CC BY
48
Scientific journal
PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал
Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видаеться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Друшляк М.Г., Лукашова Т.Д., Скаск')в Л.В. Навчання майбутшх вчител'в математики розв^язувати задач') теорП' графiв i3 використанням GEOGEBRA. Ф')зико-математична освта. 2019. Випуск 1(19). С. 35-40.
Drushlyak M.G., Lukashova T.D., Skaskiv L.V. Learning Future Math Teachers To Solve The Problems Of Graph Theory Using Geogebra. Physical and Mathematical Education. 2019. Issue 1(19). Р. 35-40.
DOI 10.31110/2413-1571-2019-019-1-006 УДК 378.14: 371.214.46:[004.78:51]
М.Г. Друшляк
Сумський державний педагогiчний унверситет iменi А.С. Макаренка, Укра)на
[email protected]. ua ORCID: 000-0002-9648-2248 Т.Д. Лукашова
Сумський державний педагогiчний унверситет iменi А.С. Макаренка, Укра)на
[email protected] ORCID: 0000-0002-1465-9530 Л.В. Скасмв
Нацональний унверситет державноi фокально)' служби Укра)ни, Укра)на
[email protected] ORCID: 0000-0001-9090-6700
НАВЧАННЯ МАЙБУТН1Х ВЧИТЕЛ1В МАТЕМАТИКИ РОЗВЯЗУВАТИ ЗАДАЧ1 ТЕОРП ГРАФ1В 13 ВИКОРИСТАННЯМ GEOGEBRA
АНОТАЦ1Я
П)дготовка фах1вц1в у галуз) математики, комп'ютерних та техн)чних наук, учител1в природничо-математичних специальностей передбачае вивчення р1зних роздт1в сучасно)' математики, серед яких теор1я граф1в займае особливе мсце в силу свое)'затребуваност) у р1зних галузях людсько)' д1яльност1.
Формулювання проблеми. Теор1я граф1в позиц1онуеться як наука про абстрактн) об'екти та зв'язки м)ж ними, що, у свою чергу, обумовлюе формал1зац1ю умов типових задач, )х в1дрив в)д реальности й у багатьох випадках передбачае виконання гром'вдких обчислень, результат яких не лише «не вдчуваеться» студентами, але й часто вдштовхуе своею формал1зован1стю. Це спричиняе труднощ1 у сприйнятт1 студентами навчального матер'юлу з теорПграф1в, а тому виникае потреба у пошуку шлях1в )х уникнення. Метою статт) е опис методичного пдходу у навчанн) майбутшх вчител1в математики розв'язувати задач': теорП граф1в, умови яких «прив'язуються» до мсцевого матер'юлу /' передбачають формування у майбутн1х фах1вц1в умння застосовувати набут1 знання на практик, )з використаннямпрограми GeoGebra.
Матер/'али / методи. Анал)з та систематизаця науково-педагог)чно)' л)тератури з використання спец)ал)зованих програмних засобв при вивченн) р1зних галузей вищо)' математики, зокрема, дискретно)' математики. Емп)ричний анал)з комп'ютерного )нструментар)ю програмних засоб'ю предметного спрямування у контекст) розв'язування задач теор))' граф)в та в)зуал)зац))'результатв.
Результати. Анал'в комп'ютерного )нструментар)ю окремих програм динам)чно)' математики дозволив видлити специф)чн) комп'ютерн) нструменти, ор)ентован) на теор)ю граф)в Нами пропонуеться використання GeoGebra, де розробниками закладено р)зноман)тн) )нструменти для роботи з графами, як) зосереджен) у розд 'ш) Дискретная математика: д)аграма Вороного, триангуляця Делоне, задача комвояжера, найкоротша вдстань, м)н)мальне шстякове дерево, опукла оболонка. Зауважимо, що використання програми GeoGebra дозволяе не тльки розв'язати типов) задач) курсу, а ) пов'язати кожну задачу з реальною життевою ситуац)ею через використання м)сцевого матер)алу та його в)зуал)зац)ю.
Висновки. Попередн) результати навчання п)дтверджують ефективн)сть описаного пдходу та доц/'льн/'сть використання саме програми GeoGebra при вивченн) теор))' графв.
КЛЮЧОВ1 СЛОВА: теор':я графiв, д':аграма Вороного, триангуляц'я Делоне, задача ком'!вояжера, найкоротша в'дстань, м'1н'1мальне шстякове дерево, програми динам'чно)'математики, GeoGebra.
ВСТУП
Постановка проблеми. Пщготовка фахiвцiв у ^y3i математики, комп'ютерних та техычних наук, учителiв природничо-математичних спещальностей передбачае вивчення рiзних роздЫв сучасно!' математики, серед яких теорiя
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
графiв займае особливе мкце в силу свое! 3aTpe6yBaHOCTÍ у рiзних галузях людсько' дiяльностi (транспорты i комп'ютерн мережГ, будiвельне проектування, молекулярне моделювання тощо). Водночас, цей роздт математики позицiонуеться як наука про абстракты об'екти та зв'язки мiж ними, що, у свою чергу, обумовлюе формалiзацiю умов типових задач, '¡х вiдрив вiд реальностi, й у багатьох випадках передбачае виконання громiздких обчислень, результат яких не лише «не вщчуваеться» студентами, але й часто вщштовхуе своею формалiзованiстю. Це спричиняе труднощi у сприйнятт студентами навчального матерiалу з теорп графiв, а тому виникае потреба у пошуку шляхiв ¡х уникнення.
З iншого боку, сучасна математична освГта пронизана iдеею використання спецiалiзованих комп'ютерних засобiв математичного спрямування, серед яких окремою групою видтяють програми динамiчно¡ математики (ПДМ) i системи комп'ютерно' математики (СКМ). Традицшно використання перших пов'язують iз застосуванням у елементаршй математицi та розв'язуванням задач шкГльного курсу. Використання систем комп'ютерно' математики у бiльшiй мiрi спрямоване на розв'язування задач вищо' математики. Водночас, прискiпливий аналiз ГнструментарГю окремих ПДМ, якi на вщмЫу вiд СКМ бiльш простi у використаны, дозволяе видiлити специфiчнi комп'ютерн iнструменти, орiентованi на рiзнi галузi вищо' математики - аналiтичну геометрю лiнiйну алгебру, теорiю множин, теорГю ймовiрностей i математичну статистику (Semenikhina & Drushlyak, 2015) тощо.
Тому вбачаемо перспективним використання ПДМ й при вивченн теорп графiв.
Аналiз актуальних дослiджень. Про використання спецiалiзованих програмних засобiв у математичнiй освт зазначали науковцi М. I. Жалдак, Г. О. МихалЦ Н. В. Морзе, С. А. Раков, С. О. Семертов, О. В. Стваковський, Ю. В. Триус. Зокрема, у роботах Г. О. Михалша, С. О. Семертова, Ю. В. Триуса обГрунтовано доцiльнiсть використання СКМ Maple, Maxima, Sage та Ыших при вивченн курсiв математичного аналiзу, диференцГальних рiвнянь, вищо' алгебри тощо. Проведений нами аналiз команд цих програм, дотичних до теорп графiв, хоч i виявив широкий спектр можливостей ¡х застосування, але пщтвердив формалiзованiсть i типовiсть комп'ютерного iнструментарiю. У бГльшост з них стандартний набiр iнструментiв дозволяе схематично зобразити граф вказаного виду, побудувати його дiаграму за перелтом вершин i ребер, визначити найкоротшл шляхи мiж заданими парами вершин, побудувати кктякове дерево, визначити правильн розфарбування вершин i ребер графа тощо. При цьому розробниками передбачаеться, що користувач може правильно штерпретувати наданi програмою результати та усвщомлюе аргументи у синтаксис команд.
Нами пропонуеться ще один програмний зааб для пiдтримки вивчення теорп графiв - ПДМ GeoGebra, де окрiм набору типових команд е можливГсть пов'язати кожну задачу з реальною життевою ситуацiею через використання мкцевого матерiалу та його вiзуалiзацiю. Про ефективнiсть останнього пщходу в освiтньому процесi зазначали А. Дктервег, Я. А. Коменський, Н. I. Новтов, Ж. Ж. Руссо, Д. Д. Семенов, А .У. Уртенова, К. Д. Ушинський та н
Метою дано'' статт е опис методичного пщходу у навчанн майбутнiх вчителiв математики розв~язувати задачi теорГ'' графiв, умови яких «прив'язуються» до мiсцевого матерiалу i передбачають формування у майбул-лх фахiвцiв умЫня застосовувати набутi знання на практик, Гз використанням GeoGebra.
МЕТОДИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ
АналГз та систематизацГя науково-педагопчно' лГтератури з використання спецГалГзованих програмних засобГв при вивченнГ рГзних областей вищо' математики, зокрема, дискретно'' математики. Емтричний аналГз компьютерного ГнструментарГю програмних засобГв предметного спрямування у контекстГ розв'язування задач теорп графГв та вГзуалГзацп результатГв розв~язання.
РЕЗУЛЬТАТИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ
Зазвичай використання комп'ютерних програм при вивченнГ теорп графГв зводиться до просто' побудови вершин та ребер графа, визначеннГ деяких характеристик графа (планарносп, ейлеровост тощо) та виконаннГ ряду елементарних дш (визначеннГ степенГв вершин, побудовГ каркасного дерева, пошуку найкоротших шляхГв мГж вершинами у зваженому графГ).
Розробниками ПДМ GeoGebra (GeoGebra Wiki) закладено бГльш рГзноманГтнГ Гнструменти для роботи з графами, якГ зосередженГ у роздГлГ Дискретная математика: Диаграмма Вороного, Триангуляция Делоне, Коммивояжер, Кратчайшее Расстояние, Минимальное Остовное Дерево, Выпуклая Оболочка, Оболочка, i якГ реалГзуються через рядок вводу (Есаян, Добровольский, Седова & Якушин, 2017; Falcón & Ríos, 2015; Falcón, Moreno & Ríos, 2016).
ВказанГ команди дозволяють розв'язати широке коло задач, причому побудова графу може здГйснюватися Гз прив'язкою до готових схем, планГв та карт мкцевосп. Це випдно вщрГзняе ПДМ GeoGebra вщ шших СКМ, дозволяе продемонструвати прикладний аспект теорп графГв (у тому числГ з орГентацГею на мГсцевий матерГал) i тим самим викликати особистий Гнтерес у студентГв до вивчення теорп графГв.
Наведемо приклади задач, розв'язання яких передбачае використання перелГчених вище команд.
1. Команда - ДиаграммаВороного(<Список точек>).
Пояснення. Нехай на площинГ задана скГнченна множина точок Р. ДГаграмою Вороного множини Р називаеться таке розбиття площини, при якому кожна область розбиття (комГрка Вороного) е геометричним мГсцем точок, що знаходяться до одного з елементГв множини Р ближче, нГж до будь-якого Гншого елемента цГе' ж множини.
Приклад. На картГ мГста Суми точками вщмГчен поштовГ вГддГлення. Позначте свое мкце розташування i з'ясуйте, яке з поштових вщдГлень знаходиться до Вас найближче.
Методичний коментар. Для розв'язання задачГ потрГбно побудувати дГаграму Вороного для множини поштових вщдГлень, тобто розкреслити карту мГста так, щоб в кожнш комГрцГ знаходилося тГльки одне поштове вГддГлення i для вах точок вщповщно''' комГрки воно б було найближчим.
Отримане розбиття е дГаграмою Вороного поштових вщдтень мГста (рис. 1).
Вщповщь: Найближчим е вГддГлення, що вщповщае вершинГ D.
Рис. 1. Дтграма Вороного для множини поштових вiддiлень
2. Команда - ТриангуляцияДелоне(<Список точек>).
Пояснення. Нехай на площин задана сюнченна множина Р точок площини (що не лежать на однш прямм). Трiангуляцiя Делоне - це таке розбиття площини на трикутн областi, при якш жодна з точок множини Р не мктиться усерединi кола, описаного навколо довтьного з утворених трикутникiв.
Якщо в дiаграмi Вороного точки множини Р уах суадых областей з'еднати вiдрiзками, то отримаемо неорieнтований граф, який i е трiангуляцiею Делоне.
Приклад. Для торпвельного залу супермаркету потрiбно визначити м^мальну кiлькiсть камер спостереження.
Методичний коментар. Одним iз застосувань трiангуляцií Делоне е побудова зон видимост за заданим положенням спостер^ача: необхiдно визначити, як дiлянки поверхнi вiн бачить, а як нi. Така проблема виникае, зокрема, при побудовi пожежних веж, радарних станцй теле-, радювеж, розмiщеннi камер спостереження тощо. При цьому, принцип побудови триангуляцп Делоне виключае виникнення так званих слтих зон, тобто дiлянок, якi будуть невидимi для спостерiгача.
Торгiвельна зала представлена многокутником, у вершинах якого повинн бути розмiщенi камери. Щоб розв'язати задачу, потрiбно многокутник трiангулювати i розфарбувати вершини трьома рiзними кольорами так, щоб кожен трикутник мiстив всi три кольори. Пкля цього найменший набiр вершин того ж кольору визначае положення камер. Цей набiр мае не бтьше [п/3] вершини, де п - кшьшсть вершин многокутника.
На рис. 2 побудована трiангуляцiя Делоне для торпвельного залу супермаркету. Зауважимо, що будь-який з трьох отриманих наборiв вершин одного кольору (кольоровий клас) визначае один iз способiв розподту камер спостереження, оскiльки всi таю класи мiстять по 8 вершин.
Рис. 2. Трiангуляцiя Делоне для торпвельного залу супермаркету
4. Команда - Коммивояжёр(<Список точек>).
Пояснення. Задача ко/^вояжера (англ. Travelling salesman problem, скорочено TSP) полягае у знаходженн найвипдншого маршруту, що проходить через зазначен мкта по одному разу. В умовi задачi вказуеться критерм вигiдностi маршруту (найкоротший, найдешевший тощо).
Нехай маемо n (n>1) населених пункт i кожна пара цих пунк^в сполучена шляхом. Комiвояжер, вирушаючи зi свого населеного пункту, повинен вщвщати n-1 iнших населених пунклв, побувавши у кожному з них по одному разу, i повернутися назад. Задача комiвояжера полягае у знаходженн найкоротшого з таких маршрулв.
При невеликих n задача розв'язуеться перебором уах замкнутих маршрутiв, що проходять по одному разу через кожен з населених пунклв.
Що являе собою задачi комiвояжера в умовах сучасного мкта? Наприклад, по'здка по магазинах побутово''' електронiки. Покупець ви'жджае з дому, обЧжджае 5 магазишв i повертаеться назад. Як правило, людина в цьому випадку
шту'''тивно використовуе «жадiбний» алгоритм, тобто, перша по!'здка до найближчого вщ будинку магазину, в^д нього до найближчого наступного i т.д. Але вщзначимо, що загальна кшьшсть варiантом, якими можна перемiститися мiж магазинами становить факторiал 5 рiвний 120 варiантiв, i «жадiбний» алгоритм може програти в вщстаы в середньому 10% -20% оптимальному.
Безумовно, реальне життя накладае рiзнi обмеження на пошук оптимального варiанту. Розглянемо ктька практичних застосувань задачi комiвояжера: доставка продуктiв в магазини з оптового складу виробника (в цьому випадку може бути бтьш доречна постановка транспортно!' задачi - доставка в ктька магазиыв з дектькох складiв); доставка бутильовано!' води; поповнення банкома^в готiвкою; збiр спiвробiтникiв для доставки вахтовим методом.
Приклад. Скласти маршрут вщпочинку по парку iменi 1вана Кожедуба (рис. 3).
Рис. 3. Маршрут вщпочинку
Методичний коментар. У GeoGebra задача комiвояжера формулюеться для мережi, що е повним неорiентованим зваженим графом, ребрам якого ставляться у вщповщысть !'х евклiдовi довжини. Вимога задачi полягае у вщшуканы замкнутого шляху (цикла) м^мально!' довжини, що проходить через вс вершини по одному разу. При цьому у результат команди виводяться ттьки ребра маршруту, а не ва ребра мережi. Якщо ж потрiбно вивести всi ребра мережу то про це необхiдно зазначити окремо.
Последовательность[Последовательность[Отрезок[Элемент[список_1,'1], Элемент[список_1^Щ,Длина[список_1]]Х1,Длина[список_1]] Sequence[Sequence[Segment[Element[lis/i]/ Element[lis,j]], 1, Length[lis]], j, 1, Length[lis]].
Якщо розв'язок задачi неоднозначний, то новий розв'язок iнодi вдаеться отримати простою перекомптя^ею коду.
4. Команда - КратчайшееРасстояние(<Список отрезков>, <Начальная точка>, <Конечная точка>, <Логическое выражение для веса ребра>).
В робот [5] автори розв'язують проблему проектування плану евакуацп з буа^влГ Проблема цих карт в тому, що вони зазвичай фтсоваы i статичы. Вони не залежать вщ причини аваршно!' ситуацп, наприклад, в^д мкця пожежi. В таких ситуацiях корисно мати динамiчнi плани евакуацп, як б у режимi реального часу показували потрiбний у данiй ситуацп план евакуацп. Автори використовують програму GeoGebra (команда КратчайшееРасстояние) для створення динамiчного плану евакуацп, який би м^ швидко оновлюватися у разi необхiдностi.
Приклад. Знайти найкоротший шлях вщ Центрального ринку до ТРЦ Мануфактура, скориставшись картою мiста
Суми.
Найкоротший шлях позначено червоним на рис. 4.
Рис. 4. Найкоротший шлях мiж заданими пунктами
Приклад. У Сумськш областi вщремонтовано дороги мiж такими мiстами: Суми-Ромни, Суми-Конотоп, Суми-Бiлопiлля, Бiлопiлля-Конотоп, Бтоптля-Путивль, Путивль-Глухiв, Глухiв-Шостка. Прокласти найкоротший шлях (з найменшою евклщовою вiдстанню) вщ мiста Ромни до мiста Шостка, використавши лише вказанi дороги (рис.5).
Методичний коментар. Пояснимо аргументи ^е''' команди: Список отрезков - це список ребер вщповщного неорiентовного графа; Начальная точка - початковаа вершина шляху; Конечная точка - кнцева вершина шляху; Логическое выражение для веса ребра - лопчний параметр. Може приймати значення: false, якщо потрiбно знайти найкоротшу вщстань з м^мальною клькстю ребер; true, якщо потрiбно знайти найкоротшу вiдстань з м^мальною евклщовою вiдстанню.
Найкоротший шлях видтено червоним на рис.5. Зазначимо, що таких шляхiв може бути деклька.
5. Команда - МинимальноеОстовноеДерево(<Список точек>).
Пояснення. Нехай задано повний неорieнтований зважений граф G (вага ребра - функция вщстаы /^ж вщповщними вершинами). Остовним деревом графа G називають такий його зв'язний тдграф, що мiстить yci вершини графа G, i не мктить ци^в. Мiнiмальним кiстяковим деревом називають кстякове дерево з мiнiмальноï ваги, тобто дерево з мЫмальною сумарною вагою ребер.
Приклад. У Сумськш област необхiдно вiдремонтувати дороги мiж мiстами Суми, Бiлопiлля, Недригайлiв, Ромни, Конотоп, Кролевець, Глухiв так, щоб можна було дктатися з будь-якого мкта з названих в шше (напряму чи через iншi мкта). Вiдома вартiсть будiвництва кожно' тако' дороги (на рисунку вартiсть пропорцшна вiдстанi мiж точками). Потрiбно визначити, як саме дороги потрiбно вщремонтувати, щоб мiнiзувати загальну вартiсть буа^вництва (рис.6).
Методичний коментар. На рис. 6 червоним видтено м^мальне кстякове дерево для графа, вершинами якого е вказанi мiста. Знайдене мЫмальне кiстякове дерево вiдповiдае тим дорогам, як потрiбно вiдремонтувати з м^мальними затратами, оскiльки такий шлях з'еднуе усi вказанi мiста i не мктить ци^в.
Рис. 5. Найкоротший шлях мiж мicтами
Рис. 6. М^мальне кicтякове дерево дорiг, якi потрiбно вiдремонтyвати Í3 мiнiмальними затратами
BИCНOBKИ
Попереднi результати навчання пщтверджують ефективнiсть описаного пiдходу та доцтьысть використання саме ПДМ GeoGebra при вивченн теорп графiв. Тому наши науковi пошуки наразi зорieнтованi на пiдбiр таких типiв завдань, де з позицм практичного застосування математичних теорш, законiв i методiв та залучення спецiалiзованого програмного забезпечення rrae можливим швидке i наочне одержання розв'язкв особистiсно значущих задач.
^исок використаних джерел
1. Falcón R. M., Moreno А., Ríos R. Designing evacuation routes with GeoGebra. GeoGebra International Journal of Romania,2016. 4 (2). C. 25-38.
2. Falcón R. M., Ríos R. The use of GeoGebra in Discrete Mathematics. GeoGebra International Journal of Romania,2015. 4 (1). C. 39-50.
3. GeoGebra Wiki. URL: http://www.geogebra.org (Last accessed: 28.01.2019).
4. Semenikhina O., Drushlyak M. Organization of Experimental Computing in Geogebra 5.0 in Solving Problems of Probability Theory. European Journal of Contemporary Education, 2015. 11(1). C. 82-90.
5. Есаян А. Р., Добровольский Н. М., Седова Е. А., Якушин А. В. Динамическая математическая образовательная среда GeoGebra: Учеб. пособие. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2017. 418 c.
References
1. Falcón, R. M., Moreno, А., S Ríos, R. (2016). Designing evacuation routes with GeoGebra. GeoGebra International Journal of Romania, 4 (2), 25-38.
2. Falcón, R. M., S Ríos, R. (2015). The use of GeoGebra in Discrete Mathematics. GeoGebra International Journal of Romania, 4 (1), 39-50.
3. GeoGebra Wiki. Retrieved from: http://www.geogebra.org.
4. Semenikhina, O., & Drushlyak, M. (2015). Organization of Experimental Computing in Geogebra 5.0 in Solving Problems of Probability Theory. European Journal of Contemporary Education, 11(1), 82-90.
5. Esayan, A. R., Dobrovolskiy, N. M., Sedova, E. A., & Yakushin, A. V. (2017). Dinamicheskaja matematicheskaja obrazovatel'naja sreda GeoGebra: Ucheb. posobie [GeoGebra's Dynamic Mathematical Educational Environment: Tutorial]. Tula: Izd-vo Tul. gos. ped. un-ta im. L. N. Tolstogo. [in Russian]
LEARNING FUTURE MATH TEACHERS TO SOLVE THE PROBLEMS OF GRAPH THEORY USING GEOGEBRA
M.G. Drushlyak
Makarenko Sumy State Pedagogical University, Ukraine T.D. Lukashova
Makarenko Sumy State Pedagogical University, Ukraine L.V. Skaskiv
National University of the State Fiscal Service, Ukraine
Abstract. Training of specialists in the field of mathematics, computer and technical sciences, teachers of natural and mathematical specialties involves the study of various sections of modern mathematics, among which the theory of graphs occupies a special place due to its demand in various fields of human activity.
Formulation of the problem. Graph theory is positioned as a science about abstract objects and relations between them, which, in turn, causes the formalization of the conditions of typical tasks, their separation from reality, and in many cases involves the implementation of cumbersome calculations, the result of which is not only "not felt" by students, but often repulses because of their formalism. This makes it difficult for students to perceive study material on graph theory, and therefore there is a need to find ways to avoid them.
Materials and methods. Analysis and systematization of scientific and pedagogical literature on the use of specialized software in the study of various areas of higher mathematics, in particular, discrete mathematics. Empirical analysis of computer tools for object-oriented software in the context of solving the problems of graph theory and visualizing the results of solving.
Results. The authors see such a way in the use of computer visualization tools, namely, dynamic mathematics software. Analysis of the toolkit of some dynamic mathematics software allowed to allocate specific computer tools focused on graph theory. We are offered a dynamic mathematics software GeoGebra to support the study of graph theory. Typically, the use of software in studying graph theory reduces to the simple construction of the vertices and edges of the graph, the definition of some graph characteristics (planar, eulerism, etc.) and the execution of a number of elementary actions (the definition of degrees of vertices, the construction of a frame tree, the search for the shortest paths between vertices in a weighted the graph). GeoGebra developers have more diverse tools for working with graphs, which are concentrated in the Discrete Mathematics section: Voronoi diagram, Delaunay triangulation, the travelling salesman problem, the shortest distance, the minimum spanning tree, and the convex shell. Note that the use of the GeoGebra allows not only to solve these tasks, but also to link each task with a real life situation using local material and its visualization.
Conclusions. The preliminary learning outcomes confirm the effectiveness of the described approach and the feasibility of using the GeoGebra in studying graph theory.
Keywords: graph theory, Voronoi diagram, Delaunay triangulation, the travelling salesman problem, the shortest distance, the minimum spanning tree, dynamic mathematics software, GeoGebra.
