CC BY
79
Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видаеться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Друшляк М.Г., Шкарупа О.О. Oco6nueocmi вивчення теми «Комб'нацП геометричних min» // Ф'!зико-математична oceima : науковий журнал. - 2017. - Випуск 2(12). - С. 61-66.
Drushlyak M.G., Shkarupa О.О. The Features Of Studying The Topic «The Combination Of Solids» // Physical and Mathematical Education : scientific journal. - 2017. - Issue 2(12). - Р. 61-66.
УДК 378.14: 371.214.46:[004.78:51]
М.Г. Друшляк, О.О. Шкарупа
Сумський державний педагог'тний унверситет ¡мен А.С.Макаренка, УкраУна
marydru@mail. ru
ОСОБЛИВОСТ1 ВИВЧЕННЯ ТЕМИ «КОМБШАЦП ГЕОМЕТРИЧНИХ Т1Л»
Анота^я. У cmammi вис&тлено проблему вивчення кoмбiнaцiй геометричних т 'т, яка е одшею з найважчих в шшльному курсi геометри, оскльки е певним узагальненням уах знань, вмЫь i навичок з плaнiмеmрi'У, стереометри та тригонометрп. Вчитель при тради^йному навчанн геометри не мае достатнього резерву часу для формування в учшв ум '\нь i навичок, необх'дних для Ух розв'язування задач на комбЫацп геометричних т'т, бо ця тема припадае на завершальний етап вивчення стереометру коли в школах починаеться активна тдготовка учшв до ЗНО. Автори видляють деяш ocoбливocmi вивчення теми «Комб'1наци геометричних т 'т», а саме: вмЫня правильно оформлювати рисунки до задач (наведен правила побудови певних кoмбiнaцiй геометричних т 'т); обфунтування взаемного розмщення елеменmiв т 'т, що входять до кoмбiнaцiй; нaявнicmь сформованих ум '\нь i навичок щодо розв'язання задач ¡з стереометри та напрацювання певноУ бази задач на комб'1наци геометричних тл. Складнсть виконання рисунка i обфунтування розв'язання зaдaчi на кoмбiнaцiю геометричних miл призводять до того, що процес УУ розв'язання займае багато часу на уроц^ тому кльюсть задач, як рoзглянуmi у клaci у пoвнiй мiрi незначна. Таким чином, на практиц виявляеться, що перша i друга ocoбливocmi йдуть у конфронтаци ¡з третьою. Це прomирiччя можна усунути за рахунок iнmенcифiкaцiею навчального процесу через використання сучасних iнформа^йних mехнoлoгiй, що видiленo у четверту ocoбливicmь вивчення теми. В якocmi таких mехнoлoгiй автори обирають програми динам'нно'У математики, яю пдтримують операцУУ над mривимiрними об'ектами - Cabri3D та GeoGebra 5.0. Кожна з особливостей пролюстрована прикладами.
Ключовi слова: cmереoмеmрiя, геометричне miлo, кoмбiнaцiя геометричних тл, iнфoрмaцiйнi технологи, програми динaмiчнo'Уматематики.
Постановка проблеми. Повсякденне життя людини, побут, професшна дiяльнiсть i вся навколишня природа пов'язаш з просторовими об'ектами, щеальними образами яких е геометричш тша: призми, трамщи, конуси, цилшдри, ^i тощо. Часто виникае практична необхщшсть визначати об'ем i площу поверхш об'еклв природи, побуту, виробництва, дослщжувати Тх розмiри, взаемне розташування тощо. З погляду на це процес вивчання стереометри, зокрема, вивчення комбшацш геометричних тт, потрiбно найперше розглядати як надбання учнями необхщних ключових компетентностей, загальнолюдських знань i цшностей.
Традицшно одшею з найважчих в шктьному кура геометри вважаеться тема «Комбшаци геометричних тт», що вивчаеться наприкшщ курсу геометри. Для того щоб усшшно розв'язувати задачi щеТ теми, учень повинен: мати розвинене просторове мисленням; знати основы факти, методи, формули шкшьноТ' геометри; мати уявлення про методи зображення геометричних тт в паралельнш проекци i досвщ побудови таких зображень; вмп"и лакошчно, але в той же час правильно i послщовно, обфунтовувати хщ запропонованого розв'язання. Дана тема е певним узагальненням уах знань, вмшь i навичок з плашметри, стереометри та тригонометрп i е кульмшащею вивчення геометри в школк
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
Актуальшсть проблеми вивчення комбшацш геометричних тiл зумовлена реальним станом вивчення теми "Многогранники. Тта обертання" учнями старшоТ школи. Бiльшiсть учшв не можуть застосувати набутi знання та вмшня шд час розв'язування нових, нестандартних задач, припускаються помилок у побудовi рисункiв геометричних тт, видiленнi iстотних властивостей, що визначають вид геометричного тiла. Це зумовлено тим, що навчання розв'язуванню завдань на комбшацп тiл в основному припадае на завершальний етап вивчення стереометрп, коли в школах починаеться активна шдготовка учнiв до державно'1 шдсумковоТ атестаци та ЗНО, вчитель при традицшному навчаннi геометри не мае достатнього резерву часу для формування в учшв умшь i навичок, необхщних для Тх розв'язання.
Вс цi недолiки зумовлюють необхщшсть побудови оновленоТ методичноТ системи вивчення геометричних тт.
Анaлiз. Рiзнi аспекти проблеми вивчення геометричних тiл знайшли вiдображення в ^орм розвитку передових щей у методик геометрп (М.В. Остроградський, А.Ю. Давидов, О.М. Астряб, О.С. Дубинчук, I.e. Шиманський, 1.Ф. Тесленко та iн.). Змiст, форми i методи навчання геометрп, зокрема стереометрп, дослщжували О.Д. Александров, Г.П. Бевз, M.I. Бурда, А.П. Кисельов, 1.Г. Ленчук, О.В. Погорелов, Г.1. Саранцев, 3.I. Слепкань, Л.Г. Фтон та iн. Науково-методичне забезпечення процессу навчання стереометри розробляли Л.С. Атанасян, В.Г. Бевз, M.I. Бурда, Г.М. Литвиненко, З.А. Скопець, Н.А. Тарасенкова та ш.
Методи розв'язування стереометричних задач та особливост Тх вивчення у школi розглядалися у роботах В.Г. Бевз, Г.П. Бевза, А.В. ГрохольськоТ, Я.М. Жовшра, 1.А. Кушшра, Л.М. Лоповка, O.I. Скафи, В.О. Швеця та iн. Питанням використання шформацшно-комушкацшних технологiй у навчаннi геометрп присвяченi роботи О.В. Вiтюка, В.П. Гороха, M.I. Жалдака, Н.О. Кушшр, Н.В. Морзе, Н.Н. ОрловоТ [1] та ш.
Метою даноТ статт е видiлення особливостей вивчення теми «Комбшацигеометричних тт».
Виклад основного матерiалу. Майже всi автори пiдкреслюють, що графiчна вiзуалiзацiя шформаци, що мниться в умовi геометричноТ задачi, часто вщграе визначальну роль в процес пошуку ТТ розв'язання. При цьому основы труднощi учнiв у розв'язуванш задач на комбшацп геометричних тт вони, в першу чергу, пов'язують з несформованiстю просторовоТ уяви i мислення. Проблемою Тх формування займалося багато математимв-методиспв i психологiв (Н.М. Бескш, Г.Д. Глейзер, I.B. Гордiенко [2], 1.Я. Каплунович, В.Н. Костщин, А.Я. Цукар, Н.Ф. Четверухiн [3], Ф.Н. Шемякин [4], I.C. Якиманська [5] та ш.). У методиц навчання математики описанi рiзнi способи i прийоми формування просторового мислення в традицшному процеа навчання геометрп (використання рiзноманiтних матерiальних моделей тт i Тх комбiнацiй, готових креслень, спецiально пiдiбраних завдань i вправ тощо) та з використанням шформацшних компютерних засобiв, зокрема у [6-9].
З проблемою недостатньоТ сформованостi просторового мислення лсно пов'язана проблема несформованосл навикiв графiчних побудов, недбалого оформлення рисунтв, намагання розв'язувати задачi на ненаочних та неправильних рисунках, невмшня переходити вщ графiчного зображення до вербального опису i навпаки.
У зв'язку цим видтимо першу особливкть вивчення теми «Комбшацп геометричних тт» - учн noeuHHi вмти правильно оформлювати рисунки до задач. Сформулюемо основы правила побудови стереометричних рисунтв, осктьки у тдручниках вони практично не обговорюються.
За М.Ф. Четверухшим [3] рисунки повиннi задовольняти наступш вимоги. Зображення повинне бути: правильним, тобто бути одшею з можливих проекцш геометричного тiла; наочним; простим для виконання. Вчитель повинен пояснити правила побудови рисунка до кожноТ з комбшацш геометричних тт окремо. Сформулюемо деят з них.
Правило побудови многогранника вписаного в цилшдр: побудувати зображення цилшдра: в елшс, що е зображенням основи цилшдра, вписати вщповщний многокутник - зображення основи призми. Через вершини цього многокутника провести прямолшшш вiдрiзки, ят зображають твiрнi цилiндра i е бiчними ребрами вписаноТ призми. Кш^ цих вiдрiзкiв, якi належать елшсу, що е зображенням другоТ основи цилшдра, е зображенням решти вершин вписаноТ призми (рис.1).
Правило побудови трамщи, вписаноТ в кулю: провести обрис ^i й зображення кола перерiзу ^i площиною основи шрамщи. У побудований елiпс вписати вщповщний многокутник - зображення основи трамщи - i визначити положення зображення вершини трамщи (рис.2). У випадку правильноТ пiрамiди ТТ вершину й коло, описане навколо многокутника основи, можна розглядати вщповщно як полюс i паралель поверхш кулi. Висота, очевидно, проходить через центр кулк
До того ж вчитель повинен наголосити учням, що рисунок до задачi зi стереометри повинен займати 1/3 довжини аркуша зошита.
Задач! на комбшацп тiл - це особливий тип стереометричних задач. Складшсть 'х розв'язування полягае в пояснены взаемного розмiщення елементiв тт, що входять у комбшаци: висот, ребер, центра вписаного та описаного кт тощо. 1нколи такi пояснення бувають доволi громiздкими. Пояснюючи хщ розв'язування таких задач, потрiбно спиратися на означення, як дано у шдручнику, i можна не пояснювати факти, якi е очевидними 'х наслiдками. Наприклад, очевидним е i те, що радiус вписаного в основу шрамщи кола перпендикулярний до сторож многокутника, який лежить в основi трамщи, i е проекщею твГрно' конуса на площину основи.
Значнi труднощi виникають у процес розв'язування задач на комбшацш кулi з многогранниками (призма, шрамща) i тiлами обертання (цилiндр, конус). У пщручнику наведено лише означення многогранника, описаного навколо кулГ (кул^ вписано' в многогранник), i многогранника, вписаного в кулю (кул^ описано' навколо многогранника). Цi означення слщ доповнити наступними фактами. Пiд час розв'язування задач на вписану й описану кулГ потрiбно пояснити, де знаходиться íí центр. Важливу роль у пояснены в^грае очевидний факт, який випливае з означень: центр кул^ вписано'1 в многогранник, рiвновiддалений вiд усiх граней, тобто е точкою перетину твплощин, проведених через ребра двогранного кута, утвореного двома сумiжними гранями, якi дiлять цей кут навпт; центр кулi, описано'' навколо многогранника, рiвновiддалений вiд усiх його вершин, тобто е точкою перетину площин, проведених через середини ребер, перпендикулярно до них.
Сформулюемо другу особливСть вивчення теми «Комбшаци геометричних тт» - учш noeuHHi вм>ти додатково пояснювати взаемне розм>щення елементiв тл, що входять у комбшацп.
Приклад 1. В основi трамщи лежить рiвнобедрений трикутник з кутом в при вершит. Ус бiчнi ребра трамщи нахиленi до площини основи пiд кутом у. Визначити об'ем шрамщи, якщо радiус описано'' навколо не' кул1 дор1внюе R (рис.3).
Ми не будемо наводити повне розв'язання дано'' задачу акцентуемо увагу лише на фрагменту а саме, на обфунтуванш розташування центра кулi, описано' навколо трамщи.
Нехай SABC - задана шрамща. Проведемо висоту SO пiрамiди. Тодi AO, OB, OC - проекцп бiчних ребер на площину основи. За умовою задачi ¿SAO = = zSBO = ¿SCO = у. Нехай Ox - центр кулi, описано'
навколо шрамщи.
Рис. 3.
Покажемо, що центр кулГ лежить на прямш SO. Для цього спочатку розглянемо прямокутш трикутники ASO,BCO, CSO. Вони мають спiльний катет SO i рiвнi гострi кути. Тому AASO = ABSO = ACSO, звщки випливае, що OA = OB = OC, тобто точка O е центром кола, описаного навколо трикутника ABC. Осктьки OXA = OXB = OXC = R, то проекцп похилих OXA, OXB i OXC на площину ABC рiвнi мiж собою. Це означае, що проекщя точки Ox на площину ABC рiвновiддалена вiд точок A, B, C, тобто щею проекцiею е точка О. Осктьки проекщями точок S i Ox на площину ABC е одна i та ж точка O, то Ox 6 SO. Вщсташ вщ точки Ox до кшщв ребер пiрамiди рiвнi мiж собою. Тому центр кулi, описано' навколо задано' шрамщи, е точкою перетину прямо', що мп"ить висоту шрамщи, з площиною, яка перпендикулярна до одного з бiчних ребер i проходить через його середину.
При розв'язуванш геометричних задач, як правило, алгоритмiв немае, i вибрати найбтьш вщповщну до даного випадку теорему з велико' ктькосп теорем не просто. А ще це пов'язано з тим, що рщко яка задача з геометри може бути розв'язана з використанням певно' формули. При розв'язуванш бтьшосл задач не обштися без залучення рiзноманiтних фамчв теори, доведення тих чи шших тверджень, справедливих лише при певному розташуванш елементiв ф^ур. Але i при гарному знанш теори набути
навички у розв'язуванш задач можна лише розв'язавши досить багато задач, починаючи BiA простих i переходячи до бiльш складних, а найголовшше, володiючи рiзними методами розв'язання задач.
При розв'язанш задач на комбшаци тiл до труднощiв слщ додати вiдсутнiсть в довготривалiй пам'ят учня деякого базового набору образiв типових комбiнацiй тiл i Тх зображень; навичок роботи з задачами на комбшаци тiл, для розв'язання яких зовам не потрiбно мати в наявностi повного проекцiйного креслення, в них потрiбно «побачити», що для отримання вiдповiдi на питання задачi можна обiйтися зображенням певного перетину даноТ комбшаци або ТТ проекци на деяку площину; учень повинен набути досвiду впiзнавання подiбних задач, «бачення» потрiбних перетинiв i проекцiй.
Видiлимо третю особливсть вивчення теми «Комбшаци геометричних тш» - учн noeuHHi напрацювати «базу» задач на основн комбшаци геометричних т 'т.
Приклад 2. У конус вписано кулю, об'ем якоТ в два рази менший за об'ем конуса. Радiус основи конуса дорiвнюe R. Знайти радiус кулi i висоту конуса.
Розв'язання
На рисунку 4 зображено осьовий перерiз конуса, описаного навколо кулк Цього зображення буде достатньо для розв'язання задачу тому не потрiбно зображувати всю стереометричну комбшащю.
Позначимо радiус кулi i висоту конуса через г i h. Тодi за умовою 1nR2h = ^пг3, звiдки R2h = 8г3.
Можна скласти ще одне рiвняння, що мiстить невiдомi г та h, але простiше застосувати споаб введения допом1жного кута.
У Позначимо кут Z.HAN нахилу тв1рноТ конуса до площини основи
через 2a, тодi ZHAO = a. Виразимо через R i a радiус OH кулi i висоту NH конуса. З прямокутних трикутнимв AOH та ANH маемо: r = R tga, h = R tg2a.
Пiдставивши значення г i h у рiвнiсть R2h = 8г3, отримаемо рiвняння:
tg2a = 8tg3a, 0° < a < 45°.
2 tga
Оскiльки tg2a = 1 t 2(Х,*§та tg a Ф 1, то рiвняння пiсля
спрощення матиме вигляд:
4 tg4a - 4tg2a +1 = 0, або (2tg2a + l)2 = 0.
H В Рис. 4. Звщси tg a = —.
V2
Далi знаходимо: tg2a = 2V2, i звщси г = —R, h = 2RV2.
2
Вщповщь. г = И = 2RV2.
Складшсть виконання рисунка i обфунтування розв'язання задачi на комбiнацiю геометричних тт призводять до того, що процес и розв'язання займае багато часу на урощ, тому кшьмсть задач, якi розглянутi у клаа у повнiй мiрi незначна. Таким чином, на практик виявляеться, що перша i друга особливостi йдуть у конфронтаци iз третьою.
Це протирiччя можна усунути за рахунок штенсифтащею навчального процесу. Зазвичай пропонуеться використання в навчанш матерiальних моделей, готових рисунмв, шаблонiв для побудови рисуншв геометричних тiл та Тх комбшацш, видiлення опорних задач i конфiгурацiй. Наприклад, ранiше вчителi використовували моделi, але виробити колекцiю для вах можливих комбшаци iз заданими властивостями проблематично, до того ж втрачаеться можливiсть продемонструвати поетaпнiсть побудови. Якщо ж будувати рисунок на дошщ, то на це витрачаеться багато часу. Якщо побудувати на дошц лише виносний рисунок, то учням зi слабо розвиненою просторовою уявою важко уявити всю просторову конфкурацш. До того ж учш й сaмi повиннi бути зaдiянi до побудови, щоб Тх конструктивы вмшня формувалися в повнiй мiрi.
Уникнути всiх цих недолiкiв допоможе використання шформацшних технологiй. lнформaцiйнi технологи дозволяють розширити i збагатити прийоми штенсифтаци навчання стереометри, реaлiзувaти Тх на ямсно бiльш високому методичному i технологiчному рiвнях, зокрема, значно модершзувати процес навчання учнiв розв'язанню задач на комбшаци тiл. По-перше, комп'ютер й iнтерaктивнa дошка вщкривають новi можливостi для створення та подання навчальних мaтерiaлiв. При цьому вiртуaльнi моделi набагато гнучкiшi i рiзномaнiтнi, вигiдно вiдрiзняються вiд мaтерiaльних при доопрaцювaннi та зберiгaннi. По-друге, шформацшш технологи iстотно розширюють спектр використовуваних в навчанш форм навчальноТ взаемоди i видiв самостшноТ дiяльностi учнiв. Наприклад, застосування штерактивноТ дошки при фронтальнш роботi на уроках геометри дозволяе вчителю використовувати заздалепдь пiдготовленi рисунки фiгур i Тх комбшацш, в короткий промiжок часу обговорювати i проводити додaтковi побудови на кресленнях до дослщжуваних завдань, збер^ати виконaнi побудови, колективно обговорювати план розв'язання тощо; тим самим максимально ефективно витрачати час уроку.
Сформулюемо четверту особливсть вивчення теми «Комбшацп геометричних тт» - використання iнформацiйних технолог'1й, зокрема, програм динам'мно)' математики дозволяе iнтенсифiкувати вивчення комбiнацiй геометричних тл.
Серед програм, як можна використовувати при вивченш стереометри, видтимо програми динамГчноУ математики. Вони дозволяють спостерiгати фiгури i ïx комбшаци в рiзних ракурсах, знаходити там положення, в яких можна було б «побачити», як вщшукати стввщношення мiж елементами фiгури, необхщш для розв'язання задачi; дозволяе у динамiцi дослiдити певнi характеристики комбшацш геометричних тiл; дозволяють продемонструвати з точки зору вГзуалГзацп складнi, або навпъ неможливi з використанням традицшних засобiв, конфГгураци.
Найпоширенiшi у свт програми динамГчноУ математики, якi тдтримують операцп над тривимiрними об'ектами, - це програми Cabri3D (Франтя, 2000 р., автор: Jean-Marie Laborde) та GeoGebra 5.0 (АвстрГя, 2001 р., автор: Markus Hohenwarter). Комп'ютерш шструменти програм динамГчноУ математики (як приклад вiзьмемо програму GeoGebra 5.0) дозволяють зосередитись на оптимальному положены тта Инструмент Обертання 3D графки), ракурсу i проекцп (властивiсть полотна Налаштування/ Проек^я), числГ лiнiй, якi вiзуалiзують математичний об'ект (можливiсть приховати допомiжнi побудови), особливостi побудови перерiзiв i проекцш на площину (iнструмент Створити 2D вид на а та динамiчний зв'язок 2D та 3D полотен).
Приклад 3. Кулю вписано в конус. Радiус основи конуса дорiвнюе 4, висота 5. Знайти об'ем кулГ (рис. 5).
Задача вимагае вщ учшв розвиненоУ просторовоУ уяви i бачення складноУ тривимГрноУ конструкций тому доцГльним е застосування прийому «вГдхГд на площину», який Гз залученням програми GeoGebra 5.0 е результативним завдяки передбаченш розробниками одночаснш демонстраци тривимГрних об'ектГв та Ух плоского перерГзу площиною.
ПотрГбно побудувати конус та вписати в нього кулю. Побудувати площину, що проходить через вГсь конуса, лЫю перетину кулГ i щеУ площини, твГрнГ конуса. У властивостях побудованоУ площини обрати Створити 2D вид на а, автоматично на полотш 2D з'явиться виносний рисунок - зображення перерГзу комбшаци геометричних тт площиною.
Рис. 5.
Сформулюемо четверту особливкть вивчення теми «Комбшаци геометричних тт» - використання iнформацiйних технолог'1й, зокрема, програм динам'мно)' математики дозволяе iнтенсифiкувати вивчення комбiнацiй геометричних тл.
Висновки. Згадаш методичш особливост вивчення теми «Комбшаци геометричних тiл» не вичерпують весь спектр особливостей, ми зупинилися лише на основних, ям, на нашу думку, «лежать на поверхш», але кожен вчитель-практик може яккно продовжити цей список, подтитися своУм досвiдом. В той же час акцентування уваги майбутшх вчителiв математики на зазначених особливостях дае впевнешсть у тому, що вони будуть враховаш у Ух майбутнш професiйнiй дiяльностi.
Список використаних джерел
1. Орлова Н. Н. Обучение решению задач на комбинации геометрических тел с использованием мультимедийных технологий: автореф. дис...канд.пед. наук: спец. 13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания (математика) / Н.Н.Орлова - М., 2011. - 23с.
2. Гордiенко 1.В. Формування просторових уявлень в учшв пщ час навчання стереометри / 1.В. Гордiенко // Математика в сучаснш школк - 2013. - № 10. - С. 7-12.
3. Четверухш М.Ф. Рисунки просторових ф^ур / М.Ф. Четверухш. - К.: Рад. шк., 1953. - 188 с.
4. Шемякин Ф.Н. Некоторые теоретические проблемы исследования пространственных восприятий и представлений / Ф.Н.Шемякин // Вопросы психологии. - 1968. - №4. - С. 1-28.
5. Якиманская И. С. Развитие пространственного мышления школьников / И. С. Якиманская. - М.: Педагогика, 1980. - 240 с.
6. Семешхша О. В. Професшна готовшсть майбутнього вчителя математики до використання програм динамiчноТ математики: теоретико-методичш аспекти : монографiя / О. В. Семешхша. - Суми : Вид-во „Мрiя", 2016. - 268 с.
7. Семешхша О. В. Використання комп'ютерних шструменлв IRC Cabri 3D при розв'язуванш задач стереометри / О. В. Семешхша, М. Г. Друшляк // 1нформатика та шформацшш технологи в навчальних закладах : наук.-метод. журн. - 2014. - № 4(52). - С. 36 - 41.
8. Семешхша О. В. 1нструментарш програми GeoGebra 5.0 i його використання для розв'язування задач стереометри [Електронний ресурс] / О. В. Семешхша, М. Г. Друшляк // 1нформацшш технологи i засоби навчання. - 2014. - Т. 44, № 6. - C. 124 - 133.
9. Semenikhina O. To the Issue of Critical Choise While Using the DMS in Mathematics Education [Електронний ресурс] / Olena V. Semenikhina // Zhurnal ministerstva narodnogo prosveshcheniya. - 2015. - Vol. 3. - № 1. -P. 20 - 28. - Режим доступу до журн. : http://ejournal18.com/journals_n/1427798529.pdf
References
1. Orlova N. N. Learning to solve problems on the combination of solids with the use of multimedia technologies: avtoref. dis...kand.ped. nauk: spets. 13.00.02 - teoriya i metodika obucheniya i vospitaniya (matematika) / N.N.Orlova - M., 2011. - 23s
2. Hordiienko I.V. Formation of spatial representations of students in teaching solid geometry / I.V. Hordiienko // Matematyka v suchasnii shkoli. - 2013. - № 10. - S. 7-12.
3. Chetverukhin M.F. Drawings of space figures / M.F. Chetverukhin. - K.: Rad. shk., 1953. - 188 s.
4. Shemyakin F.N. Some theoretical problems of the study of spatial perceptions and representations / F.N.Shemyakin // Voprosyi psihologii. - 1968. - №4. - S. 1-28.
5. Yakimanskaya I. S. The development of spatial thinking of students / I. S. Yakimanskaya. - M.: Pedagogika, 1980. - 240 s.
6. Semenikhina O. V. Profesiyna hotovnist' maybutn'oho vchytelya matematyky do vykorystannya prohram dynamichnoyi matematyky: teoretyko-metodychni aspekty : monohrafiya / O. V. Semenikhina. - Sumy : Vyd-vo „Mriya", 2016. - 268 s.
7. Semenikhina O. V. Vykorystannya komp"yuternykh instrumentiv IRC Cabri 3D pry rozv"yazuvanni zadach stereometriyi / O. V. Semenikhina, M. H. Drushlyak // Informatyka ta informatsiyni tekhnolohiyi v navchal'nykh zakladakh : nauk.-metod. zhurn. - 2014. - № 4(52). - S. 36 - 41.
8. Semenikhina O. V. Instrumentariy prohramy GeoGebra 5.0 i yoho vykorystannya dlya rozv"yazuvannya zadach stereometriyi [Elektronnyy resurs] / O. V. Semenikhina, M. H. Drushlyak // Informatsiyni tekhnolohiyi i zasoby navchannya. - 2014. - T. 44, №6. - C. 124 - 133.
9. Semenikhina O. To the Issue of Critical Choise While Using the DMS in Mathematics Education [Електронний ресурс] / Olena V. Semenikhina // Zhurnal ministerstva narodnogo prosveshcheniya. - 2015. - Vol. 3. - № 1. -P. 20 - 28. - Режим доступу до журн. : http://ejournal18.com/journals_n/1427798529.pdf
THE FEATURES OF STUDYING THE TOPIC «THE COMBINATION OF SOLIDS» M.G. Drushlyak, О.О. Shkarupa
Makarenko Sumy State Pedagogical University, Ukraine Abstract. In the article the problem of studying combinations of geometric bodies, which is one of the most difficult in the school course of geometry, because it is a certain synthesis of all the knowledge, abilities and skills of plane geometry, solid geometry and trigonometry. Teacher at traditional learning geometry does not have sufficient time to develop skills required to solve problems on the combination of geometrical bodies, because this issue falls on the final stage of the study of solid geometry, when the school started preparing students for the exam. The authors identify some features of studying the topic "combination of geometric bodies", namely the ability to issue drawings to the task (given the rules for constructing certain combinations of geometric bodies) justification of the mutual arrangement of the elements of bodies entering into combination; the presence of formed skills and problem-solving skills with solid geometry and developments of a certain base the task on the combination of the solids. the complexity of the pattern and rationale of solving the problem on a combination of geometric shapes lead to the fact that the process takes a lot of time in the classroom, therefore the number of tasks, which are discussed in class to fully negligible. Thus, in practice it turns out that the first and second features are in confrontation with the third. This contradiction can be eliminated at the expense of intensification of educational process through the use of modern information technology, dedicated to the fourth feature of the study topics. As such technologies, the authors choose a dynamic mathematics program that support operations on three-dimensional objects - Cabri3D and GeoGebra 5.0. Each of the features illustrated by the examples.
Keywords: solid geometry, solid, the combination of solids, information technologies, dynamic mathematics software.
