CC BY
38
Scientific journal
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Кобильник Т.П., Жидик В.Б. Memodu4Hi аспекти навчання дискретних випадкових величин з використанням статистичного середовища R. Ф'!зико-математична освта. 2018. Випуск 2(16). С. 58-62.
Kobylnyk T., Zhydyk V. Methodological Aspects Of Learning Discrete Random Variables With R Package. Physical and Mathematical Education. 2018. Issue 2(16). Р. 58-62.
Анотаця. Стаття присвячена методичним аспектам навчання cmydeHmie теори ÜMoeipHocmeü, зокрема дискретних випадкових величин. Нами проанал'!зовано науков'1 та методичн джерела, порiвняння, узагальнення з метою визначення стану проблеми та перспективних напрямкв досл'дження. Рекомендуеться використовувати статистичне середовище R як за^б навчання теорИ ймов'рностей та математичноi статистики. Перш за все R -мова високого рiвня та середовище для анал'!зу статистичних даних та ix графiчноi в'1зуал'1зацИ R - вльне програмне середовище з в'дкритим кодом, що поширюеться в рамках проекту GNU. Широке навчання теорИ ймов'рностей та математично}' статистики на основi пакет'в цього середовища i всесвтня пдтримка науковим спвтовариством обумовили те, що наведення скрипт'!в R поступово стае загальновизнаним «стандартом» як в журнальних пyблiкацiяx, так i в неформальному спшкуванш науков^в усього св'ту. Сл'д зазначити, що е клька графiчниx iнтерфейсiв користувача для R (RStudio, R Commander та iншi), але вони не так хорошi, як iнтерфейси Statistica або IBM SPSS.
Методи теорП ймов'рностей використовуються в р'вних галузях науки. Здатшсть i вм'ння використовувати р'1зн'1 ймовiрнiсно-статистичнi методи для анал'ву експериментальних даних е одшею з важливих умов для навчання вчител'в iнформатики. Впровадження ймов'ршсно-статистичних метод/'в анал'!зу в навчальний процес дозволяе п/'двищити рiвень пдготовки вчителiв. Теорiя ймов'рностей е основою математично}' статистики. У статт'1 наведено переваги та недол'ки R, приклади його використання для розв'язування деяких задач теорИ ймов'рностей, зокрема вивчення дискретних випадкових величин з б'шом'шльними, геометричними, г'тергеометричними та розподлами Пуассона. Для деяких випадкових величин ми показали, як обчислити математичне спод'вання та дисперсю, використовуючи пакет R. Подальшi досл'дження ми зосередимо на анал'з можливостей використання пакета R для статистичного моделювання, iнтелектуального анал'!зу даних та методиц }х навчання в педагог'чному ун'верситет'!.
Ключов! слова: теорiя ймов'рностей, дискретн випадков'1 величини, статистичне середовище R.
Постановка проблеми. Теорiя kiMOBipHOCTeki е основою математично! статистики. Теорiя kiMOBipHOCTeki та математична статистика е важливою складовою фундаментально! пщготовки як фахiвцiв з шформацшних технологш, так i педагопв. Для майбутых вчителiв (не ттьки Ыформатики, фiзики чи математики) знання методiв теори ймовiрностей та математично! статистики е необхщними для здмснення статистичного аналiзу даних у психолого-педагопчних дослщженнях. Тут слщ вщзначити навчальний поабник [1], у якому стисло подано основи теори ймовiрностей та математично! статистики та детально розглянуто методи перевiрки статистичних ппотез, що виникають пщ час опрацювання результат психолого-педагопчних експериметчв. Сьогодн неможливо уявити навчальний процес в уыверситет^ в тому чи^ i педагопчному, без використання Ыформацмних технологш. У навчанн студенев шформатинчих, фiзико-математичних, природничих спе^альностей педагопчного уыверситету використовуеться програмне забезпечення як загального, так i спещального призначення. Одним з основних понять теори ймовiрностей е поняття випадково! величини.
Аналiз актуальних дослщжень. Для навчання дисциплши «Теорiя ймовiрностей та математична статистика», як правило, обирають програму MS Excel [7]. У пщручник [4], де подано основи теори ймовiрностей та математично! статистики для побудови графiчних зображень, обчислення значень виразiв, визначених iнтегралiв, аналiзу статистичних даних, визначення числових характеристик розподЫв ймовiрностей, в тому чи^ статистичних, передбачаеться використання програми Granl [3]. Рщше обирають певну систему комп'ютерно! математики, зокрема у поабнику [1] у
УДК 378.14
Т.П. Кобильник1, В.Б. Жидик2
Дрогобицький державний педагогiчний унверситет iменi 1вана Франка, Украна
1kobylnyktaras@gmail.com, 2zhvb63@gmail.com DOI 10.31110/2413-1571-2018-016-2-011
2
МЕТОДИЧН1 АСПЕКТИ НАВЧАННЯ ДИСКРЕТНИХ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН
З ВИКОРИСТАННЯМ СТАТИСТИЧНОГО СЕРЕДОВИЩА R
роздЫ, присвяченому вивченню випадкових величин, використовуеться система комп'ютерно' математики Maple, що звiльняe користувача в^д значно''' частини технiчноï роботи при обчисленнях. У працях [5, 8, 9, 10] проаналiзовано розв'язування окремих задач з теорп ймовiрностей та математично''' статистики з використанням статистичного середовища R.
Мета CTaTTi: методичнi аспекти використання статистичного середовища R у процес навчання дискретних випадкових величин.
Методи дослщження. Для дослiдження використовувались такi методи: системний науково-методолопчний аналiз пiдручникiв i навчальних посiбникiв, монографiй, дисертацiйних дослщжень, статей i матерiалiв науково-методичних конференцш з проблеми дослiдження; спостереження навчального процесу; аналiз результатiв навчання студенев у вiдповiдностi до проблеми дослщження; синтез, порiвняння та узагальнення теоретичних положень, розкритих у науковм та навчальнiй лiтературi; узагальнення власного педагопчного досвiду та досвiду колег з Ыших закладiв вищо'' освiти.
Виклад основного матерiалу. Для супроводу навчання дисциплши «Теорп ймовiрностей та математична статистика» пропонуеться використовувати статистичне середовище R. Серед його переваг слщ вiдзначити такi:
- е втьнопоширюваним програмним забезпеченням;
- кнують реалiзацiï пiд операцiйнi системи Windows, Mac OS X, Linux;
- вбудована система допомоги та пщказок;
- хороша графiчна вiзуалiзацiя подання даних та результат 'хнього аналiзу;
- можливiсть самостiйного написання необхщних функцiй;
- багато лiтератури з R у втьному доступi.
Серед недолЫв необхiдно вiдзначити: на вщмшу вiд бiльшостi комерцiйних програм R мае не графiчний iнтерфейс, а Ытерфейс командного рядка (орiентацiя на програмування), тому треба знати необхщж для роботи функцп та синтаксис мови програмування (цей недолт ывелюеться наявнiстю графiчних iнтерфейсiв);
Одним з основних понять теорп ймовiрностей е поняття випадково'' величини. Випадковi величини - це математичн моделi величин, що з'являються при проведеннi стохастичних експериментiв. Наприклад, виграш в азартних ^рах, число вiдбувань подп А при n незалежних випробувань, тривалкть роботи пристро'в, помилки при вимiрюваннях, екзаменацiйнi оцiнки тощо. Випадковi величини можуть бути неперервними та дискретними. Випадковi величини мають деякий розподт ймовiрностей.
Для кожного з розподЫв ймовiрностей у статистичному середовищi R реалiзовано чотири функцп:
1) dname - ймовiрнiсть набуття випадковою величиною певного конкретного значення (для ДВВ) або значення функцп щтьносп розподту (для НВВ) - префтс d перед назвою розподiлу;
2) pname - функцiя розподiлу - префiкс p перед назвою розподiлу;
3) qname - квантилi розподiлу - префтс q перед назвою розподту;
4) rname - генерування значень випадково'' величини за заданим розподтом - префiкс r перед назвою розподту.
Зауважимо, що name - це назва одного з розподЫв ймовiрностей на множин значень випадково'' величини. У статтi розглянуто там розподти ймовiрностей дискретних випадкових величин як бiномiальний (binom), Пуассона (pois), геометричний (geom) та гiпергеометричний (hyper).
Як правило, змкт навчання роздту теми «Дискреты випадковi величини» мктить питання, пов'язанi з вивченням розподЫв ймовiрностей, зокрема рiвномiрного, бiномiального, Пуассона, геометричного, ппергеометричного. У статистичному середовиш^ R серед iнших реалiзованi й наведен розподiли ймовiрностей дискретних випадкових величин. Розглянемо ктька задач та проаналiзуемо можливостi використання статистичного середовища R для 'х розв'язування.
Бiномiальний розподт ймовфностей. Дискретна випадкова величина f мае бiномiальний розподiл ймовiрностей, якщо ймовiрнiсть ïï можливих значень обчислюеться за формулою Бернуллi:
рк = = к}) = С*рк • qn-k,k е 0 , 1 , . . п, де р - ймовiрнiсть «устху», де q - ймовiрнiсть «невдачЬ» в одному випробуваннi, причому р + q = 1.
Задача 1. Виконуеться 3 незалежних пострти по мiшенi. Ймовiрнiсть влучення при одному пострiлi дорiвнюе 0,35. Побудувати ряд розподiлу ймовiрностей випадково' величини f - ктьккть влучень. Побудувати многокутник розподiлу ймовiрностей випадково' величини f. Обчислити ймовiрнiсть > 1). Знайти математичне сподiвання та дисперсiю випадково'' величини f.
Розв'язування. Очевидно, що множиною можливих значень випадково'' величини f е множина П = {0,1,2,3}. Зпдно умови задачi ймовiрнiсть «устху» р = 0.35, ймовiрнiсть «невдачЬ» q = 1 — р = 1- 0.35 = 0.65. За формулою Бернуллi
рк = = к}) = С$рк • q3-k,k е П. Надаючи к значень 0,1,2,3, отримаемо ряд розподту ймовiрностей (див.таблиця 1).
Таблиця 1.
0 1 2 3
Pk = P({Ç = k}) 0.274625 0.443625 0.238875 0.042875
> 1) = = 1) + = 2)= 0.238875 + 0.042875 = 0.28175. Згiдно формул для обчислення математичного сподiвання, дисперсп для випадково'' величини, розподiленоï за бiномiальним розподiлом, отримуеться:
M(f) = пр = 3 • 0.35 = 1.05;D(£) = npq = 3 • 0.35 • 0.65 = 0.6825.
Реалiзацiя в R.
1)
побудова ряду розподту ймов1рностей випадково!' величини
2)
за функцию plot будуемо многокутник розподiлу ймовiрностей випадково! величини
> plot [0 : il, dfciinom (0 : n, n, р ) , type= "b")
3) обчислення ймовiрностi P(Ç > 1) можна таким чином:
а) використаемо функцию sum:
> #обчислення iäHüBipHüCTi 01льше одного влучення
б) використаемо функц1ю pbinom:
> pbinom ( 1, n, р, lotrer=FALSE)
Зауваження 1. У функцп pbinom використано значення lower=FALSE. Таким чином обчислюеться ймовiрнiсть > х). За замовчуванням е значення lower=TRUE, тобто обчислюеться ймовiрнiсть < х).
Зауваження 2. У впчизнянш лiтературi з теори ймовiрностей та математично! статистики, зокрема [2, 5], функ^я розподiлу F(x) = Р(£ < х). У зарубiжнiй лiтературi, зокрема [7, 8, 9], F(x) = Р(£ < х), тобто права межа iнтервалу включаеться. Саме так, як у зарубiжнiй лiтературi з теори ймовiрностей та математично! статистики, у програмному середовиш^ R реалiзована функцiя розподiлу ймовiрностей, на що треба звертати увагу пщ час розв'язування задач.
4) для знаходження математичного сподiвання та дисперси D(Ç) випадково! величини f зручно використовувати вщповщно функцп wtd.mean та wtd.var з пакету Hmisc:
> йматематичне спод1вання
> wtd.iriean (0 : п, рр) [1] 1.05
> #дисперс1я
> wtd.var (0 : n, pp,method=,rML,r) [1] 0.6825
Розподт Пуассона. Дискретна випадкова величина f мае розподiл Пуассона, якщо ймовiрностi ÏÏ можливих значень обчислюеться за формулою
ч Хк Я
де к = 0,1,2, ...,п, Л = пр. Розподт Пуассона пов'язаний з бiномiальним таким чином. При необмеженому збтьшены n за умов n ^ œ, р ^ 0 (або q ^ 0) i пр = Л = const бiномiальний розподiл iмовiрностей асимптотично наближаеться до розподту Пуассона.
Задача 2. Визначити ймовiрнiсть того, що на АЗС знаходиться один або принайми один автомобть, якщо середне число автомобЫв, якi знаходяться у даний термш часу на АЗС дорiвнюе 4.
Розв'язування. За умовою задачi маемо Л = 4. Тодi за формулою Пауссона ймовiрнiсть того, що на АЗС знаходиться принайми один автомобть:
Л1
p(Ç = 1) = —e-Ä = 4 • е-4 ~ 0.07326. Ймовiрнiсть того, що на АЗС знаходиться бтьше одного автомобтя:
л°
P(Ç > 1) = 1 - P(Ç = 0) = !-'ще-Л = 1-е-4 ~ 0.981684.
Реалiзацiя в R.
> dpois (1, 4) #ймов1рнп.сть заходження 1 автомобп-ля
> 1-dpois [0,4) SiiMOBipHicTb знаходження 61льи1е одного автоноб1ля
Геометричний розподiл. Випадкова величина f мае геометричний розподiл з параметром р (р > 0), якщо
= (1 - p)n-1p, п е L2T.
Задача 3. Гральний кубик пщкидаеться до першоУ появи цифри 3. Знайти ймовiрнiсть того, що гравцю доведеться 4 рази пiдкидати кубик.
Розв'язування. За умовою задачi п = 4,р = 1/6. Тодi згiдно формули
Згiдно формули, Р^ (4) = (l -1)4 11 = ~ 0.09640506. Реал1зац1я в R. ^
First Four, р =1/6
ю о
LTJ О
О
| £ CL О
о о о
-1-I--Т--Т-к
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
Х= Number of Trials
Ппергеометричний розподт. Випадкова величина f мае ппергеометричний розподiл, з параметрами (N,M,n),n < М,п < N — М, якщо P(f = m) = де т = 0,1,2, „.п.
Cjv
Нехай в урн мiститься N куль, серед них М - бЫ, решта (W — М) - чорнi. Ктьюсть бiлих куль серед п (п < М, п < N — М) навмання вибраних з урни мае ппергеометричний розподт з параметрами (W,M,n).
Задача 4. В урн метиться сiм однакових за розмiром куль, серед яких три бтих, решта - чорнi. Побудувати ряд розподту ймовiрностей випадковоУ величини f - кiлькостi куль бiлого кольору серед 4 вибраних. Обчислити математичне сподiвання M(f) та дисперсiю D(f).
Розв'язування. Випадкова величина f мае ппергеометричний розподт, зпдно якого ймовiрностi для кожного
^fc^-4-fc _
можливого значення випадковоУ величини обчислюеться за формулою P(f = fc) = -3—4—, fce0,3. Обчисливши ймовiрностi, отримаемо такий ряд розподту (таблиця 2).
Таблиця 2.
0 1 2 3
pfc = P((f = fc}) 1 35 12 35 18 35 4 35
Реал1зац1я в R.
> p=dhyper(0:3,3,4,1);round(cbind(0:3,р),4) Р
[1,] 0 0.0286
[2,] 1 0.3429
[3,] 2 0.5143
[4,] 3 0.1143
Слщ звернути увагу на те, що тип чисел у статистичному середовиш^ R отримуеться у дшсному формат^ а не у виглядi звичайного дробу.
Висновки. У статт проаналiзовано можливостi використання статистичного середовище R для розв'язування задач теорп ймовiрностей, зокрема з роздiлу дискреты випадковi величини. Статистичне середовище R е одыею з кращих програм для навчання студенев iнформатичних та фiзико-математичних спецiальностей статистичних методiв аналiзу експериментальних даних, враховуючи безкоштовнiсть та можливкть роботи пiд управлiнням рiзних операцiйних систем, в тому чи^ i Linux. Серед недолiкiв R слщ зазначити орiентацiю на програмування (хоча це може ывелюватися наявыстю рiзноманiтних графiчних iнтерфейсiв). Подальшi дослщження будуть спрямованi на аналiз можливостей використання статистичного середовища R для розв'язування задач статистичного моделювання, штелектуального аналiзу даних та методицi Ух навчання у педагогiчному унiверситетi.
Список використаних джерел
1. Бабенко В.В. Основи теорп kiMOBipHOCTeki i статистичн методи аналiзу даних у психолопчних i педагогiчних експериментах: навч. посiбник . Львiв: Видавничий центр ЛНУ iMeHi 1вана Франка, 2009. 184 с.
2. Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая статистика. К.: Вища школа, 1979. 408 с.
3. Жалдак М.1., Горошко Ю.В., Вшниченко £.Ф. Математика з комп'ютером : посiб. для вчителiв. 2-ге вид. К. : НПУ iM. Драгоманова, 2009. 282 с.
4. Жалдак М.1., Кузьмiна Н.М., Михалш Г.О. Теорiя ймовiрностей i математична статистика: Пiдручник для студенпв фiзико-математичних та iнформатичних спецiальностей педагопчних унiверситетiв. Видання трете, перероблене i доповнене. Ки!'в: НПУ iменi М.П. Драгоманова, 2015. 705 с.
5. Зарядов И.С. Статистический пакет R: теория вероятностей и математическая статистика: Учебно-методическое пособие. М.: РУДН, 2010. 141 с.
6. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Наука, 1974. 132 с.
7. Руденко В. М. Математична статистика. Навч. поаб. К.: Центр учбово!' лтератури, 2012. 304 с.
8. Dekking F.M., Kraaikamp C., Lopuhaa H.P., Meester L.E. A Modern Introduction to Probability and Statistics: Understanding Why and How. Springer-Verlag London Limited, 2005. 483 p.
9. Durrett R. Probability: Theory and Examples. Fourth Edition. Cambrige: Cambrige University Press, 2010. 440 p.
10. Ugarte M.D., Militino A.F., Arnholt A.T. Probability and statistics with R. Boca Raton, London, New York: CRC Press, Taylor&Francis Group, 2008. 700 p.
References
1. Babenko V.V. Osnovy teorii ymovirnostei i statystychni metody analizu danykh u psykholohichnykh i pedahohichnykh eksperymentakh: navch. posibnyk . Lviv: Vydavnychyi tsentr LNU imeni Ivana Franka, 2009. 184 s. (in Ukrainian)
2. Gihman I.I., Skorohod A.V., Jadrenko M.I. Teorija verojatnostej i matematicheskaja statistika. K.: Vishha shkola, 1979. 408 s. (in Russian)
3. Zhaldak M.I., Horoshko Yu.V., Vinnychenko Ye.F. Matematyka z kompiuterom : posib. dlia vchyteliv. 2-he vyd. K. : NPU im. Drahomanova, 2009. 282 s. (in Ukrainian)
4. Zhaldak M.I., Kuzmina N.M., Mykhalin H.O. Teoriia ymovirnostei i matematychna statystyka: Pidruchnyk dlia studentiv fizyko-matematychnykh ta informatychnykh spetsialnostei pedahohichnykh universytetiv. Vydannia tretie, pereroblene i dopovnene. Kyiv: NPU imeni M.P. Drahomanova, 2015. 705 s. (in Ukrainian)
5. Zarjadov I.S. Statisticheskij paket R: teorija verojatnostej i matematicheskaja statistika: Uchebno-metodicheskoe posobie. M.: RUDN, 2010. 141 s. . (in Russian)
6. Kolmogorov A.N. Osnovnye ponjatija teorii verojatnostej. M.: Nauka, 1974. 132 s. (in Russian)
7. Rudenko V. M. Matematychna statystyka. Navch. posib. K.: Tsentr uchbovoi literatury, 2012. 304 s. (in Ukrainian)
8. Dekking F.M., Kraaikamp C., Lopuhaa H.P., Meester L.E. A Modern Introduction to Probability and Statistics : Understanding Why and How. Springer-Verlag London Limited, 2005. 483 p. (in English)
9. Durrett R. Probability: Theory and Examples. Fourth Edition. Cambrige: Cambrige University Press, 2010. 440 p. (in English)
10. Ugarte M.D., Militino A.F., Arnholt A.T. Probability and statistics with R. Boca Raton, London, New York: CRC Press, Taylor&Francis Group, 2008. 700 p. (in English)
METHODOLOGICAL ASPECTS OF LEARNING DISCRETE RANDOM VARIABLES WITH R PACKAGE Taras Kobylnyk, Volodymyr Zhydyk
Drohobych Ivan Franko State Pedagogical University, Ukraine
Abstract. The article is devoted to methodological aspects of teaching students of probability theory, in particular discrete random variables. Scientific and methodological sources were analyzed, comparison, generalization was used to determine the state of the problem and perspective directions of its solution. R is recommended to be used as a learning tool for probability theory and mathematical statistics. First of all R is a high-level language and an environment for data analysis and graphics. It is a GNU project. It is a free software environment with open source. Learning of statistical analyses with R and global scientific community support has resulted that R scripts are the standard for both of articles and in informal communication of scientists around the world. It should be noted there are several Graphical User Interfaces for R (RStudio, R Commander and others), but they are not as good as the interfaces Statistica or IBM SPSS.
Probability theory methods is being used in various fields of science. The ability and skills to use various statistical methods for analyzing experimental data is one of the important conditions for the training of computer science teachers. The introduction of statistical methods of analysis in the educational process makes it possible to improve the level of teacher training. The probability theory is the basis of mathematical statistics. In the article we have presented the advantages and disadvantages of R, examples of its use for solving some problems of probability theory, in particular to study discrete random variables with a binomial, geometric, hypergeometric, and Poisson distributions. For some random variables, we showed how to calculate the mathematical expectation and variance using the R package. Further research we will focus on the analysis of the possibilities of using the R package for solving problems of statistical modeling, data mining and teaching methodology at the pedagogical university.
Keywords: Probability Theory, Discrete Random Variables, R package.
