CC BY
19
Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Рашевський М.О. Графовi модел'1 в задачах теорп ймов'рностей //Ф'!зико-математична освта : науковий журнал. - 2017. - Випуск 3(13). - С. 125-129.
Rashevs'kyi M. Graph Models In The Tasks Of Probability Theory // Physical and Mathematical Education : scientific journal. -2017. - Issue 3(13). - Р. 125-129.
УДК 378.147:519.17:519.21
М.О. Рашевський
Кривор'зький на^ональний ун1верситет, УкраУна
ГРАФОВ1 МОДЕЛ1 В ЗАДАЧАХ ТЕОРИ ЙМОВ1РНОСТЕЙ
Анота^я. У статт1 запропонована методика застосування графових моделей при розв'язуванн'1 задач на тему «Умовн ймов'рностi». При моделюванн задач використовуеться терм1нолог1я ланцюг'в Маркова, що е пропедевтикою для вивчення u,ie'i теми у роздiлi «Випадков процеси» або вивчення випадкових процеав як окремого курсу. Зг'дно з умовою задачi будуеться граф станв системи, що описуе ва можлив переходи. Використовуючи розроблену таблицю, обчислюються ймов'рностi тих чи iнших подiй. Обговорюються характерн ознаки та питання коректност'1 моделей задач. Наочнiсть графових моделей полегшуе сприйняття складного матер>алу, i часто робить стандартними задачi пдвищеноУ складност'1. Запропоновану методику розв'язування задач можна використати при вивченн теори ймов'рностей у технчних або економ'чних вишах, осюльки формування навичок побудови та досл'дження моделей е складовою професiйних компетентностей iнженера та економ>ста. Викладений матер>ал також буде корисним для студент'в ф'зико-математичних факультет>в - майбутнх учителiв математики.
Ключовi слова: викладання математики, графи, графов модел>, задачi з теор'й ймов'рностей, умовн ймов'рност'!.
Постановка проблеми. Формування професшних компетентностей майбутнього фахiвця е одшею i3 задач вивчення фундаментальних дисциплш у вищих закладах осв^и техшчного та економiчного профшю. Незалежно вщ спещальносл, розв'язання професшних задач в основному зводиться до побудови та дослщження математичних моделей явищ або процеав. Широке застосування у рiзних галузях знань мають графовi модель Останн застосовують в економщ, комп'ютерних науках, електротехшщ, теори оптимiзацií тощо. Граф, що е досить простим у геометричнш реалiзацií, мае необмежен можливост при математичному моделюванн рiзних об'еклв i процеав. Вивчення та пропедевтика понять теори графiв може бути корисним для студенев техшчних, технолопчних та економiчних спещальностей.
Аналiз актуальних дослщжень. У викладанн математики графи використовувались i для розв'язування математичних задач, i як шструмент для дослiдження проблем само'| методики викладання предмета. Досить просте поняття графа надае можливiсть широко застосовувати ix у шкiльному курсi математики [1; 2; 4; 6]. У робот [3] запропоновано графовi моделi структур розв'язання задач з курсу фiзики, що надало можлив^ь кiлькiсно оцiнити складнiсть |'хнього розв'язання. В [6] розроблено методику розв'язування систем лшшних рiвнянь за допомогою графiв. В курсi теори ймовiрностей графи використовують в основному для тюстраци «розгалуження» у задачах на формулу повно'| ймовiрностi та формули Байеса. У роздш «Випадковi процеси» або в однойменному кура, зокрема, вивчають системи масового обслуговування, де будують граф станiв системи, тюструють ланцюги Маркова. Останнi питання е досить складними для сприйняття студентами особливо економiчниx спещальностей, тому пропедевтика згаданих питань може бути доцтьною i корисною. Графова модель задачi буде не тiльки пропедевтикою для подальшого вивчення i використання графiв - часто наочнiсть робить зрозумтшим розв'язання досить складних задач, в тому чи^ й задач пщвищено'|' складностi [7].
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
Мета статп. При вивченш теори MMOBÍpHOCTen графи можна використати як для геометричноТ тюстраци задачу так i для наочностi способу розв'язання, побудувавши графову модель задачк Широкi можливост для такого шдходу мае тема «Умовш ймовiрностi». Метою статт е розробка методики використання графових моделей при вивченш згаданоТ теми. Оперування з графовими моделями стане корисним для подальшого вивчення випадкових процесiв, зокрема ланцюпв Маркова.
Виклад основного матерiалу. Як показуе досвщ, ознайомити студентiв iз основними поняттями теори графiв можна у процес розв'язування задач, коли прост i очевиднi поняття не потребують зусиль для Тхнього засвоення. У наступнш задачi використання графiв е лише тюстративним, дещо штучним i не обов'язковим, проте необхщним для кращого розумiння студентами подальшого викладу матерiалу. Саме на такiй задачу яку студенти можуть розв'язати без залучення графовоТ моделi, пропонуеться ввести основы поняття, що надалi використовуватимуться при вивченш ланцюпв Маркова. Отже, тсля вивчення формули повноТ ймовiрностi, коли ТТ використання вже не викликае труднощiв, розглянемо таку задачу.
Задача 1. Електричш лампи до магазину постачають два заводи. Перший iз них випускае 5 % бракованоТ продукци, а другий - 10 %. Яка ймовiрнiсть того, що покупець придбае браковану лампу, якщо з першого заводу надходить 60 % товару, а з другого - 40 %?
Розв'язання. За формулою повноТ ймовiрностi е таким:
P(A) = P(Hi)-P(A | Hi) + P(H2) P(A | H2) = 0,4-0,1 + 0,6-0,2 = 0,14.
Тут ппотези Hk = «Лампу вироблено на k - му завода, k = 1, 2; подiя A = «покупець придбав браковану лампу», i геометрична тюстращя для розв'язання задачу взагалi кажучи, не потрiбна.
Виконавши все ж схематичний рисунок (граф) до задачу можна умову та розв'язання сформулювати, користуючись мовою теори графiв та ланцюгiв Маркова. 1з рисунка видно, що «система» Покупець, що придбае лампу у магазиш, зi стану S0 (збираеться купити лампу) мае перейти або до стану A (вибрати браковану лампу), або до стану А (взяти яшсну лампу). Саме ймовiрнiсть P(S0 ^ A) першого переходу i необхщно знайти для розв'язання задачк За умовою задачi перехiд можна здшснити тiльки через стан Hi (придбавши лампу першого заводу), або через стан H2 (придбавши лампу другого заводу). Стани A i А е поглинальними (потрапивши в яш, «система» бтьше iз них не виходить; задачу розв'язано). Питання, що виникне у студенлв шд час такого коментування розв'язання про недоцтьшсть ускладнень досить простоТ задачу вирiшуеться пропозицiею розв'язати iншу задачу ^з розглянутих далi), де використання формули повноТ ймовiрностi не е таким очевидним.
Обчислення,виконаш у процесi розв'язанш задачi 1, вказують на споаб пiдрaхунку ймовiрностей переходу по побудованш грaфовiй моделi.
Фрагмент моделi Ймовiрнiсть переходу
Р(5п ^ 5к) = р - ймовiрнiсть переходу зi стану 5п до стану 5к; Р(5к) = р-Р(5п)
Р(5т) = я; стан 5т - поглинальний: потрапивши до нього система бтьше з нього не виходить. Петлю, як правило, не зображуватимемо. На попередньому рисунку 5к - поглинальний стан.
Р(5з) = р-д
Р(52) = р + Я-г. Детальнее: Р(51 ^ 52) = Р(51 ^ 52) + Р(51 ^ 5з ^ 52). До стану 52 система може увшти за один крок (51 ^ 52) з iмовiрнiстю р, або за два (51 ^ 5з ^ 52) з iмовiрнiстю Я-г.
Р(52) = р + Я-г + Я5Я-г + Я5Я-5-Я-г + ... ) = р + -Ф—. 1 - rs До стану 52 система може увшти за один крок (51 ^ 52), два (51 ^ 5з ^ 52), чотири (51 ^ 5з ^ 51 ^ 5з ^ 52) ... 2к крокiв.
Останню формулу для Р(52) можна запропонувати студентам прочитати, оперуючи введеними поняттями. Наприклад, так: система 5 зi стану 51 до стану 52 може перейти або безпосередньо з iмовiрнiстю р або через стан 5з. В останньому випадку система мае увшти до 5з з iмовiрнiстю д i перейти до 52 з iмовiрнiстю г (ймовiрнiсть цього переходу складае д-г) або увiйти в 5з (з iмовiрнiстю я) i повернутися до 51 (з iмовiрнiстю 5), пройшовши цикл, i здшснити перехщ 51 ^ 5з ^ 52 (ймовiрнiсть якого д-г). Ймовiрнiсть останнього переходу
Í3 циклом складе q-s-q-r. Продовжуючи далi обчислювати переходи Í3 циклами, отримаемо записану формулу, пiдсумовуючи геометричну прогресiю. Тут i вводиться очевидне поняття цикла (або контура, оскшьки зображений граф е орiентованим).
Жирним шрифтом видмеш сполучники «i» та «або» з метою мнемошчного правила запам'ятовування того, що вживання сполучника «i» вщповщае операцп множення ймовiрностей, а «або» - операци додавання. Цей прийом вщомий студентам i3 теми «Комбiнаторика», де вони оперували i3 правилами суми та добутку.
Таким чином, для розв'язання задачi будуемо Ñ графову модель, визначивши всi можливi стани системи (що описуе задачу), видтяючи початковий 5о та кiнцевий (подiя A). Далi вказуемо переходи мiж станами системи та визначаемо ймовiрностi переходiв (у теорм ланцюгiв Маркова - матрицю ймовiрностей переходiв. Початковий розподiл ймовiрностей у розглядуваних задачах завжди P(So) = 1, P(Sk) = 0, k > 1). З'ясувавши, яку ймовiрнiсть необхiдно обчислити для вщпов^д на запитання задачi, обчислюемо, використовуючи записану вище таблицю.
Зауважимо, що графова модель задачi повинна мати не один поглинальний стан - один iз способiв перевiрки коректност моделi. Обчислення P(So ^ A) можна виконати або вказавши вс можливi шляхи iз початкового у кшцевий стани, або використати формулу повноТ ймовiрностi. Сумiжнi з So вершини можна взяти гiпотезами. Розглянемо обидва способи.
Задача 2. [7, задача 443]. Трое шах^в беруть участь у такому круговому туршрк спочатку змагаються A i B, полм переможець грае з C, шший переможець грае з переможеним у попереднш ^i i т. д. Змагання закшчуеться пiсля двох перемог посшль одного з шахiстiв.
а) Знайти ймовiрнiсть перемоги для кожного з шахiстiв, якщо ва вони однаково майстернi.
б) Яка ймовiрнiсть перемоги для кожного з учаснишв, якщо першу партiю виграв A?
Розв'язання. Введемо так стани системи S = «шахiсти A, B i С»: Sn = «Ak : Bm» (змагаються A i B, маючи
вщповщно к i m перемог). Всього можливих сташв системи 10. Тут числа k i m можуть набувати значень 0 i 1. Якщо якесь iз них набуде значення 2, то спортсмен е переможцем (двiчi посшль перем^). Якщо спортсмен програв, то його шдекс стае нулем. Розглянемо граф щеТ задачк Система перебувае у стаж So, де змагаються A i B, ще не маючи перемог. З iмовiрнiстю 0,5 (спортсмени однаково майстерш) система може перейти в стан Si, де змагатимуться A, що перемiг спортсмена B i мае одне очко i С, що ще не мае перемог (Ai : Bo), а з лею ж iмовiрнiстю в разi перемоги B, система переходить у стан S2, де змагатимуться B i С (Bi : Со). 3i стану Si можливий перехщ або в S3, де переможцем стане A, або в стан S4, де B змагатиметься iз С, який мае очко, i шанс стати переможцем, перев1вши систему в стан Si, i т. д.
В пункт а) необхщно знайти ймовiрностi переходу системи в S3, тобто P(So ^ S3) = P(A). Цей перехiд можливо здшснити так (в дужках вказано ймовiрнiсть кожного переходу):
So ^ Si ^ S3 (0,5-0,5); So ^ Si ^ S4 ^ Se ^ Si ^ S3 (0,55); So ^ Si ^ S4 ^ Se ^ Si ^ S4 ^ Se ^ Si ^ S3 (0,58); So ^ Si ^ S4 ^ Se ^ Si ^ S4 ^ Se ^ Si ^ ... ^ S4 ^ Se ^ Si ^ S3 (0,55+3k, k = 2, 3,...); ..., So ^ S2 ^ S5 ^ S8 ^ S3 (0,54); So ^ S2 ^ S5 ^ S8 ^ S2 ^ S5 ^ S8 ^ S3 (0,57); So ^ S2 ^ S5 ^ S8 ^ S2 ^ S5 ^ S8 ^ S2 ^ S5 ^ S8 ^ S2 ^ S5 ^ S8 ^ S3 (0,54+3k, k = 2, 3,.).
- ■ ■ ■ níAs 1 1 1 1 11 1 5
Пiдсумовуючи ймовiрностi, дiстанемо: P(A) = - + — + — +... + —---- +...+ —- + —- +... + —— +... = —.
4 25 28 25+3k 24 27 24+3k 14
Аналогiчно обчислюемо ймовiрностi перемоги для iнших гравщв. Для вiдповiдi на запитання пункту б) необхщно обчислити такi ймовiрностi: P(A) = P(Si ^ S3), P(B) = P(Si ^ S9), Р(С) = P(Si ^ S7).
Cnoci6 2. Можна використати формулу повноТ ймовiрностi, увiвши двi ппотези: Hk = «Система перейшла iз So в Sk», k = i, 2. Умовш ймовiрностi обчислюемо, врахувавши всi можливi шляхи iз Si до S3, розрiзняючи ймовiрнiсть переходу P(Si ^ S3) взагалi i ймовiрнiсть переходу Pi(Si ^ S3) = 0,5 за один крок: P(A | Hi) = P(Si ^ S3) = Pi(Si ^ S3) + P(Si ^ S4 ^ Se ^ Si ^ S3) = P(Si ^ S3) + P(Si ^ S4 ^ Se ^ Si)-P(Si ^ S3) = = 0,5 + 0,53-P(A|Hi);
Перехiд iз S2 до S3:
P(A | H2) = P(S2 ^ S3) = P(S2 ^ S5 ^ S8 ^ S3) + P(S2 ^ S5 ^ S8 ^ S2 ^ S3) = 0,53 + + P(S2 ^ S5 ^ S8 ^ S2)-P(S2 ^ S3) = 0,53 + 0,53-P(A | H2).
Отже, P( A | H1) =1 +1 P(A | ЯД P( A \H2) =1 +1 P( A | H2). Зв^си P( A | Я1) = P(A\H2) =1.
2 8 8 8 7 7
За формулою повноТ ümobíphoctí P(A) =11 4 +11 = —. Аналопчно знаходимо для B i С:
( ) 2 ^ 7 7) 14
P(B\Hl) =1 +1 P(B\Hi),P(B\H2) =1 +1 P(B\H2).
8 8
2 8
1 4
Зв1дси P(B|H) = P( B|H2) =
7'
P(B)=-f-+41=—.
21 7 7 I 14
P(C|H-) = P(C | H 2) =
P(C | Hl) = - + -P(C | Hl), P(C | H2) = - + -P(C | H2).
P(C)=-f 2+21=4. 21 7 71 -4
7
Маемо:
Обчисленi умовнi ймовiрностi е вiдповiдями на запитання б) задачк
Задача 3. Двое гравцiв А i Б спостер^ають за хлопчиком, що безперестанку пiдкидае монету. Результат пщкидань записують у виглядi послщовност ГЦГЦ... залежно вiд результату шдкидання - гербом чи цифрою випала монета. Гравець А стверджуе, що тршка ГГГ у запису з'явиться рашше, нiж трiйка ГЦГ. Гравець Б стверджуе протилежне. Хто мае бшьше шан0в виграти суперечку?
Розв'язання. Bei можлив1 стани «системи» 5 (cepifl випадань монети) таш: So (випав перший Герб), Si (з'явився другий Герб), S2 (з'явилась Цифра), S3 (з'явився третш Герб), S4 (з'явилась трiйка ГЦГ). S3 i S4- поглинальнi стани. Введемо ппотези: Hk = «Система перейшла iз So в Sk», k = 1, 2. Подiя A = «Ланцюжок ГГГ з'явиться ранiше вщ ланцюжка ГЦГ» вiдбудеться, якщо система S перейде до поглинального стану S3. Ймовiрнiсть кожного переходу, зображеного на графi - моделi задачi - дорiвнюе 0,5. Умовнi ймовiрностi обчислюемо, врахувавши всi можливi шляхи iз Si до S3:
P(A | Hi) = P(Si ^ S3) = Pi(Si ^ S3) + P(Si ^ S2 ^ S3) = 0,5 + 0,5-P(A | H2); P(A | H2) = P(S2 ^ S3) = P(S2 ^ So)-P(So ^ Si) + P(S2 ^ So)-P(So ^ S2) = 0,5-0,5-P(A | Hi) + + 0,5-0,5-P(A|H2). Отже, для умовних ймовiрностей маемо систему рiвнянь:
P(A \ H1) =1 +1 P(A \ H2), P(A \ H2) =1 P(A \ H1) +1 P(A \ H2),
4
4
0,2. За формулою повноТ ймов1рносп
2 2
з яко''' знайдемо: P(A|Hi) = 0,6 i-P(A | H2) P(A) = P(Hi)-P(A | Hi) + P(H2)-P(A | H2) = 0,5-0,6 + 0,5-0,2 = 0,4. Отже, бтьше шанав мае гравець Б.
Задача 4. У cxeMi Бернуллi p - ймовiрнiсть результату i а q = i - p - ймовiрнiсгь результату 0. Знайти ймовiрнiсть Р00111 того, що ланцюжок 00 (два нулi поспiль) з'явиться рашше вщ ланцюжка 111.
Розв'язання. Введемо ппотези: Hk = «Система перейшла iз S0 в Sk», k = i, 2. Подiя A = «Ланцюжок 00 з'явиться рашше вщ ланцюжка 111» вщбудеться, якщо система S (випробування Бернулл^ перейде до поглинального стану 54. Bei можлив1 стани системи такк So (початок випробувань), 5i (з'явилась 1), S2 (з'явився 0), S3 (з'явилось 11), S4 (з'явились 00), S5 (з'явились 111); S4 i S5-поглинальнi стани. Умовнi ймовiрностi обчислюемо, врахувавши всi можливi шляхи iз Si до S3:
P(A|Hi) = P(Si ^ S4) = P(Si ^ S2)-P(Si ^ S4) + P(Si ^ S3 ^ S2 ^ S4) = = q-P(A | H2) + P(Si ^ S3) -P(S3 ^ S2) -P(S2 ^ S4) = p-P(A | H2) + pq-P(A | H2).
P(A | H2) = P(S2 ^ S4) = Pi(S2 ^ S4) + P(S2 ^ Si) -P(Si ^ S4) = q + p-P(A | Hi) Останню формулу студенти прочитають так: система S зi стану S2 до стану S4 може перейти безпосередньо з iмовiрнiстю q або повернутися до стану Si з iмовiрнiстю p i перейти до S4 з iмовiрнiстю P(A|Hi). Отже, для визначення умовних ймовiрностей маемо систему рiвнянь
\P(A|tf,) = qP(A | H2) + pqP(A | H2), P(A | H2) = q + pP(A|H,).
q 2(1 + P)
Розв'язуючи останню, д1станемо: p(A | h ) =
повноТ ймов1рносл P( A) = p •
q + p)
-+q
q
- - pq(-+p) q
P( A|H 2) =
- - pq(- + p)
За формулою
pq 2(-+p)+q2
q(- - p3)
- - pq(- + p) - - pq(- + p) - - pq(- + p) q + p
Висновки. Використання в навчальному процесi графових моделей сприяе формуванню навичок математичного моделювання майбутшх фахiвцiв рiзних iнженерних та економiчних напрямкiв. Викладена методика розв'язування задач може бути використана при вивченш теори ймовiрностей для майбутнiх викладачiв математики. Окремого дослiдження потребуе використання графiв при оцiнювання складностi задач комбшаторики та теори ймовiрностей.
Список використаних джерел
1. Березина Л. Ю. Графы и их применение : Пособие для учителей/ Березина Л. Ю. - М: Просвещение, 1979. - 143 с.
2. Болотюк Л. А. Графовое моделирование как средство уровневой дифференциации текстовых задач в курсе алгебры 8-9 классов : автореф. дисс... канд. пед. наук : спец. 13.00.02 „Теория и методика обучения и воспитания" / Л. А. Болотюк. — Омск, 2002. - 17 с.
3. Быкова Н.П., Рыженко Н.Г. Графовое моделирование структур решений задач как средство их систематизации // Математические структуры и моделирование. - 2004, вып. 14. - С. 128-139.
4. Жигачева Н. А. Графовое моделирование структур решений сюжетных задач в курсе алгебры 7 класса : дисс. канд. пед. наук : 13.00.02 / Жигачева Наталья Алексанровна. - Омск, 2000. - 146 с.
5. Зубков А. М. Сборник задач по теории вероятностей : Учеб. пособие для вузов / Зубков А. М., Севастьянов Б. А., Чистяков В. П. - М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. - 1989. - 320 с.
6. Попов В. М. Графи, як зааб розв'язування систем лшшних рiвнянь на факультативних заняттях // Дидактика математики : проблеми i дослщження, 2004. - вип. 21. - С. 92-98.
7. Садовничий В. А. Задачи студенческих математических олимпиад по математике / Садовничий В. А., Подколзин А. С. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. - 1989. - 206 с.
References
1. Beriozina L. Yu. Graphs and their application : Posobiye dlya uchitelej / Beriozina L. Yu. - М: Prosveshcheniye, 1979. - 143 s. (in Russian)
2. Bolotuyk L. A. Graph modeling as a means of level differentiation of text problems in the course of algebra of 89 classes : thesis ... PhD 13.00.02 „Theory and methods of teaching and education " / L. A. Bolotuyk. — Omsk, 2002. - 17 s. (in Russian)
3. Bykova N. P., Ryzhenko N. G. Graph modeling of decision-making structures as a means of their organization // Matematicheskie struktury I modelirovanie. - 2004, vyp. 14. - S. 128-139. (in Russian)
4. Jigacheva N. A. Graph modeling of the structures of solutions of plot problems in the course of class 7 algebra : thesis. PhD : 13.00.02 / Jigacheva Nataliya Alexandrovna. - Omsk, 2000. - 146 s. (in Russian)
5. Zubkov A. M. Collection of problems in probability theory : Uchebnoe posobie dlya vuzov / Zubkov A. M., Sevastianov B. A., Chistyakov V. P. - M. : Nauka. Gl. red. fiz.-mat. lit. - 1989. - 320 s. (in Russian)
6. Popov V. M. Graphs as a means of solving systems of linear equations on optional classes // Didactics of Mathematics: Problems and Investigations, 2004. - vyp. 21. - S. 92-98. (in Ukrainian)
7. Sadovnichiy V. A. Problems of student mathematical mathematics competitions / Sadovnichiy V. A., Podkolzin A. S. - M. : Nauka. Gl. red. fiz.-mat. lit. - 1989. - 206 s. (in Russian)
GRAPH MODELS IN THE TASKS OF PROBABILITY THEORY Mykola Rashevskyi
Kryvyi Rih National University, Ukraine Abstract. The paper proposes a method of application of graph models in solving tasks on the topic of "Conditional probability". In the modeling task uses the terminology of Markov chains, which is a propaedeutic to the study of this topic in the section "Random processes" or the study of random processes as a separate course. According to the condition of the problem is constructed state graph of the system describes all the possible transitions. Using developed a table that calculated the probability of certain events. Discusses the characteristics and questions of a correctness of models problems. Visibility graphs of models facilitates the perception of complex material, and often makes the standard tasks of increased complexity. The proposed methods for solving problems can be used in the study of probability theory at the technical universities or economic, as the formation of skills for the construction and study of models is part of professional competence of engineer and economist. The material described will also be useful for students of physical and mathematical faculties of future teachers of mathematics.
Key words: teaching mathematics, graphs, graph models, problems in the theory of probabilities, conditional probabilities.
