combination. Thus, the disciplines of the curricula for the preparation of mathematics teachers should contain content modules for the study of these topics.

Key words: teaching method, educational process, training of specialists, algebraic equation, parameter.