CC BY
46
Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Семен'шна О.В., Друшляк М.Г. Побудова геометричних м/'сць точок з використанням програм динам'1чно'1 математики // Ф'зико-математична освта : науковий журнал. - 2016. - Випуск 1(7). - С. 127-133.
Semenikhina O.V., Drushlyak M.G. The Construction of the Locus Using Dynamic Mathematics Software // Physics and Mathematics Education : scientific journal. - 2016. - Issue 1 (7). - Р.127-133.
УДК 378.14: 371.214.46:[004.78:51]
О.В. Семешхша, М.Г. Друшляк
Сумський державний педагог1чний ун1верситет iменi А.С. Макаренка, Украша
ПОБУДОВА ГЕОМЕТРИЧНИХ М1СЦЬ ТОЧОК З ВИКОРИСТАННЯМ ПРОГРАМ ДИНАМ1ЧНО1 МАТЕМАТИКИ
Постановка проблеми. Поняття геометричного мкця точок (ГМТ) е одним i3 базових у математичшй освт, осктьки на його основi вводяться деяк типовi геометричш об'екти. Геометричш мюця точок у просторi надзвичайно рiзноманiтнi. Деяк з них е природним узагальненням геометричних мкць точок на площиш (наприклад, сфера у просторi е аналог кола на площиш). Знайти ГМТ означае геометрично або аналп^ично описати цю множину.
Розв'язування задач на ГМТ простору у бшьшосл випадюв починаеться iз побудови гiпотези про вид шуканоУ фiгури. Знайдена гiпотеза мае бути перевiрена на множинi тестових (а також граничних) випадюв. Саме на цьому етап в нагодi стануть програми динамiчноУ математики (ПДМ), використання яких допомагае уявити i по™ визначити вигляд шуканого ГМТ. Зауважимо, що пошук ГМТ простору вважаеться бтьш складним, нiж на площиш, осктьки його важко змоделювати. Це i зумовлюе використання згаданих засобiв, якi передбачають можливiсть такого моделювання.
Серед всього розмаУття ПДМ тдтримку розв'язування задач на ГМТ простору можуть забезпечити лише Ti з них, де передбачено ¡инструмент побудови сл1ду геометричних об'ек^в в просторi. Це програми Cabri 3D Инструмент Trajectory С"5.) та GeoGebra 5.0 (властивiсть об'екта Оставлять след). До того ж у згаданих програмах передбачена можливкть вiзуалiзувати побудову 3d-об'екта як динамiчного слiду не ттьки для точки, але i для вiдрiзка, лн', кола, многокутника тощо.
Виклад основного матерiалу. Продемонструемо використання вищезазначених ПДМ при розв'язуваннi типових задач на ГМТ простору, що вщповщають вимогам програм рiзних рiвнiв для старшоУ школи.
Рiвень стандарту. Рiвень стандарту забезпечуе обов'язковий мЫмум змiсту шкiльного курсу математики, який не передбачае подальшого його вивчення. Математика на рiвнi стандарту вивчаеться, наприклад, учнями клаав гуманiтарного профтю.
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
Зауваження. 1. Розв'язування задач на ГМТ простору лежить за межами програми рiвня стандарту, але використання такоУ вiзуалiзацiУ при вивченш основних понять курсу вважаемо доцтьним та ефективним.
2. Для клаав гумаштарного (зокрема, фiлологiчного) профiлю корисним буде вибiр програми з шшомовним iнтерфейсом (при встановленнi програм Cabri3D та GeoGebra5.0 можна обрати потрiбну мову, не обмежуючись англiйською). У такий споаб учнi додатково розширюють свiй словниковий запас.
Приклад 1 (Cabri3D). Визначити форму тта, яке утворюеться при обертаннi прямокутного трикутника навколо одного з кателв [2, с.244].
Розв'язання. Алгоритм розв'язання у програмi Cabri3D може бути наступним:
1) будуемо коло в базовш площин (Circle);
2) будуемо пряму (Line), яка проходить через центр кола перпендикулярно до базовоУ площини;
3) будуемо трикутник, вершинами якого е центр кола, довтьна точка на колi и довтьна точка на прямм (Triangle);
4) ховаемо за допомогою контекстного меню (Hide/Show) вертикальну пряму i коло як допомiжнi об'екти конструкц^' (рис.1а);
5) будуемо динамiчний слiд гiпотенузи трикутника (Trajectory) (рис.1б).
Змiнюючи положення вершини трикутника в базовiй площинi (вершина
рухатиметься по колу), обертаючи трикутник навколо його катета, отримуемо зображення шуканого тта. Це конус (рис.1в).
а) б) в)
Рис. 1. Побудова конуса як тла обертання
Приклад 2 (бвобвЬга 5.0). Визначити форму лла, вс точки якого рiвновiддаленi на однакову вщстань вщ задано!' точки [2, с.202].
Розв'язання. Обираемо програму ввоввЬт 5.0, осктьки в шй е iнструмент Отрезок с фиксированной длинной:
1) будуемо довтьну точку О;
2) будуемо вiдрiзок фасовано''' довжини ОА (наприклад, довжини 3) (рис.2а);
3) у властивостях точки А в^д^чаемо Оставлять след.
Змшюемо положення точки А у просторi i отримуемо зображення сфери з центром уточц1 О \ рад1усом ОА=3 (рис.26, 2в).
а) б) в)
Рис. 2. Побудова сфери як множини точок, р'шнов'ддалених на однакову в'дстань вiд заданоi точки
AKaAeMÍ4H^ та профiльний рiвнi. Академнний р1вень передбачае обсяг змкту, який необхщний для подальшого вивчення математики у вищих навчальних закладах. Математика на академ1чному р!вн! вивчаеться, наприклад, у класах природничого (б1олого-х1м1чного, бюлого^зичного, ф1зико-х1м1чного) профтя.
Профтьний р1вень забезпечуе загальноосв^ню тдготовку з математики, достатню для устшного вивчення ф1зики та ¡нших, в першу чергу природничих, предме^в, та можливкть продовження навчання у вищих навчальних закладах осв1ти за специальностями, безпосередньо пов'язаними з математикою, або за специальностями, де математика в^грае роль апарату для вивчення й анал1зу законом1рностей реальних явищ i процеав. Математика на профтьному р!вн! вивчаеться в класах математичного, фiзичного та фiзико-математичного проф^в.
Приклад 2. (GeoGebra 5.0) Знайд^ь ГМТ вершин рiвновеликих пiрамiд зi спiльною основою [3; 220].
Розв'язання. Ппотеза полягае у тому, що вс рiвновеликi пiрaмiди (як прям^ так i похилi) зi стльною основою будуть мати рiвнi за довжинами висоти. Тому шукане ГМТ
- це площина, рiвновiддaленa вщ площини основи пiрaмiд на вдтань, що дорiвнюе висотi пiрaмiд. Дане ГМТ описують слiди вершин рiвновеликих пiрaмiд.
Побудуемо, наприклад, трикутну трамщу. Для цього побудуемо основу трамщи
- довiльний трикутник АВС. Вiзьмемо довiльну точку в площинi основи D i проведемо перпендикуляр до площини основи через цю точку. На перпендикулярi оберемо довтьну точку E i проведемо висоту трамщи DE. Побудуемо трамщу за основою та вершиною. Побудуемо слщ вершини E пiрaмiди при русi основи трамщи D по площинi основи (рис.3)
Складаеться враження що всi слiди належать одшй площинi. Перевiримо цю ппотезу, побудувавши площину, яка паралельна площиш основи пiрaмiди i проходить через i"i вершину. Змiнюючи ракурс зображення, переконаемося, що дшсно всi точки-слiди належать однiй площинi.
Приклад 3. (GeoGebra5.0) Знайти ГМТ, яке е серединами хорд сфери, що проведет з одше! точки (рис. 4) [3, с.189].
Файл Правка Вид Настройки Инструменты Окно Справка Войти...
* .•• < > Ф ^ А С • •. У ABC
► Панель объектов^ ► Полотно 3D (X
Отрезок • b = 4.21 Сфера • а: (х - 0.27)2 + (: Точка • А = (0.27, 1.32, • В = (2.24, 3.13, • С = (0.93, 0.64. • D = (-2.4, 1.21, I • Е = (-0.74, 0.92, i i.
<1 ш | [>]
Ввод: Ш
Рис. 3. Побудова ГМТ вершин Рис. 4. Побудова ГМТ середин хорд
р'вновеликих прамд з1 стльною основою сфери, як1 проведено з одн1е'1 точки
Зауваження. 1. Конф^уращя приклада 3 дае можливкть учням мислити «ширше», тобто зрозум1ти, що задача не обмежуеться лише прямими трамщами (трамща може бути \ похилою), що основа висоти трамщи лежить в площиш основи, але не обов'язково в середиш трикутника, що е и основою.
2. При розв'язуванш приклада 3 краще використовувати програму GeoGebra5.0. Програма Cabri3D при побудовi слд об'екта залишае лише обмежену кшьшсть слiдiв i якщо ця кшьшсть завелика, то попереднi слiди зникають. Тому зображення сфери як шуканого ГМТ може бути частковим.
Поглиблений piBeHb. Поглиблений рiвень забезпечуе рiвень пiдготовки учнiв з математики, необхщний для подальшого вибору й устшного опанування професiею, яка потребуе високого рiвня математичних знань, тобто спещальностями теоретично!' та прикладноУ математики або спе^альностями тих галузей, якi потребують розвиненого математичного апарату для вивчення й аналiзу закономiрностей реальних явищ i процесiв, у пiдготовцi до навчання у вищому навчальному закладi з вiдповiдним фахом спрямування.
Приклад 4. (GeoGebra5.0) Знайд^ь ГМТ точок простору, для кожноУ з яких сума вщстаней вiд двох даних точок простору е величина стала. [3, с.158]
Розв'язання. Алгоритм побудови може бути наступним.
1. Вщм^имо точки D та E.
2. Побудуемо на окремм прямм вiдрiзки АС та СВ так, щоб DE<AB, а пряму заховаемо.
3. Побудуемо сферу радiуса АС з центром в точц D та сферу радiуса ВС з центром в точц Е.
4. Знайдемо кошку d(t), яка е перетином побудованих сфер.
5. Заховаемо сфери.
6. У властивостях кошки замовимо послугу Оставлять след.
7. Рухаемо точку С вздовж вiдрiзка АВ. Кошка d(t) при цьому вимальовуе поверхню, яка утворюе елтсо'щ (рис.5).
Приклад 5. (GeoGebra5.0) На прямм, яка проходить через точку А перпендикулярно до площини трикутника АВС, взято довтьну точку D. Знайти ГМТ перетину висот трикутника DВС. [4, с.36]
Розв'язання. Алгоритм побудови може бути таким:
1) будуемо трикутник АВС;
2) через точку А проводимо пряму, яка перпендикулярна площиш АВС;
3) на побудованш прямм беремо довтьну точку D;
4) будуемо трикутник DВС;
5) проводимо висоти ВЕ та CF трикутника DВС;
6) знаходимо точку G перетину висот BE i CF;
7) у властивостях точки G вказуемо Оставлять след.
Рухаючи точку D вздовж прямоУ, отримаемо шукане ГМТ (рис.5).
Виявляеться, що це коло з дiаметром HL (Н - точка перетину висот трикутника
АВС, L - основа висоти, яка опущена з точки А на сторону ВС), яке лежить в площиш, що перпендикулярна площиш трикутника АВС.
Зауваження. 1. Аналопя в^ддрае велике значення у розвитку самостмного продуктивного мислення, це важливе джерело асо^ацм, як забезпечують глибоке засвоення матерiалу. Тому здатшсть ïï побачити, а в даному випадку розв'язати аналопчну задачу, «вийшовши» з площини у прос^р, або нав^ь самостшно ïï сформулювати, свщчить про високий рiвень математично'1 штуУцп.
OG.oG.bta _
Фэйп Праи» Вид Настрой«« Инструменты Окно Спрэи» Войти
Рис. 5. Побудова елпсода як ГМТ
Рис. 6. Побудова ГМТ нструментом Сл 'д (приклад 5)
Висновки. Описаш розв'язання не лише спрощують сприйняття складного стереометричного матерiалу, а i збагачують арсенал старшокласникiв емтричним методом розв'язування задач на ГМТ. Вважаемо це важливим з огляду на шформатиза^ю сустльства та його запити щодо фахiвцiв, якi володiють вмiннями моделювати проблеми, вiзуалiзувати пошук розв'язкiв i навичками аналiзувати задачi, у тому чист тi, що зводяться до стереометричних задач на ГМТ.
Список використаних джерел
1. Збiрник програм з математики для до профтьноУ подготовки та профтьного навчання. Ч.11. Профiльне навчання / Упоряд. Н. С. Прокопенко, О. П. Вашуленко, О. В. бргша. - Х.: Вид-во «Ранок», 2011. - 384 с.
2. Бевз Г. П. Математика 11 кл.: пщруч. для загальноосв^. навч. закл.: рiвень стандарту / Г. П. Бевз, В. Г. Бевз. - К.: Генеза, 2011. - 320 с.
3. Апостолова Г. В. Геометрiя: 11 клас: тдручник для загальноосв^шх навчальних закладiв: академiчний рiвень, профiльний рiвень / Г. В. Апостолова. - К.: Генеза, 2011. - 304 с.
4. Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии (стереометрия) / И. Ф. Шарыгин. - М.: Наука, 1984. - 160 с.
5. Семешхша О.В. Розв'язування задач шктьного курсу статистики у середовищах Gran1 i Geogebra: порiвняльний аналiз / О.В. Семенiхiна, М.Г. Друшляк // Фiзико-математична освiта. - 2015. - № 1(4). - С. 21-30.
6. Семешхша О.В., Друшляк М.Г. Об^рунтування доцтьност використання програм динамiчноl' математики як засобiв комп'ютерно' вiзуалiзацií математичних знань // Фiзико-математична освiта. Науковий журнал. - 2015. - Випуск 3 (6). - С. 67-75.
7. Семешхша О.В., Друшляк М.Г. Практика використання параметричного кольору в програмах динамiчноí математики при розв'язуванш задач на ГМТ / Олена Семешхша, Марина Друшляк // Фiзико-математична осв^а. Науковий журнал. -2015. - Випуск 2 (5). - С. 65-72.
8. Бабич О., Семешхша О. До питання про стввщношення понять наочшсть i вiзуалiзацiя // Фiзико-математична осв^а. Науковий журнал. - Суми : СумДПУ iм. А.С. Макаренка, 2014. - № 2(3). - С. 47-53.
9. Безуглий Д. Прийоми вiзуального подання навчально' шформацп // Фiзико-математична осв^а. Науковий журнал. - Суми : СумДПУ iм. А.С.Макаренка, 2014. -№ 2(3). - С. 7-15.
Анота^я. Семен'тна О.В., Друшляк М.Г. Побудова геометричних мкць точок з використанням програм динам'мно)'математики.
Авторами акцентуеться увага на проблем'1 в'вуал'ваци mpueuMipHux побудов i проблем'1 формування ум'>нь у учшв старшоi школи в'1зуал'1зувати математичний матер'>ал засобами iнформацiйнuх технолог'!й. Зазначено програми динам'чноi математики Cabri3D i GeoGebra 5.0, де сьогодн е можливою така в'1зуал'1зац'я через використання iнструмент'в Траекторiя i Сл'д. Наводяться приклади розв'язування задач на побудову геометричних м'>сць точок у тривим'рному просторi, алгоритми побудов iз використанням цих програм в класах рiзнuх профiлiв на академ'нному, профльному i поглибленому р'внях. Надаються методичн коментар'1 щодо створення i анал'зу динам'чних конструкцй.
Ключов'1 слова: програми динам'чноi математики, задач'1 на ГМТ простору, Cabri3D, GeoGebra 5.0.
Аннотация. Семенихина Е.В., Друшляк М.Г. Построение геометрических мест точек с использованием программ динамической математики.
Авторами акцентируется внимание на проблеме визуализации трехмерных построений и проблеме формирования умений у учащихся старшей школы визуализировать математический материал средствами информационных технологий. Указано программы динамической математики Cabri3D и GeoGebra 5.0, в которых сегодня возможна такая визуализация, используя инструменты Траектория и След. Приводятся примеры решения задач на построение геометрических мест точек в трехмерном пространстве, алгоритмы построений с использованием этих программ в классах разных профилей на академическом, профильном и углубленном уровнях. Предоставляются методические комментарии относительно создания и анализа динамических конструкций.
Ключевые слова: программы динамической математики, задачи на ГМТ пространства, Cabri3D, GeoGebra 5.0.
Abstract. Semenikhina O.V., Drushlyak M.G. The Construction of the Locus Using Dynamic Mathematics Software.
The authors focus on the problem of visualization of three-dimensional constructions and the problem of formation of skills of high school students to visualize mathematical material by means of information technology. This visualization is especially helpful in the operation with locus. The concept of locus is one of the basic in mathematics education, since it introduces some common geometric objects. The locus problem in space in most cases begins with the formulation of a hypothesis about the form of the figure. This hypothesis needs to be tested on the set of test (and limit) cases. At this stage such means of visualization as dynamic mathematics software (DMS) become useful. The use of them helps to represent and then determine the form of the locus. Among the variety of dynamic mathematics software just Cabri3D and GeoGebra 5.0 have the opportunity to visualize the locus through the use of tools Trajectory and Trace.
Examples of solving locus problems in three-dimensional space, algorithms of construction with the use of these software in classes of different profiles in academic, specialized and in-depth levels are made. Methodological comments are provided regarding the establishment and analysis of dynamic structures. It is noted that the solution of locus problems in space lies beyond the curriculum of the standard level, but the use of such visualization in the study of the basic concepts of the course is appropriate and effective. In
addition the work with software with the foreign-language interface is helpful to students of classes of philological profile. It is a means of expanding vocabulary. For students who study mathematics at higher level, the ability to see an analogy (in some cases to solve a similar problem), "coming out" from the plane into space is useful. It indicates a high level of mathematical intuition.
The described solution not only facilitate the perception of complex stereometrical material, but also enrich the arsenal of students with empirical method of solving locus problems. Authors believe that it is important in the view of the computerization of society and its requests regarding professionals who possess the skills to model problems, visualize the solutions and the skills to analyze tasks, including those that are reduced to stereometric locus problems.
Key words: dynamic mathematics software, locus problems in space, Cabri3D, GeoGebra 5.0.
